高中高三月考七數學試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中個，只有一項是符合題目要求的．1.設i為虛數單位，復數滿足，則在復平面內對應的點位于（）A第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限2.在的展開式中，常數項為（）A. B.15 C.30 D.3603.已知，向量，且，則在上的投影向量為（）A. B.5 C. D.4.已知兩個等差數列的前項和分別是，且，則（）A B. C. D.5.某電視臺計劃在春節期間某段時間連續播放6個廣告，其中3個不同商業廣告和3個不同的公益廣告，要求第一個和最后一個播放的必須是公益廣告，且商業廣告不能3個連續播放，則不同的播放方式有（）A.144種 B.72種 C.36種 D.24種6.若存在直線與曲線，都相切，則a的范圍為（）A. B. C. D.7.如圖所示，在棱長為1的正方體中，點為截面上的動點，若，則點的軌跡長度是（）A. B. C. D.18.設函數的定義域為，導數為，若當時，，且對于任意的實數，則不等式的解集為（）A. B. C. D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.袋子中有6個相同的球，分別標有數字1，2，3，4，5，6，從中隨機取出兩個球，設事件“取出的球的數字之積為奇數”，事件“取出的球的數字之積為偶數”，事件“取出的球的數字之和為偶數”，則（）A.事件與是互斥事件 B.事件與是對立事件C.事件與是互斥事件 D.事件與相互獨立10.已知函數的部分圖象如圖所示，則（）A.B.C.函數的圖象與直線的相鄰兩交點間的距離為D.11.已知為拋物線的焦點，直線過且與交于兩點，為坐標原點，為上一點，且，則（）A.過點且與拋物線僅有一個公共點的直線有3條B.當的面積為時，C.為鈍角三角形D.的最小值為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知隨機變量，且正數滿足，則的最小值為_____________.13.在中，，已知點、，則點到直線的最大距離為______．14.如圖，已知，是雙曲線C：左、右焦點，P，Q為雙曲線C上兩點，滿足，且，則雙曲線C的離心率為________．四、解答題（本大題共5小題）15.如圖1，在矩形ABCD中，，將沿著BD翻折到的位置，得到三棱錐，且平面ABP，如圖2所示.（1）求證：平面平面ABD；（2）求直線AB與平面BPD所成角的正弦值.16.一批產品需要進行質量檢驗，檢驗方案是：先從這批產品中任取4件作檢驗，這4件產品中優質品的件數記為n．如果n=3，再從這批產品中任取4件作檢驗，若都為優質品，則這批產品通過檢驗；如果n=4，再從這批產品中任取1件作檢驗，若為優質品，則這批產品通過檢驗；其他情況下，這批產品都不能通過檢驗．假設這批產品的優質品率為50%，即取出的產品是優質品的概率都為50%，且各件產品是否為優質品相互獨立（1）求這批產品通過檢驗概率；（2）已知每件產品檢驗費用為100元，凡抽取的每件產品都需要檢驗，對這批產品作質量檢驗所需的費用記為X（單位：元），求X的分布列及數學期望．17.已知橢圓：（）中，點，分別是的左、上頂點，，且的焦距為．（1）求的方程和離心率；（2）過點且斜率不為零的直線交橢圓于，兩點，設直線，，的斜率分別為，，，若，求的值．18.已知數列滿足，且，．（1）證明：數列是等比數列；（2）求數列的通項公式；（3）若數列的前項和為，證明：數列中任意不同的三項都不能構成等差數列．19.已知函數，．（1）證明：．（2）證明：．（3）若，求的最大值．

高中高三月考七數學試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中個，只有一項是符合題目要求的．1.設i為虛數單位，復數滿足，則在復平面內對應的點位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】【分析】先求出復數，從而可求出其在復平面內對應的點所在的象限.【詳解】由，得，所以復數在復平面內對應的點在第四象限，故選：D2.在的展開式中，常數項為（）A. B.15 C.30 D.360【答案】B【解析】【分析】先求出的展開式的通項，令，求出代入通項即可求出答案.【詳解】的展開式的通項為：，令，解得：，所以常數項為：.故選：B.3.已知，向量，且，則在上的投影向量為（）A. B.5 C. D.【答案】C【解析】【分析】借助向量垂直可得，結合投影向量定義計算即可得解.【詳解】由，則有，即，則，故.故選：C.4.已知兩個等差數列的前項和分別是，且，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】設出兩個等差數列的前項和公式，利用等差數列的性質即可得出結論.【詳解】由題意，在兩個等差數列中，前項和分別是，，對于一般等差數列前項和為二次型函數：（為常數），∴設，，為常數∴，故選：B.5.某電視臺計劃在春節期間某段時間連續播放6個廣告，其中3個不同的商業廣告和3個不同的公益廣告，要求第一個和最后一個播放的必須是公益廣告，且商業廣告不能3個連續播放，則不同的播放方式有（）A.144種 B.72種 C.36種 D.24種【答案】B【解析】【分析】將第一個和最后一個先安排為公益廣告，然后由商業廣告不能3個連續播放，將其排成一列，之間有兩個空，將剩下的公益廣告插進去即可.【詳解】先從3個不同的公益廣告中選兩個安排到第一個和最后一個播放有種方法，然后將3個不同的商業廣告排成一列有種方法，3個不同的商業廣告之間有兩個空，選擇一個將剩下的一個公益廣告安排進去即可，所以總共有：種方式.故選:B6.若存在直線與曲線，都相切，則a的范圍為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用導數分別求得與相切的切線方程，可得，進而可得有解，從而利用導數可求的范圍.【詳解】設直線與相切于點，因為，所以切線方程，即，設直線與相切于點，因為，所以切線方程，即，，所以有解，令，，所以函數在，上單調遞減，在，上單調遞增，因為，，所以，所以，的范圍為.故選：A.【點睛】思路點睛：本題考查曲線公切線相關問題的求解，求解曲線公切線的基本思路是假設切點坐標，利用導數的幾何意義分別求得兩曲線的切線方程，根據切線方程的唯一性構造方程組來進行求解.7.如圖所示，在棱長為1的正方體中，點為截面上的動點，若，則點的軌跡長度是（）A. B. C. D.1【答案】B【解析】【分析】連接，利用線面垂直的判定推理證得平面即可確定點的軌跡得解.【詳解】在棱長為1的正方體中，連接，由平面，平面，得，而，平面，則平面，又平面，于是，同理，而平面，因此平面，因為，則平面，而點為截面上的動點，平面平面，所以點軌跡是線段，長度為.故選：B8.設函數的定義域為，導數為，若當時，，且對于任意的實數，則不等式的解集為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】設，根據題意，可證為上的偶函數，且在上單調遞增，在上單調遞減，又由轉化為，即，即可得解.【詳解】因為，設，則，即為上的偶函數，又當時，，則，所以在上單調遞增，在上單調遞減，因為，所以，即，所以，即，解得.故選：B【點睛】關鍵點點睛：根據題意，設，研究函數的奇偶性和單調性，從而求解不式.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.袋子中有6個相同的球，分別標有數字1，2，3，4，5，6，從中隨機取出兩個球，設事件“取出的球的數字之積為奇數”，事件“取出的球的數字之積為偶數”，事件“取出的球的數字之和為偶數”，則（）A.事件與是互斥事件 B.事件與是對立事件C.事件與是互斥事件 D.事件與相互獨立【答案】AB【解析】【分析】利用互斥，對立，相互獨立的概念逐一判斷.【詳解】對于AB：取出的球的數字之積為奇數和取出的球的數字之積為偶數不可能同時發生，且必有一個發生，故事件與是互斥事件，也是對立事件，AB正確；對于C：如果取出的數為，則事件與事件均發生，不互斥，C錯誤；對于D：，則，即事件與不相互獨立，D錯誤；故選：AB10.已知函數的部分圖象如圖所示，則（）A.B.C.函數的圖象與直線的相鄰兩交點間的距離為D.【答案】ABD【解析】【分析】A由圖象可確定，即可判斷選項正誤；BD驗證是否滿足選項描述即可判斷選項正誤；C解方程，驗證相鄰根的差值即可判斷選項正誤.【詳解】由圖可得，，，因，取，對于A，，故A正確；對于B，，則，，即，故B正確；對于C，令或，得或，其中，分別取，得相鄰的三個根為，則相鄰根的差值即的圖象與直線的相鄰兩交點間的距離為或，故C錯誤；對于D，，，則，故D正確.故選：ABD11.已知為拋物線的焦點，直線過且與交于兩點，為坐標原點，為上一點，且，則（）A.過點且與拋物線僅有一個公共點的直線有3條B.當的面積為時，C.為鈍角三角形D.的最小值為【答案】ACD【解析】【分析】由拋物線的定義及點到準線的距離可求解拋物線的方程，判斷點與拋物線的位置關系即可判斷A；聯立直線與拋物線方程，得韋達定理，即可根據弦長公式求解面積，利用焦半徑公式即可求解B；根據數量積的坐標運算即可求解C；根據焦半徑公式，結合基本不等式即可求解D.【詳解】如圖①所示，因為，所以，解得，所以拋物線的標準方程為.對于A，因為，當時，，故點在拋物線的外部，所以與僅有一個公共點的直線有3條，故A正確；對于B，由拋物線的方程可知，焦點，設的方程為，聯立消去，整理得，所以，又，所以，解得，則，則，故B錯誤；對于C，由選項B可知，所以，故為鈍角，所以為鈍角三角形，故C正確；對于D，由選項B可知，所以，當且僅當，即時等號成立，故D正確.故選：ACD.圖①三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知隨機變量，且正數滿足，則的最小值為_____________.【答案】9【解析】【分析】利用正態分布對稱性可得，再由基本不等式中“1”的妙用求最小值.【詳解】因為隨機變量，正數滿足，有對稱性可知，即，所以；當且僅當，即時，等號成立.故答案為：913.在中，，已知點、，則點到直線的最大距離為______．【答案】【解析】【分析】分析可知點的軌跡是以點、為焦點，且長軸長為的橢圓（除去長軸的端點），求出橢圓的方程，數形結合可得出點到直線距離的最大值.【詳解】在中，，由正弦定理可得AC+AB=2所以點的軌跡是以點、為焦點，且長軸長為的橢圓（除去長軸的端點），設橢圓的方程為，則，，所以，，故橢圓的方程為，如下圖所示：由圖可知，點到直線距離的最大值為.故答案為：.14.如圖，已知，是雙曲線C：的左、右焦點，P，Q為雙曲線C上兩點，滿足，且，則雙曲線C的離心率為________．【答案】##【解析】【分析】根據雙曲線的定義和性質分析可得，進而可得，結合勾股定理運算求解.【詳解】延長與雙曲線交于點，因為，根據對稱性可知，設，則，可得，即，所以，則，，即，可知，在中，由勾股定理得，即，解得.故答案為：四、解答題（本大題共5小題）15.如圖1，在矩形ABCD中，，將沿著BD翻折到的位置，得到三棱錐，且平面ABP，如圖2所示.（1）求證：平面平面ABD；（2）求直線AB與平面BPD所成角的正弦值.【答案】（1）證明見詳解（2）【解析】【分析】（1）由平面ABP可得，進而可證平面，即可得面面垂直；（2）利用等體積法求點到平面的距離，進而可求線面夾角.【小問1詳解】因為平面ABP，平面ABP，可得，，由題意可知：，且，平面，可得平面，由平面ABD，所以平面平面ABD.【小問2詳解】由題意可知：，設點到平面的距離為，因為，即，解得，所以直線AB與平面BPD所成角的正弦值為.16.一批產品需要進行質量檢驗，檢驗方案是：先從這批產品中任取4件作檢驗，這4件產品中優質品的件數記為n．如果n=3，再從這批產品中任取4件作檢驗，若都為優質品，則這批產品通過檢驗；如果n=4，再從這批產品中任取1件作檢驗，若為優質品，則這批產品通過檢驗；其他情況下，這批產品都不能通過檢驗．假設這批產品的優質品率為50%，即取出的產品是優質品的概率都為50%，且各件產品是否為優質品相互獨立（1）求這批產品通過檢驗的概率；（2）已知每件產品檢驗費用為100元，凡抽取的每件產品都需要檢驗，對這批產品作質量檢驗所需的費用記為X（單位：元），求X的分布列及數學期望．【答案】（1）記該批產品通過檢驗為事件A；則；（2）X的可能取值為400、500、800；，，，則X的分布列為X

400

500

800

P

【解析】【詳解】(1)設第一次取出的4件產品中恰有3件優質品為事件A，第一次取出的4件產品中全為優質品為事件B，第二次取出的4件產品都是優質品為事件C，第二次取出的1件產品是優質品為事件D，這批產品通過檢驗為事件E，∴P(E)＝P(A)P(B|A)＋P(C)P(D|C)＝.(2)X的可能取值為400，500，800，并且P(X＝400)＝1－，P(X＝500)＝，P(X＝800)＝＝，∴X的分布列為X

400

500

800

P

EX＝400×＋500×＋800×＝506.25.17.已知橢圓：（）中，點，分別是的左、上頂點，，且的焦距為．（1）求的方程和離心率；（2）過點且斜率不為零的直線交橢圓于，兩點，設直線，，的斜率分別為，，，若，求的值．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）由的值，可得，的關系，再由焦距可得的值，又可得，的關系，兩式聯立，可得，的值，即求出橢圓的方程；（2）設直線的方程，與橢圓的方程聯立，消元、列出韋達定理，求出直線，的斜率之和，由題意整理可得參數的值，進而求出直線的斜率的大小．【小問1詳解】由題意可得，，可得，，可得，可得，，解得，，所以離心率，所以橢圓方程為，離心率；【小問2詳解】由（1）可得，【小問3詳解】【小問4詳解】由題意設直線的方程為，則，設，，聯立，整理可得，顯然，且，，直線，的斜率，，則，因，即，解得，所以直線的斜率．即的值為3．18.已知數列滿足，且，．（1）證明：數列是等比數列；（2）求數列的通項公式；（3）若數列的前項和為，證明：數列中任意不同的三項都不能構成等差數列．【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）證明見解析.【解析】【分析】（1）化簡已知條件，根據等比數列的定義證得數列是等比數列；（2）利用累乘法求得數列的通項公式；（3）利用裂項求和法求得，利用反證法證得數列中任意不同的三項都不能構成等差數列．【小問1詳解】已知，則.又，，所以.那么（常數）.所以數列是以為首項，為公比的等比數列.【小問2詳解】由（1）知，等式兩邊同時除以得：.設，則，且.所以數列是以為首項，為公差的等差數列.所以.因為，所以.【小問3詳解】已知，則..所以.假設數列中存在不同的三項，，（，）構成等差數列，則，即，兩邊同時乘以得：.因為，，所以，，則是倍數，除以余，等式不成立.所以假設不成立，即數列中任意不同的三項都不能構成等差數列.【點睛】方法點睛：證明一個數列是等比數列，通常從數列的遞推關系出發，