反比例函數壓軸專練（六大題型）

題型1:存在性問題

1.如圖，直線y=|x與雙曲線＞=￡（左HO）交于/,8兩點，點/的坐標為（九-3）,點c是雙曲線第一象

限分支上的一點，連接3c并延長交X軸于點。，且8c=2CD.

⑴求左的值并直接寫出點8的坐標；

⑵點用、N是了軸上的動點（M在N上方）且滿足比乂=1,連接MB,NC,求+九W+NC的最小值；

（3）點尸是雙曲線上一個動點，是否存在點P,使得NODP=NDOB,若存在，請直接寫出所有符合條件的P

點的橫坐標.

2.如圖，在平面直角坐標系中，一次函數了=-；尤+3與反比例函數了=^^>0)的圖象交于點4(。,2),

3(4/)兩點.

⑴求反比例函數的表達式；

⑵點C是第一象限內一點，連接/C,BC,使NC〃龍軸，3C〃y軸，連接CM,OB.若點P在V軸上，

且AOPN的面積與四邊形。4cB的面積相等，求點P的坐標；

(3)在直線。3上有一動點"，過”點做y軸的平行線交反比例函數于點N,當以A/、N、B、C四個點為頂

點的四邊形是平行四邊形時，求N點坐標；

(4)在平面內是否存在兩點X、Q,使得四邊形48”。是矩形，且該矩形面積為15?若存在，請直接寫出X

點坐標；若不存在，請說明理由.

3.如圖，一條直線與反比例函數y=1的圖象交于/(1,4)、3(4,")兩點，與X軸交于。點，NCLx軸,

(1)如圖甲，①求反比例函數的解析式；②求〃的值及。點坐標；

(2)如圖乙，若點￡在線段40上運動，連接CE,作/CE尸=45。，EF交4C于F點.

①試說明△CDES^EAF；

②當△￡%為等腰三角形時，直接寫出p點坐標.

424

4.如圖1,在平面直角坐標系中，直線＞=71+12與雙曲線歹=—-交于4B兩點（點A在點3左邊）,

3x

過4。兩點作直線，與雙曲線的另一交點為。，過5作直線49的平行線交雙曲線于點C.

O

⑵如圖2,點尸在V軸負半軸上，連接P8,交直線49于點E,連接C￡、PA,且工9=不S讖虛，將線段

尸。在V軸上移動，得到線段PO'（如圖3）,請求出的最大值；

⑶如圖4,點”在x軸上，在平面內是否存在一點N,使以點。、D、M、N為頂點的四邊形是菱形？若存在,

請直接寫出符合條件的N點坐標；若不存在，請說明理由.

題型2：動點問題

12

5.已知反比例函數了=一,直線4：了=履+加(左片0),直線人與反比例函數交于點/(a,4),B(-2,b),與X

X

軸交于點C.

(1)求直線4的解析式：

⑵過點C作X軸的垂線34上有一動點過點M作y軸的垂線段與y軸交于點N,連接4/8V,求

4W+MV+A?的最小值和此時M點的坐標；

(3)在(2)問的前提下，當/"+MN+N8取得最小值時，作點〃關于x軸的對稱點。在坐標軸上有一

動點尸，^ZPAC=ZQCA,求點尸的坐標，并寫出其中一種情況的過程.

6.如圖1,已知雙曲線了=幺經過口/BCD的C、。兩點，且點4-1,0),5(0,-2),C(2,2).

X

(1)求雙曲線和直線DC對應的函數關系式；

(2)如圖2,點P在雙曲線了=上上，點。在y軸上，若以點A、B、P、。為頂點的四邊是平行四邊形，請

直接寫出滿足要求的所有點。的坐標；

⑶如圖3,以線段研為對角線作正方形/尸點T是邊肝(不含點A、尸)上一個動點，點M是HT

的中點，MNLHT,交AB于點、N.當T在"'上運動時，N77W的度數是否會變化？若會的話，請給出你

的證明過程.若不是的話，只要給出結論.

7.已知：如圖，正比例函數〉=◎的圖象與反比例函數了=幺的圖象交于點力(3,2).

⑴試確定上述正比例函數和反比例函數的表達式；

(2)根據圖象回答，在第一象限內，當x取何值時，反比例函數的值大于正比例函數的值？

⑶是反比例函數圖象上的一動點，其中0<%<3,過點Af作直線A?〃x軸，交V軸于點8；過點

A作直線/C||y軸，交x軸于點C,交直線”3于點。.當四邊形04DM的面積為6時，請判斷線段9與

DM的大小關系，并說明理由.

題型3：旋轉問題

8.如圖①，一次函數必=2x+4的圖像交反比例函數％=竺圖像于點A,B,交x軸于點C,點3為

X

（1,加）.

(2)如圖②，點”為反比例函數在第一象限圖像上的一點，過點M作x軸垂線，交一次函數％=2x+4圖像

于點N,連接9,若A3MM是以為底邊的等腰三角形，求ABMN的面積；

(3)如圖③，將一次函數必=2x+4的圖像繞點C順時針旋轉45。交反比例函數%=%圖像于點。，E,求

X

點石的坐標.

9.已知反比例函數〉=一的圖象經過點4(4,3),且與一次函數V='+〃的圖象在同一坐標系中.

x

⑵如圖2,當直線V=x+〃經過點/時，它與反比例函數了=匚的另一個交點記為2,在〉軸上找一點

X

使△K48的周長最小，求出M的坐標及周長的最小值；

⑶如圖3,點尸是反比例函數圖象上4點左側一點，連接北，把線段的繞點/逆時針旋轉90。，點P的

對應點。恰好也落在這個反比例函數的圖象上，求點P的坐標.

題型4：新定義題

10.在平面直角坐標系中，定義：橫坐標與縱坐標均為整數的點為整點?如圖，已知雙曲線>=?Q>0）經過

X

點/（2,2）,在第一象限內存在一點8（加,“），滿足加〃＞4.

⑴求左的值；

（2）如圖1,過點8分別作平行于x軸，V軸的直線，交雙曲線＞=勺》＞0）于點C、D,記線段2C、BD、雙

曲線所圍成的區域為少（含邊界），

①當加="=4時，區域少的整點個數為；

②當區域少的整點個數為4時，3點橫坐標滿足3＜4,直接寫出縱坐標〃的取值范圍：；

③直線V=ax-5“+4（。＞0）過一個定點，若點8為此定點，

問題1：B(,)；

問題2：這條直線將少分成兩部分，直線上方（不包含直線）的區域記為小,直線下方（不包含直線）的區域記

為名,當少1與%的整點個數之差不超過2時，求。的取值范圍.

11.如圖，直線＞=-%+6與雙曲線歹=&相交于A,5兩點，點A坐標為（-2,3）,點8的坐標（見-2）,點?

x

是X軸負半軸上的一點.

⑴分別求出直線和雙曲線的表達式；

(2)連接M3,BP,0A,OB,若%網=45叔。8,求點尸的坐標；

(3)我們把能被一條對角線分成兩個全等直角三角形的四邊形叫做"美麗四邊形在(2)的條件下，平面內

是否存在點0,使得以A,B,P,。為頂點的四邊形是美麗四邊形，若存在，請直接寫出。點的坐標；

若不存在，請說明理由.

題型5：情景探究題

12.【發現問題】

小明在學習過程中發現：周長為定值的矩形中面積最大的是正方形?那么，面積為定值的矩形中，其周長的

取值范圍如何呢？

【解決問題】

小明嘗試從函數圖象的角度進行探究:

6

5

4

3

2

1

-3oTTTTTT^

(1)建立函數模型

4

設一矩形的面積為4,周長為加，相鄰的兩邊長為x、J,則孫=4,2(x+y)=機，即了=一，

T=-x+p那么滿足要求的(xJ)應該是函數了=。與了=-工+三的圖象在第象限內的公共點坐標.

(2)畫出函數圖象

4

①畫函數＞=—(x＞0)的圖象；

X

②在同一直角坐標系中直接畫出了=一工的圖象，則＞+￡的圖象可以看成是由y=-x的圖象向上平移

個單位長度得到.

(3)研究函數圖象

平移直線了=-》，觀察兩函數的圖象；

①當直線平移到與函數了=?(尤＞0)的圖象有唯一公共點的位置時，公共點的坐標為，周長加的值

尤

為:

②在直線平移的過程中，兩函數圖象公共點的個數還有什么情況？請直接寫出公共點的個數及對應周長加

的取值范圍.

【結論運用】

(4)面積為10的矩形的周長加的取值范圍為.

13.探究函數性質時，我們經歷了列表、描點、連線畫出函數圖象，觀察分析圖象特征，概括函數性質的

過程.結合已有經驗，請畫出函數)=面一國的圖象，并探究該函數性質.

(1)繪制函數圖象

①列表：下列是X與J的幾組對應值，其中。=:

X......-5-4-3-2-112345......

y......-3.8-2.5-1155a-1-2.5-3.8......

②描點：根據表中的數值描點(X/),請在下圖中描出點;

③連線：請用平滑的曲線順次連接各點，畫出函數圖象：

6II

請寫出函數>二詞一國的兩條性質：_____________________________________________

(3)運用函數圖象及性質

①寫出方程;|一國=5的解；

②寫出不等式j-Wv1的解集;

③寫出不等式與fTX>T的解集.

14.在圖形的變換中，對稱是一種常見的全等變換，我們需要掌握如何畫對稱點以及對稱圖形，并能求出

一些對稱點的坐標以便幫助我們解決相關問題。

(1)圖①中點A關于，軸的對稱點H的坐標是:

【理解運用】

(2)如圖③所示，直線4：y=3x,直線，2：y=x+2,請畫出直線4關于直線4的對稱直線并求出該直線的

關系式；

【拓展提升】

(3)①已知函數G：了=：(x>0)關于直線y=3x的對稱圖象為G，直線/：>=x+2與G相交于點A、點、B,

點尸是直線下方G圖象上一個動點，請求出△尸48面積的最大值：

②若將第①問中的V=3x改成了=履(左>0),已知點“卜點,血)，點N(后，-夜)，點。(1,1)是函數圖象

￡:y=>0)上的一點,當k變化時，點。關于直線y=kx(k>0)的對稱點0'也在不斷變的運動路徑和直

線"N圍城的區域記為少，請畫出點”到點N的最短路徑并求出軌跡長.

(說明：路徑只能在直線右上方畫，且不能穿過少區域)

題型6：反比例函數的實際應用

15.綜合與實踐

如圖1,某興趣小組計劃開墾一個面積為8m2的矩形地塊/BCD種植農作物，地塊一邊靠墻，另外三邊用木

欄圍住，木欄總長為am,

A

B

【問題提出】

小組同學提出這樣一個問題：若a=10,能否圍出矩形地塊？

【問題探究】

小穎嘗試從“函數圖象”的角度解決這個問題：

O

設45為由，3c為沖.由矩形地塊面積為8m2,得到少=8,滿足條件的(x,y)可看成是反比例函數y=1

的圖象在第一象限內點的坐標；木欄總長為10m,得到2x+y=10,滿足條件的(x/)可看成一次函數

y=-2x+10的圖象在第一象限內點的坐標，同時滿足這兩個條件的(xj)就可以看成兩個函數圖象交點的坐

標.

Q

如圖2,反比例函數y=\(x>0)的圖象與直線4：y=-2x+10的交點坐標為(1,8)和,因此，木

欄總長為10m時，能圍出矩形地塊，分別為：AB=lm,5C=8m；或48=m,BC=

(1)根據小穎的分析思路，完成上面的填空.

【類比探究】

(2)若a=6,能否圍出矩形地塊？請仿照小穎的方法，在圖2中畫出一次函數圖象并說明理由.

【問題延伸】

當木欄總長為am時，小穎建立了一次函數y=-2x+”.發現直線y=-2x+a可以看成是直線y=-2x通過

Q

平移得到的，在平移過程中，當過點（2,4）時，直線y=-2x+a與反比例函數>=?x>0）的圖象有唯一交點.

（3）請在圖2中畫出直線了=-2x+a過點（2,4）時的圖象，并求出“的值.

【拓展應用】

Q

小穎從以上探究中發現“能否圍成矩形地塊問題”可以轉化為“y=-2x+”與了=2圖象在第一象限內交點的

X

存在問題”.

（4）若要圍出滿足條件的矩形地塊，且N8和3c的長均不小于1m,請直接寫出“的取值范圍.

16.某果農今年試種了一種新品種的水果，5月份開始上市.根據其它相似產品的銷售經驗，若設該水果上

市第t天的銷售單價為（元/千克），則與之間滿足如下關系：

t123456

P（元/千克）1206040302420

而該水果每天的銷售量(千克)與t之間滿足的函數關系如下圖所示:

(1)猜想銷售單價P與，之間滿足我們學過的哪種函數關系？并直接寫出銷售單價P與f之間的函數關系式

(不必寫出自變量取值范圍)；

(2)求每天的銷售量s(千克)與f之間的函數關系式，并求上市第幾天銷售量最大，最大銷售量是多少千

克？

(3)當每天的銷售收入低于600元時，該水果將失去生產銷售的價值.該水果最只能上市銷售幾天？最低銷

售單價是多少元？(銷售收入=銷售單價Px銷售量S)

(4)當每天的銷售量不低于200千克時，這種水果的最低售價是多少元？

17.為了探索函數〉=x+L(x>0)的圖象與性質，我們參照學習函數的過程與方法，列表:

X

(1)如圖1,觀察所描出點的分布，用一條光滑曲線將點順次連接起來，作出函數圖象;

⑵己知點(再,%),(%,%)在函數圖象上，結合表格和函數圖象，回答下列問題：

右0<X]<工2W1,貝|J弘%；右1<X]<工2，貝U必%；(填“

(3)某農戶積極響應廁所改造工程，要建造一個圖2所示的長方體形的化糞池，其底面積為1平方米，深為1

米.已知下底面造價為1千元/平方米，上蓋的造價為1.5千元/平方米，側面造價為0.5千元/平方米，設水

池底面一邊的長為x米，水池總造價為y千元.

①請寫出〉關于x的函數關系式；

②若該農戶建造化糞池的預算不超過5千元，則池子底面一邊的長x應控制在什么范圍內？

反比例函數壓軸專練（六大題型）

題型1:存在性問題

1.如圖，直線y=|x與雙曲線＞=￡（左HO）交于/,8兩點，點/的坐標為（九-3）,點c是雙曲線第一象

限分支上的一點，連接3c并延長交X軸于點。，且8c=2CD.

⑴求左的值并直接寫出點8的坐標；

⑵點用、N是了軸上的動點（M在N上方）且滿足比乂=1,連接MB,NC,求+九W+NC的最小值；

（3）點尸是雙曲線上一個動點，是否存在點P,使得NODP=NDOB,若存在，請直接寫出所有符合條件的P

點的橫坐標.

【答案】⑴左=6,5（2,3）；

(2)1+765;

（3）點P的橫坐標為：4-2^5,4+273,4-273

【分析】本題考查了一次函數與反比例函數交點問題，相似三角形的性質與判定；

（1）運用一次函數與反比例函數的交點坐標即可求解；

（2）根據BC=2CD,求得點C的坐標，再把將軍飲馬模型在坐標系中直接運用，根據勾股定理求解即可;

（3）根據題意畫圖分析，根據平行求相關函數關系式，再求兩條線的交點解方程組，即可得解.

【解析】（1）解：根據題意可知點4冽，-3）在直線y=a和雙曲線歹=k?左W0）的圖象上，

3

2加=一3,角星得m=-2,

：.點A的坐標為（-2,-3）,代入雙曲線歹=勺后/0）得：

k=(-2)x(-3)=6,

由圖象可知點5與點A關于原點對稱,

.?.2(2,3)；

(2)過點8、C分別作x軸的垂線，垂足分別為E、F,作點8關于y軸的對稱點點夕，并向下平移一個

單位記為5",連接"C,

y/k

則AE〃CF,=

:.ADCFS^DBE,

.CFDC

vBC=2CD,5(2,3),云(-2,3),3〃灰2,2),

DC1clc

??---=—,BE=3,

DB3

：,CF=\,即點。的縱坐標為1,

???點c在反比例函數y=9的圖象上，

X

???C(6,1),B"C=^(2-1)2+[6-(-2)]2=J1+64=病，

.?.八"+九亞+陽的最小值即為8'8"+丁。=1+而；

(3)當=時，當。尸在x軸下方時，DP//AB,

設直線BC的解析式為y=kxx+b,

由(2)可知：5(2,3),C(6,l),

2左+6=3k=-

解得?}2

6k+b=\

xb=4

y=—x+4,

2

當y=0時，一gx+4=0,解得x=8,

3

DP//AB,直線力B的解析式為y=

3

???設直線DE的解析式為y=-x+n,

把。(8,0)代入得：12+〃=0,

n=—12,

y——x—12,

2

由尸是直線DE與反比例函數的交點可得：

3-

y=-x-\2

V2解得石=4+2百X2=4-2A/5,

y=-

lx

此時點尸在第三象限，西=4+2右不符合題意,

當。尸在x軸上方時，則與下方的D尸關于x軸對稱,

3

可得直線DP的解析式為：y=--x+12,

3

y=——x+12

/得士=4+2#,

聯立x2=4-2-s/3,

6

y=-

X

此時點尸在第一象限，兩個都符合題意,

，點尸的橫坐標為：4-2百4+2后,4-.

1k

2.如圖，在平面直角坐標系中，一次函數>=-5》+3與反比例函數y=((x>0)的圖象交于點/(。,2),

8(4,6)兩點.

(1)求反比例函數的表達式；

(2)點C是第一象限內一點，連接4C,8C,使/C〃龍軸，8C〃y軸，連接CM,OB.若點尸在V軸上，

且AOPA的面積與四邊形OACB的面積相等，求點P的坐標；

(3)在直線08上有一動點M,過M點做y軸的平行線交反比例函數于點N,當以M、N、B、。四個點為頂

點的四邊形是平行四邊形時，求N點坐標；

(4)在平面內是否存在兩點〃、0,使得四邊形是矩形，且該矩形面積為15?若存在，請直接寫出〃

點坐標；若不存在，請說明理由.

4

【答案】(1)?=—(x>0)

x

(2)(0,4)或(0,-4)

(4)存在，〃(7,7)或。,-5)

【分析】(1)根據點4。,2),5(4,6)在一次函數了=-3》+3的圖象上求出。、6的值，得出A、B兩點的

坐標，再運用待定系數法解答即可;

(2)延長C/交V軸于點E,延長CB交x軸于點尸，構建矩形OECF,根據

S四邊形WCfi=S矩形OECF-S^OAE~S^OBF，設點尸(0,⑼，根據反比例函數的幾何意義解答即可；

(3)先求出直線的函數關系式為y="x,設再分為當點M在線段。8延長線上時及當點M

在線段上時，兩種情況進行分類討論求解即可；

(4)分為當點打在直線N3的上方時及當點8在直線的下方時，兩種情況分類討論求解即可.

【解析】(1)解：.??點4%2),僅4,6)在一次函數歹=-3》+3的圖象上，

—a+3=2,b=—x4+3,

22

..〃=2,Z?—1,

???點A的坐標為(2,2),點§的坐標為(4,1),

又?.?點/(2,2)在反比例函數y=±的圖象上，

X

「"=2x2=4,

4

???反比例函數的表達式為>=-(x>0)；

x

(2)解：延長。1交V軸于點延長。5交x軸于點廠，

???4C〃x軸軸,

則有軸，(/，工軸，點。的坐標為(4,2)

二?四邊形OECF為矩形，且C￡=4,C尸=2,

一S四邊形0/C3=S矩形0反尸—S^OAE-S^OBF

=2x4——x2x2——x4xl

22

=4,

設點P的坐標為(0,m),

則S0p=gx2?|加|=4,

m=±4,

二點尸的坐標為(0,4)或(0,T).

(3)解：設直線。2的函數關系式為〉=。丫,

??,點3的坐標為(4,1),

?.4P=1,

1

???直線的函數關系式為N=Jx，

4

設,

如圖，當點M在線段08延長線上時,

???以M、N、B、C四個點為頂點的四邊形是平行四邊形,

MN〃BC且MN=BC,

4

由可得

???點。的坐標為(4,2),點8的坐標為(4,1),

：.MN=BC=\,

141

-t—=I,

4t

解得：/=26+2或/=-26+2（舍去）,

當點M在線段05上時，

4I,

------1=I,

t4

解得：”2百-2或/=-2百-2(舍去),

(4)解：存在，

如圖，當點H在直線的上方時,

過點〃作交的延長線于點凡

???點A的坐標為(2,2),點3的坐標為(4,1),

AB=V22+l2=V5，

?.?矩形45"。面積為15,

=15,即退3"=15,

:.BH=3指,

?.?四邊形是矩形，

:"ABH=NACB=ZBRH=90°,

ZCAB+ZABC=90°,AABC+ZRBH=90°,

NCAB=2RBH,

:ACABS^RBH,

*-A-C--_B__C_---A-B-

-BR-RH-BH，

,2_1V5

一BQRH_36

:.BR=6,RH=3,

.??”（7,7）；

當點、H在直線AB的下方時，

則點H與點（7,7）關于點3對稱，

設加,〃），

m+7,〃+7y

/._=4,一=1,

:.m=\,n--5,

綜上所述，〃（7,7）或（1,-5）.

【點睛】此題考查了反比例函數與一次函數的交點問題及與幾何結合問題，涉及的知識有：直線與坐標軸

的交點，待定系數法求函數解析式，平行四邊形的性質，矩形的性質與判定及相似三角形的判定與性質，

作出恰當的輔助線是解本題的關鍵.

3.如圖，一條直線與反比例函數〉=:的圖象交于4（1,4）、*4,〃）兩點，與x軸交于。點，軸，

（2）如圖乙，若點E在線段4。上運動，連接CE,作/CE尸=45。，EF交4c于F點.

①試說明ZXCDES^EAF；

②當△ECF為等腰三角形時，直接寫出尸點坐標.

【答案】⑴①了二：，②〃=1,。（5,0）

⑵①見解析；②。,2）或（1,4）或（1,8-4夜）

【分析】（1）①把/的坐標代入反比例函數的解析式，即可求得函數的解析式，②根據反比例函數的解析

式，求得8的坐標，即可得到〃的值，然后利用待定系數法即可求得直線的解析式，進而求得與x軸的

交點。的坐標；

（2）①根據題意易證A/CD是等腰直角三角形，利用兩角對應相等的兩個三角形相似即可證得；②分

。/=位,即=/。,即=以三種情況，利用等腰三角形的性質，即可求得CF的長，則尸的坐標可以求得.

【解析】（1）解：①把/（1,4）代入y得：4=1,

解得：k=4,

4

則反比例函數解析式是：＞=—；

44

②把％=4代入歹=一得：〃=：=1,

x4

.*.5(4,1),

設直線48的解析式為v=,

把4(1,4)、2(4,1)代入-凡+%得：I=4《+6'

[k'=—\

解得：入＜，

[b=5

則直線N3的解析式是：y=-x+5,

令V=0,解得：x=5,

則。的坐標是：0(5,0)；

(2)解:①???/(l,4),D(5,0),/C，x軸，

CD=AC=4,

9：ACLCD,

工NCAD=NCDA=45。,

又?；/FEC=45。,

：.ZAFE=ZACE+ZFEC=ZACE+45°,/DEC=/ACE+ACAD=ZACE+45°,

???ZAFE=/DEC,

：./\CDEs△區4尸，

②???△EC廠為等腰三角形分三種情況.如圖乙：

圖乙

當CF=CE時，ZCEF=ZCFE=45°,

又,:ZCAB=45°,

???4,尸重合，則尸的坐標是(1,4)；

當￡尸=FC時，NFCE=ZCEF=45°,

???CE是等腰直角^ACD的角平分線，

是3的中點，ZFEC=ZECD=45°,

：.EF//CD,

二尸是NC的中點,

CF=1,

尸的坐標是：（1,2）；

③當￡F=C￡?時，

/\CDES&EAF,

ACDE=^EAF,

：.CD=EA=4,

■：AD=y/CD2+AC2=472

DE=AF=AD-EA=442-4

；.CF=^C-T1F=4-（4V2-4）=8-4V2,

的坐標是：（1,8-4收）.

綜上，點尸的坐標為：（1,2）或（1,4）或0,8-4后）.

【點睛】本題主要考查了待定系數法求反比例函數與一次函數的解析式，三角形相似的判定條件坐標與圖

形，等腰三角形的存在問題，綜合性性強.

424

4.如圖1,在平面直角坐標系中，直線＞=彳、+12與雙曲線歹=-一交于45兩點（點A在點5左邊），

3x

過4。兩點作直線，與雙曲線的另一交點為。，過5作直線49的平行線交雙曲線于點C.

（1）則點A坐標為點3坐標為并求直線8C的解析式；

Q

（2）如圖2,點P在V軸負半軸上，連接P8,交直線49于點E,連接CE、PA,且=77s弱虛，將線段

R9在〉軸上移動，得到線段尸‘。'（如圖3）,請求出|尸'8-。'0的最大值;

⑶如圖4,點/在x軸上，在平面內是否存在一點N,使以點C、D、M、N為頂點的四邊形是菱形？若存在,

請直接寫出符合條件的N點坐標；若不存在，請說明理由.

【答案】（1）（-6,4）,（-3,8）,y=-jx+6

⑵

（3）點N的坐標為（10,-6）或（12-2跖2）或（12+2跖2）或（0,-2）

4-

y=—x+12

3

【分析】（1）聯立方程組24即可得出點45的坐標，利用待定系數法先求出直線的解析式,

V=-----

Ix

再求出的解析式即可；

（2）設尸（0,。），先表示出，再求出％CE=45,結合S.BU^SABCE，求出。=-4,從而得

出尸（0,-4）,將點5向上平移4個單位長度，得到點與（-3,12）,設點用、巴關于了軸對稱，則鳥（3,12）,

連接。當并延長交y軸于點。，即可得解；

（3）設M（見0）,N（s,t）,分三種情況：當CD為對角線時，當CO為邊時，菱形為CZ）MN時，當CD為邊

時，菱形為CD7W時；分別利用菱形的性質結合勾股定理求解即可.

4

y=—x+12

3

【解析】（1）解：聯立方程組24,

y=—

IX

:點A在點8左邊，

.?.4(-6,4),5(-3,8),

設直線AO的解析式為y=kx(k豐0),

將”(-6,4)代入解析式得：-6左=4,

解得：k=j

2

...直線ZO的解析式為y=

BC〃OA,

2

設直線2C的解析式為：y=--x+b,

將2(-3,8)代入解析式得：一：義(-3)+6=8,

解得：6=6,

2

直線3C的解析式為：v=-jx+6；

(2)解：?.?點A、。關于原點對稱，A(-6,4),

D(6,—4),

:點P在V軸負半軸上，

設尸(0,。)，

令直線A5交了軸于尸，

4

在y=§x+12中，當x=0時，y=i2,即廠(0,12),

PF=12—a,

1x13

SA*BP=S.APF—S.BPF=~(12-a)x6--x(12-a)x3=18--a,

2,

y=——x+6

-3

聯立

24

y=—

X

解得:

：.C(12,-2),

：?BC=^[12-(-3)]2+(-2-8)2=5岳，

作。G_L8C于G,連接CD、BD,則BD=J(-3-+[8-(-4)了=15,C￡>=^(12-6

由勾股定理得：BG7BD?-DG?=」225-/，CG=y/CD2-DG2=740-A2>

■:CG+BG=BC=5岳,

J225-為2+,40-/=5713，

解得：h獸叵（負值舍去）,

13

.八廠_18后

13

BC〃CU,

.c1D廠八廠1</7718V13

??S=—BC,DG=—x57、Jx--------=45,

△BCE2213

?S^PAB=百^/\BCE，

38

A18——Q=—x45,

215

解得：a=-4,

???P(0,—4),則OP=4,

如圖，將點3向上平移4個單位長度，得到點耳（-3,12）,則8用=P。=4=戶。，則34。下為平行四邊形,

P'B=O'Bl,

設點與、鳥關于y軸對稱，則與（3,12）,連接。坊并延長交y軸于點O,

/.\P'B-O'D\=\O'B}-O'D\=\0'B2-。到的最大值為DB2=J(6-3『+(-4-12『=屈；

(3)解:由(2)可得：C(12,-2),D(6,-4),

設M(加,0),Ng),

?.?以點GD、M、N為頂點的四邊形是菱形，

12+6=加+s

.?.當CD為對角線時，-2+(-4)=0+/,

-12)2+[?-(-2)]2=^(5-6)2+\t-(-4)]2

加=8

解得：＜s=10,即N(10,-6),

t=-6

12+機=6+5

當CQ為邊時，菱形為時，1-2+0=-4+，

J(s-12)2+[,一(一2)]=J(S—加)2+?_0)2

加=6+2y/6m=6—2^6

解得：卜=12+26或卜=12—2而，即N02+2后,2）或N02—2指,2）；

t=2t=2

12+5=6+m

當CQ為邊時，菱形為CDW時，《-2+￡=-4+0

m=6Im=18

解得：＜s=o或r=6（不符合題意，舍去），即N（0,-2）；

n=—2[〃=-2

綜上所述，點N的坐標為（10,-6）或卜2-2跖2）或（12+2跖2）或（0,-2）.

【點睛】本題考查了反比例函數與一次函數的交點問題、求一次函數解析式、三角形面積公式、勾股定理、

菱形的性質等知識點，熟練掌握以上知識點并靈活運用，采用數形結合與分類討論的思想是解此題的關鍵.

題型2：動點問題

12

5.已知反比例函數了=一,直線4：y=h+加化70）,直線人與反比例函數交于點/（a,4）,8（-21），與苫

X

（1）求直線4的解析式；

⑵過點C作無軸的垂線4，4上有一動點過點M作y軸的垂線段與夕軸交于點N,連接8V,求

AM+MN+NB的最小值和此時M點的坐標；

（3）在（2）問的前提下，當/〃+九W+N5取得最小值時，作點〃關于x軸的對稱點。在坐標軸上有一

動點P,^ZPAC=ZQCA,求點尸的坐標，并寫出其中一種情況的過程.

【答案】（l）y=2x-2

（2）/M+ACV+8N的最小值為2回+1；

⑶（3,0）或\g，o］或卜j

【分析】（1）利用反比例函數解析式求出/、2坐標，再利用待定系數法求出直線人的解析式即可；

（2）先求出點C的坐標，進而求出點M的橫坐標，則MN=1；如圖所示，過點3作

BH//MN,BH=MN,連接AH,則證明四邊形是平行四邊形，得至1］氏￥=〃腹，

則當/、m、X三點共線時，+有最小值，即此時++有最小值，最小值為/〃+1,利

57

用勾股定理得到4f7=2a,則/M+兒W+3N的最小值為2亞'+1；求出直線解析式為》=5才-5,

進而可得M0T）；

（3）根據關于x軸對稱的點橫坐標相同，縱坐標互為相反數得到0（1,1）,如圖3-1所示，當點P在x軸上

時，則C0〃2P,可得4P〃了軸，則點P的坐標為（3,0）；

如圖3-2所示，在直線C0上且在點0上方找一點K,連接/K使得/K=CK,設K（1J）,由勾股定理得到

（l-3）2+（Z-4）2=Z2,解方程得到小島，同理可得直線/K解析式為y=：x+：,則直線廣。與x軸,

y軸分別交于卜：,0；/,￡（，由等邊對等角得到NHC=/0C4,則當點尸在射線/K（不包括/）上

時都滿足題意，再由尸在坐標軸上，可得點尸的坐標為或卜彳）.

121212

【解析】（1）解：在歹=一中，當y=—=4時，x=3；當x=-2時，y=—=-6,

XXX

；./(3,4),5(-2,-6),

3左+加=4

把4（3,4）,8（-2,-6）代入了=丘+加優片0）中得:

-2k+加=-6

k=2

解得

m=-2,

???直線4的解析式為片27；

(2)解：在y=2x-2中，當y=2x-2=0時，x=l,

,直線4軸，

點M的橫坐標為1,

：Wy軸，

：.MN=l；

如圖所示，過點、B作BH〃MN,BH=MN,連接MHAH,則H（-l,-6）,

四邊形是平行四邊形，

BN=HM,

,AM+MN+BN=AM+HM+\,

.?.當/、M、〃三點共線時，+有最小值，即此時4W+MN+8N有最小值，最小值為/〃+1,

?.?/(3,4),7/(-1,-6),

；?AH=J(-l-3『+(-6-4)2=2回,

：./M+MV+3N的最小值為2回+1；

設直線AH解析式為y=kxx+bx,

3kl+4=4

把/(3,4),“(-1,-6)代入y=《x+4中得:

-左+4=-6

解得，

4=—

[2

57

...直線/"解析式為y=,

57

在〉=—x-不中，當x=l時，、=-1,

-22

(3)解；由(2)知

?.?點〃■與點0關于原點對稱，

.1.2(1,1),

VC(1,O),

.?.CQ〃y軸，

如圖3-1所示，當點尸在X軸上時,

NPAC=ZQCA,

/.CQ//AP,

，AP//y^,

：/（3,4）,

點尸的坐標為（3,0）；

如圖3-2所示，在直線C。上且在點。上方找一點K,連接/K使得NK=CK,

設K（l,/）,

（1-3）2+（1-4）2=/,

解得/=:，

同理可得直線4K解析式為y=3+7—,

44

373777

在歹:中，當歹=:1+:=0時，x=—；；當x=0時，y=-,

444434

二直線y=3+：與X軸，了軸分別交于1o,j,

AK=CK,

:.NKAC=NKCA,即/gC=/QC4,

當點P在射線NK（不包括N）上時都滿足題意，

又：尸在坐標軸上，

二點p的坐標為或

綜上所述，點尸的坐標為(3,0)或卜：,0)或(0,：).

【點睛】本題主要考查了反比例函數與一次函數綜合，勾股定理，平行四邊形的性質與判定，等邊對等角,

一次函數與幾何綜合，坐標與圖形變化一軸對稱等等，利用分類討論的思想求解是解題的關鍵.

6.如圖1,已知雙曲線了=&經過口/BCD的C、。兩點，且點4-1,0),3(0,-2),C(2,2).

(1)求雙曲線和直線DC對應的函數關系式；

(2)如圖2,點尸在雙曲線了=勺上，點0在y軸上，若以點A、B、P、。為頂點的四邊是平行四邊形，請

直接寫出滿足要求的所有點。的坐標；

⑶如圖3,以線段為對角線作正方形點T是邊相(不含點A、尸)上一個動點，點/是5

的中點，MNLHT,交AB于點、N.當T在加上運動時，/7W的度數是否會變化？若會的話，請給出你

的證明過程.若不是的話，只要給出結論.

4

【答案】(1)反比例函數的解析式為^=一；直線。。的函數關系式為丁=-2X+6

⑵滿足要求的所有點。的坐標為：0(0,6)、。(0,-6)、2(0,2)

(3)/7W的度數不會變化，等于45。

【分析】(1)