第13講二次函數(shù)［2大考點12大題型】

知識網(wǎng)絡(luò)

題型1由二次函數(shù)解析式及圖象判斷頂點坐標(biāo)、對稱軸及增減性

題型2二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系

題型3拋物線的平移、旋轉(zhuǎn)、軸對稱

題型4拋物線對稱性的應(yīng)用

題型5二次函數(shù)與方程、不等式的關(guān)系

題型6二次函數(shù)的解析式的確定

題型7二次函數(shù)中與面積有關(guān)的實際應(yīng)用）

題型8以真實問題情境為背景考查二次函數(shù)的實際應(yīng)用

卜（題型9二次函數(shù)的綜合應(yīng)用之角度問題

『｛題型10二次函數(shù)的綜合應(yīng)用之線段問題

題型11二次函數(shù)的綜合應(yīng)用之面積問題

題型12二次函數(shù)與一次函數(shù)的實際應(yīng)用

新考向：新考法）

新考向：新趨勢）

特色專項練新考向：新情境）

新考向：跨學(xué)科）

1、二次函數(shù)的概念

一般的，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常數(shù)，a#0）的函數(shù)叫做二次函數(shù)。其中x是自變量，a、b、c分別是函

數(shù)解析式的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)、常數(shù)項。

二次函數(shù)解析式的表示方法：

（1）一般式：>=加+/?%+。（其中b,。是常數(shù)，。9）；

（2）頂點式：y=a（x—h）2+k（a^O'）,

它直接顯示二次函數(shù)的頂點坐標(biāo)是（加Q；

（3）交點式：y=〃（x—xi）（x一12）（。？0），

其中修，%2是圖象與冗軸交點的橫坐標(biāo).

注意：任何二次函數(shù)的解析式都可以化成一般式或頂點式，但并非所有的二次函數(shù)都可以寫成交點式，只

有拋物線與x軸有交點，即62一4m20時，拋物線的解析式才可以用交點式表示.二次函數(shù)解析式的

這三種形式可以互化.

2、二次函數(shù)的圖象是一條拋物線。當(dāng)a>0時，拋物線開口向上；當(dāng)。<0時，拋物線開口向下。間越大，

拋物線的開口越??；⑷越小，拋物線的開口越大。

y=ax2y=ax2+ky=a(x-h)2y=a(x-h)2+ky=ax2+bx+c

b

對稱軸y軸y軸x=hx=hx=------

2a

(b4ac—Z?2'

(0)0)(0,k)(h,0)(h,k)

Ila'4a,

頂點。>0時，頂點是最低點，此時y有最小值；。<0時，頂點是最高點，此時y有最大

4/7C—/

值，最小值（或最大值）為0（左或--------）o

4a

bb

%vO（/z或----）時，y隨x的增大而減小；x>0（力或-----）時，y隨x的增大而增大。

2a2a

增a>0

即在對稱軸的左邊，y隨x的增大而減??；在對稱軸的右邊，y隨％的增大而增大。

減

bb

x<O（/z或----）時，y隨x的增大而增大；x>0（%或-----）時，y隨x的增大而減小。

性a<02a2a

即在對稱軸的左邊，y隨x的增大而增大；在對稱軸的右邊，y隨1的增大而減小。

3、二次函數(shù)的平移：

方法一：在原有函數(shù)的基礎(chǔ)上“〃值正右移，負左移；左值正上移，負下移”.

概括成八個字“左加右減，上加下減”.

任意拋物線y=a（x-h）2+k可以由拋物線y=ax2經(jīng)過平移得到，具體平移方法如下:

上加下減

y=ax2y=ax^+k

可

回

比

小M

(v

s-o

ov)

)，

吊

，ftst(

tAtHAA

OAM)o

5)卡

p盛

㈱

-H-

hu

s

y=a(x-h^y=a{)c-h^+k

向上伏>0）、下伏V0）平移出個單位

方法二：

⑴y=ax?+bx+c沿y軸平移:向上（下）平移加個單位，y=ax?+/?%+c變成

y=ax1+bx+c+m（或y=ax2+bx+c-m}

⑵y=ax?+加；+。沿x軸平移：向左(右)平移加個單位，y=ax2+bx+c

y=tz(x+m)2+b(x+m)+c(或y=a(x-m)2+b(x-m)+c)

4、二次函數(shù)的圖象與各項系數(shù)之間的關(guān)系

4決定了拋物線開口的大小和方向，〃的正負決定開口方向，同的大小決定開口的大小.

b的符號的判定：對稱軸％=-2b在y軸左邊則〃匕>0,在y軸的右側(cè)則〃b<。，概括的說就是“左同右

2a

日,,

開

C決定了拋物線與y軸交點的位置

字母的符號圖象的特征

a>0開口向上

a

QVO開口向下

b=0對稱軸為y軸

bab>Q(a與b同號)對稱軸在y軸左側(cè)

ab<O(a與b異號)對稱軸在y軸右側(cè)

c=0經(jīng)過原點

cc>0與y軸正半軸相交

cVO與y軸負半軸相交

5、二次函數(shù)與一元二次方程之間的關(guān)系

當(dāng)b2—4ac<0時

1,當(dāng)a>0時，圖象落在無軸的上方，無論x為任何實數(shù)，都有y>0；

2,當(dāng)a<0時，圖象落在x軸的下方，無論x為任何實數(shù)，者B有y<0.

典例分析

【題型1由二次函數(shù)解析式及圖象判斷頂點坐標(biāo)、對稱軸及增減性】

【例1】（2024?吉林長春?中考真題）已知二次函數(shù)y=-/一2x+3,當(dāng)a4x<|時，函數(shù)值y的最小值為

1-則。的值為.

【答案】-1-V3/-V3-1

【分析】先把函數(shù)解析式化為頂點式可得當(dāng)時，y隨x的增大而增大，當(dāng)x>-l時，y隨x的增大而減

小，然后分兩種情況討論：若a2-1；若a<-1,即可求解.

【詳解】解：y=—/一2%+3=—（％+I）2+4,

.,.當(dāng)x<—l時，y隨x的增大而增大，當(dāng)%>-1時，y隨尤的增大而減小，

若a2—1,當(dāng)a《無。時，y隨x的增大而減小，

此時當(dāng)x=［時，函數(shù)值y最小，最小值為%不合題意，

若a<-1,當(dāng)X=G［時，函數(shù)值y最小，最小值為1,

**?—a?-2a+3=1,

解得：a=-1—或—1+百（舍去）；

綜上所述，。的值為一1-遮.

故答案為：-1-W

【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【變式1-1］（2024.廣西來賓?中考真題）已知函數(shù)y=—/—2x,當(dāng)_________時，函數(shù)值y隨x的增大而

增大.

【答案】x<-1.

【詳解】試題分析：,.?？=一一―2x=—（x+1）2+1,a=-1<0,拋物線開口向下，對稱軸為直線x=-l,

...當(dāng)爛-1時，y隨x的增大而增大，故答案為x<-1.

考點：二次函數(shù)的性質(zhì).

【變式1-2］（2024.湖北荊門?中考真題）拋物線y=/+3上有兩點A（如”），B（尤2,?），若”C/，則

下列結(jié)論正確的是（）

A.0<%/<%2B.X2<xi<0

C.X2<Xl<0或0<Xl<X2D.以上都不對

【答案】D

【分析】根據(jù)二次函數(shù)圖象及性質(zhì)，即可判定.

【詳解】??,拋物線y=/+3開口向上，在其圖象上有兩點A（尤/,山），B（尤2,?），且〃<?，

0<X7<X2，或X2<Xl<0,或x2<xl<0或0<-X1<X2或0<JC]<-X2,

故選：D.

【點睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握和運用二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵.

【變式1-3]（2024?四川成都?中考真題）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，B（x2,y2）>。（盯，內(nèi)）是二次函

數(shù)y=-x2+4%-1圖象上三點.若0</<1,久2>4,則％____y2（填“〉"或"<"）；若對于g</<m+1,

m+l<x2<m+2,m+2<x3<m+3,存在％<為<曠2，則瓶的取值范圍是.

【答案】>一]<爪<1

【分析】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)、不等式的性質(zhì)以及解不等式組，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解答的關(guān)

鍵.先求得二次函數(shù)的對稱軸，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可.

【詳解】解：由y=-/+4x-1=-（％—2尸+3得拋物線的對稱軸為直線x=2,開口向下，

*.*0<<1,x2>4,

\xr—2\<\x2—2\,

"1>y2；

<m

m<m+1<m+2,m<<m+1,m+l<x2+2,m+2<x3<m+3,

??X]<%2V%3，

:存在yi<y3<y2,

**.xi<2,x3>2,且4（x>yi）離對稱軸最遠,8（%2，丫2）離對稱軸最近，

-

2—%1>%3—2>|%22|,即刀1+%3<4,且亞+尤3>4,

V2m+2<%1+與<2m+4,2m+3<冷+%3<27n+5,

2m+2<4且27n+5>4,

解得-（<m<1,

故答案為：>；-[<m<1.

【題型2二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系】

[例2]（2024.新疆烏魯木齊?中考真題）如圖，拋物線y=ax2+bx+c過點（—1,0）,且對稱軸為直線x=1,

有下列結(jié)論：

①abc<0；②10a+3b+c>0；③拋物線經(jīng)過點（4,月）與點（一3,丫2），則、1>丫2；④無論。,仇。取何值，拋

物線都經(jīng)過同一個點0）;⑤am?+67Tl+。20,其中所有正確的結(jié)論是.

【答案】②④⑤

【詳解】解：由圖象可知，拋物線開口向上，則〃>0,

頂點在y軸右側(cè)，則。V0,

拋物線與y軸交于負半軸，則cVO,

/.abc>0,故①錯誤；

?拋物線廣加+bx+c過點（-1,0）,且對稱軸為直線x=l,

?,?拋物線產(chǎn)加+笈+。過點（3,0）,

當(dāng)x=3時，y=9a+3b+c=Of

Vtz>0,

J10〃+3。+。>0,故②正確；

???對稱軸為A1,且開口向上，

???離對稱軸水平距離越大，函數(shù)值越大，

：.yi<y2,故③錯誤；

當(dāng)廣―工時，y”（-￡）2+".（_￡）+彳￡!士竺

aaaaa

?.?當(dāng)-1時，y=a-b+c=O,

???當(dāng)x=—￡時，y=a*（--）2+Z7*（—-）+c=0,

ClClCL

即無論e'c取何值，拋物線都經(jīng)過同一個點（一，°），故④正確;

x=m對應(yīng)的函數(shù)值為y=am2+bm+c,

x=l對應(yīng)的函數(shù)值為廣。+A+C,

又???x=l時函數(shù)取得最小值，

ar^+bm+c^a+b+c,BParr^+bm^a+b,

Vb=-2a,

/.ar^+bm+d^O,故⑤正確；

故答案為②④⑤.

【變式2-1](2024?湖北鄂州?中考真題)如圖，二次函數(shù)y=ax?+bx+c(a#))的圖象與x軸正半軸相交于A、

B兩點，與y軸相交于點C,對稱軸為直線x=2,且OA=OC,則下列結(jié)論：@abc>0；②9a+3b+c<0；③c

>-1；④關(guān)于X的方程ax2+bx+c=0(a#0)有一個根為上，其中正確的結(jié)論個數(shù)有(填

a

【分析】根據(jù)拋物線開口方向、對稱軸位置以及與y軸交點位置判定①，由圖象上橫坐標(biāo)為3的點在x軸上

方判定②，根據(jù)點A的位置判定③，把一(代入方程加+6x+c=0(存0)判定④.

【詳解】由圖象可知拋物線開口向下，可得。<0,

由拋物線的對稱軸在y軸的右側(cè)，說明a、b異號,可得6>0,

拋物線與y軸的交點在x軸下方，可得c<0,所以。兒>0,

即①正確；

當(dāng)x=3時，y=ax2+bx+c=9a+3b+c>0,所以②錯誤；

已知C(0,c),OA=OC,可得A(-c,0),

由圖知，A在1的左邊

/.-C<1,即C>一1,

即③正確；

把一（代入方程“f+Zzx+c="0"（[#））,得ac-。+1=0,

把A（-c,0）代入產(chǎn)加+。%+。得-》c+c=。，

即ac-4+1=0,

所以關(guān)于x的方程加+云+。=0（存0）有一個根為一3

即④正確；

故答案選C.

【點睛】本題考查利用函數(shù)圖象解決問題，數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用是解決問題的關(guān)鍵.

【變式2-2］（2024?江蘇連云港?中考真題）已知拋物線y=a%2+b%+c（〃、8、。是常數(shù)，a<0）的頂點

為（1,2）.小烽同學(xué)得出以下結(jié)論：①abc<0；②當(dāng)'>1時，y隨汽的增大而減??；③若a/+必+c=0的

一個根為3,則a=④拋物線y=ax2+2是由拋物線y=ax2+b%+c向左平移1個單位，再向下平移

2個單位得到的.其中一定正確的是（）

A.①②B.②③C.③④D.②④

【答案】B

【分析】根據(jù)拋物線的頂點公式可得一白=1,結(jié)合a<0,a+b+c=2,由此可判斷①；由二次函數(shù)的增

2a

減性可判斷②；用。表示b、C的值，再解方程即可判斷③，由平移法則即可判斷④.

【詳解】解：根據(jù)題意可得：一?=1,

2a

—b=a,

2

a<0,

*,*——<0即b>0,

???a+b+c=2,b——2a

*'?c=2—d—b=2+a,

。的值可正也可負，

???不能確定Me的正負；故①錯誤；

,:a<0,

???拋物線開口向下，且關(guān)于直線久=1對稱，

當(dāng)%>1時，y隨x的增大而減??；故②正確；

b=-2a,c=2+a,

二拋物線為y=ax2—2ax+2+a,

0=9a-6a+2+a,

a=-I，故③正確；

r拋物線y=ax2+bx+c=a(%—l)2+2,

將y=a(x—l)2+2向左平移1個單位得：y=a(%—1+l)2+2=ax2+2,

???拋物線y=ax2+2是由拋物線y=ax2+bx+c向左平移1個單位得到的，故④錯誤;

???正確的有②③，

故選：B.

【點睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)的平移，二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，二次函數(shù)與一元二

次方程，一元二次方程的解的定義，用。表示從c的值是本題的關(guān)鍵.

【變式2-3］（2024?山東棗莊?中考真題）小明在學(xué)習(xí)“二次函數(shù)”內(nèi)容后，進行了反思總結(jié).如圖，二次函數(shù)

y=ax2+bx+c（存0）圖像的一部分與x軸的一個交點坐標(biāo)為（1,0）,對稱軸為直線x=-1,結(jié)合圖像他得

出下列結(jié)論：①且c>0；②a+b+c=0；③關(guān)于尤的一元二次方程加+6尤+c=。（a/））的兩根分別為

-3和1；④若點（-4,"），（-2,>2）,（3,券）均在二次函數(shù)圖像上，則⑤3a+c<0,

其中正確的結(jié)論有—.（填序號，多選、少選、錯選都不得分）

【答案】①②③

【分析】由拋物線的對稱軸的位置以及與y軸的交點可判斷①；由拋物線過點（1,0）,即可判斷②；由拋

物線的對稱性可以判斷③；根據(jù)各點與拋物線對稱軸的距離大小可以判斷④；對稱軸可得6=2a,由拋物線

過點（1,0）,可判斷⑤.

【詳解】???拋物線對稱軸在y軸的左側(cè),

ab>Q,

?..拋物線與y軸交點在x軸上方,

.,.c>0>①正確；

?.?拋物線經(jīng)過（1,0）,

a+b+c=Q,②正確.

?.?拋物線與無軸的一個交點坐標(biāo)為（1,0）,對稱軸為直線x=-l,

另一個交點為（-3,0）,

二關(guān)于x的一元二次方程./+版+o=0（存0）的兩根分別為-3和1,③正確；

?；-1-（-2）<-1-（-4）<3-（-1）,拋物線開口向下，

：.y2>yi>y3,④錯誤.

:拋物線與尤軸的一個交點坐標(biāo)為（1,0）,

a+Z?+c=0,

?：--=-1,

2a

??。=2〃,

3a+c—0,⑤錯誤.

故答案為：①②③.

【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖像與系數(shù)的關(guān)系，解題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握二次函數(shù)與方程及

不等式的關(guān)系.

【題型3拋物線的平移、旋轉(zhuǎn)、軸對稱】

【例3】（2024?四川巴中?中考真題）函數(shù)y=\ax2+bx+c|（a>0,fo2-4ac>0）的圖象是由函數(shù)y=ax2+

bx+c（a>0,。2-4ac>0）的圖象光軸上方部分不變，下方部分沿久軸向上翻折而成，如圖所示，則下列結(jié)

論正確的是（）

①2a+b=0；②c=3；③abc>0；④將圖象向上平移1個單位后與直線y=5有3個交點.

A.①②B.①③C.②③④D.①③④

【答案】D

【分析】根據(jù)函數(shù)圖象與x軸交點的橫坐標(biāo)求出對稱軸為-3=1,進而可得2a+b=0,故①正確；由函數(shù)

圖象與y軸的交點坐標(biāo)為（0,3）,y=a/+日+c（a>0,/-4ac>0）的圖象X軸上方部分不變，下方

部分沿X軸向上翻折而成可知c=-3,故②錯誤；根據(jù)對稱軸求出b<0,進而可得abc>0,故③正確；求出

翻折前的二次函數(shù)的頂點坐標(biāo)，然后根據(jù)平移的性質(zhì)可得④正確.

【詳解】解：由函數(shù)圖象可得：3/=。/+6%+(;與天軸交點的橫坐標(biāo)為一1和3,

.,.對稱軸為久=上吧=1,即—2=1,

22a

...整理得：2a+6=0,故①正確；

=|a久2++c|(a>0,爐—4ac>0)與y軸的交點坐標(biāo)為(0,3),

37=。/+6久+。(a>0)可知，開口向上，圖中函數(shù)圖象是由原函數(shù)下方部分沿刀軸向上翻折而成，

?,-c=-3,故②錯誤；

"."y=ax2+bx+c(a>0,b2—4ac>0)中a>0,—^=1,

：.b<0,

又?.,c=-3<0,

.".abc>0,故③正確；

設(shè)拋物線y=ax2+bx+c的解析式為y=a(x+1)(%-3),

代入(0,3)得：3=-3a,

解得：a——I,

y=—(x+l)(x-3)=一久之+2x+3=—(x—1)^+4,

頂點坐標(biāo)為(1,4),

?.?點(1,4)向上平移1個單位后的坐標(biāo)為(1,5),

,將圖象向上平移1個單位后與直線y=5有3個交點，故④正確；

故選：D.

【點睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，掌握二次函數(shù)的對稱軸公式，頂點坐標(biāo)的求法是解題的關(guān)鍵.

【變式3-1](2024?湖北孝感?中考真題)將拋物線G：y=/—2久+3向左平移1個單位長度，得到拋物線。2,

拋物線與拋物線C3關(guān)于x軸對稱，則拋物線C3的解析式為()

A.y=—x2—2B.y=-x2+2C.y=x2—2D.y=x2+2

【答案】A

【分析】利用平移的規(guī)律:左加右減，上加下減.并用規(guī)律求函數(shù)解析式C2,再因為關(guān)于x軸對稱的兩個拋物

線，自變量x的取值相同，函數(shù)值y互為相反數(shù)，由此可直接得出拋物線C3的解析式.

【詳解】解：拋物線G：y=x2-2x+3向左平移1個單位長度，得到拋物線C2：y=(x+1)2-2(x+l)+3,

即拋物線C2：y=x2+2；

由于拋物線。2與拋物線C3關(guān)于％軸對稱，則拋物線C3的解析式為：y=-X2-2.

故選：A.

【點睛】主要考查了函數(shù)圖象的平移、對稱，要求熟練掌握平移的規(guī)律:左加右減，上加下減.并用規(guī)律求函

數(shù)解析式以及關(guān)于X軸對稱的兩個拋物線，自變量X的取值相同，函數(shù)值y互為相反數(shù).

【變式3-2］（2024?廣西玉林?中考真題）如圖，一段拋物線y=-x?+4（-2<x<2）為Ci，與x軸交于Ao，

Ai兩點，頂點為Di；將Ci繞點Ai旋轉(zhuǎn)180。得到C2,頂點為D?；G與C2組成一個新的圖象，垂直于y軸

的直線1與新圖象交于點Pi（xi,yi）,P2（X2,y2）,與線段D1D2交于點P3（X3,y3），設(shè)xi,X2,X3均

為正數(shù)，t=Xl+X2+X3，則t的取值范圍是（）

A.6<t<8B.6<t<8C.10<t<12D.10<t<12

【答案】D

【詳解】【分析】首先證明XI+X2=8,由2<X3<4,推出10<XI+X2+X3<12即可解決問題.

【詳解】翻折后的拋物線的解析式為y=（x-4）2-4=x2-8x+12,

,設(shè)Xl,X2,X3均為正數(shù),

二點Pi（X1，yi）,P2（X2，y?）在第四象限，

根據(jù)對稱性可知：Xl+X2=8,

V2<X3<4,

10<Xl+X2+X3<12,

即10莊12,

故選D.

【點睛】本題考查二次函數(shù)與x軸的交點，二次函數(shù)的性質(zhì)，拋物線的旋轉(zhuǎn)等知識，熟練掌握和靈活應(yīng)用二

次函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【變式3-3］（2024.山東淄博.中考真題）已知拋物線產(chǎn)d+2>3與x軸交于A,8兩點（點A在點8的左側(cè)），

將這條拋物線向右平移機（相>0）個單位長度，平移后的拋物線與x軸交于C,。兩點（點C在點D的左

側(cè))，若B,C是線段A。的三等分點，則機的值為.

【答案】2或8

【分析】分兩種情況：當(dāng)點C在點B左側(cè)時，如圖，先根據(jù)三等分點的定義得：AC=BC=BD,由平移m個

單位可知：AC=BD=m,計算點A和B的坐標(biāo)可得AB的長，進一步即可求出m的值；當(dāng)點C在點B右側(cè)

時，根據(jù)m=2AB求解即可.

【詳解】解：①如圖，當(dāng)點C在點B左側(cè)時，

VB,C是線段AD的三等分點，

；.AC=BC=BD,

由題意得：AC=BD=m,

當(dāng)y=0時，X2+2X-3=0,解得：xi=l,X2=-3,

AA(-3,0),B(1,0),

；.AB=3+1=4,

；.AC=BC=2,

/.m=2；

當(dāng)點C在點B右側(cè)時，AB=BC=CD=4,

；.m=AB+BC=4+4=8；

【點睛】本題考查了拋物線與x軸的交點、拋物線的平移及解一元二次方程等知識，屬于?？碱}型，利用數(shù)

形結(jié)合的思想和三等分點的定義解決問題是關(guān)鍵.

【題型4拋物線對稱性的應(yīng)用】

【例4】(2024?四川瀘州?中考真題)已知二次函數(shù)y=/一2bx+2b2-4c(其中x是自變量)的圖象經(jīng)過

不同兩點4(1—b,m),B(2b+c,m),且該二次函數(shù)的圖象與x軸有公共點，貝g+c的值()

A.-1B.2C.3D.4

【答案】c

【分析】根據(jù)二次函數(shù)y=/一2b%+2墳一4c的圖像經(jīng)過/(I一力，m),B(2b+c,m),可得到二次函數(shù)

的對稱軸X=1二2b+c,又根據(jù)對稱軸公式可得x=6,由此可得到6與C的數(shù)量關(guān)系，然后由該二次函數(shù)的圖

象與X軸有公共點列出不等式解答即可

【詳解】解：?.,二次函數(shù)y=/一2b%+2Z?2-4c的圖像經(jīng)過4(1一b,m),B(2b+c,m),

.—tIAI1—匕+2Z)+Cart1+ZJ+C

..對稱軸戶——-——，即x=—^―,

?.?對稱軸x=b,

...1+；+￡=%，化簡得c=h-],

???該二次函數(shù)的圖象與x軸有公共點，

△=(—2b)2-4x(2b2-4c)

=-4b2+16c

=-4b2+16(b—1)

=-4(b-2)2>0

b=2,c=L

/./?+c=3,

故選：C.

【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖像的性質(zhì)，包括圖像上點的坐標(biāo)特征、對稱軸，利用拋物線與X軸交點的情

況列出不等式，求得b,C的值.

【變式4-1](2024?湖南益陽?中考真題)已知y是X的二次函數(shù)，下表給出了y與x的幾對對應(yīng)值：

X-2-i01234

ya323611

由此判斷，表中a=.

【答案】6

【分析】根據(jù)表格得出二次函數(shù)的對稱軸為直線x=1,由此即可得.

【詳解】解：由表格可知，％=0和刀=2時的函數(shù)值相等，

則二次函數(shù)的對稱軸為直線％=等=1，

因此，乂=一1和％=3的函數(shù)值相等，即a=6,

故答案為：6.

【點睛】本題考查了二次函數(shù)的對稱性，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

【變式4-2](2024?湖南婁底?中考真題)如圖，拋物線y=a/+bx+c與x軸相交于點4(1,0)、點B(3,0),

與y軸相交于點C,點。在拋物線上，當(dāng)CD||x軸時，CD=.

【答案】4

【分析】與拋物線y=ax2+bx+c與x軸相交于點4(1,0)、點B(3,0),可得拋物線的對稱軸為直線x=—=2,

由CDII久軸，可得C,。關(guān)于直線x=2對稱，可得D(4,c),從而可得答案.

【詳解】解：：拋物線y=a/+b久+c與左軸相交于點4(1,0)、點8(3,0),

.??拋物線的對稱軸為直線x=等=2,

.當(dāng)x=0時，y=c,即C(0,c),

VCD||x軸,

'.C,。關(guān)于直線％=2對稱，

，O(4,c),

."￡)=4-0=4；

故答案為：4

【點睛】本題考查的是利用拋物線上兩點的坐標(biāo)求解對稱軸方程，熟練的利用拋物線的對稱性解題是關(guān)鍵.

【變式4-3](2024?浙江嘉興?中考真題)在二次函數(shù)y=/一2改+3(匕>0)中，

(1)若它的圖象過點(2,1),貝卜的值為多少？

(2)當(dāng)0Wx<3時，y的最小值為—2,求出f的值：

(3)如果做爪-2,￡1),8(4,6)((犯￡1)都在這個二次函數(shù)的圖象上，且a<b<3,求機的取值范圍.

【答案】(l)t=|

(2)t=V5

(3)3<m<4或m>6

【分析】(1)將坐標(biāo)代入解析式，求解待定參數(shù)值；

(2)確定拋物線的對稱軸，對待定參數(shù)分類討論，分0<tW3,當(dāng)x=t時，函數(shù)值最小，以及t>3,當(dāng)x=3

時，函數(shù)值最小，求得相應(yīng)的“直即可得；

(3)由2,a),C(a,a)關(guān)于對稱軸對稱得機-1=t,且A在對稱軸左側(cè)，C在對稱軸右側(cè)；確定拋物線

與y軸交點(0,3),此交點關(guān)于對稱軸的對稱點為(26-2,3),結(jié)合已知確定出血>3；再分類討論：A,B

都在對稱軸左邊時，A,8分別在對稱軸兩側(cè)時，分別列出不等式進行求解即可.

【詳解】(1)將(2,1)代入y=——2比+3中，

得1=4—41+3,

解得，仁|;

(2)拋物線對稱軸為％=t.

若0Vt<3,當(dāng)久二t時，函數(shù)值最小，

/—2t2+3——29

解得t=±V5.

t>0,

t—V5

若t>3,當(dāng)久=3時，函數(shù)值最小，

*'?-2=9—6t+39

解得t(不合題意，舍去)

綜上所述土=V5.

(3)vA(m—2,a),C(m,a)關(guān)于對稱軸對稱

竺/=t,m-l=t,且A在對稱軸左側(cè)，C在對稱軸右側(cè)

,?,拋物線與y軸交點為(0,3),拋物線對稱軸為直線久=t,

???此交點關(guān)于對稱軸的對稱點為(2爪-2,3)

a<3,b<3且t>0

4<2m—2,解得zn>3.

當(dāng)A,3都在對稱軸左邊時，

a<b

???4<m—2,

解得m>6,

m>6

當(dāng)A,8分別在對稱軸兩側(cè)時

-：a<bB到對稱軸的距離大于A到對稱軸的距離

4—（m—1）>m—1—（m—2）,

解得m<4

3<m<4

綜上所述3<m<4或m>6.

【點睛】本題考查二次函數(shù)圖象的性質(zhì)、極值問題；存在待定參數(shù)的情況下，對可能情況作出分類討論是解

題的關(guān)鍵.

【題型5二次函數(shù)與方程、不等式的關(guān)系】

【例5】（2024?江蘇常州?中考真題）已知二次函數(shù)y=ax2+bx-3自變量x的部分取值和對應(yīng)函數(shù)值y如

下表：則在實數(shù)范圍內(nèi)能使得y-5>0成立的無取值范圍是.

X-2-10123

y50-3-4-30

【答案】x>4或尤<-2

【分析】根據(jù)圖表求出函數(shù)對稱軸，再根據(jù)圖表信息和二次函數(shù)的對稱性得出y=5的自變量x的值即可.

【詳解】解：,??根據(jù)表格可得：A0,x=2的函數(shù)值都是-3,相等，

由二次函數(shù)的對稱性可知：二次函數(shù)的對稱軸為直線x=1,

:當(dāng)x=-2時，y=5,

'.x=4時,y=5,

根據(jù)表格得：自變量x<l時，函數(shù)值逐點減小；；當(dāng)時，函數(shù)值最?。划?dāng)x>l時，函數(shù)值逐點增大；

拋物線的開口向上，

；.y-5>0成立的x取值范圍是x<-2或x>4；

故答案為：x>4或x<-2.

【點睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，主要利用了二次函數(shù)的對稱性，讀懂圖表信息，求出對稱軸解析式是

解題的關(guān)鍵；此題也可以確定出拋物線的解析式，再解不等式或利用函數(shù)圖形來確定.

【變式5-1]（2024?廣東?中考真題）若一元二次方程/+bx+c=O（b,c為常數(shù)）的兩根右,右滿足一3</<

-U<%2<3,則符合條件的一個方程為一.

【答案】%2-4=0(答案不唯一)

【分析】設(shè)y=/+。與y=o交點為久根據(jù)題意一3V/V-1,1V外<3關(guān)于y軸對稱和二次函

數(shù)的對稱性，可找到%、％2的值(%1，％2只需滿足互為相反數(shù)且滿足1V|x|<3即可)即可寫出一個符合條

件的方程

【詳解】設(shè)y=x2+bx+c與y=0交點為久1，久2，

根據(jù)題意一3<xr<-1,1<x2<3

則1<|%|<3

y=x2+bx+c的對稱軸為％=0

故設(shè)%1=-2,X2=2

則方程為：x2—4=0

故答案為：x2—4=0

【點睛】本題考查了二次函數(shù)的對稱性，二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，熟悉二次函數(shù)的性質(zhì)和找到兩根

的對稱性類比二次函數(shù)的對稱性是解題的關(guān)鍵

【變式5-2](2024?山東濟寧?中考真題)如圖，拋物線y=a/+c與直線y=血％+九交于A(-1,P),B(3,q)

兩點，則不等式a/+租％+。>幾的解集是.

【答案】t<-3或無>1.

2

【分析】由a/+mx+c>幾可變形為a/+。〉—mx+n,即比較拋物線y=ax+c與直線y=—mx+九之

間關(guān)系，而直線PQ：y=-mx+九與直線AB：y=mx+九關(guān)于與y軸對稱，由此可知拋物線y=ax2+c與

直線y=-血％+九交于P(1，P)，Q(—3,q)兩點，再觀察兩函數(shù)圖象的上下位置關(guān)系，即可得出結(jié)論.

【詳解】解：:拋物線y=a/+。與直線y=血久+九交于/"Lp),8(3,q)兩點，

—m+ri=p,3m+九=q,

丁?拋物線y=ax2+c與直線y=-mx+九交于P(l,p),Q(-3,q)兩點，

觀察函數(shù)圖象可知：當(dāng)久<一3或久>1時，直線y=-mx+九在拋物線y=ax2+b%+c的下方，

不等式a/+mx+c>n的解集為x<—3或x>1.

故答案為％<-3或x>1.

【點睛】本題考查了二次函數(shù)與不等式，根據(jù)兩函數(shù)圖象的上下位置關(guān)系找出不等式的解集是解題的關(guān)鍵.

【變式5-3](2024?遼寧?中考真題)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=a/+bx+3與x與相交于點2,

B,點B的坐標(biāo)為(3,0),若點C(2,3)在拋物線上，貝m8的長為.

【答案】4

【分析】本題主要考查了待定系數(shù)求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練求解二次函數(shù)的解析式是解

題的關(guān)鍵.先利用待定系數(shù)法求得拋物線y=—/+2%+3,再令y=0,得0=—/+2x+3,解得x=-1

或x=3,從而即可得解.

【詳解】解：把點B(3,0),點C(2,3)代入拋物線丫=(1K2+成+3得，

f0=9a+3b+3

[3=4a+2b+3'

解得仁？，

???拋物線y=—x2+2%+3,

令y=0,得0=—x2+2久+3,

解得％=-1或第=3,

???/(-1,0),

???48=3—(-1)=4；

故答案為：4.

【題型6二次函數(shù)的解析式的確定】

【例6】(2024?浙江杭州?中考真題)在“探索函數(shù)y=a/+b久+。的系數(shù)①b,c與圖象的關(guān)系”活動中，老

師給出了直角坐標(biāo)系中的四個點：4(0,2),C(3,l),0(2,3),同學(xué)們探索了經(jīng)過這四個點中的三個

點的二次函數(shù)的圖象，發(fā)現(xiàn)這些圖象對應(yīng)的函數(shù)表達式各不相同，其中a的值最大為()

1

C.-D.

62

【答案】A

【分析】分四種情況討論，利用待定系數(shù)法，求過4(0,2),B(l,0),C(3,l),。(2,3)中的三個點的二次函數(shù)解

析式，繼而解題.

【詳解】解：設(shè)過三個點4(0,2),5(1,0),C(3,l)的拋物線解析式為：y=ax2+bx+c

分另ij代入4(0,2),F(l,0),C(3,l)得

'c=2

a+b+c=0

9a+36+c=1

a=|

解得

c=2

設(shè)過三個點力(0,2),B(l,0),D(2,3)的拋物線解析式為:y=ax2+bx+c

分另lj代入4(0,2),8(1,0),D(2,3)得

'c=2

a+b+c=0

Aa+2b+c=3

a-

h%.

解得

.c=2

設(shè)過三個點4(0,2),C(3,l),0(2,3)的拋物線解析式為：yax2+bx+c

分另IJ代入Z(0,2),C(3,l),0(2,3)得

c=2

9a+3b+c=1

Aa+2b+c=3

解得］b=—;

L：2

設(shè)過三個點C(3,l),0(2,3)的拋物線解析式為：y=Q/+b%+c

分別代入8(1,0),C(3,l),D(2,3)得

'a+b+c=0

9a+3b+c=1

Aa+2b+c=3

5555

*/->->——>——

2662

a最大為I，

故選:A.

【點睛】本題考查待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，是基礎(chǔ)考點，難度較易，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵.

【變式6-1](2024?江蘇蘇州?中考真題)二次函數(shù)y=a/+6%+武。。0)的圖象過點/(0,血)，B(l,-m),

C(2,n),￡>(3,-m),其中相，”為常數(shù)，則；的值為.

【答案】-|/-0.6

【分析】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，把A、B、。的坐標(biāo)代入y=a/+bx+c(a40),求出

a、b、c,然后把C的坐標(biāo)代入可得出〃2、w的關(guān)系，即可求解.

【詳解】解：把B(l,—m),0(3,—血)代入y=a/+力％+C(Qwo),

c=m

{a+b+c=—TH,

9a+3b+c=-m

2

a=-m

3

解得8

b入=——m，

3

c=m

?28.

..y=-mx2——%+TH,

,33

把C(2,n)代入y=|mx2-^mx+m,

得n=-mx22--mx2+m,

33

?5

..n=——m,

3

,m_m_3

九--m5'

3

故答案為：—

【變式6-2](2024?四川攀枝花.中考真題)如圖，拋物線y=a/+bx+c(a70)經(jīng)過坐標(biāo)原點0,且頂點

為4(2,—4).

(1)求拋物線的表達式；

(2)設(shè)拋物線與x軸正半軸的交點為B,點P位于拋物線上且在久軸下方，連接。4、PB,若N40B+NPB。=90°,

求點P的坐標(biāo).

【答案】(l)y-x2—4x

17

Q)pq，-；)

【分析】(1)設(shè)拋物線的表達式為y=a(x—2)2—4,將。(0,0)代入可得y=/一位；

(2)過4作AT_Ly軸于T,過P作PK1x軸于K,^P(m,m2-4m),求出B(4,0)；根據(jù)N40B+44。7=90。,

AAOB+^PBO=90°,得乙AOT=4PBO,AOT^^PBK,從而■~芻—=—,即可解得答案.

-mA+4m4-m

【詳解】(1)解：設(shè)拋物線的表達式為y=以久一2)2—4,

將0(0,0)代入得：4a-4=0,

解得a=1,

y=(x-2/—4=x2—4x；

(2)過2作ATIy軸于T,過P作「4_1%軸于長，如圖：

設(shè)P(m,ni2—4m),

在y二/一4%中，令y=o得久=0或％=4,

???8(4,0)；

???Z.AOB+乙AOT=90°,Z,AOB+乙PBO=90°,

??.Z.AOT=乙PBO,

???/.ATO=90°=乙PKB,

???△AOTfPBK,

.AT_OT

PKBK

???4(2,-4