HD市2025屆高三年級第三次調研監測數學注意事項：1.答題前，考生務必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如儒改動，用皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.4本試卷主要考試內容：高考全部內容.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.設集合，，則（）A B. C. D.2.已知復數滿足，則復數在復平面內所對應的點位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.某校舉辦校園歌手大賽，決賽中12名參賽選手的得分（滿分：10分）分別為9.5，8.1，7.8，8.5，8.8，9.1，7.5，9.6，8.6，8.8，9.3，9.0，則這組數據的第75百分位數是（）A.8.6 B.8.8 C.9.1 D.9.24.已知拋物線焦點為，過點的直線與拋物線的一個交點為，則直線的方程為（）A. B. C. D.5.在中，，，點在的內部，的延長線與交于點，若，則的面積是（）A.1 B. C.2 D.6.在正三棱柱中，，則“”是“異面直線與所成角的余弦值是”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件7.已知函數恰有一個極值點，則取值范圍是（）A. B.C. D.8.已知雙曲線的左、右焦點分別是，，過點的直線與雙曲線的右支交于兩點，若，則雙曲線的離心率的取值范圍是（）A. B. C. D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知直線過點，且直線與圓相切，則直線的方程可能是（）A. B. C. D.10.已知函數對任意的都有，，且當時，，則下列結論正確的是（）A.B.是奇函數C.D.不等式的解集是11.已知函數，則下列結論正確的是（）A.的圖象關于直線對稱B.若在上恰有三個零點，則的取值范圍是C.當時，在上單調遞增D.若在上的最小值為，則三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知非零向量，滿足，且向量，的夾角為，則向量，的夾角為_______________.13.設一個三位數的個位、十位、百位上的數字分別為，，，若，，則稱這個三位數為“峰型三位數”，例如251和121都是“峰型三位數”，在由0，1，2，3，4，5中的部分數字組成的三位數中，“峰型三位數”的個數為_______________.14.已知某圓臺的體積為，球剛好和該圓臺的上、下底面及側面都相切，若該圓臺下底面圓的半徑是上底面圓的半徑的4倍，則球的體積是______________.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知是等差數列，是等比數列，且，，，.（1）求，的通項公式；（2）若，求的值；（3）若，求數列前項和.16.如圖，在四棱錐中，四邊形是正方形，平面，，是棱上的一點，是棱的中點.（1）證明：.（2）若平面與平面夾角的余弦值為，求的值.17.某班舉辦詩詞大賽，比賽規則如下：參賽選手第一輪回答4道題，若答對3道或4道，則通過初賽，否則進行第二輪答題，第二輪答題的數量為第一輪答錯的題目數量，且題目與第一輪的題不同，若全部答對，則通過初賽，否則淘汰.已知甲同學參加了這次詩詞大賽，且甲同學每道題答對的概率均為.假設甲同學回答每道題相互獨立，兩輪答題互不影響.（1）已知.①求甲同學第一輪答題后通過初賽的概率；②求甲同學答對1道題的概率.（2）記甲同學的答題個數為，求的最大值.18.已知函數.（1）當時，求曲線在點處的切線與坐標軸圍成的三角形的面積；（2）若在上恒成立，求的取值范圍.19.對于給定的橢圓，與之對應的另一個橢圓（，且），則稱與互為共軛橢圓.已知橢圓與橢圓互為共軛橢圓，是橢圓的右頂點.（1）求橢圓的標準方程.（2）設直線與橢圓交于，兩點，且直線與直線的斜率之積為.①證明：且直線過定點②試問在軸上是否存在異于點的點，使得直線，的斜率之積也為定值？若存在，求出該定值；若不存在，請說明理由.

HD市2025屆高三年級第三次調研監測數學注意事項：1.答題前，考生務必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如儒改動，用皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.4本試卷主要考試內容：高考全部內容.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.設集合，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】分別確定集合，，再求其交集即可.【詳解】由，所以；由，所以.所以.故選：A2.已知復數滿足，則復數在復平面內所對應的點位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】C【解析】【分析】應用復數的四則運算化簡復數，并確定對應點坐標，即可得答案.【詳解】由，則，所以復數在復平面內所對應的點為位于第三象限.故選：C3.某校舉辦校園歌手大賽，決賽中12名參賽選手的得分（滿分：10分）分別為9.5，8.1，7.8，8.5，8.8，9.1，7.5，9.6，8.6，8.8，9.3，9.0，則這組數據的第75百分位數是（）A.8.6 B.8.8 C.9.1 D.9.2【答案】D【解析】【分析】由百分位數的定義求解即可.【詳解】將決賽中12名參賽選手的得分從小到大排列：7.5，7.8，8.1，8.5，8.6，8.8，8.8，9.0，9.1，9.3，9.5，9.6，，所以這組數據的第75百分位數是第位數和第位數的平均數，即.故選：D.4.已知拋物線的焦點為，過點的直線與拋物線的一個交點為，則直線的方程為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由焦點坐標寫出拋物線方程，再求出坐標，進而得直線方程.【詳解】由題設，得，則，故拋物線，將代入，得，得，∴∴,所以直線的方程為，即.故選：B.5.在中，，，點在的內部，的延長線與交于點，若，則的面積是（）A1 B. C.2 D.【答案】C【解析】【分析】由，，可得，然后由，可得，據此可得答案.【詳解】，因，則，，得.又，則，過A，M做BC垂線，垂足為G，F，則，，又底邊相同，則.故選：C6.在正三棱柱中，，則“”是“異面直線與所成角的余弦值是”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】先求出異面直線與所成角的余弦值是的充要條件，再進行判斷.【詳解】如圖：設.以為基底，則，，，.因為，，所以.由可得，解得或，即或.即“異面直線與所成角的余弦值是”的充要條件是“或”.故“”是“異面直線與所成角的余弦值是”的充分不必要條件.故選：A7.已知函數恰有一個極值點，則的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】函數恰有一個極值點，只需有一個實數根，反解參數，研究其單調性，得出的取值范圍.【詳解】，，因為函數恰有一個極值點，所以有一個實數根，即有一根，即與一個交點，令，則，令，函數單調遞增，解得：，令，函數單調遞減，解得：，則，有一根，即，當，時都有2-xex與一個交點，有兩根當時，與一個交點，有一根，綜上所述，的取值范圍是故選：A8.已知雙曲線的左、右焦點分別是，，過點的直線與雙曲線的右支交于兩點，若，則雙曲線的離心率的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用雙曲線的定義可得，又，可得，又當軸時最小，可得，即，可得，即可求得雙曲線的離心率的取值范圍.【詳解】由已知，設，則，兩式相加得，又，所以，又，所以，當軸時最小，此時，所以，又，則，整理的，又，兩邊除以得，解得，又雙曲線的離心率，所以雙曲線的離心率取值范圍是.故選：B.【點睛】關鍵點點睛：解答本題的關鍵是當軸時最小為，再建立關于的不等式.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知直線過點，且直線與圓相切，則直線的方程可能是（）A. B. C. D.【答案】AC【解析】【分析】求出圓的圓心和半徑，再按直線的斜率是否存在分類，結合圓的切線性質求解.【詳解】圓的圓心，半徑，當直線的斜率不存在時，直線方程為，點到直線的距離為1，不符合題意，當直線的斜率存在時，設直線的方程為，即，由直線與圓相切得：，解得或，所以直線的方程為：或.故選：AC10.已知函數對任意的都有，，且當時，，則下列結論正確的是（）A.B.是奇函數C.D.不等式的解集是【答案】BCD【解析】【分析】利用賦值法，求出，判斷A；利用賦值法結合函數奇偶性的定義，判斷B；利用賦值法判斷C；根據函數單調性的定義證得為上的增函數，利用單調性求得不等式的解集.【詳解】對于A，因為，，令，則，所以，令，則，則，令，則，所以，故A錯誤；對于B，令，則，即，所以是奇函數，故B正確；對于C，令，則，又，所以，所以，故C正確；對于D，令，則，設，則，又當時，，則，所以，則函數在是增函數，又由，，則不等式，即為，則，解得或，即不等式的解集是，故D正確.故選：BCD11.已知函數，則下列結論正確的是（）A.的圖象關于直線對稱B.若在上恰有三個零點，則的取值范圍是C.當時，在上單調遞增D.若在上的最小值為，則【答案】ACD【解析】【分析】根據函數對稱性的結論判斷A；求出函數其中的2個零點，可知在上只有一解，從而求得a的范圍，判斷B；根據復合函數的單調性的判斷可判斷C；將函數的最值問題轉化為二次函數在給定區間上的最值問題求解，即可判斷D.【詳解】由題意知，對于A，，即的圖象關于直線對稱，A正確；對于B，由，得或，由于在上有2解，即，，結合在上恰有三個零點，可知需在上只有一解，由于在上單調遞增，在上單調遞減，且，故要使在上只有一解，需或，B錯誤；對于C，當時，，令，，，則在上單調遞減，而圖象對稱軸為，該函數在上單調遞減，故在上單調遞增，C正確；對于D，令，，，則化為，該函數圖象對稱軸為，當，即時，；當，即時，；當，即時，，綜合上述在上的最小值為，則，D正確，故選：ACD【點睛】難點點睛：解答本題的難點在于D的判斷，解答時將函數最值問題轉化為二次函數的最值問題，分類討論進行求解.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知非零向量，滿足，且向量，的夾角為，則向量，的夾角為_______________.【答案】##【解析】【分析】根據題意，由條件可得，然后分別求得以及，結合向量的夾角公式代入計算，即可得到結果.【詳解】由可得，又，為非零向量，且向量，的夾角為，則，即，又，，所以，所以.故答案為：13.設一個三位數的個位、十位、百位上的數字分別為，，，若，，則稱這個三位數為“峰型三位數”，例如251和121都是“峰型三位數”，在由0，1，2，3，4，5中的部分數字組成的三位數中，“峰型三位數”的個數為_______________.【答案】30【解析】【分析】根據給定條件，利用“峰型三位數”是否含有數字0分類，結合排列、組合計數問題列式計算即得.【詳解】當“峰型三位數”含有數字0時，0必為個位，再從余下5個數字中任取兩個，大的數字為十位，有種方法；當“峰型三位數”沒有數字0時，從除0外的5個數字中任取3個，最大數字作十位，有種方法，所以“峰型三位數”的個數為.故答案為：3014.已知某圓臺的體積為，球剛好和該圓臺的上、下底面及側面都相切，若該圓臺下底面圓的半徑是上底面圓的半徑的4倍，則球的體積是______________.【答案】【解析】【分析】畫出截面示意圖，由圓臺的體積公式結合梯形的面積相等以及勾股定理和球的體積公式計算可得.【詳解】如圖，畫出截面示意圖，設圓臺的上下底面半徑分別為，球的半徑為，圓臺的母線長為，由圓臺的體積公式可得，①由梯形面積可得，解得，又在中，，解得，代入①可得，所以所以球的體積是.故答案為：.【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵是能夠根據球與圓臺的結構畫出平面圖形，再由面積分割和勾股定理以及圓臺的體積公式求解球的半徑.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知是等差數列，是等比數列，且，，，.（1）求，的通項公式；（2）若，求的值；（3）若，求數列前項和.【答案】（1）.（2）（3）【解析】【分析】（1）結合條件計算等差數列的公差、等比數列的首項和公比，由此可得結果.（2）由題目條件得，結合函數的單調性可得結果.（3）根據（1）得到數列的通項公式，利用裂項相消法計算可得結果.【小問1詳解】設等差數列的公差為，等比數列的公比為.∵，，，，∴，由得.由①③得，①④代入②得，，解得，故，∴.【小問2詳解】∵，∴，令，由函數和在上為增函數得在上為增函數，∵，∴【小問3詳解】由（1）得，，∴.16.如圖，在四棱錐中，四邊形是正方形，平面，，是棱上的一點，是棱的中點.（1）證明：.（2）若平面與平面夾角的余弦值為，求的值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）通過線面垂直的判定定理得到平面，進而證明平面，即可得到結論.（2）以為原點建立空間直角坐標系，利用空間向量可計算結果.【小問1詳解】∵四邊形是正方形，，∴.∵是棱的中點，∴.∵平面，平面，∴，∵，，平面，∴平面，∵平面，∴，∵，平面，∴平面，∵平面，∴.【小問2詳解】以為原點建立空間直角坐標系，設，則，，，∴，，設平面的法向量為，則,令，則，故.由題意得，平面的法向量為，∴，解得或（舍），∴，故.17.某班舉辦詩詞大賽，比賽規則如下：參賽選手第一輪回答4道題，若答對3道或4道，則通過初賽，否則進行第二輪答題，第二輪答題數量為第一輪答錯的題目數量，且題目與第一輪的題不同，若全部答對，則通過初賽，否則淘汰.已知甲同學參加了這次詩詞大賽，且甲同學每道題答對的概率均為.假設甲同學回答每道題相互獨立，兩輪答題互不影響.（1）已知.①求甲同學第一輪答題后通過初賽的概率；②求甲同學答對1道題的概率.（2）記甲同學的答題個數為，求的最大值.【答案】（1）①；②；（2）.【解析】【分析】（1）①②應用獨立事件乘法公式及互斥事件加法求對應概率即可；（2）根據題意有并求出對應概率，應用期望的求法求，再由導數求期望的最大值.【小問1詳解】①由題意，甲同學第一輪答題后通過初賽的概率為；②甲同學答對1題的情況如下，第一輪答對1題，第二輪答對0題，則概率為；第一輪答對0題，第二輪答對1題，則概率為；所以甲同學答對1道題的概率為；【小問2詳解】由題意，，且，，，，所以，又，令，則，令，則，當時，，即在上單調遞減；當時，，即在上單調遞增；又，，則在上，所以在上恒成立，即在上單調遞減，所以，故最大為.18.已知函數.（1）當時，求曲線在點處的切線與坐標軸圍成的三角形的面積；（2）若在上恒成立，求的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）將代入，求出函數解析式，求出導數，根據導數的幾何意義即可求出切線方程，求出橫縱截距即可求解.（2）化為，構造函數，求出，得到函數的單調性，將表達式轉化為，根據函數單調性得到不等式并反解，構造函數，利用求出即可求解.【小問1詳解】當時，，，切線的斜率，，所以切點坐標為，切線方程為，，當時，，當時，，所以直線與軸交點為，與軸交點為，所以切線與坐標軸圍成的三角形的面積為.【小問2詳解】因