蓮塘一中2024-2025學(xué)年上學(xué)期高三1月期末考試數(shù)學(xué)試卷考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分一、單選題（每小題5分，共40分，每小題四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)符合題意.）1.已知集合，，則（）A. B. C. D.2.數(shù)據(jù)的方差是5，則數(shù)據(jù)的方差是（）A.9 B.10 C.19 D.203.已知直線，斜率分別為，，傾斜角分別為，，則“”是“”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件4.已知向量，，則向量在向量上的投影向量為（）A. B. C. D.5.在等比數(shù)列中，若，則（）A B. C. D.6.（）A. B. C.1 D.27.記為不超過最大整數(shù)，則方程的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)為（）A2 B.3 C.4 D.58.已知三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在球的球面上，，，則球的表面積為（）A. B. C. D.二、多選題（每小題6分，共18分，每小題四個(gè)選項(xiàng)中，有多個(gè)選項(xiàng)符合題意，錯(cuò)選得0分，漏選得部分分.）9.已知，，關(guān)于的方程有一個(gè)根為，為虛數(shù)單位，另一個(gè)根為，則（

）A.該方程不存在實(shí)數(shù)根 B.，C.對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第三象限 D.10.假設(shè)A，B是兩個(gè)事件，且，，，則（）A. B.C. D.11.數(shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美的曲線，如圖，曲線與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)是上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則（）A.點(diǎn)在上B.面積的最大值為1C.曲線恰好經(jīng)過4個(gè)整點(diǎn)（即橫，縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）D.三、填空題（每小題5分，共15分.）12.的展開式中，的系數(shù)是__________.（用數(shù)字作答）13.寫出與圓和圓都相切的一條直線方程________.14.已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，若是奇函數(shù)，，且對(duì)任意，，則____________．四、解答題（共13+15+15+17+17=77分.）15.已知函數(shù).（1）求在上的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）已知的內(nèi)角的對(duì)邊長分別是，若，求面積的最大值.16.已知數(shù)列是等差數(shù)列，其前和為，數(shù)列滿足（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若對(duì)數(shù)列，在與之間插入個(gè)1，組成一個(gè)新數(shù)列，求數(shù)列的前2025項(xiàng)的和．17.設(shè)，已知函數(shù).（1）當(dāng)函數(shù)在點(diǎn)處的切線與直線平行時(shí)，求切線的方程；（2）若函數(shù)的圖象總是在軸的下方，求的取值范圍.18.已知橢圓：（）的離心率為，短軸長為2．（1）求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線與橢圓相切于點(diǎn)．（ⅰ）證明：直線與直線的斜率之積為定值；（ⅱ）設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，求證：直線過定點(diǎn)．19.如圖1，由射線構(gòu)成的三面角，二面角的大小為，類比于平面三角形中的余弦定理，我們得到三維空間中的三面角余弦定理：.（1）如圖2，在三棱錐中，為等腰直角三角形，為等邊三角形，，求二面角平面角的正弦值；（2）如圖3，在三棱錐中，平面，連接，，求三棱錐體積的最大值；（3）當(dāng)時(shí)，請(qǐng)?jiān)趫D1的基礎(chǔ)上，試證明三面角余弦定理.

蓮塘一中2024-2025學(xué)年上學(xué)期高三1月期末考試數(shù)學(xué)試卷考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分一、單選題（每小題5分，共40分，每小題四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)符合題意.）1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先求得集合,再根據(jù)交集定義求解．【詳解】，又，所以，故選：B．2.數(shù)據(jù)的方差是5，則數(shù)據(jù)的方差是（）A.9 B.10 C.19 D.20【答案】D【解析】【分析】利用方差的性質(zhì)求解即可．【詳解】因?yàn)閿?shù)據(jù)的方差是5，所以數(shù)據(jù)的方差是.故選：D.3.已知直線，的斜率分別為，，傾斜角分別為，，則“”是“”的（）A充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】D【解析】【分析】利用傾斜角與斜率的關(guān)系，利用賦值法可得結(jié)論.【詳解】因?yàn)橹本€，的斜率分別為，，傾斜角分別為，，所以，，取，，滿足，可求得，，此時(shí)，所以“”是“”的不充分條件；取，，滿足，但，此時(shí)，所以“”是“”的不必要條件；所以“”是“”的既不充分又不必要條件.故選：D.4.已知向量，，則向量在向量上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】令和的夾角為，根據(jù)投影向量的定義直接求解即可.【詳解】令和的夾角為，則，則向量在向量上的投影向量為.故選：C5.在等比數(shù)列中，若，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用等比數(shù)列的性質(zhì)可求得結(jié)果.【詳解】在等比數(shù)列中，若，則，由等比數(shù)列的性質(zhì)可得，故.故選：B.6.（）A. B. C.1 D.2【答案】C【解析】【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式、兩角差的余弦公式及二倍角的正弦公式化簡(jiǎn)求值即可.【詳解】原式.故選：C7.記為不超過的最大整數(shù)，則方程的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)為（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】B【解析】【分析】利用函數(shù)的性質(zhì)，將函數(shù)寫成分段函數(shù)形式，將方程解的個(gè)數(shù)的問題轉(zhuǎn)化成相對(duì)應(yīng)的函數(shù)圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)求解即可.【詳解】令，則根的個(gè)數(shù)等價(jià)于圖像交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，作出圖象，易得兩個(gè)函數(shù)圖象有3個(gè)交點(diǎn)，所以，方程有3個(gè)根.故選：B.8.已知三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在球的球面上，，，則球的表面積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意，利用正弦、余弦定理，求得的外接圓的半徑，記的外心為，證得平面，求得，結(jié)合球的截面圓的性質(zhì)，列出方程求得球的半徑，利用球的表面積公式，即可求解.【詳解】設(shè)的外接圓半徑為，因?yàn)椋捎嘞叶ɡ淼茫裕烧叶ɡ淼茫裕浀耐庑臑椋B接，，，則，取，的中點(diǎn)分別為，，則，，又因?yàn)椋傻茫驗(yàn)椋驗(yàn)槠矫妫矫妫云矫妫矫妫忠驗(yàn)槠矫妫矫妫裕驗(yàn)椋矫妫云矫妫傻茫深}意可得外接球的球心在上，或在的延長線上，設(shè)外接球的半徑為，則球心到的距離為，則有，解得，所以球的表面積，故選：A.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于先確定所在截面小圓的半徑，再通過幾何關(guān)系確定球心所在直線，進(jìn)而確定球心位置，將球心到的距離表示出來，再用勾股定理解出球半徑，進(jìn)而得到結(jié)果.二、多選題（每小題6分，共18分，每小題四個(gè)選項(xiàng)中，有多個(gè)選項(xiàng)符合題意，錯(cuò)選得0分，漏選得部分分.）9.已知，，關(guān)于的方程有一個(gè)根為，為虛數(shù)單位，另一個(gè)根為，則（

）A.該方程不存在實(shí)數(shù)根 B.，C.對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第三象限 D.【答案】ABD【解析】【分析】將代入方程，再由復(fù)數(shù)相等得到方程組，即可求出的值，即可判斷A、B；利用韋達(dá)定理求出，即可判斷C；再根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算化簡(jiǎn)，求出其模，即可判斷D.【詳解】由是方程的根，得，整理得，因此，解得，所以方程為，故B正確；對(duì)于A，根據(jù)方程，可得，所以方程無實(shí)數(shù)根，故A正確；對(duì)于C，方程，由韋達(dá)定理可知，得，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，在第四象限，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，所以，故D正確．故選：ABD．10.假設(shè)A，B是兩個(gè)事件，且，，，則（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】【分析】結(jié)合對(duì)立事件的概率公式，利用條件概率公式求解判斷AC，根據(jù)獨(dú)立事件概率乘法公式求解判斷B，利用概率的基本性質(zhì)求解判斷D.【詳解】因?yàn)椋裕瑢?duì)于選項(xiàng)A，因?yàn)椋裕e(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B，因?yàn)椋允录嗀與B相互獨(dú)立，所以A與相互獨(dú)立，所以，正確；對(duì)于選項(xiàng)C，因?yàn)椋裕_；對(duì)于選項(xiàng)D，，D正確.故選：BCD.11.數(shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美的曲線，如圖，曲線與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)是上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則（）A.點(diǎn)在上B.面積的最大值為1C.曲線恰好經(jīng)過4個(gè)整點(diǎn)（即橫，縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）D.【答案】BCD【解析】【分析】將點(diǎn)代入曲線的方程即可判斷；取求，求直線與曲線的交點(diǎn)，即可判斷；求直線與曲線的交點(diǎn)，即可判斷；求出坐標(biāo)平面內(nèi)到定點(diǎn)，的距離和為的點(diǎn)的軌跡方程，求該軌跡方程與曲線的交點(diǎn)，即可判斷.【詳解】將點(diǎn)代入曲線的方程左側(cè)可得，所以點(diǎn)不在上，故錯(cuò)誤；取可得，所以，，所以，由曲線可得，因?yàn)椋O(shè)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，代入曲線的方程成立，所以直線與曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)為，所以點(diǎn)的縱坐標(biāo)的絕對(duì)值的最大值為，所以面積的最大值為，故正確；取可得，所以，，取可得，所以直線與曲線交于點(diǎn)，直線與曲線交于點(diǎn)，所以曲線經(jīng)過點(diǎn)，，，，故正確；坐標(biāo)平面內(nèi)到定點(diǎn)，的距離和為的點(diǎn)的軌跡為以，為焦點(diǎn)，長軸長為的橢圓，設(shè)橢圓方程為，由已知可得，又，，所以，所以橢圓方程為，聯(lián)立，所以，所以，所以，所以，故橢圓與曲線的交點(diǎn)為，，如圖，故曲線上所有點(diǎn)都滿足，故正確.故選：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵是結(jié)合曲線方程，確定曲線的范圍及曲線上關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo).三、填空題（每小題5分，共15分.）12.的展開式中，的系數(shù)是__________.（用數(shù)字作答）【答案】【解析】【分析】把式子整理成，根據(jù)通項(xiàng)整理后得，從而求解.【詳解】由，而的展開式的通項(xiàng)為，則在的展開式中，含的項(xiàng)為，故的系數(shù)是.故答案為：.13.寫出與圓和圓都相切的一條直線方程________.【答案】（或或，任寫一條即可，答案不唯一）【解析】【分析】求出兩圓圓心和半徑，兩圓圓心距以及兩圓心所直線方程即可得兩圓公切線情況，再結(jié)合直線垂直關(guān)系以及兩平行直線距離公式即可求公切線方程.【詳解】圓的圓心為，半徑為，圓的圓心為，半徑為，兩圓心距為，故兩圓外切，兩圓圓心所在直線的方程為，即，中點(diǎn)為，切線垂直于直線，且經(jīng)過中點(diǎn)，所以切線的方程為；切線平行于直線，且到直線的距離為，設(shè)平行于直線切線方程為，則或，所以切線的方程分別為.故答案為：（或或，任寫一條即可，答案不唯一）.14.已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，若是奇函數(shù)，，且對(duì)任意，，則____________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)滿足的表達(dá)式以及奇偶性利用賦值法可求得，且函數(shù)和的周期都為3，代入計(jì)算即可得出結(jié)果.【詳解】令，可知，又因?yàn)椋傻茫裕涣睿傻茫裕驗(yàn)槭瞧婧瘮?shù)，可知為偶函數(shù)，因此；由兩式相減可得；即，可得；所以，即函數(shù)的周期為3，所以的周期也為3；可得.故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于利用所給條件由賦值法并結(jié)合函數(shù)奇偶性以及導(dǎo)函數(shù)性質(zhì)計(jì)算得出函數(shù)和導(dǎo)函數(shù)的周期，再進(jìn)行計(jì)算即可.四、解答題（共13+15+15+17+17=77分.）15.已知函數(shù).（1）求在上的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）已知的內(nèi)角的對(duì)邊長分別是，若，求面積的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)降冪公式以及兩角差的正弦公式逆用將函數(shù)化簡(jiǎn)，再根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性求出單調(diào)區(qū)間；（2）根據(jù)已知條件求出角，再結(jié)合余弦定理以及重要不等式可求得的最值，再根據(jù)三角形的面積公式求得面積的最值.【小問1詳解】，令，求得，又，當(dāng)時(shí)，，所以在上的單調(diào)遞增區(qū)間是；【小問2詳解】由（1）可得，因?yàn)椋裕?jiǎn)得，所以，因?yàn)椋裕鶕?jù)余弦定理，，，所以，因?yàn)椋裕矗?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以三角形面積，則，面積的最大值為.16.已知數(shù)列是等差數(shù)列，其前和為，數(shù)列滿足（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若對(duì)數(shù)列，在與之間插入個(gè)1，組成一個(gè)新數(shù)列，求數(shù)列前2025項(xiàng)的和．【答案】（1），；（2）2080【解析】【分析】（1）設(shè)出公差，結(jié)合題目條件得到方程組，求出首項(xiàng)和公差，得到，根據(jù)題目條件得到時(shí)，，兩式相減求出，，經(jīng)過檢驗(yàn)，得到；（2）在中，從開始到項(xiàng)為止，計(jì)算出項(xiàng)數(shù)為，從而確定數(shù)列前2025項(xiàng)是項(xiàng)之后，還有項(xiàng)為1，分組求和即可.【小問1詳解】為等差數(shù)列，設(shè)其公差為，則，解得，故；①，故當(dāng)時(shí)，②，兩式相減得，故，所以，，又，故，滿足，從而；【小問2詳解】由（1）知，，，所以在中，從開始到項(xiàng)為止，共有項(xiàng)數(shù)為，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以數(shù)列前2025項(xiàng)是項(xiàng)之后，還有項(xiàng)為1，故.17.設(shè)，已知函數(shù).（1）當(dāng)函數(shù)在點(diǎn)處的切線與直線平行時(shí)，求切線的方程；（2）若函數(shù)的圖象總是在軸的下方，求的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)條件，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到，從而得到，即可求解；（2）對(duì)求導(dǎo)，得到，再分和兩種情況，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性間的關(guān)系，可知不合題意，當(dāng)，求出的最大值，即可求解.【小問1詳解】因?yàn)椋瑒t，解得，則，又，所以切點(diǎn)為，所以切線的方程為，即.【小問2詳解】由題意知，因，所以當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，又時(shí)，，不合題意，當(dāng)時(shí)，由得，當(dāng)時(shí)，，時(shí)，即在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，最大值，設(shè)，此時(shí)，所以，即為減函數(shù)，而，要使函數(shù)的圖象總是在軸的下方，必須，即，所以，所以，即的取值范圍是．18.已知橢圓：（）的離心率為，短軸長為2．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線與橢圓相切于點(diǎn)．（ⅰ）證明：直線與直線的斜率之積為定值；（ⅱ）設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，求證：直線過定點(diǎn)．【答案】（1）（2）（ⅰ）證明見解析；（ⅱ）證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)橢圓的離心率和短軸的概念建立方程組，解之即可求解；（2）（ⅰ）設(shè)，：，聯(lián)立橢圓方程，利用可得，結(jié)合得，解得，即可證明；（ii）由（i）可得點(diǎn)與直線垂直的直線方程，求出直線與軸交點(diǎn)，根據(jù)兩點(diǎn)求距離公式證明，結(jié)合內(nèi)角平分線定理即可下結(jié)論.【小問1詳解】根據(jù)題意得，又，解得，，所以橢圓：．【小問2詳解】（ⅰ）設(shè)點(diǎn)，所以，，設(shè)直線的斜率為，方程為：，則，由消去，得①，因?yàn)橹本€與橢圓相切，所以方程①，得，所以②，其中．所以關(guān)于的方程②有兩相等實(shí)根，所以，所以為定值．（ⅱ）橢圓：的左、右焦點(diǎn)，．方法1：由（ⅰ）得過點(diǎn)與直線垂直的直線為：，令，得，所以直線與軸交點(diǎn)，所以，．（），同理．所以．根據(jù)內(nèi)角分線定理得，為的角平分線，設(shè)與軸交于點(diǎn),所以，即，，三點(diǎn)共線，所以直線過點(diǎn)．方法2：設(shè)點(diǎn)，則，根據(jù)題意得，解得所以，所以，所以，，三點(diǎn)共線，所以直線過點(diǎn)．方法3：設(shè)點(diǎn)，則，過垂直于的直線交于點(diǎn)，由（ⅰ）可得：，則：．聯(lián)立直線與的方程得所以所以，所以，所以，，三點(diǎn)共線，所以直線過點(diǎn)．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求定點(diǎn)、定值問題常