第8章?認識概率

本章知識綜合運用

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f、

四個概念

??1、必然事件：在一定條件下，有些事情我們事先能肯定它一定會發生，這樣的事情是必然事件.

??2、不可能事件：在一定條件下，有些事情我們事先能肯定它一定不會發生，這樣的事情是不可能事件.

?確定事件：必然事件和不可能事件都是確定事件.

?判斷方法：判斷一個事件是不是不可能事件或必然事件，關鍵在于這個事情的結果事先能否確定，與這個

事情是否進行無關.

??3、隨機事件：在一定條件下，很多事情我們事先無法確定它會不會發生，這樣的事情是隨機事件.

?判斷方法：判斷一個事件是不是隨機事件，主要看事先能否確定這個事件會不會發生，如果確定一定發生

或一定不發生，那么這個事件就是確定事件，如果可能發生的情況不唯一，即有可能發生，也有可能不發

生，那么這個事件就是隨機事件.

?注意：有些隨機事件發生的機會很大，但不是必然事件；有些隨機事件發生的機會很小，但依然有可能發

生，并非不可能事件

??4、概率：隨機事件發生的可能性有大有小.一個事件發生可能性大小的數值，稱為這個事件的概率.如

果用字母A表示一個事件，那么P(A)表示事件A發生的概率.

?事件的概率：通常規定，必然事件A發生的概率是1,記作P(A)=1；不可能事件A發生的概率為0,記

作P(A)=0；隨機事件A發生的概率是0和1之間的一個數，即gP(A)Wl.

用線段圖表示如下：

不可能事件隨機事件必然事件

II

°可能性越來越大*1

一個結論

可能性的大小：一般地，隨機事件發生的可能性有大有小，它是由發生事件的條件決定的.

?注意：1.事件發生的可能性的大小常用以下幾種語言描述：一定、很可能、可能、不太可能、

不可能.用線段圖描述事件發生的可能性的大小如下:

不可能不太可能可能很可能一定

II

°可能性越來越大*1

2.必然事件一定發生，發生的可能性通常用1(100%)表示；不可能事件一定不會發生，發生的可能性用0

表示；隨機事件發生的可能性的大小介于0和1之間(不含0與1).

一個方法

??用頻率估計概率：一般地，在一定條件下大量重復進行同一試驗時，隨機事件發生的頻率會在某一個

常數附近擺動.在實際生活中，人們常把這個常數作為該隨機事件發生的概率的估計值.

?頻率試驗的特點：①每一次試驗的結果都是有限個；②事件發生的結果數越多，這個事件發生的概率就越大.

?頻率的穩定性：通常，在多次重復試驗中，一個隨機事件發生的頻率會在某一個常數附近擺動，并且趨于

穩定，這個性質稱為頻率的穩定性.

?概率的估計值：一般地，在一定條件下大量重復進行同一試驗時，隨機事件發生的頻率會在某一個常數附

近擺動.在實際生活中，人們常把這個常數作為該隨機事件發生的概率的估計值.

?頻率與概率的聯系與區另IJ:

系

名稱^\頻率概率

試驗值或使用時的統計值，是隨機的，

事件發生可能性大小的理論值，是客觀存在的，

在試驗前不能確定，是試驗中事件發生

是隨機事件自身的屬性

區別的次數與總次數的比

頻率值可隨著試驗人、時間、地點以及與試驗的時間、地點、次數等因素無關，是一個

試驗次數等因素的變化而有所改變固定不變的常數

頻率是概率的近似值.隨著試驗次數越多，頻率越來越穩定在概率值附近.它們都是反映隨機事

聯系

件發生的可能性大小的特征量

?注意：一般地，當試驗的可能結果有很多且各種可能結果發生的可能性相等時，我們既可以用過列舉法得

出概率，也可以利用頻率估計概率；當試驗的所有可能結果不是有限個，或各種可能結果發生的可能性不

相等時，常常是通過統計頻率來估計概率，即在同樣條件下，大量重復試驗所得到的隨機事件發生的頻率

的穩定值來估計這個事件發生的概率.

題型歸納

rvX大一判斷事件的類型

題型一

【例題】①任意買一張電影票，所買到票的座位號恰好是偶數；

②任意三角形的內角和為180。；

③拋出的籃球會下落；

④擲1枚硬幣，有國徽的一面朝上.

在這些事件中，屬于隨機事件的有；屬于必然事件的有.（只填序號）

【變式1】下列事件中屬于不可能事件的是（）

A.守株待兔B.甕中捉鱉C水中撈月D.百步穿楊

【變式2】下列事件中發生的可能性為100%的是（）

A.經過路口，恰好遇到紅燈

B.四個人分成三組，這三組中有一組必有2人

C.任意拋一枚圖釘，釘尖著地

D.拋一枚硬幣，正面朝上

【變式3】下列事件:

(1)兩個正數的和仍是正數；

(2)明天太陽從西邊升起；

(3)小明在下屆科技節的航模比賽中一定能得一等獎；

(4)擲一枚硬幣，落地后正面朝上；

⑸打開電視，正在播放體育節目.其中是確定事件的有個.

【變式4］已知，有六個面分別標有1,2,3,4,5,6的普通的正方體骰子兩個，隨機任意拋擲這兩個骰

子，把這兩個骰子朝上的點數相加,對于事件①：和為1;事件②：和為5；事件③：和為12；事件④：和

為15；事件⑤：和小于13；事件⑥：和為奇數或偶數：

請問：以上哪些事件是必然事件？哪些事件是不可能事件？哪些事件是隨機事件？

,一設計符合要求的方案

題型二

【例題】在一個不透明的口袋中，裝有大小、形狀一模一樣的9個紅球、58個白球和7個黑球，它們已在口

袋中充分攪勻.請結合上述條件，設計滿足下列條件的事件：(本題具有開放性，只要設計出一種符合要求

的事件即可)

(1)可能發生的事件；(2)必然發生的事件；(3)不可能發生的事件.

【變式1】盒中裝有紅球、黃球共100個，每個球除顏色以外都相同，每次從盒中摸一個球，摸三次，請

你設計下面幾種情況的摸球方案.

(1)摸到紅球是不可能的；

(2)摸到紅球是必然的；

(3)摸到紅球情況有三種：很可能，可能，不太可能.

【變式2】現有甲、乙兩個完全相同的空紙盒，還有除顏色外完全相同的10個白色乒乓球和10個黃色乒乓

球，設計操作使之滿足下列條件：

(1)從甲盒中拿到黃球為必然事件；

(2)從乙盒中拿到白球為隨機事件；

(3)20個球均要用到，但每個盒中乒乓球的數量可以不等.

看誰設計得又快又對，并寫出一件不可能事件.

E―;一比較事件發生的可能性大小

A題型三

【例題】拋擲一枚質地均勻的骰子(各面上的點數分別為1?6)一次，落地后：

(1)朝上的點數有哪幾種不同的結果？它們發生的可能性一樣嗎？

(2)朝上的點數是奇數與朝上的點數是偶數，這兩個事件發生的可能性一樣嗎？

(3)朝上的點數大于4與朝上的點數不大于4,這兩個事件發生的可能性一樣嗎？如果不一樣，那么哪一個可

能性大一些？

【變式1】從一副撲克牌中任意抽取1張，下列事件：

①抽到“K”；

②抽到“黑桃”；

③抽到“大王”；

④抽到“黑色的”.

將這些事件按發生的可能性從小到大的順序排列是()

A.④①③②B.④②①③C.①②③④D.③①②④

【變式2】在下列事件中，發生的可能性最小的是()

A.用長為10cm,10cm,20cm三根木棒做成一個三角形

B.射擊運動員射擊一次，命中10環

C.東臺五一節當天的最高溫度為3()0C

D.在地面上拋一顆骰子，骰子終將落下

【變式3】抽獎啦！現有3個不透明箱子，箱子內放有若干小球(除顏色外其余均相同).規定：每次只能

摸一個小球，摸出紅球獎勵一杯奶茶，摸出黃球獎勵一支雪糕，若小麗想得到一杯奶茶，應選擇從

號箱子里摸球，如愿的可能性最大.

①②③

【變式4】用一副撲克牌中的10張設計一個翻牌游戲，要求同時滿足以下三個條件;

(1)翻出“黑桃”和“梅花”的可能性相同；

(2)翻出“方塊”的可能性比翻出“梅花”的可能性小；

(3)翻出黑顏色的牌的可能性比翻出紅顏色牌的可能性小；

解：我設計的方案如下：

“紅桃”一張，“黑桃”一張，“方塊”一張，“梅花”一張

B贏丁比較轉盤中的可能性大小

【例題】有一個轉盤(如圖所示)，被分成6個相等的扇形，顏色分為紅、綠、黃三種，指針的位置固定,

轉動轉盤后任其自由停止，其中的某個扇形會恰好停在指針所指的位置(指針指向兩個扇形的交線時，重新

轉動).下列事件：①指針指向紅色；②指針指向綠色；③指針指向黃色；④指針不指向黃色.

思考各事件的可能性大小，然后回答下列問題：

(1)可能性最大和最小的事件分別是哪個？(用序號表示)

(2)將這些事件的序號按發生的可能性從小到大的順序排列.

【變式1】轉動如圖所示的這些可以自由轉動的轉盤，當轉盤停止轉動后，估計“指針落在白色區域內”

的可能性的大小，并將轉盤的序號按事件發生的可能性從小到大排列.

米余第

(I)(2)P)

【變式2】如圖，一個轉盤被平均分成12份，每份寫上不同的數，游戲方法如下：先猜數，后轉動轉盤,

轉盤停止轉動后，若指針指向的數與所猜的數一致，則猜數者獲勝(指針指向分界線時重轉).

現提供三種猜數方法：

①猜"是奇數？或“是偶數”；

②猜”是大于10的數”或“是不大于10的數”；

③猜”是3的倍數”或“不是3的倍數”.

如果你是猜數者，為使獲勝的可能性最大，你會選擇哪一種猜數方法？怎樣猜？并說明理由.

B題型五比較幾何圖形中的可能性大小

【例題】如圖，一張正方形紙片被分成了4B、C三塊區域，任意拋擲一粒米到紙片上，落在區域

(填/”、“5”或“C，)的可能性最小.

C

【變式1】如圖，為測量平地上一塊不規則區域（陰影部分）的面積，畫一個邊長為2爪的正方形，使不規則

區域落在正方形內.現向正方形內任意投擲小石子（假設小石子落在正方形內每一點都是等可能的），經過大

量重復投擲試驗，發現小石子落在不規則區域內的頻率穩定在。25附近，由此可估計不規則區域的面積為

m2.

【變式2】分別向下列四個區域內隨機擲一枚石子，石子落在陰影部分的可能性最小的是.

【變式3］［概率中的方案設計］小紅和小明在操場上做游戲，他們先在地上畫了半徑分別為2m和3m的同

心圓（如圖），然后蒙上眼睛，并在一定距離外向圈內擲小石子，擲中陰影部分時小紅勝，否則小明勝，未

擲入圈內（半徑為3m的圓內）或擲在邊界上重擲.

（1）你認為游戲公平嗎?為什么？

（2）游戲結束，小明邊走邊想：能否用頻率估計概率的方法，來估算不規則圖形的面積呢?請你設計一個

方案，解決這一問題（要求畫出圖形，說明設計步驟、原理，并給出計算公式）

口^題型六蠡專爵嘉備

【例題】下列說法正確的是()

A.不可能事件發生的概率為0

B.隨機事件發生的概率為2

C.概率很小的事件不可能發生

D.拋擲一枚質地均勻的硬幣1000次，正面朝上的次數一定是500

【變式1】下列說法正確的是.()

A.“明天降雨的概率是60%”表示明天有60%的時間都在降雨

B.“拋一枚硬幣正面朝上的概率為會表示每拋2次就有一次正面朝上

C.“彩票中獎的概率為1%”表示買100張彩票肯定會中獎

D.“拋一枚正方體骰子，朝上的點數為2的概率為:”表示隨著拋擲次數的增加，“拋出朝上的點數為2”這一事

件發生的頻率穩定在細近

O

【變式2】事件A：打開電視，它正在播廣告；事件B：拋擲一個均勻的骰子，朝上的點數小于7；事件C：

江陰市的夏天下雪.3個事件的概率分別記為P(A)、P(B)、P(C),則事件概率的大小關系正確的是()

A.P(C)<P(A)=P(B)B,P(C)<P(A)<P(B)

C.P(C)<P(B)=P(A)D.P(A)<P(B)=P(C)

【變式3】擲一枚質地均勻的硬幣，前9次都是反面朝上，則擲第10次時反面朝上的概率是.

【變式4】從背面相同的同一副撲克牌中取出紅桃9張，黑桃10張，方塊11張，現將這些牌洗勻背面朝上

放桌面上.

(1)求從中抽出一張是紅桃的概率；

(2)現從桌面上先抽掉若干張黑桃，再放入與抽掉的黑桃張數相同的紅桃，并洗勻且背面都朝上排開后，隨

機抽一張是紅桃的概率不小于|,問至少抽掉了多少張黑桃？

（3）若先從桌面上抽掉9張紅桃和m（m>6）張黑桃后，再在桌面上抽出一張牌，當m為何值時，事件“再抽

出的這張牌是方塊”為必然事件？當m為何值時，事件“再抽出的這張牌是方塊”為隨機事件？并求出這個

事件的概率的最小值.

,--------須率與概率的關系

a題型七

【例題】在相同條件下的多次重復試驗中，一個隨機事件發生的頻率為了,該事件的概率為p下列說法

正確的是（）

A.試驗次數越多，/越大B./與尸都可能發生變化

C.試驗次數越多，/越接近于尸D.當試驗次數很大時，/在尸附近擺動，并趨于穩定

【變式1】擲一枚質地均勻的硬幣加次，正面向上〃次，則3的值（）

A.一■定是,B.一定不是！

C.隨著加的增大，越來越接近JD.隨著加的增大，在9附近擺動，呈現一定的穩定性

【變式2】下列說法：①頻率是反映事件發生的頻繁程度，概率反映事件發生的可能性大小；②做n次隨

機試驗，事件A發生m次，則事件A發生的概率一定等于?；③頻率是不能脫離具體的n次試驗的實驗值,

而概率是具有確定性的不依賴于試驗次數的理論值；④頻率是概率的近似值，概率是頻率的穩定值.其中

正確的是（填序號）.

【變式3］農科院新培育出/、8兩種新麥種，為了了解它們的發芽情況，在推廣前做了五次發芽實驗，

每次隨機各自取相同種子數，在相同的培育環境中分別實驗，實驗情況記錄如下：

種子數量10020050010002000

出芽種子數961654919841965

A

發芽率0.960.830.980.980.98

出芽種子數961924869771946

B

發芽率0.960.960.970.980.97

下面有三個推斷：

①當實驗種子數量為100時，兩種種子的發芽率均為0.96,所以他們發芽的概率一樣;

②隨著實驗種子數量的增加，/種子出芽率在0.98附近擺動，顯示出一定的穩定性，可以估計/種子出芽

的概率是0.98；

③在同樣的地質環境下播種，/種子的出芽率可能會高于8種子.其中合理的是（只填序號）.

…用頻率估計概率________________________________

【例題】如圖顯示了用計算機模擬隨機投擲一枚圖釘的某次實驗的結果.（注：頻率=釘黑手數）

下面有四個推斷：

①當投擲次數是600時，計算機記錄“釘尖向上”的次數是400,所以“釘尖向上”的概率是0.667；

②隨著實驗次數的增加，“釘尖向上”的頻率總在0.618附近擺動，顯示出一定的穩定性，可以估計“釘尖向

上”的概率是0.618；

③若再次用計算機模擬實驗，則當投擲次數為1000時，“釘尖向上”的概率一定是0.620；

④若再次用計算機模擬實驗，則當投擲次數為1000時，“釘尖向上”的情況一定高于500次.

其中合理的是（）

A.①B.@C.（3）D.（4）

【變式1】某小組做“用頻率估計概率”的試驗時，繪出的某一結果出現的頻率折線圖，則符合這一結果的

試驗可能是（）

A.拋一枚硬幣，出現正面朝上

B.擲一個正六面體的骰子，出現3點朝上

C.一副去掉大小王的撲克牌洗勻后，從中任抽一張牌的花色是紅桃

D.從一個裝有2個紅球1個黑球的袋子中任取一球，取到的是黑球

場至

A

01002838次數

【變式2】在一個不透明的袋子里，裝有若干個除了顏色外均相同的小球.小明做摸球試驗時，將球攪勻

后從中隨機摸出一個球記下顏色，再把它放回袋中，不斷重復.下表是實驗進行中的一組統計數據：

摸球的次數n10015020050080012002000

摸到白球的次數小54991162854887081200

摸到白球的頻率;0.540.660.580.570.610.590.60

則摸到白球的概率為—.（結果精確到0.1）

【變式3】一粒木質中國象棋子“帥”，它的正面雕刻一個“帥”字，它的反面是平滑的.將它從定高度下擲,

落地反彈后可能是“帥”字面朝上，也可能是“帥”字面朝下.由于棋子的兩面不均勻，為了估計“帥”字面朝上

的概率，某實驗小組做了棋子下擲實驗，實驗數據如表：

試驗次數20406080100120140160

“帥”字面朝上頻數a18384752667888

相應頻率0.70.450.630.590.520.550.56b

（1）表中數據。=;b=

（2）畫出“帥”字面朝上的頻率分布折線圖;

（3）如圖實驗數據，實驗繼續進行下去，根據上表的這個實驗的頻率將穩定在它的概率附近，請你估計這

個概率是多少？

炳數

0.7八--

0.70——

0.65——

0.60

0.55---

0.50---

0.45——

0.40---

0.35一.

0.30——.............................................春蛤次數

0―

20406080100120140160

B題型九用頻率估計概率的實際應用

【例題】小張承包了一片荒山，他想把這片荒山改造成一個蘋果園，現在有一種蘋果樹苗，它的成活率如

下表所示:

移植棵數(n)成活數(m)成活率(m/n)移植棵數(n)成活數(m)成活率(m/n)

50470.940150013350.890

2702350.870350032030.915

4003690.923700063350.905

7506620.88314000126280.902

下面有四個推斷：

①當移植的樹數是1500時，表格記錄成活數是1335,所以這種樹苗成活的概率是0.890；

②隨著移植棵數的增加，樹苗成活的頻率總在0900附近擺動，顯示出一定的穩定性，可以估計樹苗成活的

概率是0.900；

③若小張移植10000棵這種樹苗，則可能成活9000棵；

④若小張移植20000棵這種樹苗，則一定成活18000棵.

其中合理的是()

A.①③B.①④C.②③D.②④

【變式11某水果銷售網絡平臺以2.6元/kg的成本價購進20000kg沃柑.如下表是平臺銷售部通過隨機取

樣，得到的“沃柑損壞率”統計表的一部分，從而可大約估計每千克沃柑的實際售價定為元時(精確到

0.1),可獲得13000元利潤.(銷售總金額一損耗總金額=銷售總利潤)

沃柑總質量損壞沃柑質量

沃柑損壞的頻率三(精確到0.001)

n/kgm/kg

.....................

10010.440.104

20019.630.098

30030.620.102

40039.540.099

50050.670.101

【變式2】某種油菜籽在相同條件下的發芽實驗結果如下表:

每批粒數n1001502005008001000

發芽的粒數加65111136345560700

發芽的頻率0.650.740.680.69ab

(1)a=_,6=_；

(2)這種油菜籽發芽的概率估計值是多少？請簡要說明理由;

(3)如果該種油菜籽發芽后的成秧率為90%,則在相同條件下用10000粒該種油菜籽可得到油菜秧苗多少

棵？

【變式3】某水果公司新進一批柑橘，銷售人員首先從所有的柑橘中隨機抽取若干柑橘，進行“柑橘損壞率

統計，并把獲得的數據記錄在下表中.

柑橘總質量nlkg300350400450500

損壞柑橘質量m/kg30.9335.3240.3645.0251.05

柑橘損壞的頻率m(精確到0.001)0.1030.101a0.100b

⑴填空：a-,b~

(2)柑橘完好的概率約為—(精確到0.1)；

(3)柑橘的總重量為10000彷，成本價是1.8元/起，公司希望這些柑橘能夠獲得利潤5400元，那么在出售柑

橘(去掉損壞的柑橘)時，每千克大約定價為多少元比較合適？

---------用頻率確定試驗對象的個數

0題型十

【例題】一個不透明的箱子里裝有紅球、藍球、黃球共20個，除顏色外，形狀、大小、質地等完全相同.通

過大量摸球試驗，小明發現摸到紅球、黃球的頻率分別穩定在10%、15%,則估計箱子里藍球有個.

【變式1】在一個不透明的口袋中裝有除顏色外其他完全相同的4個白球和n個黃球，搖勻后，從袋中任意

摸出1個球.記錄摸球的次數與摸到白球的次數如下表：

摸球的次數1002005001000

摸到白球的次數2139102199

由此可以估計n的值為.

【變式2】社團課上，同學們進行了“摸球游戲”在一個不透明的盒子里裝有幾十個除顏色不同外其余均相

同的黑、白兩種球，將盒子里面的球攪勻后從中隨機摸一個球記下顏色，再把它放回盒子中，不斷重復上

述過程整理數據后，制作了“摸出黑球的頻率”與“摸球的總次數”的關系圖如圖所示，經分析可以估計盒子里

黑球與白球的個數比為.

八摸出黑球的頻率

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

A

50100150200250300350400450500

0摸出球的總次數

【變式3】在不透明的袋子中有黑棋子10枚和白棋子若干(它們除顏色外都相同)，現隨機從中摸出10枚記

下顏色后放回，這樣連續做了10次，記錄了如下的數據：

次數12345678910

黑棋數1302342113

根據以上數據，估算袋中的白棋子數量為()

A.60枚B.50枚C.40枚D.30枚

【變式4】在一個不透明的盒子里裝有黑、白兩種顏色的球共60個，它們除顏色不同外完全相同，小穎進

行摸球試驗，她將盒子里面的球攪勻后從中隨機摸出1個球記下顏色，再把它放回盒子中攪勻，經過大量重

復上述摸球的過程，發現摸到白球的頻率穩定于025.

(1)估計摸一次，摸到白球的概率為;

(2)估計盒子里白球、黑球分別有多少個；

(3)如果要使摸到白球的概率為季那么需要往盒子里再放入多少個白球?

M——等可能事件與非等可能事件

B題型十一

【例題】當試驗的所有可能結果不是有限個，或各種可能結果發生的可能性不相等時，求（估計）概率可

以（）

A.用列舉法B.用列表法

C.用樹形圖法D.通過統計頻率估計

【變式1】下列隨機事件的概率，既可以用列舉法求得，又可以用頻率估計獲得的是（）

A.某種幼苗在一定條件下的移植成活率

B.某種柑橘在某運輸過程中的損壞率

C.某運動員在某種條件下“射出9環以上”的概率

D.投擲一枚均勻的骰子，朝上一面為偶數的概率

【變式2】在“拋一枚均勻硬幣”的試驗中，如果沒有硬幣，下列試驗一種不能作為替代試驗（）

A.2張撲克.“黑桃”代表“正面”，“紅桃”代表“反面”

B.擲1枚圖釘

C.2個形狀大小完全相同，但1紅1白的兩個乒乓球

D.人數均等的男生、女生，以抽簽的方式隨機抽取1人

【變式3】某商場為促銷，凡在商場購物的顧客均可從下列兩個游戲中選擇一個參加：

①抽簽游戲：有10個號簽，上面分別寫著數字1,2,……，10,抽到數字是3的倍數的號簽，則可獲獎；

②轉盤游戲：如圖，轉盤被等分成6個區域，抽獎者隨機轉動轉盤，指針最終指向“紅”所在區域，則可獲

獎.

請問哪個游戲獲獎的機會更大？請用概率知識說明理由.

統計與概率的綜合應用

0題型十二

【例題】某甜品店計劃訂購一種鮮奶，根據以往的銷售經驗，當天的需求量與當天的最高氣溫T有關，現

將去年六月份（按30天計算）的有關情況統計如下：（最高氣溫與需求量統計表）

最高氣溫（單位：攝氏度）需求量（單位：杯）

T<25250

25<T<30300

T>30400

數

9

6

3

2

0^^

152025303540最高溫度

（單位:十）

（1）求去年六月份最高氣溫不高于3（rc的天數.

（2）若以最高氣溫位于各區間的頻率估計最高氣溫位于該區間的概率，求去年六月份這種鮮奶一天的需求

量不超過250杯的概率.

（3）若今年六月份每天的進貨量均為350杯，每杯的進價為5元，售價為10元，未售出的這種鮮奶廠家

以1元的價格收回銷毀，假設今年與去年的情況大致一樣，若今年六月份某天的最高氣溫T