等差數列的概念【16類題型匯總】

總覽卜題型解讀

【題型11求等差數列的通項公式或某一項

【題型2］等差數列基本量的計算

【題型3】等差中項及應用

【題型4】等差數列的性質及簡化計算的應用

【題型5】等差數列的判斷

【題型6】等差數列證明（1）:直接作差或等差中項形式

【題型7】等差數列證明（2）:因式分解型

【題型8】求等差數列中的最大（小）項

【題型9】等差數列的實際應用

【題型10】等差數列與數學文化的結合

【題型11］構造等差數列取倒數型

【題型12］構造等差數列（2）:插入數字或每隔k項抽項數

【題型13］構造等差數列(3):提取2個等差數列的公共項構成新數列

【題型14］構造等差數列(4):奇偶相間討論型（奇偶數列）

【題型15］構造等差數列（5）:隔項等差（奇偶數列）

【題型16］構造等差數列（6）:其它類型

一、等差數列的概念

一般地，如果一個數列從第2項起,每一項與它的前一項的差都等于同一個常數，那么這個數列就叫做

等差數列，這個常數叫做等差數列的公差，公差通常用字母d表示.

注意點：

(1)概念的符號表示：a?+i—a?—d(n￡N*).

（2）定義中強調“從第2項起”，因為第一項沒有前一項.

（3）差必須是同一個常數.

（4）公差可以是正數、負數、零.

⑸當d>0時，是遞增數列，當4=0時，是常數列，當d<0時，是遞減數列.

二、等差中項以及拓展

由三個數a,A,b組成的等差數列可以看成是最簡單的等差數列.這時，/叫做.與b的等差中項,

SL2A-a+b.

注意：

(1)任意兩個實數都有等差中項，且唯一.

(2)?3是和的等差中項，特別注意下標之間的關系.

拓展：若p+q+n=3m,則4n(下標之和性質關系)

三、等差數列的通項公式與函數性質

1.首項為4，公差為d的等差數列｛。“｝的通項公式為%=%

證明：可以用累加法推導

。2-。1=1，

。3-。2=d,

。4-。3=d,

斯—a?-\=d,

左右兩邊分別相加可得，a?—?1=(/;—1)<7,即斯=的+("—1)1(〃之2).

2.若數列｛a“｝是等差數列，首項為內，公差為",則a“=/5)=ai+(〃-1)4=加砌.

(1)點(小落在直線y=dx+(ai—4上，這條直線的斜率為力在y軸上的截距為由一d；

(2)這些點的橫坐標每增加1,函數值增加〃

注意：

①已知首項ai和公差力便可寫出通項公式.

②等差數列的通項公式是a,“ai,d,〃四個變量之間的關系，知三求一.

等差數列通項公式的求法與應用技巧

③等差數列的通項公式可由首項與公差確定，所以要求等差數列的通項公式，只需求出首項與公差

即可.

④等差數列｛%｝的通項公式1)4中共含有四個參數，即°i,d,n,a?,如果知道了其中

的任意三個數，那么就可以由通項公式求出第四個數，這一求未知量的過程，我們通常稱之為“知三

求一”

熟練掌握等差數列是關于〃的一次函數型這一結構特征，并且公差d是一次項系數，它的符號決定

了數列的單調性，介0時，數列｛斯｝為遞增數列，d=0時，數列｛。“｝為常數列，d<0時，數列｛恁｝為

遞減數列.

四、等差數列的性質

1.下標性質

=a+a

(1)在等差數列｛%｝中，若加+77=夕+式加,〃,夕應6"*),則4,+%pq-

特別的，若小+77=22(加,"，2eN*),則有%“+%=2%,

(2)下標成等差數列且公差為m的項四，恁+嗎歐+2”,…&加GN*)組成公差為md的等差數列.

(3)在等差數列｛4”｝中，若％=機，am=n,m^n,則有生?+”=0.

2.等差數列通項公式的變形及推廣

(1)a“=dn+-d)(nGN*)(2)an=am+(n-m)d^m,neN*y

(3)d=~~加，〃eN*,且加H").

n-m'

3.若｛%｝,也｝分別是公差為的等差數列，則有

數列結論

{c+4}公差為d的等差數列(c為任一常數)

{叫}公差為cd的等差數列(c為任一常數)

{4+%}公差為2d的等差數列(k為常數，左eN*)

{pan+qbn}公差為2d+qd'的等差數列(p,q為常數)

題型匯編知識梳理與常考題型

【題型1】求等差數列的通項公式或某一項

基礎知識

等差數列概念的符號表示：an+\~an=d(n￡N*)

等差數列的通項公式：首項為生，公差為"的等差數列｛斯｝的通項公式為%=%+(〃—l)d

/“典型例題/

【例題1】(23-24高二上?浙江紹興?期末)已知數列｛%｝的首項％=4,且滿足。用=%-3(“eN)

則。5=()

A.-11B.-8C.16D.19

【例題2】等差數列3,11,19,27,…的通項公式是（）

A.an=8n+5B.an=8n-5C.an=-8n-5D.an=-Sn+5

【例題3］（23-24高二上?廣東深圳?期末）已知數列｛%｝中，％=1,若」--」?=；,則〃（

an+\anL

1211s

A.—B.—C.—D.19

19112

【例題4】在數列｛。“｝中，4=1,瘋7=阮+1，則%=（）

A.幾B.n2C.〃+2D.y/n

/u鞏固練習/

【鞏固練習。已知數列｛%｝中，4=2,an+x=an-2,則。.

【鞏固練習2】（22-23高三上?山西運城?階段練習）已知數列｛0“｝的首項%=3，03=7,對任意的

力eN*,都有an-2an+x+an+2=0,貝I］a20=.

一11c

【鞏固練習3】已知在數列｛%中，％=1,——=—+2,則％等于.

a

%+1n

【鞏固練習4］在數列｛%,｝中，4=3,曰二=n+6,則數列｛4｝的通項公式為.

【鞏固練習5】已知數列｛%｝中，%=1嗎=4,%=9,且｛%+「4｝是等差數列，則以=（）

A.36B.37C.38D.39

【鞏固練習6】已知數列｛嚏2（%-1）｝（〃eN*）為等差數列，且4=3,%=9,則數列｛%｝的通

項公式為.

【題型2】等差數列基本量的計算

等差數列基本量的計算是指把條件拆成基本量4和d的形式，解二元方程組來得出所求

/“典型例題/

【例題1】在等差數列｛%,｝中，an=m,am=n,且〃w機，a*“=.

【例題2】（高二上?廣東深圳?期末）已知等差數列的首項為表,且從第10項開始均比1大，則公

差d的取值范圍為（）

88383

——,+00-00,25

7575?2575?25

【例題3］（22-23高二上?江蘇蘇州?期末）若數列，是等差數列，。［=1,。3=-彳，則。5=（

〃〃+1

【例題4】（2023?全國?高考n卷真題）已知｛%｝為等差數列,

為數列a｝，低｝的前〃項和，54=32,4=16,求｛〃〃｝的通項公式；

/“鞏固練習/

【鞏固練習1】（24-25高二上?江蘇蘇州?期中）等差數列｛%｝中，％=2,%+%=10,則&的值為

D.10

【鞏固練習2］（23-24高二上?山東泰安?階段練習）首項為-12的等差數列，從第10項起開始為正數,

則公差d的取值范圍是（）

,8

A.d>—B.d<3

【鞏固練習3】已知數列是等差數列，則（）

A.a3+a6=2a4B.a3+a6=a4+a5

【鞏固練習4】已知等差數列｛。〃｝的前”項和為S“，公差為d,且滿足%>0,%+為<。，則3的

a

取值范圍是.

2

【鞏固練習5】（2023?全國?高考1卷真題）設等差數列｛%｝的公差為d,且">1.令”=三土巴，

記邑上分別為數列｛%｝,也｝的前"項和.，若加=3%+%,$3+看=21,求m｝的通項公式；

【題型3】等差中項及應用

基礎知識

由三個數Q,A,b組成的等差數列可以看成是最簡單的等差數列.這時，/叫做Q與b的等差中項,

且24=a+b.

應用1、等差數列中任意相鄰的三項為M“+i，。〃+2構成等差數列，且中間項氏+i是等差中項，即

2%+1=%+。+2

應用2、若數列｛4｝對V〃eN*均滿足2%中=4+4+2，則｛4｝為等差數列

簡證：an-an_｛=an_x-an_2=??-=a2-a[9即。"為等差數列.

應用3、若m+n=2k,則。加+。〃=2。左

/“典型例題/

【例題1]已知｛%｝為等差數列，%+%+。5=1°5,。2+%+。6=99.求。20.

【例題2】已知數列｛%｝滿足：％=1,2=5,-------=—+---------）,則。2025=_________________

Lan+\anan+2

【例題3】（23-24高二上?江蘇南京?期末）若數列是等差數列，且%=2,%=12,則須=

)

95

A.30B.-C.20D.-

22

【例題4】已知遞增數列｛%｝是等差數列，若。4=8,3.2+。6）=。2，則。2024=（）

A.2024B.2023C.4048D.4046

【例題5】（高二上?云南曲靖?期末）已知△XBC中三邊Q,b,。成等差數列，4b,五也成

等差數列，則△ZB。的形狀為.

/“鞏固練習/

【鞏固練習1】（23-24高二上?陜西咸陽?階段練習）在等差數列｛%｝中，若%+%+%+《+%=45,

貝I]2+/=（）

A.16B.17C.18D.19

【鞏固練習2】（23-24高二上?山西呂梁?階段練習）在等差數列｛&｝中，的+包=-1，&+%+。8=3,

則“2023+“2024=（）

13452345

A.------B.-------C.1345D.2345

23

【鞏固練習3】（23-24高二上?安徽滁州?期末）已知｛%｝為等差數列，且6+%=1，4+%=5,則

【鞏固練習4】（2024|Wj二,全國?專題練習）在等差數列｛〃〃｝中，已知。3+。8+63=12,”3。8。13=28,

則數列｛%｝的通項公式可以為（）

41C134438

A.cin=4〃—1B.冊=2〃+1C.cin=——w+D.

【鞏固練習5】（高二上?江蘇徐州?期中）正數°,6的等差中項是:，且e=a+L〃=&+則a+￡

2ab

的最小值是（）

A.3B.4C.5D.6

【鞏固練習6】（24-25高二上?江蘇徐州?階段練習）等差數列｛%｝中，若2%+〃9=18,貝|出+3。6的

值為.

【題型4】等差數列的性質及簡化計算的應用

基礎知識

在對等差數列基本量進行計算時，利用等差數列的性質可以起到減少計算量的作用，很多時候即使

不求出q和d也能得出答案

/“典型例題/

【例題1】已知數列｛%｝是等差數列，p,q,s,twN*，且夕+9=S+九求證4+%=4+。/.

【例題2】（23-24高二上?廣東深圳?期末）已知｛%｝為等差數列，%+。8=10，%=4,則%=.

【例題3】已知等差數列｛%｝中，〃5，%是函數/（%）=/—3%-2的兩個零點，則〃3+。8+。11+。16=

（）

A.3B.6C.8D.9

【例題4】（23-24高二上?四川達州?期末）在遞增等差數列｛%｝中有〃]+%=6,4%=8,則

1111

-------1--------1--------F,?+-()

〃99°100

9810099101

A.—B.-----C.D.—

9999100100

/“鞏固練習/

【鞏固練習1】（23-24高二上?福建福州?期末）已知公差不為0的等差數列｛%｝滿足%,+%=%+%,

41

則一+一的最小值為（）

mp

353

A.9B.-C.-D.-

244

【鞏固練習2】（24?25高二上?福建龍巖?期中）公差不為0的等差數列｛氏｝中，電+〃8=%+%，則

加〃的值不可能是（）

A.9B.16C.22D.25

【鞏固練習4】已知等差數歹!]｛%｝滿足。3+4+〃8+町=12,貝IJ2%—%的值為.

【鞏固練習5】（23-24高二上?重慶?階段練習）已知等差數列｛%｝為遞增數列，且滿足。3+%=34,

=280,則其通項公式為（）

A.an=6^-10B.%=3〃+2

C.a”=2〃+7D.an=H+10

【鞏固練習6】（23-24高二下?云南玉溪?開學考試）若數列｛%｝是等差數列,且%+為+R=72,則

3〃6_%0=（）

A.48B.50C.52D.54

【鞏固練習7】已知正項等差數列｛。“｝,若片+a；=85,a3+a8=ll,則。，=（）

A.1B.2

C.nD.2n-l

【鞏固練習8］若｛%｝是公差不為0的等差數列，滿足城+城，貝（）

A.-10B.-5C.oD.5

【題型5】等差數列的判斷

/核心?技巧/

證明數列是等差數列的主要方法：

（1）定義法：對于〃22的任意自然數，驗證%為同一常數.即作差法，將關于%一1的%代入

an—an-lf在化簡得到定值.

（2）等差中項法：驗證24-1=0^+Q計2（〃三3,〃￡Nx）都成立.

⑶判定一個數列是等差數列還常用到的結論：

①通項公式：an=pn+q（p,q為常數）臺｛〃“｝是等差數列.

②前〃項和公式：Sn=An2+Bn（4B為常數）是等差數列.

問題的最終判定還是利用定義.

///典型例題/

【例題1】已知一個無窮等差數列｛%｝的首項為外,公差為丈

（1）將數列中的前加項去掉，其余各項組成一個新的數列，這個新數列是等差數列嗎？如果是，

它的首項和公差分別是多少？

（2）取出數列中的所有奇數項，組成一個新的數列，這個新數列是等差數列嗎？如果是，它的首項

和公差分別是多少？

（3）取出數列中所有序號為7的倍數的項，組成一個新的數列，它是等差數列嗎？你能根據得到的

結論作出一個猜想嗎？

【例題2】（23-24高二下?山東荷澤?期中）從1,2,3,…，9這9個數字中任取3個不同的數字，

使它們成等差數列，則這樣的等差數列共有（）

A.16個B.24個C.32個D.48個

【例題3】（23-24高二上?廣東深圳?期末）若數列｛%｝是等差數列，則下列數列不一定是等差數列的

是（）

｛㈤｝

A.B.{an+i-a?]

C.｛pa?+q｝（P，4為常數）D.{2。"+"}

【例題4】（24-25高三上?內蒙古包頭?開學考試）“數列｛0“｝是等差數列”是“數列｛%+%+J是等差數

列”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

/“鞏固練習/

【鞏固練習1］已知數列｛%｝是等差數列，下面的數列中①｛的“｝②③｛3%+1｝④｛㈤｝必為

等差數列的個數是（）

A.1B.2C.3D.4

【鞏固練習2】（多選）記邑為數列｛與｝的前〃項和，若數列1｝，是首項為1,公差為2的等差數列,

則（）

A.數列｛g｝為遞減數列B.S,^2n2-n

C.??=4?-3D.數列｛%+S/是等差數列

【鞏固練習3】（23-24高二下?浙江?期中）對于數列｛。“｝,設甲：｛%｝為等差數列，乙：

%+（"-1）。用="%,則甲是乙的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【鞏固練習4】（多選）若數列｛《｝是等差數列，公差4>0,則下列對數列也｝的判斷正確的是

（）

A.若―a,,則數列也｝是遞減數列

B.若〃=片，則數列圾｝是遞增數列

C.若用，則數列也｝是公差為d的等差數列

D.若“=%+〃，則數列低｝是公差為d+1的等差數列

【鞏固練習5】（23-24高二下?廣東佛山?期末）（多選）已知數列｛6｝（〃eN*）的前"項和為S"，則

下列選項中，能使｛七｝為等差數列的條件有（）

A.S?=(n+l)(n-l)

B.S“=a,

C.對V機,“eN*,有%=冊+2(〃-機)

4k-3,n=2k-\

D.，左cN*

4k-l,n=2k

【題型6】等差數列證明(1):直接作差或等差中項形式

[核心?技巧/

1、等差數列概念的符號表示：“+i—a"=d(〃GN*)

2、若數列｛4｝對V〃eN*均滿足2。,+]=%+%+2，則｛4｝為等差數列

簡證：an_%_]=an_x-an_2=--=a2~ax,即an為等差數列.

/“典型例題/

【例題1】已知一個無窮等差數列｛4,｝的首項為q,公差為丈

(1)將數列中的前心項去掉，其余各項組成一個新的數列，這個新數列是等差數列嗎？如果是，

它的首項和公差分別是多少？

(2)取出數列中的所有奇數項，組成一個新的數列，這個新數列是等差數列嗎？如果是，它的首項

和公差分別是多少？

(3)取出數列中所有序號為7的倍數的項，組成一個新的數列，它是等差數列嗎？你能根據得到的

結論作出一個猜想嗎？

【例題2】(22-23高二上?河南鄭州?階段練習)已知數列｛氏｝滿足q=2,。用=4丁.

(1)求證：數列是等差數列;

(2)求數列｛。,｝的通項公式.

【例題3]數列｛%｝滿足%=1必=2,a“+2=2%+]-%+2.

⑴求的,%的值；

(2)設〃=an+1-an,證明也｝是等差數列.

【例題4】(23-24高二上?廣東汕頭?階段練習)已知數列｛的｝滿足見包=:二，%=3,令

b=—^—

n1?

4-1

(1)證明：數列低｝是等差數列；

(2)求數列｛對｝的通項公式.

【例題5】(22-23高二上?福建廈門?階段練習)已知數列母｝,d=2,且滿足S“M=S“+2〃+2,

2

6?=S?-M(MGN*).

⑴證明：數列｛"｝是等差數列并求出低｝的通項公式；

(2)若凡是數列｛%｝的前"項和，求數列｛%｝的通項公式.

/u鞏固練習/

【鞏固練習1】(23-24高二上?浙江溫州?期末)已知數列｛為｝滿足。用=六丁生=；

(1)求證：數列;為等差數列

所以數列是首項為'=2,公差為1的等差數列

l?J%

【鞏固練習2】(23-24高二上?山東荷澤?期末)已知數列｛2｝的首項為外,前〃項和為S“，且

2S"=(%+2".

(1)求證：數列｛%｝為等差數列.

【鞏固練習3］已知｛%｝滿足％=1,且〃％-("+1”"=3r+3”.

(1)求。2,“3；

(2)證明數歹［J｛2｝是等差數列，并求｛%｝的通項公式.

n

【鞏固練習4】(23-24高二上?安徽黃山?期末)已知數列｛。"｝滿足：/=L。用=/=??

“n+1

(1)求證：數列為等差數列;

(2)若+〃2。3+。3〃4---hanan+\<，求滿足條件的最大整數制.

【鞏固練習5】已知數列｛%｝的前〃項和為5"嗎=1,a角=1+2區.證明：數列｛瘋｝是等差數列;

【鞏固練習6】(23-24高二上?江蘇常州?期末)設邑是正項數列｛”“｝的前〃項和，且%=1,

2

S

n+S〃T---=0(n€N*,H>2).

an

(1)求證：數列代｝是等差數列；

(2)求數列｛對｝的通項公式.

【題型7】等差數列證明(2):因式分解型

/核心?技巧/

若遞推公式中出現了關于4和4+i的齊二次式，且｛外,｝為正項數列，則一般需要通過因式分解來得

出an~an-l=常數?

/“典型例題/

【例題1】在數列｛叫中，an>0,且前〃項和s,滿足4s“=g“+l)2(〃eN*),則數列｛%｝的通項公

式為.

【例題2】(23-24高二下?安徽蕪湖?階段練習)設｛%｝是正項數列，且其前〃項和為S,,,已知

(1)求數列｛4｝的通項公式;

【例題3】(23-24高二上?湖南長沙?期中)已知數列｛。“｝各項均為正數，且%=2,

(1)證明：｛〃/為等差數列，并求出通項公式；

/?

(2)設”=(-1)an,求4+b2+b3+…+%.

/“鞏固練習/

【鞏固練習1】(高二下?浙江紹興?期中)已知正數數列｛%｝的前〃項和國滿足：4s“=(%+1)2,則

■,通項an=

【鞏固練習2】已知正項數列｛%｝的前〃項和為S,,S"=；(a“+l)，"eN)

(1)求力、%；

(2)求證：數列｛6｝是等差數列.

【鞏固練習3】(22-23高二下?福建泉州?期末)已知正項數列｛%｝的前項和為S“，且滿足

4s“=(%+1『.

⑴求凡，J;

(2)設a=—1—,數列｛，｝的前”項和為刀，求證：Tn<\.

anan+\2

【鞏固練習4]⑵-24高二下?黑龍江哈爾濱?階段練習)己知正項數列｛%｝,滿足片+2%=4s0+3.

⑴求巴；

⑵若求數列｛4｝的前"項和列

anan+\

【鞏固練習5】(23-24高三上?河南周口?階段練習)在正項等差數列｛%｝中，％=；,匕=

(1)求數列｛對｝的通項公式；

(2)記a=--------,求數列｛"｝的前"項和S,.

anan+\

【鞏固練習6】(23-24高二上?廣東中山?期中)數列｛%｝的前〃項和為S,,S?=n2+n.

（1）求數列｛。“｝的通項公式；

111

（2）是否存在正整數P，4使得了，/，丁成等差數列？說明理由.

【題型8】求等差數列中的最大（小）項

基礎知識

求等差數列中的最大（小）項的主要方法是：首先確定數列的公差正負，然后判斷數列是遞增還是

遞減，接著找出首項和末項，最后根據數列的單調性確定最大（小）項的位置及值。

/“典型例題/

【例題1】（22-23高二上?廣東深圳?期末）（多選）數列｛2｝的前”項和為J，已知邑=一/+7"-3,

貝U（）

A.｛七｝是遞減數列B.｛%｝是等差數列

C.當">4時，4<0D.當〃=3或4時，邑取得最大值

【例題2】設斯=2九一9,則當數列｛助｝的前〃項和取得最小值時，"的值為（）

A.4B.5

C.4或5D.5或6

【例題3】（23-24高二上?河南鄭州?開學考試）等差數列｛斯｝中,S6Vs7,S7>S8,給出下列命題:

①d<0,②S9Vs6,③是各項中最大的項，④57是5?中最大的值，⑤｛an｝為遞增數列.其中正確命

題的序號是.

/“鞏固練習/

【鞏固練習1】（22-23高二上?陜西渭南?階段練習）在等差數列｛aj中，％=-11,。5=-3記

Tn=flla2...a?（n=l,2...）,則數列｛（,｝（）

A.有最大項，有最小項B.有最大項，無最小項

C.無最大項，有最小項D.無最大項，無最小項

【鞏固練習2】（22-23高二上?重慶巴南?階段練習）已知數列｛%｝,

ne

%=1,見，=2^n>2,n&N）,數列也｝滿足夕=_1[

（1）求證：數列｛%｝是等差數列；

（2）求數列｛。“｝中的最大項.

【鞏固練習3】無窮數列｛即｝滿足：氏+4+3%+%+4=0且°產-2.

（1）求證：,為等差數列；

M+2J

（2）若電021為數列｛/1｝中的最小項，求生的取值范圍.

【題型9】等差數列的實際應用

基礎知識

等差數列在實際中有廣泛應用，如計算存款利息、工資增長、溫度梯度、等距分布的物品數量等,

它簡化了連續、等間隔變化的量的計算，是數學中重要的模型之一

/“典型例題/

【例題1】習近平總書記提出：鄉村振興，人才是關鍵.要積極培養本土人才，鼓勵外出能人返鄉

創業.為鼓勵返鄉創業，黑龍江對青山鎮鎮政府決定投入創業資金和開展“創業技術培訓”幫扶返鄉

創業人員.預計該鎮政府每年投入的創業資金構成一個等差數列｛?”｝（單位萬元，力eN*）,每年開

展“創業技術培訓”投入的資金為第一年創業資金q的3倍，已知％2+/=72.則預計該鎮政府幫扶

五年累計總投入資金的最大值為（）

A.72萬元B.96萬元C.120萬元D.144萬元

【例題2】（23-24高二上?福建龍巖?期中）潮涌杭州，亞運來了！2023年9月23日，第19屆亞運

會在杭州盛大開幕，這是杭州歷史上的一件大事，也是中國繼北京奧運會、廣州亞運會后再次舉辦

的大型國際體育賽事.某網站全程轉播了該次賽事，為慶祝本次賽事，該網站舉辦了一場針對本網站

會員的獎品派發活動，派發規則如下：①對于會員編號能被3整除余1且被5整除余1的可以獲得

精品吉祥物一套；②對于不符合①中條件的可以獲得普通吉祥物一套.已知該網站的會員共有2023

人（編號為1號到2023號，中間沒有空缺），則獲得精品吉祥物的人數為.

/u鞏固練習/

【鞏固練習1】某公司購置了一臺價值為220萬元的設備，隨著設備在使用過程中老化，其價值會

逐年減少.經驗表明，每經過一年其價值就會減少d"為正常數）萬元.已知這臺設備的使用年限

為10年，超過10年，它的價值將低于購進價值的5%,設備將報廢.請確定d的取值范圍.

【鞏固練習2】百善孝為先，孝敬父母是中華民族的傳統美德.因父母年事已高，大張與小張兄弟倆

約定：如果兩人在同一天休息就一起回家陪伴父母，并把這一天記為“家庭日”.由于工作的特殊性，

大張每工作三天休息一天，小張每周星期一與星期五休息，除此之外，他們沒有其它休息日.已知2021

年共有365天，2021年1月1日（星期五）是他們約定的首個“家庭日”，則2021年全年他們約定的

“家庭日”是星期五的天數為;2021年全年他們約定的“家庭日”共有個.

【鞏固練習3】稠環芳香燃化合物中有不少是致癌物質，比如學生鐘愛的快餐油炸食品中會產生苯

并花，它是由一個苯環和一個花分子結合而成的稠環芳香燒類化合物，長期食用會致癌.下面是一組

稠環芳香煌的結構簡式和分子式：

名稱蔡并四苯并〃苯

結構簡式coccoCCQO

CH

分子式G0Hs1410G8H12

由此推斷并十苯的分子式為.

【題型10］等差數列與數學文化的結合

基礎知識

等差數列不僅是一種重要的數學概念，在數學文化中也占據著獨特的位置。古代文明中，等差數列

的概念被用于天文歷法的計算，例如中國古代的歷法中就運用了等差數列來預測日食、月食等天象。

此外，在音樂理論中，音階的構成也可以看作是一種等差數列的應用，每個音符之間的頻率比遵循

一定的等差關系。文學作品中，等差數列有時也被用作創作的靈感來源，通過數列的規律性來構建

故事的節奏或是人物的發展脈絡。等差數列以其簡潔而強大的特性，成為連接數學與文化的一座橋

梁

/“典型例題/

【例題1】（21-22高二下?河南鄭州?階段練習）南宋數學家楊輝在《詳解九章算法》中討論過高階等

差數列與一般等差數列不同，前后兩項之差并不相等，而是逐項差數之差或者高次差相等.例如“百

層球堆垛”：第一層有1個球（％=1）,第二層有3個球（&=3）,第三層有6個球（生=6）,第四層有

10個球（。4=10），第五層有15個球（4=15）,…，各層球數之差{%+「%}：a2-ax,%-

%-%，-%，…即2,3,4,5,…是等差數列.現有一個高階等差數列，其前6項分別為1,

3,6,12,23,41,則該數列的第8項為（）.

A.51B.68C.106D.157

【例題2】（22-23高二上?上海虹口?期中）1934年，東印度（今孟加拉國）學者森德拉姆發現了“正

方形篩子”如圖所示，根據規律，貝『'正方形篩子”中位于第100行的第100個數是（）

47

A.20180B.20200C.20220D.20240

【例題3】（22?23高二上?浙江杭州?期末）“中國剩余定理”講的是一個關于整除的問題，現有這樣一

個問題：將正整數中能被3除余2且被7除余2的數按由小到大的順序排成一列，構成數列｛%｝,

則。6二（）

A.103B.107C.109D.105

/“鞏固練習/

【鞏固練習1】（高二上?江蘇連云港?期中）數學著作《孫子算經》中有這樣一個問題：“今有物不知

其數，三三數之剩二（除以3余2）,五五數之剩三（除以5余3）,問物幾何？”現將1到2020共2020

個整數中，同時滿足“三三數之剩二，五五數之剩三”的數按從小到大的順序排成一列，構成數列｛4“｝,

則該數列共有（）

A.132項B.133項C.134項D.135項

【鞏固練習2】《周髀算經》中有這樣一個問題：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清

明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個節氣，自冬至日起，其日影長依次成等差數列，立春當日日

影長為9.5尺，春分當日日影長為6尺，則小滿當日日影長為（）

A.三33尺B.13尺C.5尺D.§4尺

【鞏固練習3】（高二下?安徽宣城?期中）數學著作《孫子算經》中有這樣一個問題：“今有物不知其

數，三三數之剩二（除以3余2）,五五數之剩三（除以5余3）,問物幾何？"現將1到1000共1000個

整數中同時滿足“三三數之剩二，五五數之剩三”的數按從小到大的順序排成一列，構成數列｛。“｝,

則數列（??｝中共有項.

【鞏固練習4】（22-23高二上?江蘇淮安?期中）我國古代數學著作《孫子算經》中有一道題:“今有物

不知其數，三三數之剩二，五五數之剩二，七七數之剩二，問物幾何?”根據這一數學思想，所有被3

除余2的正整數按從小到大的順序排列組成數列｛%｝,所有被5除余2的正整數按從小到大的順

序排列組成數列也｝,把數列｛凡｝與也｝的公共項按從小到大的順序排列組成數列匕,｝,則數列匕,｝

的第10項是數列也｝的第項.

【題型11］構造等差數列（1）:取倒數

/核心?技巧/

八11

形如為-1一%為（夕為常數且夕。0）的遞推式：兩邊同除轉化為一二----+P形式

anan-\

aQ“口1

注意：有的遞推公式是分式的形式，如：%+i=—rn,3=------^等，化為整式之后就符合

man+1anman+1

上面的式子結構了

/“典型例題/

【例題1】（24-25高二上?福建寧德?階段練習）已知數列｛4｝的首項為=；,且滿足

貝1J?。的值為（）

12-11

A.—B.—C.—D.—

79697875

【例題2】（23-24高二上?陜西西安?期中）已知數列｛。〃｝滿足q=1,%+1=晨7,（〃￡N*）,則。〃二

（）

11-1n-\1

A.Q”——B.-C.ci-D.ci—

〃n〃2〃-1〃n4〃-34/7-3

【例題3】已知各項均不為0的數列｛%｝滿足也=：,且％=1，則%023=___________.

%°〃十?2

/“鞏固練習/

1a

【鞏固練習1】已知數列｛。"｝滿足q=3,。”+1=Ul，則電021=（）

1111

A.----B.----C.----D.----

2019202020212022

【鞏固練習2】（22-23高二上?湖北荊州?期末）已知數列4=1，4用=；、，則數列｛%｝的通項公式

【鞏固練習3】（23-24高二下?河南?期中）數列｛%｝中，若［=1,%+1=二+，則-1-=__________

十/a。Gm

【題型12］構造等差數列（2）:插入數字或每隔1項抽項數

核心?技巧

1、在等差數列中每隔誦1同的項金由一項，按原菜的順焉排最一列，仍然是一個等差數列.

例如：%是公差為d的等差數列，貝心以“｝是公差為hl的等差數列

2、要在兩個已知項之間插入數字構成新的等差數列，首先計算這兩項間的原有公差d。然后，決定

要插入的項數R計算新的公差d'=一日一。最后，從第一項開始，按新公差依次計算并插入每個新

左+1

項，直到完成插入。這樣就能構造出包含新項的等差數列。

/“典型例題/

【例題1】已知等差數列｛4｝的首項為=2,公差d=8,在｛%｝中每相鄰兩項之間都插入3個數,

使它們和原數列的數一起構成一個新的等差數列｛4｝.

（1）求數列｛4｝的通項公式.

（2）&9是不是數列｛4｝的項？若是，它是｛4｝的第幾項？若不是，說明理由.

【例題2】已知等差數列｛。"｝中，％=4,4=16,若在數列｛%｝每相鄰兩項之間插入三個數，使得新

數列也是一個等差數列，則新數列的第43項為.

【例題3］已知｛麗｝是等差數列，且句+。2+的=12,“8=16.

（1）求數列｛加｝的通項公式；

（2）若從數列｛的｝中，依次取出第2項、第4項、第6項……第2〃項，按原來的順序組成一個新

數列｛bn｝,試求出｛bn｝的通項公式.

/“鞏固練習/

【鞏固練習1】已知等差數列｛%｝的首項為2,公差為8,在｛4｝中每相鄰兩項之間插入三個數，使

它們與原數列的項一起構成一個新的等差數列｛"｝,則數列仇。23=.

【鞏固練習2】（23-24高二上?浙江寧波?期中）已知等差數列-2,1,4,7,10,…，現在其每相鄰兩項之

間插入一個數，使之成為一個新的等差數列｛0“｝.

（1）求新數列｛%｝的通項公式；

（2）16是新數列｛。“｝中的項嗎？若是，求出是第幾項，若不是，說明理由.

【鞏固練習3】已知等差數列｛%｝的公差為正數，%與久的等差中項為8,且%%=28.

⑴求｛對｝的通項公式；

⑵從｛??）中依次取出第3項，第6項，第9項，…，第3"項，按照原來的順序組成一個新數列低｝，判斷

938是不是數列｛%｝中的項？并說明理由.

【鞏固練習4】（23-24高二上?安徽合肥?期