北師大版九年級上冊數(shù)學(xué)期中考試試題

一、單選題

1.下列說法錯誤的是（）

A.對角線互相垂直的平行四邊形是矩形B.矩形的對角線相等

C.對角線相等的菱形是正方形D.兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形

2.一個菱形的兩條對角線分別為4和5,則這個菱形的面積是（）

A.8B.10C.15D.20

3.在矩形N8CD中，對角線NC與區(qū)D相交于點O,N4D3=34。，則/A4O的度數(shù)是

C.56°D.60°

4.如圖，公路AC、BC互相垂直,公路AB的中點M與點C被湖隔開，若測得AB的長為

3.2km,則M,C之間的距離是（

A.0.8kmB.1.6kmC.2.0kmD.3.2km

5.用配方法解方程f+6x+4=0時，原方程變形為（）

A.(X+3)2=9B.(x+3y=13C.(X+3)2=5D.(X+3)2=4

6.一個不透明的盒子中放入四張卡片，每張卡片上都寫有一個數(shù)字，分別是-2,-1,0,

1.卡片除數(shù)字不同外其它均相同，從中隨機(jī)抽取兩張卡片，抽取的兩張卡片上數(shù)字之積為

負(fù)數(shù)的概率是（）

1flcl-3

A.—B.—C.—D.一

4324

7.已知等腰三角形的兩邊長分別是一元二次方程——6x+8=0的兩根，則該等腰三角形的

底邊長為（）

A.2B.4C.8D.2或4

1

8.某地一家餐廳新開張，開業(yè)第一天收入約為5000元，之后兩天的收入按相同的增長率增

長，第3天收入約為6050元，若設(shè)每天的增長率為x,則x滿足的方程是()

A.5000(1+x)=6050B.5000(l+2x)=6050

C.5000(1-x)2=6050D.5000(1+x)2=6050

9.如圖矩形ABCD的兩條對角線相交于點O,CE垂直平分DO,AB=1,則BE等于()

2

C.-D.2

3

10.如圖，在邊長為2的正方形ABCD中，點Q為BC邊的中點，點P為對角線AC上一

動點，連接PB、PQ,則APBQ周長的最小值為()

A.亞B.3C.V5+1D.2G

二、填空題

11.一元二次方程(x+)=》+1的根是.

12.若關(guān)于x的方程(°-1)/汩-7=0是一元二次方程，則2=—.

13.x2-4x+l=(x-2)2-.

14.如圖所示，平行四邊形ABCD的對角線AC、BD相交于點O,試添加一個條件:

使得平行四邊形ABCD為菱形.

15.若關(guān)于x的一元二次方程依-l)/+x+1=0有實數(shù)根，則k的最大整數(shù)值是.

16.一個袋子中6個紅球，若干白球，它們除顏色外完全相同，現(xiàn)在經(jīng)過大量重復(fù)的摸球試

2

驗發(fā)現(xiàn)，摸出一個球是白球的頻率穩(wěn)定在0.4附近，則袋子中白球有個.

17.如圖，正方形ABCD的對角線BD是菱形BEFD的一邊，菱形BEFD的對角線BF交

CD于點P,則NFPC的度數(shù)是.

18.如圖，在必中，N/=90°,AB=6,BC=10,P是BC邊上的一點，作PE垂直AB,

PF垂直AC,垂足分別為E、F,求EF的最小值是.

三、解答題

19.用適當(dāng)?shù)姆椒ń夥匠蹋?/p>

(l)x2+2x-1=0；(用配方法)

(2)3x2-5x+l=0；(用公式法)

(3)3(2x+l)2=4X+2；(用因式分解法)

⑷3X2+5X=3X+3.(選擇適當(dāng)?shù)姆椒?

20.“一方有難，八方支援”.四川汶川大地震牽動著全國人民的心，我市某醫(yī)院準(zhǔn)備從甲、

乙、丙三位醫(yī)生和A、B兩名護(hù)士中選取一位醫(yī)生和一名護(hù)士支援汶川.

(1)若隨機(jī)選一位醫(yī)生和一名護(hù)士，用樹狀圖(或列表法)表示所有可能出現(xiàn)的結(jié)果；

(2)求恰好選中醫(yī)生甲和護(hù)士A的概率.

21.如圖，菱形ABCD的對角線AC與BD相交于點O,ZABC：ZBAD=1：2,AC//BE,

CE〃BD.

⑴求/DBC的度數(shù)；

(2)求證：四邊形OBEC是矩形.

E

22.如圖，在正方形ABCD中，點P是對角線BD上的一點，點E在AD的延長線上，且

3

PA=PE,PE交CD于點F.

(1)證明：PC=PE；

23.某公園內(nèi)有一塊長30m,寬20m的矩形空地，準(zhǔn)備將其建成一個矩形花壇，要求在花

壇中修建三條長方形的矩形小道(如圖)，剩余的地方種植花草，要使種植花草的面積為

532m2,那么小道的寬度應(yīng)為多少米？(注：所有小道寬度相等)

24.某服裝專賣店在銷售中發(fā)現(xiàn)，一款襯衫每件進(jìn)價為70元，銷售價為100元時，每天可

售出20件，今年受“疫情”影響，為盡快減少庫存，商店決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r措施，經(jīng)市場

調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果每件襯衫降價1元，那么平均可多售出2件.試問：每件襯衫降價多少元時，

平均每天贏利750元？

25.如圖，在AABC中，AD是BC邊上的中線，E是AD的中點，過點A作BC的平行線

交BE的延長線于點F,連接CF.

(1)求證：Z\AFE以Z\DBE；

(2)若ABLAC,試判斷四邊形ADCF是不是菱形？若是，證明你的結(jié)論；若不是，請說

4

參考答案

1.A

【解析】

根據(jù)特殊平行四邊形的性質(zhì)判斷即可；

【詳解】

經(jīng)過判斷，對角線互相垂直的平行四邊形是菱形，故A錯誤；B、C、D均正確；

故答案選A.

【點睛】

本題主要考查了特殊平行四邊形的判定，準(zhǔn)確判斷是解題的關(guān)鍵.

2.B

【解析】

【分析】

根據(jù)菱形的面積計算公式計算即可；

【詳解】

???菱形的兩條對角線分別為4和5,

二菱形的面積=、4X5=10；

2

故答案選B.

【點睛】

本題主要考查了菱形的面積計算，準(zhǔn)確計算是解題的關(guān)鍵.

3.C

【解析】

【分析】

由矩形的性質(zhì)得/BAD=90。，OA=OC=yAC,OB=OD=yBD,AC=BD,則OA=OD,

由等腰三角形的性質(zhì)得NOAD=NADB=34。，進(jìn)而得出答案.

【詳解】

解：：四邊形ABCD是矩形，

NBAD=90。，OA=OC=JAC,OB=OD=yBD,AC=BD,

.*.OA=OD,

5

；.NOAD=NADB=34°,

ZBAO=90°-ZOAD=90°-34°=56°；

故選：C.

【點睛】

本題考查了矩形的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)等知識；熟練掌握矩形的性質(zhì)和等腰三角

形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

4.B

【解析】

【分析】

根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得出CM=gAB,代入求出即可.

【詳解】

VACXBC,

ZACB=90°,

為AB的中點，

.,.CM=1AB,

VAB=3.2km,

CM=1.6km,

故選：B.

【點睛】

此題考查直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)，能根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得出

CM=yAB是解題的關(guān)鍵.

5.C

【解析】

【分析】

方程整理后，配方得到結(jié)果，即可做出判斷.

【詳解】

解：方程配方得：x2+6x+5+4-5=0,即（x+3）2=5.

故選：C.

【點睛】

6

此題考查解一元二次方程-配方法，熟練掌握完全平方公式是解題的關(guān)鍵.

6.B

【解析】

【分析】

畫樹狀圖展示所有12種等可能的結(jié)果數(shù)，再找出抽取的兩張卡片上數(shù)字之積為負(fù)數(shù)的結(jié)果

數(shù)，然后根據(jù)概率公式求解.

【詳解】

解：畫樹狀圖如下：

-2-101

AAAA

-1o1-201-2-11-2-10

由樹狀圖可知共有12種等可能結(jié)果，其中抽取的兩張卡片上數(shù)字之積為負(fù)數(shù)的結(jié)果有4種,

41

所以抽取的兩張卡片上數(shù)字之積為負(fù)數(shù)的概率為丘=§,

故選B.

【點睛】

本題考查了列表法與樹狀圖法：利用列表法或樹狀圖法展示所有等可能的結(jié)果n,再從中選

出符合事件A或B的結(jié)果數(shù)目m,然后利用概率公式計算事件A或事件B的概率.

7.A

【解析】

【分析】

解一元二次方程求出方程的解，得出三角形的邊長，用三角形存在的條件分類討論邊長，即

可得出答案.

【詳解】

解：x2-6x+8=0

(x—4)(x—2)=0

解得：x=4或x=2,

當(dāng)?shù)妊切蔚娜厼?,2,4時，不符合三角形三邊關(guān)系定理，此時不能組成三角形；

當(dāng)?shù)妊切蔚娜厼?,4,4時，符合三角形三邊關(guān)系定理，此時能組成三角形，

所以三角形的底邊長為2,

故選：A.

7

【點睛】

本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系，解一元二次方程，能求出方程的解并能

夠判斷三角形三邊存在的條件是解此題的關(guān)鍵.

8.D

【解析】

【分析】

根據(jù)開業(yè)第一天收入約為5000元，之后兩天的收入按相同的增長率增長，第3天收入約為

6050元列方程即可得到結(jié)論.

【詳解】

解：設(shè)每天的增長率為X,

依題意，得:5000(1+x)2=6050.

故選：D.

【點睛】

本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題

的關(guān)鍵.

9.A

【解析】

【分析】

根據(jù)矩形的性質(zhì)可證明AODC,AOAB都是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)即可求出

OE的長，即可的答案；

【詳解】

四邊形ABCD是矩形，

OA=OB=OD=OC,

VCE垂直平分相等OD,

r.CO=CD,

oc=OD=CD,

?■?△OCD,AAOB都是等邊三角形，

:.OB=AB=OD=1,OE=DE=yOD=y,

8

故選A.

【點睛】

本題考查矩形的性質(zhì)、等邊三角形的判斷和性質(zhì)、線段的垂直平分線的性質(zhì)等知識，解題的

關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題，屬于中考常考題型.

10.C

【解析】

【分析】

由于點B與點D關(guān)于AC對稱，所以如果連接DQ,交AC于點P,那么&PBQ的周長最小,

此口寸APBQ的周長=BP+PQ+BQ=DQ+BQ.在RtACDQ中，由勾股定理先計算出DQ的長

度，再得出結(jié)果即可.

【詳解】

連接DQ,交AC于點P,連接PB、BD,BD交AC于O.

四邊形ABCD是正方形，

AC±BD,BO=OD,CD=2cm,

...點B與點D關(guān)于AC對稱，

BP=DP,

.'.BP+PQ=DP+PQ=DQ.

在RMCDQ中，DQ="CD'+CQ2=J2?+F=5

..△PBQ的周長的最小值為：BP+PQ+BQ=DQ+BQ=V5+1.

【點睛】

此題考查軸對稱問題，根據(jù)兩點之間線段最短，確定點P的位置是解題關(guān)鍵.

11.%=0,X2=—]

9

【解析】

【分析】

利用因式分解法求解可得.

【詳解】

解:(X+I)2=X+1,

(x+1)2—(x+1)=0,

貝！|x(x+l)=O，

.18=0或x+l=O,

解得再=0，X2=-1,

故答案為：再=0,x2=-l.

12.-1.

【解析】

根據(jù)一元二次方程的定義得到由此可以求得a的值.

【詳解】

解：：關(guān)于x的方程(a-1)xa2+l-7=0是一元二次方程,

Z.a2+1=2,且a-l#),

解得，a=-1.

故答案為-1.

13.3

【解析】

利用配方法的步驟整理即可.

【詳解】

解：x2-4x+l

=x2-4x+4-3

=(x-2)2-3,

故答案為3,

14.AD=DC(答案不唯一)

【詳解】

由四邊形ABCD是平行四邊形，

10

添加AD=DC,根據(jù)鄰邊相等的平行四邊形是菱形的判定，可使得平行四邊形ABCD為菱形;

添加ACLBD,根據(jù)對角線互相垂直的平行四邊形是菱形的判定，可使得平行四邊形ABCD

為菱形.

故答案為：AD=DC（答案不唯一）.

15.0

【解析】

關(guān)于x的一元二次方程（左-1）尤2+x+l=0有實數(shù)根，則△=/一4aW0,且k-l#）,求出k的

取值范圍即可解決本題.

【詳解】

解：關(guān)于x的一元二次方程（左-Ox?+x+1=0有實數(shù)根，

則

k-lwO

解得：片且附，

則k的最大整數(shù)值為；0,

故答案為：0.

16.4

【解析】

根據(jù)概率的求法，找準(zhǔn)兩點：①全部情況的總數(shù)；②符合條件的情況數(shù)目；二者的比值就是

其發(fā)生的概率.

【詳解】

設(shè)袋子中白球有x個，

X

由題意得，--=0.4,

6+x

解得：x=4,

經(jīng)檢驗x=4是原方程的解

故袋子中白球有4個，

故答案為：4.

17.112.5°

【解析】

11

利用正方形的性質(zhì)得到N8CD=90。，NCBD=45。,再根據(jù)菱形的性質(zhì)得BF平分，ZEBD,

所以/C3P=22.5。，然后根據(jù)三角形外角性質(zhì)計算/EPC的度數(shù).

【詳解】

解：：四邊形ABCD為正方形，

ZBCD=90°,NCBD=45。,

'：四邊形BEFD為菱形，

ABF平分NEBD,

"CBX225。,

ZFPC=ZPBC+ZBCP=22.5°+90o=112.5°.

故答案為：112.5。.

18.4.8

【解析】

根據(jù)已知得出四邊形AEPF是矩形，得出EF=AP,要使EF最小，只要AP最小即可，根據(jù)

垂線段最短得出即可.

【詳解】

解：連接AP,

VZBAC=90°,PE±AB,PFXAC,

ZBAC=ZAEP=ZAFP=90°,

四邊形AFPE是矩形，

；.EF=AP,

要使EF最小，只要AP最小即可，

過A作AP_LBC于P,此時AP最小，

在RtZkBAC中，ZBAC=90°,BC=10,AB=6,由勾股定理得：AC=8,

由三角形面積公式得：^x6x8=^xlO-AP,

22

；.AP=4.8,

12

即EF=4.8,

故答案為：4.8.

【點睛】

本題利用了矩形的性質(zhì)和判定、勾股定理以及垂線段最短的應(yīng)用.

19.(l)xi=-1+72，X2=-1-V2

c、5+VTs5—y/l3

(2)X1=―--,X2=一一

66;

,八—1—1

(3)X1=-—，X2=-—

26

,八-i+Vio-i-Vio

4

()玉=---，X2=―--

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)配方法求解即可；

(2)根據(jù)公式法求解即可；

(3)根據(jù)因式分解法求解即可；

(4)根據(jù)公式法求解即可；

(1)

解：x2+2x-1=0,

x2+2x=1,

x2+2x+l=l+l,即(x+1)2=2,

?*x+l=±，

?'?X1=-I+V2，X2=-1-V2.

(2)

解：3x2-5x+l=0,

Va=3,b=-5,c=l,

???A=(-5)2-4x3xl=13>0,

則x=5

6

日n5+Jl35—J13

即xi=---------，x=----------;

626

(3)

解:3(2x+l)2=4X+2,

13

3(2x+l)2-2(2x+l)=0,

（2x+l）[3（2x+l）-2]=0,

2x+l=0或6x+l=0,

11

Xl=--,X2=--.

26

（4）

解：3x2+5x=3x+3f

3x2+2x-3=0

Va=3,b=2,c=-3,

AA=22-4x3x（-3）=40>0,

._—2±2J10_—1±y/lQ

??X---------------------------------------,

2x33

.—1+y/io—i—Vio

..X1=--------------------,X2=-----------------.

33

【點睛】

本題考查解一元二次方程的解法，熟練掌握解法解一元二次方程的方法：配方法、公式法、

因式分三種方法是解題的關(guān)鍵.

20.（1）詳見解析；（2）

6

【解析】

（1）利用用樹狀圖（或列表法）列舉出所有情況；

（2）讓恰好選中醫(yī)生甲和護(hù)士A的情況數(shù)除以總情況數(shù)即為所求的概率.

【詳解】

解：（1）用列表法或樹狀圖表示所有可能結(jié)果如下：

護(hù)士

AB

醫(yī)生

甲（甲，/）（甲，B）

乙（乙，/）（乙，B）

14

丙(丙，（丙,B）

(2)因為共有6種等可能的結(jié)果，其中恰好選中醫(yī)生甲和護(hù)士A的有1種，

所以尸(恰好選中醫(yī)生甲和護(hù)士/)=：.(3分)

0

【點睛】

本題考查的是用列表法或者用樹狀圖法求概率.列表法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的

結(jié)果，適合于兩步完成的事件.樹狀圖法適用于兩步或兩步以上完成的事件；解題的關(guān)鍵是

還要注意是放回實驗還是不放回實驗.用到的知識點為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.

21.(1)30°(2)證明見解析

【解析】

【分析】

(1)由四邊形ABCD是菱形，得到對邊平行，且BD為角平分線，利用兩直線平行得到一

對同旁內(nèi)角互補(bǔ)，根據(jù)已知角之比求出相應(yīng)度數(shù)，進(jìn)而求出NBDC度數(shù)；

(2)由四邊形ABCD是菱形，得到對角線互相垂直，利用兩組對邊平行的四邊形是平行四

邊形，再利用有一個角為直角的平行四邊形是矩形即可得證.

【詳解】

(1),四邊形ABCD是菱形，

；.AD〃BC,ZDBC=-ZABC,

2

AZABC+ZBAD=180°,

VZABC：ZBAD=1：2,

ZABC=60°,

.,.ZBDC=-ZABC=30°;

2

(2)證明：：四邊形ABCD是菱形,

15

，AC_LBD,即/BOC=90°,

：BE〃AC,CE〃BD,

；.BE〃OC,CE〃OB,

.??四邊形OBEC是平行四邊形，

則四邊形OBEC是矩形.

【點睛】

此題考查了矩形的判定，菱形的性質(zhì)，熟練掌握判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.

22.(1)見解析；(2)90°

【解析】

【分析】

(1)由四邊形ABCD是正方形，BD是正方形ABCD的對角線，得AB=BC,NABP=

ZCBP=45°,利用SAS可證得△ABPgZ^CBP即可證明PC=PE.

(2)由4ABP附△CBP,得/BAP=NBCP,從而得NDAP=NDCP,再由PA=PE即可證

出NDCP=/E,進(jìn)而可證出/CPE=/EDF=90。.

【詳解】

(1)證明：：四邊形ABCD是正方形，BD是正方形ABCD的對角線，

；.AB=BC,/ABP=/CBP=45。，

在4ABP和4CBP中，

AB=BC

<ZABP=ZCBP,

PB=PB

.".AABP^ACBP(SAS),

APA=PC,

VPA=PE,

APC=PE,

(2)解：由(1)知，AABP^ACBP,

AZBAP=ZBCP,

AZDAP=ZDCP,

VPA=PE,

...NDAP=NE,

16

；.NDCP=/E,

VZCFP=ZEFD,

Z.180°-ZPFC-ZPCF=180°-ZDFE-ZE,

即NCPE=/EDF=90°.

【點睛】

本題主要考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵

在于能夠熟練掌握相關(guān)知識進(jìn)行求解.

23.小道進(jìn)出口的寬度應(yīng)為1米.

【解析】

【分析】

觀察圖形可知，種植花草的地方拼湊起來可以得到一個新矩形，設(shè)小道進(jìn)出口的寬度為x

米