北京市十一學校2023-2024學年高三上學期開學

數學試卷

一、選擇題：共10小題，每小題5分，共50分.每小題給出的四個選項中，只有一項是符合

題目要求的.

A=|x|log2x<0},B=<y—<1>

1.已知集合yJ，R是實數集，°表示空集，則（）?

A.AI5=(f0)B.A|J3=R

C.AI&5)=(0,1)D.cfa)c(R3)=0

【答案】c

【解析】

【分析】求出集合A和B,利用交集和補集定義求解.

【詳解】集合A={x|log2X<0}={x[0<x<l},5={y|-<l}={y|y<>1},

一y

所以=故A錯誤;

=或0<x<l或x>l},故B錯誤;

\3={x[0<x<l},所以AI(^B)=(O,l),故C正確;

\A={x|x<0或x21},所以(瘠A)c(RB)={0,1},故D錯誤.

故選：C.

/

2.設〃二-I,b=lg(sin2),。=1嗎2,則a,4c的大小關系是

A.a>b>cB.d>c>bC.b>d>cD.b>c>a

【答案】B

【解析】

【分析】根據指數函數、對數函數及正弦函數的單調性，利用中間量法即可得出答案.

0.1

3I>g)=1,Z?=lg(sin2)<lgl=0,

【詳解】解：a=

2

,/log31<log32<log33,.*.0<c<l,

則a,A,c的大小關系是d>c>b.

故選：B.

cos850+sin25°cos30°/、

3.--------------------二()

cos25°

A.—且B.交C.!D.2

22*23*5

【答案】C

【解析】

【分析】將8$85°轉化為(：05(60°+25°),然后利用三角函數的兩角和公式展開進行化簡計算.

【詳解1根據三角函數兩角和公式，貝!Jcos85°=cos(60°+25°)=cos60°cos25°-sin60°sin25°.

代入原式化簡，

將cos85°=cos60°cos250-sin60°sin25°代入原式+sin2/cos3°可得：

cos25

cos60°cos25°-sin60°sin25°+sin25°cos30°_cos60°cos25°+sin25°(cos30°-sin60°)

cos25°cos25°

因為cos30sin60°=，所以cos300-sin60°=0.

22

rgT打4cos600COS250-c。1

則7n原式變為--------；——=cos60二一.

cos252

故選：C.

4.已知a為第二象限角，sina+cosa=43，則cos2a=()

3

A.—@B.C.—D.在

3993

【答案】A

【解析】

【詳解】sin<z+cosa=(sina+cosa)2=-,—+Ikn<a(至+2左萬1+sin2a=—sin2a=--

332433

5J5

cos22a=—?：兀+4左)<2a<--F4左乃cos2a=-----，故選A.

923

JI

5.已知sin(〃-a)=-2sin(,+a),則sinacosa二

【答案】B

【解析】

JI.

【詳解】試題分析：因為sin(〃一a)=-2sin(］+a),所以sin。=—2cosa,tana=-2,所以sinacosa二

sincrcoscr_tanor_-2_2

sin2x+cos2xtan2a+1+1丁故選B.

考點：1、誘導公式的應用；2、同角三角函數之間的關系.

6.己知通數/(x)=l+2sin［2x+g］中，則對下列結論判斷正確的為()

①/(x+兀)=/(%)；

②直線X=-A是/(%)圖象的一條對稱軸；

③/(%)在15，言］上單調遞減；

④點,o］是/(X)圖象的一個對稱中心；

⑤/(%)向左平移。個單位得到的函數為偶函數.

A.①②③B.①②④C.③④⑤D.①③⑤

【答案】D

【解析】

7T

【分析】需要對函數/'(x)=l+2sin(2x+§)的周期性，對稱性和單調性，圖像變換性質逐個分析，通過

計算和推理來判斷各個結論的正確性.

【詳解】判斷①，對于/(x)=l+2sin［2x+g］最小正周期為T=g=7i,則/(1+兀)=/(".①正確.

判斷②，當％=-三時，/(—-)=l+2sin(2x(—)+—)

12712123

TTITTTI__

=l+2sin(一一+-)=l+2sin-=l+2x-=2,此時函數不是取得最值，所以直線彳=-二不是/(%)圖

636212

象的一條對稱軸，②錯誤.

jrJr37r7i7TT

判斷③，令2fei+—<2%+—<2而+—GZ),解得E+—<x<kn-\----.

2321212

yr7TTjr7JT

當左=0時，函數/(X)的單調遞減區間是[一,—],所以/(X)在(一,——)上單調遞減，③正確.

12121212

判斷④，對于正弦函數y=sinx,其對稱中心為(E,0)(AeZ).

,7TJTjzTTJT

對于函數/(%)=l+2sin(2%+1)，令2%+4=E(kwZ),%.

JTJTJT

k=l,止匕時y(g)=l+2sin(2x§+§)=l+2sin7i=l+0=lw0,所以點(^,0)不是/(%)圖象的一個

對稱中心，④錯誤.、

判斷⑤，/(幻向左平移*個單位，根據“左加右減”原則，得至Ug(x)=l+2sin[2(x+Z)+']

12123

jrjrjr

=1+2sin(2xd---b—)=1+2sin(2x+—)

632

=l+2cos2x.

^(-x)=1+2cos(-2x)=1+2cos2%=,所以g(x)是偶函數，⑤正確.

故選：D.

7.若函數/(x)=sin@x(cy>0)在區間0,三單調遞增，在區間方謂上單調遞減，則0=()

32

A.3B.2C.-D.-

23

【答案】C

【解析】

【分析】先根據/[m]=sing=l求出0=9+6左，keZ,再根據函數在區間71

0,-單調遞增，得到

4兀33

T>—,求出0<04巳，從而得到。=巳.

322

【詳解】由題意得/[1]=sin?=l,故半=曰+24兀，k《Z,

3

解得①=—F6k,左cZ,

2

TTjr1ZLJT

又因為函數在區間o,-單調遞增，所以--04—T,解得T2—,

L3J343

2兀

因為G>0,所以T=—，

co

27r47r3

故」2」，解得0<04巳，

co32

331

故0（心+6人《心，解得一一〈女V0,

224

3

又kwZ,故人=0,所以0=—

2

故選：C

8.VA3C中，內角A,5c的對邊分別為a,6,c,若已知a,仇A,則“〃sinA<a”是“VABC有且僅有

一解”的（）條件.

A,充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要

【答案】D

【解析】

【分析】給定的邊。、6和角A,通過正弦定理來分析三角形解的情況，進而判斷兩個條件之間的邏輯關

系

【詳解】判斷充分性，

ah

由正弦定理-----=-----可得〃sinA=asin3.

sinAsinB

已知Z?sinA<a,BPasinB<a（因為Z?sinA=asin5）,由于a>0,所以sin5<l.

當Z?sinA<a時，sinB<l,此時B可能有兩個值（一個銳角和一個鈍角），那么VA3C可能有兩解，所

以由Z?sin不能推出NABC有且僅有一解，充分性不成立

判斷必要性，

若VABC有且僅有一解，有兩種情況：

ah

情況一：A290°且。2b，此時由正弦定理-----=-----，可得bsinA=asin5,因為“2/7,所以

sinAsinB

bsinA<a.

情況二：Av90°且a=Z?sinA或當a=Z?sinA時，bsinA=a；當aNb時，bsinA<a.

所以由VA5C有且僅有一解不能推出bsinA<a,必要性不成立.

則“加inAva”是“VABC有且僅有一解”的既不充分也不必要條件.

故選：D.

9.已知函數〃力=2義：-"的圖象關于原點對稱,ga)=ln(e'+l)—加;是偶函數，則logR+

log,a=()

A.-2B.2C.-1D.0

【答案】A

【解析】

【分析】首先利用奇函數和偶函數的性質分別求出。與6的值，然后再代入到log〃入+log8a中進行計算.

【詳解】已知函數［(x)=2*°的圖象關于原點對稱,所以/(幻是奇函數.

因為/(%)的定義域為R,那么/(0)=0.

將x=0代入/(%)可得：/(0)=2*；：_=

由/(0)=0,即2—a=0,解得a=2.

因為g(x)=ln(e*+1)-加;是偶函數,所以g(—x)=g(為.

g(-x)=ln(e-x+1)+Z7x,g(x)=ln(e"+1)-.

則ln(e—"+V)+bx=ln(ex+V)-bx.

11x

對ln(ef+1)進行變形：ln(e-x+1)=ln(—+1)=ln(--+--e---)=ln(e*+l)-lnex=ln(ex+1)-%.

exe%

所以ln(ex+1)-x+/?x=ln(ex+1)-Z?x.

移項可得：2bx=x,對于任意x都成立，所以26=1,解得b=L.

2

1,1,

將a=2,匕=_代入log〃6+logz,a.則log2i+log_i2.

225

根據對數運算法則12

，log?!=log22-=-1.

所以1。82；+1。8工2=-1+(—1)=-2.

故的值為一

logab+log"a2.

故選：A.

10.設函數/(%)、g(x)滿足下列條件:

(1)對任意實數與、%都有/(%)?/(無2)+8(%)，g(x2)=g(七一W)；

(2)〃T=T，"。)=0,/(1)=1.

下列四個命題：①g(O)=l；②g(2)=l；

③尸(x)+g2(x)=l；④當〃>2,〃eN*時，[/(x)T+[g(x)T的最大值為1.

其中所有正確命題的序號是()

A.①③B.②④C.②③④D.①③④

【答案】D

【解析】

【分析】分別令廣、][,可得出關于g(o)、g⑴的方程組，解之可判斷①;令

%2—1%2=U%2=—1%2=一

可得出g(—1)的值，進而可求得g(2)的值，可判斷②；令工小/二兀判斷③；由③得—1W/(X)W1,

-l<g(x)<l,可得出[〃切"4/(切2,[g(x)T〈[g(X)T，結合不等式的基本性質可判斷④.

【詳解】對于①,令石=1=1得口⑴了+[g(l)]2=g(o),所以，l+[g⑴了=g(o),

所以，g(o)—l=[g⑴了,

令石=1,3=0得/(l)〃o)+g(l)g(o)=g(l),所以,g⑴g(o)=g⑴，

g(o)_l=「g⑴T^(0)=1

所以，'，L"〃，解得],故①正確；

[g⑴g(o)=g⑴UW=o

對于②，令玉=0,%=-1，得/(O)〃T)+g⑼g(—l)=g(l)，則g(—1)=0,

令石=1,%=T得〃1)/(—l)+g(l)g(f=g⑵,所以,g⑵=T，故②錯;

對于③,令寸=X2=%，可得/2(x)+g2(x)=g(0)=],故③對；

對于④，由③可知,-1</(X)<1,-1<g(X)<1,

所以[/(x)T<[〃》)了，[g(x)T<[g(x)]2，

當”>2,neN*[/(x)J+[g(x)J<[/(x)]2+[g(x)]2=1.

故/""(%)+g"(x)的最大值為1,故④對.

故選：D.

【點睛】關鍵點點睛：解本題的關鍵在于對/、馬賦值，結合題中等式構建方程組求解.

二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分.把答案填在答題紙中相應題號橫線上.

.「萬12E/2萬)

11.已知cos［1一aJ=,，貝(Js加［a——I=.

【答案】-1

【解析】

【分析】利用石-￡+1-2工=工以及誘導公式，直接求出sin(e—二-］與cos(二-的關系，求出結

632<5)<0)

果.

【詳解】因為［看■—a)+(a—|n；=―所以sin(1「|4小臺仔—J

.-71,r11Y-(n12

一s1n5+后-。廣一叫至_a尸一］

故答案為-|.

【點睛】本題是基礎題，考查利用誘導進行化簡求值，注意角的變換的技巧，是快速解答本題是關鍵，考

查計算能力，轉化思想.

，始邊與了軸的非負半軸重合，終邊經過點P季，X

12.在平面直角坐標系中，角a的頂點與坐標原點重合

且sino=—x,則％的可取值為_____

3

【答案】0,-1,1

【解析】

【分析】根據三角函數定義得到方程,求出犬的可取值為0,—1,1.

X

sina=

【詳解】由三角函數定義可知IF

x2

■-----------------------X

顯然x=0滿足要求,

當xwO時，化簡得-=3,解得*=±1,

故x的可取值為0,—1,1.

故答案為：0,-1,1

、療sinx)+#的圖象，只需把函數/(x)=sin2x的圖象上所有的

13.為了得到函數/(%)=sinx(cos%-

點向平移個單位.

JTI

【答案】①.左②.-##-71

66

【解析】

【分析】直接利用函數的關系式的變換和函數的圖象的平移變換求解.

【詳解】

/(x)=sinxlcosx-V3sinx=-sin2x-G"c°s2")+—=-sin2x+—cos2x=sin(2x+-)

4222223

7T

所以要得到該函數的圖象，只需將函數/(X)的圖象向左平移二個單位即可.

6

7T

故答案為：左；—.

6

14.已知函數/(x)=sin2^+#sinox—g,(o〉0)，若/(%)在怎，g］上恰有兩個零點，則。不可

能取以下各值的序號為_________,①J；②1;③』；④2；⑤3

22

【答案】①②⑤

【解析】

【分析】先對給定函數進行化簡，再根據函數零點的條件，結合給定區間，分析出0的取值范圍，從而判

斷各個值是否滿足條件.

【詳解】對/(x)=sin2絲+1sinox—l進行化簡.

222

根據二倍角公式可得，sin2—^1"—

22

由|、1、1—cossV3.1

所以/(%)=---------+5-sm^x~~?

進一步整理得f(x)=Wsina)x-箋2.

TT

再根據輔助角公式所以/(%)=sin(ox——).

6

,兀

7T7TjzTT_|____

令/(x)=sin(ox——)=0，則公r——=kn,keZ,解得_g,keZ.

66%二

co

jrTT3?r

因為xe(一,—)，當左=0時,X=——，要使龍在(一,——)內，土>「不成立，所以左21.

226(0226心2

當左=1時，K+67兀；當氏=2時，2兀+%13兀.

%=----=——x=-----=---

CD6coCD6co

TT37r'口Z1L2K

因為/(x)在(二，三)上恰有兩個零點，所以七2〈能<2.

I2>63—2

137

解得——<a><—.

93

判斷各值是否滿足條件，

—<一，不滿足一<0><—.

2993

13137

?1<—,不滿足工。〈工

993

1337

③滿足條件?

923

137

—<2<-,滿足條件.

93

[37

⑤3>],不滿足§<&><§.

。不可能取的值的序號為①②⑤.

故答案為：①②⑤.

15.已知函數M%)Tnx+Lq(x)=e，,若4(%)=夕(切成立，則々一罰的最小值為.

【答案】1

【解析】

【分析】首先通過設式石)=，(々)=￡，將馬用。表示出來，進而得到％-占關于，的函數表達式?然

后對該函數求導，根據導數判斷函數的單調性，從而求出函數的最小值，也就是％-占的最小值.

【詳解】設<7(石)=，(％)=，，因為q(x)=e*,p(x)=lnx+l.

對于q(xj=e*=/,則X]=lnf(z>0).

對于。(々)=也/+1=/,可得111工2=，-1,那么

構建關于/的函數并求導

令A(0=x2-x；=e'T-Int(/>0).

對/?(/)求導，h'(t)=e'T-

t

設m")=ei—工，m'(t)=1-1+2>0,這說明//'⑺在(0,+8)上單調遞增.

t1

又"⑴=產==0.

當0</<1時，"?)<0,所以丸?)在(0,1)上單調遞減；

當1>1時，〃(力>0,所以/?⑺在(1,+8)上單調遞增.

所以h(t)在/=1處取得最小值,h(l)=e1-In1=1-0=1.

故々-西的最小值為1.

故答案為：1.

16.幾位大學生響應國家創業號召，開發了一款應用軟件.為激發大家學習數學的興趣，他們推出了“解

數學題獲取軟件激活碼”的活動.這款軟件的激活碼為下面數學問題的答案：已知數列1,1,2,1,2,

4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,…，其中第一項是2°，接下來的兩項是2°，21-再接下來的三項是

2°-2]，22,依此類推.求滿足如下條件的最小整數MN>100且該數列的前N項和為2的整數

暴.那么該款軟件的激活碼是.

【答案】440

【解析】

【分析】由題意求得數列的每一項，及前〃項和S“=2"+i-2-〃，及項數，由題意可知：2向為2的整數

暴.只需將-2-〃消去即可，分別分別即可求得N的值.

【詳解】解：由題意可知：第一項2°，第二項2°,2、第三項2°,2122,L,第〃項2°,2i,…,2"T,

根據等比數列前〃項和公式，求得每項和分別為：21-B22-1，23-1，…，2"-1，

每項含有的項數為：1,2,3,…，”，

總共的項數為N=l+2+3+…+〃=妁詈，

所有項數的和為

:21-l+22-l+23-l+...+2"-l=(21+22+23+...+2n)-H=^1-^-H=2n+1-2-H-

由題意可知：2-1為2的整數幕，只需將-2-〃消去即可，

則①1+2+(—2—")=0,解得：n=l,總共有支已以+2=3,不滿足N>100,

2

②l+2+4+(—2—〃)=0,解得：n=5,總共有劍2^+3=18,不滿足N>100,

2

③l+2+4+8+(—2—")=0,解得：〃=13,總共有(1+13)x13+4=95,不滿足N>100,

2

@1+2+4+8+16+(-2-7?)=0,解得：〃=29,總共有^^^+5=440,滿足N>100,

2

???該款軟件的激活碼440.

故答案為：440.

【點睛】本題考查數列的應用，等差數列與等比數列的前〃項和，考查計算能力及數據分析能力，屬于難

題.

三、解答題：本大題共5個小題，共0分，解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步

驟.請將解答過程寫在答題紙的相應位置.

17.如圖，已知A5C。四點共面，且CD=1,BC=2,AB=4,ZABC=120°,cosZBDC=.

(2)求AD.

【答案】(1)sinND5C=叵(2)AD=3下＞

14

【解析】

【分析】

（1）計算sin/BDCu叵，根據正弦定理計算得到答案.

7

（2）根據余弦定理計算￡>5=J7，cosNDBC=亞,和差公式得到cos/A5D=-且，再利用余弦

1414

定理計算得到答案.

【詳解】（1）在△班）。中，因為COSZBDC=2"，所以sin/6。。=壯旦.

77

DCBC所以—答

由正弦定理知

sinZDBCsinZBDC

（2）在ABDC中，由余弦定理知BC?=。02+。52—2。。cosN&5C，

故4=1+。52—2。8獨^解得DB=5或DB=—氈~(舍).

77

由已知得/O3C是銳角，又sinNDBC=叵,所以cosND3C=迫.

1414

所以cosZABZ)=cos(120-NDBC)=cos120-cosZDBC+sin120-sinZDBC

214214-14

在△ABD中，由余弦定理知AD-=AB~+BD23-2ABBDcosZABD

=16+7-2x4xV7x1-春:27,解得4￡>=36.

【點睛】本題考查了正弦定理，余弦定理，意在考查學生的計算能力和應用能力.

18.已知函數/（X）=^^sin2x-3sin2x+g.

（1）求函數/（力的最小正周期和單調遞增區間；

（2）若0<x<],求/（%）值域；

3

（3）在VABC中，內角A,B,C所對的邊分別是a,6,c且6+C=0+1,。=1,若/（4）=；,求

VA3C的面積.

3兀7t、

【答案】（1）兀；—1，+"兀，"兀十五（左￡Z）.

（2）〃%）4一36

⑶字

【解析】

【分析】（1）首先利用三角函數的關系式的變換，把函數的關系式變換成正弦型函數，進一步求出函數的

最小正周期和函數的單調遞增區間；

（2）利用函數的定義域求出函數的值域；

（3）利用余弦定理和三角形的面積公式求出結果.

【小問1詳解】

?/=^sin2x-fc^4=^sin2x4cos2x=^sin

W卜+方）

v722222

故函數的最小正周期為一二兀;

2

57t7C

故函數的單調遞增區間為一石■+也,也+五（keZ）.

【小問2詳解】

由于0Wx＜3,故二＜2x+工＜如，所以—也＜sin[2x+二]＜1,

233323J

故-《＜esin[2x+g）〈百，故函數/（x）e[-g,0'.

【小問3詳解】

由于/（A）=Gsin[2A+|^=m，故sin[2A+m]=*，由于Ae（0,兀），故人=弓；

利用余弦定理：a2=Z?2+c2-2Z?ccosA=（Z?+c）2-2bc—2bccosA,故bc=6，

所以Sa"。=g°csinA=￥

19./(%)=21nxH---mx(meR).

x

(1)當加=一1時，求曲線y=/(%)在點(1,7(1))處的切線方程.

(2)若/(%)在(0,+8)上為單調遞減，求加的取值范圍.

In6-Ina<1

(3)設0<。<》，求證:

b-a4ab

【答案】⑴2x-y=0；

(2)[L+8)；

(3)見解析.

【解析】

【分析】(1)/(1)=2,根據導數的幾何意義得了'(1)=2,由點斜式得切線方程;

2191

(2)由r(x)=----機K0在xw(O,y)恒成立，即〃出-------^在(0,+“)恒成立，根據單調性求

-XXXX

得2-4的最大值，即可求用的取值范圍；

XX

(3)由(2)知，〃x)=21n%+：—x在xe(O,y)上單調遞減，J>1,,,進而

變形得到結果.

【小問1詳解】

121

f

當相=—1時，f(x)=21wc+-+x,A/(x)=----F+l,/(I)=2,/(I)=2,

故曲線y=/(x)在點(L/(l))處的切線方程是：y-2=2(x-l),即2x—y=0.

【小問2詳解】

2191

若"工)在(0,+“)上單調遞減，則r(x)=——2-m<0,即加2——^在％?0,+8)恒成立,

令g(x)=j—g(x>0),?.飛(力=—R—1]+1,.?.當[=1時，有8(可四=1,故機》1.

故加的取值范圍為[L+")

小問3詳解】

由(2)知，當機=1時，/(JV)=21IIXH---x在x￡(0,+°0)上單調遞減，

,?,。(”乩,,萬L,??/直<，(1)，苧

i71b-a]nb-]na1

InZ?—Ina<.——,即-----<,——.

yjabb-a7ab

【點睛】導數問題經常會遇見恒成立的問題：

(1)根據參變分離，轉化為不含參數的函數的最值問題;

(2)若/(x)>0恒成立就可討論參數不同取值下的函數的單調性和極值以及最值，最終轉化為

“Ain>。,若"”<0恒成立O/(x)1mx<0.

20.已知函數/(%)=〃％-----(6i+l)lnx,6ZGR.

x

(1)若Q=—2,求函數/(X)的單調區間；

(2)若〃21,且/(x)>l在區間-,e上恒成立，求〃的取值范圍；

e

(3)若a〉L判斷函數g(x)=?/(九)+。+1］的零點的個數.

e

【答案】(1)單調增區間為(0,1)；單調減區間為(L+8)

(2)a>2

(3)有1個零點

【解析】

【分析】(1)求出導函數((x),由/'(%)>0得增區間，由y'00<。得減區間；

(2)求得/'(?=。的根，然后按照根與已知區間的關系分類討論確定/'(%)的正負得單調性，從而函數的

最小值，由最小值大于0得參數；

(3)求出g'(x),對g'(x)再求導得出其最小值，由最小值大于0得g'(x)>。，從而得g(?的單調性，然

后結合零點存在定理確定零點個數，為此計算了=工時的函數值(小于0),g(D>0,可得零點存在且

ea

唯一.

【小問1詳解】

若a=-2,貝!Jy(x)=-2x-L+Inx,xe(0,+oo),/(x)=(2x+l,)(xD

xx

由/'(x)>0得，0<x<l；由/'(x)<0得，x>l.

所以函數/(X)的單調增區間為(0,D；單調減區間為(1,+8).

【小問2詳解】

依題意，在區間P，e]上7(%)^>1./(X)=以2("1?+1=3T)'T)M>1.

.e」x2x

令/'(%)=。得，1=1或%

a

若aNe即工<l，則由/'(%)>。得，l<xWe,/(幻遞增；由尸(幻<0得，-<x<l,/(幻遞減.

aee

所以/(%)min=/(l)=〃—l>l，滿足條件；

若l<a<e,則由/'(%)>。得或1cxWe,在‘《》<工時/(%)遞增或1cxWe時/(%)遞

eaea

增；由/'(幻<。得，<x<l,/(x)遞減./Wmin=min^

山a,

a

fe2

依題思<veJ，即<e+1，所以2<a<e.

/⑴〉1[a>2

若。=i,則八為20.

所以/(x)在區間-,e上單調遞增，/(^U不滿足條件;

_e_

綜上，a>2.

【小問3詳解】

xG(0,+oo),g(%)=ax2-(a+l)xln%+(Q+l)x-1.

所以g'(尤)=2ax-(a+l)lnx.設加(x)=2ax-(a+I)}nx,m\x)=2a~a+^=-("+1)

xx

令加(%)=0得％="'I.

2a

當0<x</+1時,m(x)<0；當上>"+1時,m(x)>0.

2a2a

所以g'(x)在0,"十上單調遞減，在“+,+00上單調遞增.

12al12aJ

所以g'(x)的最小值為+—■

e“1??+1111e

因為a>-,所以KI-------—+一<—+—<e.

e2a22a22

a+1/ixiii”+l

所以g'(無)的最小值g'二(〃+1)1—In-->-0-.

2av2a

從而，g(x)在區間(0,+8)上單調遞增.

11。+1

又gio3+52(6+2Ina)-1,

eaea

設h(a)=e3a-(21n?+6).

°222

則h\d)=e3——.令"(a)=0得a=工.由h\a)<0,得0<a<

aee3

/

22、2

由力'(。)>0,得〃>j所以Zz(a)在0,—上單調遞減，在下,+8上單調遞增.

e

ee'7

2

所以〃(Gmin="=2—21n2>0.

所以A(a)>0恒成立.所以e3a>21na+6,2嗎十，<

eak

11a+1i1111