幾何壓軸突破三幾何最值問題之

將軍飲馬模型與逆等線模型

（2種模型講解+14種題型匯總+專題訓練+真題訓練）

【題型匯總】

?兩定一動型\\

?緋殳；

?兩定一動癖定動型i螭：,'

?垂線段最短型

?造橋選址型,1\X—

-------------附

將軍飲馬模型?與將軍飲馬有關(guān)的角度探究問題,—.——

?與將軍飲馬有關(guān)的作圖問題

?相對運動平移型將軍飲馬

幾何壓軸突破三幾何最值問題之?通過瓜豆得出軌跡后將軍飲馬1場

將軍飲馬模型與逆等線模型三動點問題J

構(gòu)造SAS型全等拼接線段

平移，對稱或構(gòu)造平行四邊形

逆等線模型

取到最小值時對其它量進行計算

類型一將軍飲馬模型

場景總結(jié)：當題目中構(gòu)圖滿足“求點到直線上動點距離和的最小值”的條件時,則一定存在將軍飲馬模型.

解題大招：（1）最值問題基本原理:①兩點之間線段最短;②點到直線,垂線段最短.

（2）將軍飲馬解題步驟:第一步，明確動點、定點；

第二步，明確問題屬于哪種將軍飲馬模型,要求哪些線段和的最小值（注

意去掉長度固定的線段）；

第三步,利用平移、對稱等方法,將問題轉(zhuǎn)化為基本原理①或②.

模型詳解：

類型一兩定一動型（四種）

圖形

A

/B

mD"1

B，

B

條件如圖，A,B兩定點分布在直線m兩側(cè)，點D為直如圖，A,B兩定點分布在直線m同側(cè)，點D為直

線上一動點，求AD+BD的最小值.線上一動點，求AD+BD的最小值.

結(jié)論當A,D,B三點共線時，AD+BD取得最小值，最當A,D,B'三點共線時，AD+BD取得最小值，最

小值為AB的長.小值為AB'的長.

解題1）連:連接AB；1）找:找一個定點關(guān)于直線m的對稱點B'；

方法2）求:AB長度即為AD+BD的最小值;2）連:連接對稱點B'和另外一個定點A；

3）求:AB'長度即為AD+BD的最小值.

圖AA

形

""?????.一??

bm0為、、J7m

B

條如圖，A,B兩點分布在直線m同側(cè)，點D為直線如圖，A,B兩點分布在直線m兩側(cè)，點D為直線

件m上一動點,求|AD-BD|的最大值.m上一動點,求|AD-BD|的最大值.

結(jié)當A,B,D三點共線時，|AD-BD|取得最大值，最當A、B'、D三點共線時，|AD-BD|取得最大值，

論大值為AB的長最大值為AB'的長

解1）連:連接AB并延長交直線m于D'；1）找:找一個定點關(guān)于直線的對稱點；

題2）求:當點D和點D'重合時，|AD-BD|的值最大，2）連:連接另外一個定點和對稱點，并延長交直

方AB的長度即為|AD-BD|的最大值.線于一點；

法3）求:另外一個定點和對稱點間的距離即為所求.

【補充】

圖形A

9B/

飛：???????..

????../????

?二-????...晨

p\mIA

條件如圖，點A,B為定點，點P為直線m上一動點，求|AP-BP1取得最小值.

結(jié)論當PA=PB時，|AP-BP|取得最小值,最小值為0.

類型二：一定兩動型（三種）

圖形卡P；nti

N\mi

?pn

條件如圖，點M,N分別為ml,m2上的動點，點P為定點，求PM+PN+MN的最小值.

結(jié)論做點P關(guān)于ml,m2的對稱點P',P'',那么當P',M,N,P''四點共線時，PM+PN+MN取得最小值，最小值

為尸尸”的距離.

類型三：兩動兩定型（兩種）

圖形B'

/2\\M

1

NUD\\\1B

\?1

0^r\\1

\?

AB'\M

4，

條件如圖，點C,D分別為0M,ON上的動點，點A,B為如圖，點C,D分別為0M,0N上的動點，點A,B分別

NM0N內(nèi)的兩個定點，求AC+CD+BD+AB的最小值.為0M,0N上的定點，求AD+CD+BC的最小值.

結(jié)論做A點關(guān)于0M的對稱點A',做B點關(guān)于0N的對稱做A點關(guān)于0N的對稱點A',做B點關(guān)于0M的對稱點

點B',當A',C,D,B'四點共線時，AC+CD+BD取得B',當A',C,D,B'四點共線時，AD+CD+BC取得最小

最小值，最小值為A'B'的長.所以，AC+CD+BD+AB的值，最小值為A'B'的長.所以，AD+CD+BC的最小值就是

最小值就是A'B'+AB.A'B'的長.

類型四:平移線段型（兩種）

圖形AA'

Va

—k---、m

A'y____”

---------~：-----------m

MN\：

Bf

條件如圖，A,B為定點，M,N分別為m,n上的動點，如圖，A,B為定點，M,N分別為m上的動點，且

MN±n,m//n,且MN為定值，求AM+MN+NB的最MN為定值，求AM+MN+NB最小值.

小值.

結(jié)論如圖，將點A向下平移MN的單位長度得到點A',如圖，將點A向右平移MN個單位長度得點A',作

連接A'B,交n于點N,過點N作MNLm,垂足為B關(guān)于直線m的對稱點B，,連接A'B',交直線m

點M,點M和點N即為所求，當A',N,B三點共于點N,將點N向左平移MN個單位長度得點M,

線時AM+MN+NB取得最小值，最小值為A'B+MN.點M和點N即為所求，當A',N,B'三點共線時

AM+MN+NB取得最小值，最小值為A'B'+MN.

題型01兩定一動型

1.(2024?四川成都?中考真題)如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知4(3,0),B(0,2),過點B作y軸的垂線

P為直線I上一動點，連接P。，PA,則PO+P4的最小值為.

【分析】本題考查軸對稱一最短問題以及勾股定理和軸對稱圖形的性質(zhì).先取點A關(guān)于直線/的對稱點4,

連4。交直線1于點C,連2C,得到4C=AC,A'AVI,再由軸對稱圖形的性質(zhì)和兩點之間線段最短，得到

當0,P,4三點共線時，「。+。4的最小值為4。，再利用勾股定理求4。即可.

【詳解】解：取點A關(guān)于直線I的對稱點A,連4。交直線I于點C,連4C,

則可知AC=4C,A'A1I,

：.PO+PA=PO+PA'>A'O,

即當O,P,4三點共線時，PO+P4的最小值為40,

???直線2垂直于y軸，

A'A1x軸，

VX(3,0),B(0,2),

；.4。=3,AA'=4,

.,.在RtAA'a。中，

A'O=y/OA2+AA'2=V32+42=5,

故答案為：5

2.(2024.四川廣安?中考真題)如圖，在回ABCD中，AB=4,AD=5,Z71BC=30。，點M為直線BC上一動

點，則MA+MD的最小值為.

【答案】V41

【分析】如圖，作4關(guān)于直線BC的對稱點4,連接4。交BC于Ml則=AHIBC,AM'=A'M',

當重合時，M4+MD最小，最小值為4D,再進一步結(jié)合勾股定理求解即可.

【詳解】解：如圖，作4關(guān)于直線BC的對稱點A,連接AC交BC于W,則4"=A'H,AH1BC,AM'=A'M',

...當重合時，M2+MD最小，最小值為4D,

A'

'：AB=4,4ABC=30°,在團力BCD中,

：.AH==2,ADWBC,

：.AA'=2AH=4,AA'1AD,

'：AD=5,

.'.A'D=V42+52=V41,

故答案為：V41

【點睛】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理，軸對稱的性質(zhì)，求最小值問題，正確理解各性質(zhì)及掌

握各知識點是解題的關(guān)鍵.

3.（2023?廣東廣州?中考真題）如圖，正方形ABCD的邊長為4,點E在邊BC上，且BE=1,尸為對角線BD上

一動點，連接CF,EF,貝UCF+EF的最小值為.

【答案】V17

【分析】連接4E交BC于一點E連接CF,根據(jù)正方形的對稱性得到此時CF+EF=4E最小，利用勾股定

理求出2E即可.

【詳解】解：如圖，連接2E交8。于一點F,連接CF,

:四邊形4BCD是正方形，

.??點A與點。關(guān)于BD對稱，

：.AF=CF,

：.CF+EF=AF+EF=AE,止匕時CF+EF最小,

正方形力BCD的邊長為4,

：.AD=4,乙4BC=90°,

?.?點E在48上，且BE=1,

：.AE=7AB2+BE2=V42+I2=V17,即CF+EF的最小值為舊

故答案為：V17.

【點睛】此題考查正方形的性質(zhì)，熟練運用勾股定理計算是解題的關(guān)鍵.

4.(2024?甘肅?中考真題)如圖1,拋物線y=a(x-h)2+k交x軸于O,力(4,0)兩點，頂點為B(2,2必).點

C為。B的中點.

(1)求拋物線y=a(x-h)2+k的表達式;

(2)過點C作C”1。4,垂足為“，交拋物線于點E.求線段CE的長.

(3)點。為線段。4上一動點(。點除外)，在。。右側(cè)作平行四邊形。CFD.

①如圖2,當點尸落在拋物線上時，求點尸的坐標；

②如圖3,連接BD,BF,求的最小值.

【答案】（l）y=-y%2+2V3x

（2）T

⑶①尸（2+企,百）②2V7

【分析】（1）根據(jù)頂點為B（2,2百）.設(shè)拋物線y=a（x—2）2+2次，把力（4,0）代入解析式，計算求解即可;

（2）根據(jù)頂點為2（2,2次）.點C為。8的中點，得到C（l,⑸，當x=l時，y=—曰+2%=手，得到

E（l,嶗.結(jié)合CH1O4垂足為得到CE=誓—追=當?shù)拈L.

（3）①根據(jù)題意，得式1,次），結(jié)合四邊形。CFD是平行四邊形，設(shè)網(wǎng)科百），結(jié)合點尸落在拋物線上，得

到舊=—日巾2+2百小，解得即可；

②過點2作BN_Ly軸于點N,作點。關(guān)于直線8N的對稱點G,過點G作GH_Ly軸于點連接DG,CH,

FG,利用平行四邊形的判定和性質(zhì)，勾股定理，矩形判定和性質(zhì)，計算解答即可.

【詳解】（1）I?拋物線的頂點坐標為B（2,2司）.

設(shè)拋物線y=a（%-2）2+2V3,

把4（4,0）代入解析式，得a（4-2>+2百=0,

解得a=—彳，

y=-/（X-2）2+2V3=—^%2+2V3x.

（2）:頂點為8（2,2百）.點C為。B的中點，

.-.C（1,V3）,

VCH1OA,

：.CH||y軸,

的橫坐標為1,

設(shè)

當X=1時，m=-y+2-\/3=

，E（1，子）.

.?.3=迪-舊="

22

（3）①根據(jù)題意，得C（l,網(wǎng),

V四邊形OCFD是平行四邊形，

.,.點C,點尸的縱坐標相同，

設(shè)F（m,次），

??,點廠落在拋物線上，

.*.V3=一孚M+2am,

解得碼=2+V2,m2=2-&（舍去）；

故F（2+夜，網(wǎng).

②過點B作BN，y軸于點N,作點。關(guān)于直線8N的對稱點G,過點G作GH1y軸于點H,連接DG,CH,

FG,

則四邊形。DGH是矩形，

：.OD=HG,OD||HG,

:四邊形。。尸。是平行四邊形，

：.OD=CF,OD||CF,

：.GH=CF,GH||CF,

四邊形CFGH是平行四邊形，

：.FG=CH,

?：BG+BF>FG,

故當B、G、F三點共線時，BG+BF取得最小值，

,:BG=BD,

：.BG+BF的最小值，就是8。+8F的最小值，且最小值就是CH,

延長R7交y軸于點

'：OD||CF,

."HMC=乙HOD=90°,

VC（1,V3）,

/.CM=1,OM=V3,

VB（2,2V3）,

：.ON=NH=2V3,

：.HM=ON+NH-OM=3小,

：.HC=VCM2+HM2=V28=2近,

故BD+BF的最小值是2夕.

【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，中點坐標公式，平行四邊形的判定和性質(zhì)，矩形的判定

和性質(zhì)，勾股定理，利用軸對稱的性質(zhì)求線段和的最小值，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)是

解題的關(guān)鍵.

5.(2022?廣東深圳?三模)某課題組在探究“將軍飲馬問題”時抽象出數(shù)學模型：

直線I同旁有兩個定點4、B,在直線，上存在點P,使得P4+PB的值最小.解法：作點4關(guān)于直線/的對稱點

4,連接AB,貝U4B與直線/的交點即為P,且P4+PB的最小值為4B.

圖1圖2

請利用上述模型解決下列問題：

(1)幾何應用：如圖1,等腰直角三角形ABC的直角邊長為2,E是斜邊4B的中點，P是4C邊上的一動點，

則PB+PE的最小值為；

(2)幾何拓展：如圖2,AABC中，AB=2,ABAC=30°,若在AC、AB上各取一點M、N使BM+MN的

值最小，求這個最小值________;

(3)代數(shù)應用：求代數(shù)式ATT+7(4-%)2+4(0<x<4)的最小值________.

【答案】V10V35

【分析】(1)作點B關(guān)于AC的對稱點"，連接9E,交AC于點P,連接49，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可得

AB=AB'^AC2+BC2=2V2,PB=PB',ZABC^ZAB'C=45°,最后根據(jù)PB+PE=PB'+PE=E8’即可求解；

(2)作點2關(guān)于AC的對稱點方，過點夕作夕N,A3于點N,交AC于點M,連接交AC于點0,根據(jù)

8"=9M可知BM+MN=B'M+MN=B'N,根據(jù)軸對稱的性質(zhì)和含30。角的直角三角想30。角所對的邊等于斜

邊的一半，分別求出和BN的長度即可；

(3)根據(jù)題意，構(gòu)造兩個直角三角形，斜邊分別等于必不I和J(4-x)2+4,用勾股定理進行即可進行

證明.

【詳解】(1)解：如圖，作點2關(guān)于AC的對稱點夕，連接9E,交AC于點尸，連接4夕

：.AB=AB'=<AC2+BC2=2V2,PB=PB',ZABC=ZAB'C=45°,

...在△4BB'中，ZBAB'=90°,

?.?點E為A8中點，

：.AE=-AB=V2,

2

：.EB'=yjAE2+{AB'Y=V10,

,:PB=PB',

：.PB+PE=PB'+PE=EB'=V10,

故答案為：VTo.

(2)作點B關(guān)于AC的對稱點?，過點?作B'N_LAB于點N,交AC于點連接B夕交AC于點O,

根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可知，BB'LAC,

'：AB=2,ABAC=30°,ZAOB=90°,

：.BO=-AB=1,ZNBB'=60°,

2

:.BB'=2B0=2,

在RdNBB'中,ZNBB'=60°,

：.ZB'=30°,

：.NB=-BB'=1,

2

：.B'N=y/(BB'Y-BN2=V3,

：.BM+MN=B'M+MN=^3,

故答案為：V3.

(3)如圖，構(gòu)造圖形，點尸是AB邊上一點，其中AB=4,AP=x,AC=1,BD=2,

作點C關(guān)于43的對稱點C',連接C'D交A2于點尸，延長。3,過點C'作C'0,2。，垂足為。,

根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可知，AC=AC'=1,CP=C'P,

：AB=4,AC'=\,

：.C'0=4,BO=AC'=\,

：.D0=3,

在Rt&C'OD中，CD=>JC'O2+DO2=5,

VAB=4,AP=x,AC=1,BD=2,

：.CP=>JAC2+AP2=Vx2+1,DP=7BD2+BP2=7（4-x）2+4,

CP+DP=C'P+DP=C'D=5,

+J（4-x）2+4的最小值為5.

故答案為：5.

【點睛】本題主要考查了利用勾股定理求最短路徑問題，熟練掌握勾股定理的內(nèi)容，利用軸對稱的性質(zhì)構(gòu)

造直角三角形是解題的關(guān)鍵.

題型02線段差最值

6.（2023?陜西西安?模擬預測）如圖，在菱形48CD中，乙48c=120。，對角線AC、BD交于點0,BD=8,

點E為。。的中點，點F為上一點，且AF=3BF,點P為2C上一動點，連接PE、PF,則|PF-PE|的最大

值為.

【答案】2

【分析】作E的對稱點E',連接FE'并延長交AC于點P',根據(jù)三角形三邊關(guān)系可得到|PF-PE\=\PF-PE'\<

E'F,最后根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)及菱形的性質(zhì)即可解答.

【詳解】解：作E的對稱點E，，連接FE'并延長交AC于點P',

:.PE=PE',

：.\PF-PE\=\PF-PE'\<E'F,

當F、EJP'在同一條直線上時，|PF-PE|有最大值E，F(xiàn),

:在菱形ABCD中，/.ABC=120°,

."DAB=60°,AD=AB,

△4BD是等邊三角形，

."DAB=4DBA=乙ADB=60°,,AD=AB=BD,

?；BD=8,

：.AB=8,

'：AF=3BF,

：.BF=2,

??,點E為。。的中點，

???/為。8的中點，

-1

:.BE'=-BD=2,

4

：.BF=BE',

.?.△BE?是等邊三角形,

：,E'F=BF=2,

故答案為2；

【點睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)與判定，菱形的性質(zhì)，中點的定義，三角形的三邊關(guān)系，掌握等邊

三角形的性質(zhì)及菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

7.（21-22八年級上.河北承德?期末）如圖，點A,B在直線的同側(cè)，點A到MN的距離4C=8,點B到MN

的距離BD=5,已知CD=4,P是直線MN上的一個動點，記P4+PB的最小值為a,|P4-PB|的最大值為

b.

（Da=；

【分析】作點A關(guān)于直線MN的對稱點A',連接A2交直線MN于點P,過點A作直線的延長線

于點E,再根據(jù)勾股定理求出的長就是B4+PB的最小值；延長A8交MN于點尸'，此時P'A-P'B=AB,

由三角形三邊關(guān)系可知故當點尸運動到P點時IB4-PBI最大，作由勾股定理即可

求出AB的長就是|祖-尸2|的最大值.進一步代入求得答案即可.

【詳解】解：如圖，

作點A關(guān)于直線MN的對稱點A',連接A'B交直線MN于點、P,

則點尸即為所求點.

過點4作直線的延長線于點E,則線段A3的長即為B4+PB的最小值.

VAC=8,BD=5,C￡)=4,

，AC=8,B￡=8+5=13,A'E=CZ)=4,

AB=3132+42=V185,

即PA+PB的最小值是a=V185.

如圖，

延長AB交MN于點P,

"：P'A-P'B=AB,AB>\PA-PB\,

二當點尸運動到P'點時，解-PB|最大，

?：BD=5,C￡)=4,AC=8,

過點8作8E_LAC,則8E=CD=4,AE=AC-BD=S-5=3,

.?.AB=V42+32=5.

...|B4-PB|=5為最大，

即b—5,

.'.a2-b2=185-25=160.

故答案為：160.

【點睛】本題考查的是最短線路問題及勾股定理，熟知兩點之間線段最短及三角形的三邊關(guān)系是解答此類

問題的關(guān)鍵.

8.(2023?山東荷澤?二模)如圖，直線%=依+2與反比例函數(shù)%=(的圖象交于點4(爪,3),與坐標軸分別

交于8,C兩點.

(1)若乃>%>0，求自變量尤的取值范圍；

(2)動點P(n,0)在無軸上運動.當〃為何值時，|P4-PC|的值最大？并求最大值.

【答案】(l)x>1

(2)當n為-2時，|P4-PC|的值最大，最大值為企

【分析】

(1)由點力的縱坐標利用反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征即可求出點力的坐標，再根據(jù)兩函數(shù)圖象的上下位

置關(guān)系，即可得出當y1>%>0時，自變量》的取值范圍；

(2)由點2的坐標利用待定系數(shù)法即可求出直線AB的函數(shù)解析式，利用一次函數(shù)圖象上點的坐標特征可求

出點B、C的坐標，再根據(jù)三角形的三邊關(guān)系即可確定當點P與點B重合時，|P4-PC|的值最大，利用兩點

間的距離公式即可求出此最大值.

【詳解】(1)

解：當丫2=：=3時，X=1,

.??點a的坐標為(1,3),

觀察函數(shù)圖象，可知：當％>1時，直線在雙曲線上方，

若為>y2>0,自變量x的取值范圍為久>1.

(2)

解：將a(1,3)代入為=入+2中，

3=k+2,解得：k=1,

直線2B的解析式為為=x+2,

當x=0時，%=%+2=2,

.??點C的坐標為(0,2),

AC=J(0-1)2+(2—3)2=72,

當月—x+2=。時，x=—2,

.?.點B的坐標為(-2,0).

當點P與點B重合時，|P4-PC|的值最大，

此時n=-2,\PA-PC\=XC=V2.

.?.當ri為-2時，|P4-PC|的值最大，最大值為聲.

【點睛】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題、一次(反比例)函數(shù)圖象上點的坐標特征、待定

系數(shù)法求一次函數(shù)解析式以及三角形的三邊關(guān)系，解題的關(guān)鍵是：(1)利用反比例函數(shù)圖象上點的坐標特

征求出點4的坐標；(2)利用三角形的三邊關(guān)系確定點P的位置.

9.(2024?西藏中考真題)在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2+bx+3(a豐0)與無軸交于2(-1,0),5(3,0)

(2)如圖(甲)，設(shè)點C關(guān)于直線/的對稱點為點。，在直線/上是否存在一點P,使PA-PD有最大值？若存

在，求出P4-PD的最大值；若不存在，請說明理由；

(3)如圖(乙)，設(shè)點M為拋物線上一點，連接MC,過點M作MN1CM交直線/于點N.若tan乙MCN=|,

求點M的坐標.

【答案】（l）y=-x2+2x+3

(2)P4-PD存在最大值；最大值為VTU

⑶點M的坐標為(-1,0)或(K)或(I，號或(3,0)

【分析】(1)把4(—1,0)，B(3,0)代入拋物線求出。、6的值，即可得出拋物線的解析式；

(2)先求出點C的坐標為(0,3),連接PC、PD、P4根據(jù)軸對稱的性質(zhì)得出PC=PD,PA-PC=PA-PD,

得出當P4-PC最大時，「4一。。最大，根據(jù)當點4、C、P三點在同一直線上時，P4-PC最大，即當點尸

在點P'時，P4—PD最大，求出最大值即可；

(3)過點〃作ED||y軸，過點C作COLOE于點￡>,過點N作NE，DE于點￡,設(shè)點M的坐標為：

(jn,—m2+2m+3),得出DM=\—m2+2m+3—3|=\—m2+2m|,NE=|m-1|,證明△CDMMEN,

得出器=黑=:從而得出3|—血？+2m\=2\m-1|,分四種情況：當m<0時,當°<m<1時，當1<血4

NEMN3

2時，當TH>2時，分別求出點M的坐標即可.

【詳解】(1)解：把/(一1,0),8(3,0)代入37=。%2+6工+3(a工0)得：

(d—力+3=0

(9a+3b+3=0'

解得:憶，1，

，拋物線的解析式為：y=-%2+2%+3；

(2)解：PA—存在最大值；

把久=0代入y=-x2+2x+3得：y=3,

.,.點C的坐標為(0,3),

'."y=-x2+2%+3=—(x-I)2+4,

二拋物線的對稱軸為直線久=1,

連接PC、PD、PA,如圖所示：

:點C關(guān)于直線/的對稱點為點。，點尸在直線/上,

：.PC=PD,

：.PA-PC=PA-PD,

.?.當PA—PC最大時，P4—PD最大，

.?.當點A、C、尸三點在同一直線上時，P4—PC最大，即當點P在點P'時，PA—PD最大,

：.PA-P。最大值為：AC=VP+32=710.

(3)解：過點M作ED||y軸，過點C作CDIDE于點。，過點N作NE1OE于點E,如圖所示:

/CM1MN,

:.乙CMN=90°,

?

..t-anzMC/Vr=—MN=2

CM3

設(shè)點M的坐標為：（zn,-血？+2m+3）,

*.DM=\—m2+2m+3—3|=\—m2+2m|,NE=|m-1|,

,:（CMN=乙NEM=Z.CDM=90°,

?"DCM+"MD=乙CMD+乙NME=90°,

工乙DCM=乙NME,

：.△CDMfMEN,

,NE_MN_2

??OM—CM—3’

,|m-l|_2

\-m2+2m\3'

A21-m2+2m\=3|m-1|,

當7n<0時，一zn?+2m<0,m—1<0,則：

2m2—4m=3—3m,

解得：=-1,62=|(舍去)，

此時點M坐標為：(-1,0)；

當0<m41時，一血？+2m>0,m—1<0,則:

—2m2+4m=3—3m,

解得：m1=3（舍去），m2=|

此時點M坐標為：C，f）；

當1<?n<2時，-7n2+27nN0,m—1>0,貝lj：

—2m2+4m=3m—3,

解得：m1=|,m2=—1（舍去），

此時點M坐標為：（I，5

當m>2時，一7n2+27n<0,m—1>0,貝！J：

2m2—4m=3m—3,

解得：m1=3,m2=|（舍去），

此時點〃坐標為：（3,0）；

綜上分析可知：點M坐標為：（-1,0）或&號或g號或（3,0）.

【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的綜合應用，求二次函數(shù)解析式，軸對稱的性質(zhì)，兩點間距離公式，解

直角三角形的相關(guān)計算，解一元二次方程，相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合，熟練掌握

相關(guān)的判定和性質(zhì)，注意進行分類討論.

題型03垂線段最短型

10.（2024?四川涼山?中考真題）如圖，OM的圓心為“（4,0）,半徑為2,P是直線y=x+4上的一個動點，

過點P作OM的切線，切點為Q,貝UPQ的最小值為

【答案】2V7

【分析】記直線y=x+4與x,y軸分別交于點A,K,連接QM,PM,KM；由直線解析式可求得點A、K

的坐標,從而得△OAK,△0KM均是等腰直角三角形，由相切及勾股定理得:PQ=y/PM2-QM2,由QM=2,

則當PM最小時，PQ最小，點尸與點K重合，此時PM最小值為KM,由勾股定理求得PM的最小值，從而求

得結(jié)果.

【詳解】解：記直線y=x+4與尤，y軸分別交于點A,K,連接QM,PM,KM,

解得：x=-4,

即K(0,4),71(-4,0)；

而“(4,0),

AOA=OK=OM=4,

AAOAK,AOKM均是等腰直角三角形，

Z.AKO=乙MKO=45°,

/.AKM=90°,

：QP與OM相切，

，4PQM=90°,

：.PQ=JPM2-QM2,

'：QM=2,

.?.當PQ最小時即PM最小，

.?.當PM1AK時，取得最小值，

即點P與點K重合，此時PM最小值為KM,

在Rt△0KM中，由勾股定理得：KM=70M2+OK2=4近，

：.PQ=V32-4=2V7,

.??PQ最小值為2夕.

【點睛】本題考查了圓的切線的性質(zhì)，勾股定理，一次函數(shù)與坐標軸的交點問題，垂線段最短，正確添加

輔助線是解題的關(guān)鍵.

11.(2022?山東荷澤?中考真題)如圖，在菱形A5CZ)中，AB=2,^ABC=60°,M是對角線8。上的一個動

點，CF=BF,則AL4+MF的最小值為()

DC

A.1B.V2C.V3D.2

【答案】C

【分析】連接AR則AF的長就是的最小值，證明△A8C是等邊三角形，A尸是高線，利用三角函

數(shù)即可求解.

【詳解】解：連接A尸，則A尸的長就是的最小值.

?.?四邊形ABC。是菱形，

：.AB^BC,

又：ZABC=6Q°,

：.△ABC是等邊三角形，

,/CF=BF

是8C的中點,

J.AFLBC.

則Ab=AB?sin60°=2xy=V3.

即MA+MF的最小值是舊.

故選:C

【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，等邊三角形以及三角函數(shù)，確定AP的長就是MA+MF的最小值是關(guān)鍵.

12.（20-21七年級下?福建漳州?期末）如圖，在RtAABC中，AACB=90°,AC=6,BC=8,AB=10,AD平

分NC4B交BC于點。，點E、F分另U是4。、2C邊上的動點，則CE+EF的最小值為

I

DH

【答案】y

【分析】在4B上取一點。，使力F'=4F,連接E。，判斷出△力EF三△AEP(SAS),得出EF=EF，，進而得

出當點C,E,廠在同一條線上，且CE14B時，CE+E9最小，即CE+EF最小，其值為CH,最后用面積

法，即可求出答案.

【詳解】解：如圖，在力B上取一點F',使4F'=4F,連接EF',作CHJ.4B,

???2。平分/B2C,

???Z.DAC=Z.DAB,

■.AE=AE,

.?.△4EFmA4EF'(SAS),

EF=EF',

CE+EF=CE+EF',

當點C,E,F'在同一條線上，且CE14B時，CE+EF，最小，即CE+EF最小，其值為CH,

■-S^ABC=IACBC=~ABCH,

ACBC6X824

???CH=---=——=——,

AB105

即CE+EF的最小值為g,

故答案為：號.

【點睛】此題主要考查了角平分線的定義，全等三角形的判定和性質(zhì)，點到直線的距離，垂線段最短，三

角形的面積公式，作出輔助線構(gòu)造出全等三角形是解本題的關(guān)鍵.

13.(2020?四川內(nèi)江?中考真題)如圖，在矩形ABC。中，BC=10,^ABD=30°,若點M、N分別是線段

A3上的兩個動點，則4M+MN的最小值為

【答案】15

【分析】如圖，過A作4G1BD于G,延長4G,使4G=EG,過E作EN1AB于N,交BD于M,貝MM+MN=EN

最短，再利用矩形的性質(zhì)與銳角三角函數(shù)求解EN即可得到答案.

【詳解】解：如圖，過A作4G18。于G,延長4G,使4G=EG,過E作EN^LAB于N,交BD于M,貝IjAM+MN=

EN最短，

???四邊形ABCD為矩形，BC=10,^ABD=30°,

?-.AD=10,BD=20,48=BD?cos30°=10V3,

AG?BD=AD?AB,

：.20AG=10X10V3,

AG=5V3MF=2AG=10V3,

???AE1BD,EN1AB,Z.EMG=Z.BMN,

???NE=4ABD=30°,

???EN=AE?cos30°=10A/3Xy=15,

AM+MN=15,

即AM+MN的最小值為15.

故答案為：15.

【點睛】本題考查的是矩形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的應用，同時考查利用軸對稱與垂線段最短求線段和的

最小值問題，解題的關(guān)鍵是掌握以上知識.

題型04兩定一動/兩定動型

14.（22-23八年級下?江蘇連云港?期中）如圖，在邊長為8的正方形中，點G是邊的中點，E、尸分別是和

邊上的點，則四邊形周長的最小值為

【答案】24

【分析】作點G關(guān)于的對稱點，作點B關(guān)于的對稱點，連接、、，根據(jù)對稱的性質(zhì)可得,，再由，，可得當時,

四邊形的周長有最小值，最小值為，再利用勾股定理求得，最后利用即可求解.

【詳解】解：如圖，作點G關(guān)于的對稱點，作點B關(guān)于的對稱點，連接、、，

.當時，四邊形的周長有最小值，最小值為,

.四邊形的周長的最小值為24,

故答案為：24.

H'

【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、軸對稱的性質(zhì)、勾股定理，三角形的三邊關(guān)系，熟練掌握軸對稱的性

質(zhì)，構(gòu)造三角形是解題的關(guān)鍵.

15.（2022?山東棗莊?二模）如圖，點P是內(nèi)任意一點，，點M和點N分別是射線和射線上的動點，，則周長

的最小值是

B

N

O

【答案】

【分析】分別作點尸關(guān)于的對稱點c、D,連接，分別交于點M、N,連接，當點M、N在上時，的周長最

小.

【詳解】解：分別作點尸關(guān)于的對稱點C、D,連接，分別交于點M、N,連接.

點尸關(guān)于的對稱點為C,關(guān)于的對稱點為D,

點尸關(guān)于的對稱點為

.??是等邊三角形，

的周長的最小值.

故答案為：.

【點睛】本題主要考查最短路徑問題和等邊三角形的判定.作點P關(guān)于OA、OB的對稱點C、。是解題的

關(guān)鍵所在.

16.（2023?陜西西安?二模）如圖，在四邊形中，，，，，、分別是邊、上的動點，連接，，，則周長的最小值為

A

【答案】

【分析】如圖，由，作關(guān)于對稱的點，作關(guān)于對稱的點，連接，與交點為，與交點為，連接，，由對稱的性

質(zhì)可得，，，，貝U，可知當四點共線時，的周長最小為，如圖，過作的延長線于，由，可得，貝上，，根據(jù)，計

算求解即可.

【詳解】解：如圖，由，作關(guān)于對稱的點，作關(guān)于對稱的點，連接，與交點為，與交點為，連接,,

由對稱的性質(zhì)可得,，，,

...當四點共線時，的周長最小為,

如圖，過作的延長線于，

由勾股定理得，

故答案為：.

【點睛】本題考查了軸對稱的性質(zhì)，正弦、余弦，勾股定理等知識.解題的關(guān)鍵在于確定周長最小的情況.

17.（20-21九年級上.廣東廣州?階段練習）如圖，在平行四邊形中，對角線相交于點O,點E、尸分別是邊

【分析】作點。關(guān)于的對稱點/，點。關(guān)于的對稱點N,連接，則的周長，故當四點共線時，即此時的周

長最小，最小值為的長，證明是等邊三角形，得到；過。作交直線于P,由平行四邊形的性質(zhì)得到，，由含

30度角的直角三角形的性質(zhì)得到，則，，即可得到點尸與點B重合，貝上由此即可得到答案.

【詳解】解：作點。關(guān)于的對稱點點。關(guān)于的對稱點N,連接，

由作圖得:，，

.??的周長，

.?.當四點共線時，即此時的周長最小，最小值為的長，

?，

??，

.?.是等邊三角形，

過。作交直線于P,

??,四邊形是平行四邊形，

?*Jf

在中，，

點尸與點8重合,

的周長最小值為,

【點睛】此題主要考查軸對稱-最短路線問題，平行四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)的判定和性質(zhì)，勾股

定理，正確的作出圖形是解題的關(guān)鍵.

18.（2020九年級?全國?專題練習）如圖，拋物線與軸交于、，與軸交于點，點為的中點，點、分別為軸正半

軸和拋物線對稱軸上的動點，連接、、，求四邊形周長最小時點、的坐標.

【答案】當四邊形周長最小時，點的坐標，點的坐標為.

【分析】作點關(guān)于軸的對稱點，作點關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點，連接，交對稱軸于點，交軸于點.求出

直線的解析為，進一步可得出結(jié)論.

【詳解】如圖，作點關(guān)于軸的對稱點，作點關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點，連接，交對稱軸于點，交軸于點.由

對稱知，，

此時四邊形的周長為.

此時四邊形的周長最小，最小值為.

拋物線對稱軸為直線.

為的中點，.

設(shè)直線的解析式為.

將點、的坐標代入可得解得

直線的解析為.

令，則，點的坐標為.

令，貝IJ,點的坐標為.

當四邊形周長最小時，點的坐標，點的坐標為.

【點睛】此題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，四邊形與二次函數(shù)的結(jié)合，線段的和差最值與二次函數(shù)的

結(jié)合，將不共線的線段轉(zhuǎn)化為共線為解題關(guān)鍵.

19.（2022?天津?中考真題）已知拋物線（a,b,c是常數(shù)，）的頂點為P,與無軸相交于點和點8.

⑴若，

①求點P的坐標；

②直線（機是常數(shù)，）與拋物線相交于點與相交于點G,當取得最大值時，求點G的坐標；

（2）若，直線與拋物線相交于點N,E是x軸的正半軸上的動點，尸是y軸的負半軸上的動點，當?shù)淖钚≈禐?/p>

5時，求點E,F的坐標.

【答案】（1）①；②點M的坐標為，點G的坐標為；

（2）點和點；

【分析】（1）①將b、c的值代入解析式，再將A點坐標代入解析式即可求出。的值，再用配方法求出頂點

坐標即可；②先令尸0得到2點坐標，再求出直線的解析式，設(shè)點M的坐標為，則點G的坐標為，再

表示出MG的長，配方求出最值得到M、G的坐標；

（2）根據(jù)，解析式經(jīng)過A點，可得到解析式：，再表示出P點坐標，N點坐標，接著作點尸關(guān)于y軸的對

稱點，作點N關(guān)于x軸的對稱點，再把和的坐標表示出來，由題意可知，當取得最小值，此時，將字母代

入可得：，求出。的值，即可得到E、尸的坐標；

【詳解】（1）①???拋物線與無軸相交于點，

.又，得.

.??拋物線的解析式為.

，點P的坐標為.

②當時，由，

解得.

二點B的坐標為.

設(shè)經(jīng)過2,尸兩點的直線的解析式為，

有解得

...直線的解析式為.

直線(機是常數(shù)，)與拋物線相交于點與相交于點G,如圖所示:

...當時，有最大值1.

此時，點M的坐標為，點G的坐標為.

(2)由(1)知，又，

.??拋物線的解析式為.

?，

???頂點P的坐標為.

?..直線與拋物線相交于點N,

...點N的坐標為.

作點P關(guān)于y軸的對稱點，作點N關(guān)于x軸的對稱點，如圖所示:

得點的坐標為，點的坐標為.

當滿足條件的點E,尸落在直線上時，取得最小值,

此時，.

延長與直線相交于點貝

在中，.

解得（舍）.

二點的坐標為，點的坐標為.

則直線的解析式為.

.?.點和點.

【點睛】本題考查二次函數(shù)的幾何綜合運用，熟練掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、配方法求函數(shù)頂點坐標、

勾股定理解直角三角形等是解決此類問題的關(guān)鍵.

題型05造橋選址型

20.（2020九年級?全國?專題練習）如圖，四邊形力BCD是平行四邊形，AB=4,BC=12,^ABC=60°,

點E、尸是4D邊上的動點，且EF=2,則四邊形BEFC周長的最小值為.

【答案】14+2V37

【分析】根據(jù)題意，將點8沿BC向右平移2個單位長度得到點夕，作點夕關(guān)于4