2025屆中考復(fù)習(xí)

2025屆中考復(fù)習(xí)專題：八類最值問(wèn)題匯總

模塊一：將軍欽馬等8類常見最值問(wèn)題..................................................2

【題型11兩定一動(dòng)型（線段和差最值問(wèn)題）.......................................8

【題型2】雙動(dòng)點(diǎn)最值問(wèn)題（兩次對(duì)稱）.........................................14

【題型3】動(dòng)線段問(wèn)題：造橋選址（構(gòu)造平行四邊形）.............................19

【題型4】垂線段最短...........................................................24

【題型5】相對(duì)運(yùn)動(dòng)平移型將軍飲馬..............................................28

【題型6】化斜為直，斜大于直..................................................36

【題型7】構(gòu)造二次函數(shù)模型求最值..............................................41

【題型8】通過(guò)瓜豆得出軌跡后將軍飲馬..........................................46

模塊二：阿氏圓與胡不歸最值問(wèn)題......................................................51

【題型1】胡不歸模型?已有相關(guān)角直接作垂線.....................................52

【題型2】胡不歸模型?構(gòu)造相關(guān)角再作垂線.......................................59

模塊三：阿氏圓與胡不歸最值問(wèn)題.....................................................65

【題型1】?jī)啥c(diǎn)在圓外：向內(nèi)取點(diǎn)（系數(shù)小于1）................................................................66

【題型2】?jī)牲c(diǎn)在圓內(nèi)：向外取點(diǎn)（系數(shù)大于1）.....................................................................74

【題型3】一內(nèi)一外提系數(shù).......................................................76

【題型4】隱圓+阿氏圓..........................................................79

模塊四：線段拼接最值問(wèn)題（逆等線模型）.............................................85

【題型11平移，對(duì)稱或構(gòu)造平行四邊形..........................................87

【題型2］構(gòu)造SAS型全等拼接線段..............................................92

【題型3】加權(quán)逆等線...........................................................99

【題型4】取到最小值時(shí)對(duì)其它量進(jìn)行計(jì)算.......................................109

模塊五：構(gòu)造旋轉(zhuǎn)相似求最值（瓜豆模型）............................................114

【題型1】構(gòu)造中位線..........................................................123

【題型2】直線型軌跡（三種解題策略）.........................................129

【題型3】線段和..............................................................141

【題型4】圓弧型軌跡..........................................................144

【題型5】加權(quán)線段和..........................................................149

【題型6】路徑長(zhǎng)度類問(wèn)題......................................................154

【題型7】取到最值時(shí)求其它量.................................................159

模塊六：費(fèi)馬點(diǎn)最值問(wèn)題............................................................165

【題型1】普通費(fèi)馬點(diǎn)最值問(wèn)題.................................................175

【題型2】加權(quán)費(fèi)馬點(diǎn)?單系數(shù)型................................................185

【題型3】加權(quán)費(fèi)馬點(diǎn)?多系數(shù)型.................................................188

模塊七：隱圓最值問(wèn)題..............................................................200

【題型1】定點(diǎn)定長(zhǎng)得圓........................................................205

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【題型2】直角的對(duì)邊是直徑..................................211

【題型3】對(duì)角互補(bǔ)得圓........................................................216

【題型4】定弦定角得圓........................................................222

【題型5】四點(diǎn)共圓............................................................227

【題型6】相切時(shí)取到最值......................................................229

【題型7】定角定高面積最小、周長(zhǎng)最小問(wèn)題.....................................233

【題型8】米勒角（最大張角）模型.............................................238

模塊八：二次函數(shù)中的最值問(wèn)題........................................243

一題可破萬(wàn)題山一二次函數(shù)最值常見模型小結(jié)，一題20間.........................243

【題型1】鉛垂高最值..........................................................254

【題型2】構(gòu)造二次函數(shù)模型求最值.............................................259

【題型3】幾何構(gòu)造求最值......................................................265

模塊一：將軍飲馬等8類常見最值問(wèn)題

一、單動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題

【問(wèn)題1］在直線/上求一點(diǎn)P,使P4+P3最小

問(wèn)題解決：連接AB,與，交點(diǎn)即為P,兩點(diǎn)之間線段最短PA+PB最小值為AB

【問(wèn)題2】在直線I上求一點(diǎn)P,使PA+PB最小

問(wèn)題解決：作6關(guān)于/的對(duì)稱點(diǎn)BnPB=PB,則PA+PB=PA+PB,當(dāng)A,P,片共線時(shí)取最小,

原理：兩點(diǎn)之間線段最短，即上4+P8最小值為48

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【問(wèn)題3】在直線/上求一點(diǎn)P,使PA—最大

問(wèn)題解決：連接45當(dāng)4B,P共線時(shí)取最大

原理：三角形兩邊之和大于第三邊，在△48尸中，|R4—P引《月8

【問(wèn)題4】在直線/上求一點(diǎn)P,使|P4—最大

問(wèn)題解決：作6關(guān)于直線/的對(duì)稱點(diǎn)\PA-PB\=\PA-PB\

原理：三角形兩邊之和大于第三邊，連接48,在中|PA—P研WAff

二、雙動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題（作兩次對(duì)稱）

【問(wèn)題5】在直線4，4上分別求點(diǎn)/，N,使△?叫周長(zhǎng)最小

問(wèn)題解決：分別作點(diǎn)P關(guān)于兩直線的對(duì)稱點(diǎn)P和P',PM=PM,PN=P'N,

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原理：兩點(diǎn)之間線段最短，P,P,,與兩直線交點(diǎn)即為“，N,則4M+MN+PN的最小值為線段

PP"的長(zhǎng)

【問(wèn)題6】P,Q為定點(diǎn)，在直線4，4上分別求點(diǎn)川，N,使四邊形PQMN周長(zhǎng)最小

問(wèn)題解決：分別作點(diǎn)RQ關(guān)于直線4，4的對(duì)稱點(diǎn)P'和Q'，PM=PM,QN=QN

原理：兩點(diǎn)之間線段最短，連接PQ',與兩直線交點(diǎn)即為“，N,則PM+MN+QN的最小值為線

段PQ，的長(zhǎng)，周長(zhǎng)最小值為PQ，+PQ

Q'

【問(wèn)題7】48分別為/一4上的定點(diǎn)，M,N分別為/一4上的動(dòng)點(diǎn)，求AN+MN+BM最小值

問(wèn)題解決：分別作A,3關(guān)于4，4的對(duì)稱點(diǎn)A'，B：則AN=4N,即所求

原理：兩點(diǎn)之間距離最短，A',N,M,B共線時(shí)取最小，貝。AN+MN+BM=A'N+MN+

A'B

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三、動(dòng)線段問(wèn)題（造橋選址）

【問(wèn)題8】直線小〃外在m,n上分別求點(diǎn)N,使MAUm,且4/+MN+BN的最小值

問(wèn)題解決：將點(diǎn)5向上平移的長(zhǎng)度單位得b,連接8當(dāng)共線時(shí)有最小值

原理：通過(guò)構(gòu)造平行四邊形轉(zhuǎn)換成普通將軍飲馬，AM+MN+BN=AM+MN+B'M^AB'+MN

【問(wèn)題9】在直線/上求兩點(diǎn)M,N（M在左）且MN=a,求AM+MN+BN的最小值

問(wèn)題解決：將B點(diǎn)向左移動(dòng)a個(gè)單位長(zhǎng)度，再作B關(guān)于直線/的對(duì)稱點(diǎn)B",當(dāng)AB-M共線有最小

值

原理：通過(guò)平移構(gòu)造平行四邊,

AM+MN+BN=AM+MN+B''M<AB"

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四、垂線段最短

【問(wèn)題10】在直線4，上分別求點(diǎn)4B,使最小

問(wèn)題解決：作P關(guān)于4的對(duì)稱點(diǎn)尸'，作于4交k于B,尸/即所求

原理：點(diǎn)到直線，垂線段最短，PB+AB=P'B+AB<P'A

五、相對(duì)運(yùn)動(dòng)，平移型將軍飲馬

【問(wèn)題11］在直線/上求兩點(diǎn)N（M在左）且MN=a,求的最小值

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問(wèn)題解決：相對(duì)運(yùn)動(dòng)或構(gòu)造平行四邊形

策略一：相對(duì)運(yùn)動(dòng)思想

過(guò)點(diǎn)人作的平行線，相對(duì)點(diǎn)4在該平行線上運(yùn)動(dòng)，則可轉(zhuǎn)化為普通飲馬問(wèn)題

策略二：構(gòu)造平行四邊形等量代換，同問(wèn)題9.

六、瓜豆軌跡，手拉手藏軌跡

【問(wèn)題12］如圖，點(diǎn)尸在直線3c上運(yùn)動(dòng)，將點(diǎn)P繞定點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到點(diǎn)Q,求。點(diǎn)

軌跡？

問(wèn)題解決：當(dāng)AP與AQ夾角固定且AP：AQ為定值的話，P、。軌跡是同一種圖形.當(dāng)確定軌跡是線

段的時(shí)候，可以任取兩個(gè)時(shí)刻的。點(diǎn)的位置，連線即可，比如。點(diǎn)的起始位置和終點(diǎn)位置，連接即

得Q點(diǎn)軌跡線段.

原理：由手拉手可知，故/AQ0=/A。，故Q點(diǎn)軌跡為直線

七、化斜為直，斜大于直

【問(wèn)題13］已知：AO是心△ABC斜邊上的高

AD

(1)求"的最大值；(2)若AO=2,求的最大值

BC

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問(wèn)題解決：取6。中點(diǎn)/，(1)則&V翼=工；(2)BC=2AM<2AD=4

BCBC2

八、構(gòu)造二次函數(shù)求最值

這類問(wèn)題一般無(wú)法通過(guò)純幾何方法來(lái)解決或幾何方法比較復(fù)雜，需要通過(guò)面積法或者構(gòu)造全等、相

似建立等量關(guān)系，將待求的線段或圖形的面積用含有自變量的式子來(lái)表示，一般是一個(gè)二次函數(shù)或

者換元后是一個(gè)二次函數(shù)，然后通過(guò)配方得到最值.

【問(wèn)題14］正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6,點(diǎn)。在邊8上，且CD=3CQ,p是邊BC上一動(dòng)點(diǎn)，連接PQ,

過(guò)點(diǎn)P作EPLPQ交邊于點(diǎn)E,設(shè)8尸的長(zhǎng)為工，則線段8E長(zhǎng)度的最大值為.

問(wèn)題解決：根據(jù)題意，作出圖形，根據(jù)兩個(gè)三角形相似的判定得到△PCQS^EBP,進(jìn)而根據(jù)相似

1Q

比得到BE=-：(X-3)92+：,利用二次函數(shù)求最值方法求解即可得到答案

【詳解】易知.?.△PCQS△班尸，，耍=￡￡,

BPBE

26—x

.CD=3CQ,CD=6,：.QC=2,.?.*二J±,

xBE

11,、1Q

/.BE=—x(6-x)=(x2-6xj=(x-3)9+—(0<x<6),

11QQ

=無(wú)一9在x=3時(shí)有最大值，最大值為:

22'’22

【題型11兩定一動(dòng)型(線段和差最值問(wèn)題)

【例題11透明圓柱形容器(容器厚度忽略不計(jì))的高為12cm,底面周長(zhǎng)為10cm,在容器內(nèi)壁離

底部3cm的點(diǎn)B處有一飯粒，此時(shí)一只螞蟻正好在容器外壁且離容器上沿3cm的點(diǎn)A處.求螞蟻

吃到飯粒需要爬行的最短路程是多少？

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蛆蟻力

【答案】13

【詳解】???高為12cm,底面周長(zhǎng)為10cm,在容器內(nèi)壁離容器底部3cm的點(diǎn)8處有一飯粒,

此時(shí)壁虎正好在容器外壁，離容器上沿3cm與飯粒相對(duì)的點(diǎn)A處，

.".A'0=5cm,80=12-3+4E=12cm,

???將容器側(cè)面展開，作4關(guān)于即的對(duì)稱點(diǎn)4',

連接4'B,則4'6即為最短距離，

4B=y[AD2+BD2=13（cm）.

【例題2】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，及△。48的頂點(diǎn)A在x軸的正半軸上.頂點(diǎn)2的坐標(biāo)為（3,

百），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1,0）,且/498=30。點(diǎn)尸為斜邊OB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則E4+PC的最小值為（）

A.V2B.V3C.V7D.VTT

【答案】C

【分析】過(guò)點(diǎn)C作C關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)C,連接AC與OB相交，根據(jù)軸對(duì)稱確定最短路線得AC

與OB的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)P,PA+PC的最小值=人（7,過(guò)點(diǎn)C作CDLOA于D,求出CC,NOCC=60。,

再求出CD、CD,然后求出AD,再根據(jù)勾股定理列式計(jì)算即可得解.

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【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)C作C關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)C，，連接AC與OB相交，-

則AC與OB的交點(diǎn)即所求的點(diǎn)P,PA+PC的最小值=人。，

過(guò)點(diǎn)C作CDLOA于D,

?.,點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1,0）,且/AOB=30。，

.../OCC=90°-30°=60°,

OC=1,CC-2xlx1=l,

.?.CD=《，CD=",

22

??,頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3,⑺），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1,0）,ZOAB=90°,

.*.AC=3-1=2,

AD=2+1=—,

22

在RCACD中，由勾股定理得，AC'=JcT>2+AD2=jg=近

/u鞏固練習(xí)/

【鞏固練習(xí)1】如圖，點(diǎn)A,8在直線的同側(cè)，A到的距離AC=8,8到MN的距離8。=5

已知CO=4,P是直線MN上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，記P4+PB的最小值為。，|24-尸邳的最大值為6,則

的值為（）

A.160B.150C.140D.130

【答案】A

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【分析】作點(diǎn)A關(guān)于直線MN的對(duì)稱點(diǎn)A，，連接AB交直線MN于點(diǎn)P,則點(diǎn)P即為所求點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)

A作直線在根據(jù)勾股定理求出線段A8的長(zhǎng)，即為PA+PB的最小值，延長(zhǎng)AB交MN于

點(diǎn)P,此時(shí)P3-P3=A8,由三角形三邊關(guān)系可知48＞辦-尸同，故當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到P，時(shí)最

大，過(guò)點(diǎn)B作BE，AC由勾股定理求出AB的長(zhǎng)就是的最大值，代入計(jì)算即可得.

【詳解】解：如圖所示，作點(diǎn)A關(guān)于直線MN的對(duì)稱點(diǎn)A,連接AB交直線MN于點(diǎn)P,則點(diǎn)P即

為所求點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作直線AEL8。，

?/AC=8,BD=5,CO=4,

，AC=8,BE=8+5=13,A'E=CD=4,

在中,根據(jù)勾股定理得，

A'B=yjBE+A'E=V132+42=V185，

即PA+PB的最小值是a=灰；

如圖所示，延長(zhǎng)AB交MN于點(diǎn)P,

,:P'A-P'B=AB,AB>\PA-PB\,

???當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到P點(diǎn)時(shí)，|P4-PB|最大,

過(guò)點(diǎn)B作BE1AC,則BE=CO=4,

：.AE=AC-BD=8-5=3,

在R%A硬中，根據(jù)勾股定理得，

AB=yjAE2+BE2=A/32+42=5，

\PA-PB\=5,

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即b=5,6z2-fo2=(V185)2-52=160

【鞏固練習(xí)2】如圖，在矩形ABC。中，AB=5cm,BC=6cm,點(diǎn)E在直線AD上，從點(diǎn)A出發(fā)向

右運(yùn)動(dòng)，速度為每秒0.5cm,點(diǎn)P在直線8C上，從點(diǎn)8出發(fā)向右運(yùn)動(dòng)，速度為每秒2cm,BE、AF

相交于點(diǎn)G,則2G+CG的最小值為CHI.

【答案】10

【分析】過(guò)點(diǎn)G作直線MN1BC,分別交AD、BC于點(diǎn)A/、N,過(guò)點(diǎn)G作直線PQ//CD,分別交AB、

DC于點(diǎn)、P、Q,易知四邊形ABNM、PBNG、GNCQ為矩形，證明口GAEsOGFB,由相似三角形

的性質(zhì)可得羋=察；設(shè)E、尸兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為人則AE=0.5t,8尸=2f,易得GM=lcm,GN=4cm；

BFGN

作點(diǎn)c關(guān)于直線尸。的對(duì)稱點(diǎn)K,由軸對(duì)稱的性質(zhì)可得CG=KG,故當(dāng)8、G、K三點(diǎn)共線時(shí)，

8G+KG的值最小，即8G+CG取最小值，此時(shí)，在RtABCK中，由勾股定理求得BK的值，即可

獲得答案.

【詳解】解:如下圖，過(guò)點(diǎn)G作直線MN1BC,分別交AO、于點(diǎn)M、N,過(guò)點(diǎn)G作直線PQ//CD,

分別交A3、CC于點(diǎn)尸、Q,

易知四邊形ABN"、PBNG、GNCQ為矩形，MN=AB=5cm,

???四邊形A8CD為矩形，

AD//BC,AB//DC

：.ZGAE=ZGFB,ZGEA=ZGBF,

QGAE^aGFB,

.AEGM

"~BF~GN'

設(shè)E、下兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為f,則AE=0.5f,BF=2t,

0.5f1

則有——=—=-,即HnGN=4GM,

GN2t4

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?.?MN=5cm,

GM=1cm,GN=4cm,

???四邊形GNCQ為矩形，

QC=GN=4cm,

作點(diǎn)c關(guān)于直線尸Q的對(duì)稱點(diǎn)K,如圖，

則QK=QC=4cm,KC=QK+QC=8cm,

由軸對(duì)稱的性質(zhì)可得CG=KG,

當(dāng)3、G、K三點(diǎn)共線時(shí)，BG+KG的值最小，即8G+CG取最小值,

此時(shí)，在RtABCK中，BK=^BC-+KC2=762+82=10cm，

?*.BG+CG的最小值為10cm

【鞏固練習(xí)3】探究式子正石+而二71（x2。）的最小值?小胖同學(xué)運(yùn)用“數(shù)形結(jié)合”的思想：如

圖，取A8=4,作AC_LA8于A.BD工AB于B,且AC=1,8。=1,點(diǎn)E在AB上，設(shè)AE=x,

則6E=4—x,于是，正+l=CE，7（^-4）2+1=￡>￡,因止匕可求得CE+OE的最小值為,

已知y=J(x+5)2+52-Jf+32(xzo),則y的最大值是

【分析】作C關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)P,連接ED交AB于E,連接CD,利用勾股定理求CE+DE的最

小值即可；構(gòu)造圖形如圖，過(guò)點(diǎn)。作OM」AC交AC于M,求y的最大值結(jié)合三角形的三邊關(guān)系，

根據(jù)矩形的性質(zhì)，利用勾股定理進(jìn)行計(jì)算即可得到答案.

【詳解】解：如圖，作C關(guān)于A8的對(duì)稱點(diǎn)F,連接即交A8于連接C。，

-----------力"

A\//‘E'EB'

F

貝（jAb=AC=l,CEr=FEr,

此時(shí)CE+DE的值最小為：CE'+DE'=FE'+DE'=DF,

???AC1AB,BDJ,AB,

:.AC//BD,

?.?AC=BD=\,

.??四邊形ABDC是平行四邊形,

???/CAB=90。，

???四邊形A3。。是矩形,

/.ZFC￡>=90°,CD=AB=4,

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■.■CF=CA+AF=2,

DF=VCF2+CD2=A/22+42=2石

如圖，NA=90°,AC=5,AB=5,BD=3,BE=x,

A5BxE

貝UCE=,52+（5+X）2,DE=y/x2+32,

■：CE-DE<CD,

：.CE-DE的最大值為CD的長(zhǎng)度，

過(guò)點(diǎn)。作。MlAC交AC于M,

則四邊形為矩形，

DM=AB=5,AM=BD=3,

:.CM=2,

CD=yJcM2+DM2=V22+52=729，

y的最大值為

【題型2】雙動(dòng)點(diǎn)最值問(wèn)題（兩次對(duì)稱）

【例題1】四邊形ABCD中，ZBAD=125°,ZB=ZD=90°,在BC、CD上分別找一點(diǎn)M、N,當(dāng)三

角形AMN周長(zhǎng)最小時(shí)，ZMAN的度數(shù)為

"使得DA"=AD,

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VZABC=ZADC=90°,

：.A,A7關(guān)于BC對(duì)稱，A、A"關(guān)于CD對(duì)稱，

此時(shí)△AMN的周長(zhǎng)最小，

\'BA=BA',MBLAB,

：.MA=MA',同理：NA=NA",

：.ZA'=ZMAB,ZA"=ZNAD,

■:/AMN=/A，+ZMAB=2ZA',ZANM=ZA"+ZNAD=2ZA",

：.ZAMN+ZANM=2(NA'+ZA"),

VZBAD=125",

+NA"=180°-ZBA￡>=55°,

：.ZAMN+ZANM=2X55°=110°.

：.ZMAN=1SO°-110°=70°,故答案為：70°

【例題2】如圖，在四邊形ABC。中，ZB=ZD=90°,/DAB=140。，M,N分別是邊DC,BC上

的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)DAMN的周長(zhǎng)最小時(shí)，NMAN=°.

【答案】100

【分析】作點(diǎn)A關(guān)于CD、C8的對(duì)稱點(diǎn)E、F,連接EF分別交CD、CB于點(diǎn)H、G,連接AH、4G、

EM、FN,則當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)H重合，點(diǎn)N與點(diǎn)G重合時(shí)，口4皿的周長(zhǎng)最小，則易得/"AN的大

小.

【詳解】解：如圖，作點(diǎn)A關(guān)于CD、CB的對(duì)稱點(diǎn)E、F,連接所分別交CD、CB于點(diǎn)H、G,連

接A”、AG、EM、FN,

由對(duì)稱性知：EM=AM,EH=AH,NF=NA,GF=GA,

AM+MN+NA=EM+MN+NF>EF,

當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)打重合，點(diǎn)N與點(diǎn)G重合時(shí)，口AMN的周長(zhǎng)最小；

GA=GF,EH=AH，

：.ZGAF=AGFA,NHEA=NHAE,

：.ZAGH=2ZGFA,NAHG=2NHEA

?：ZDAB=140°,

：.AGFA+ZHEA=180°-ZDAB=40°,

：ZAGH+ZAHG=2ZGAF+2NHEA=2x40°=80°,

；.ZGAH=180°-(ZAGH+NAHG)=180°-80°=100°,

即ZMAN=100°,

故答案為：100.

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2025屆中考復(fù)習(xí)

/「鞏固練習(xí)/_____________________________________________________

【鞏固練習(xí)1】如圖所示，E為邊長(zhǎng)是2的正方形ABCD的中點(diǎn)，M為BC上一點(diǎn)，N為CD上一

點(diǎn)，連EM、MN、NA,則四邊形AEMN周長(zhǎng)的最小值為。

【解答】解：延長(zhǎng)至A',使,延長(zhǎng)AB至皮，使BE=BE',連接A'E',

交BC于交OC于N,此時(shí)AN=4N,EM=E'M,四邊形AEMN周長(zhǎng)=AN+MN+ME+AE=A，

E'+AE,根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，A'E'+AE就是四邊形AEMN周長(zhǎng)的最小值；

?：AD=2,AE=BE=1,

：.A'D=AD=2,BE=BE'=1,

：.AE'=3,AA'=4,

E'=^AE+AA=5,

四邊形AEMN周長(zhǎng)的最小值為5+1=6.

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2025屆中考復(fù)習(xí)

【鞏固練習(xí)2】如圖，在四邊形ABCD中，ZB=ZD=90。，ZBAD=UQ°,AB=2,AD=4,尸、Q

分別是邊2C、CO上的動(dòng)點(diǎn)，連接AP,AQ,PQ,則△APQ周長(zhǎng)的最小值為.

【答案】4幣

【分析】如圖，由NB=ZD=90。，作A關(guān)于對(duì)稱的點(diǎn)4",作A關(guān)于CO對(duì)稱的點(diǎn)A,連接4A",

與BC交點(diǎn)為P,與CD交點(diǎn)、為。,連接AP,A2',由對(duì)稱的性質(zhì)可得AP=A"P',AQ'=A'Q',

A'D^AD=-AA'=4,A"B^AB=-AA"=2,貝ijAP+PQ，+AQ，=A"P+PQ，+4Q，,可知當(dāng)

22

A"、P、Q\4四點(diǎn)共線時(shí)，的周長(zhǎng)最小為4A",如圖，過(guò)A"作的延長(zhǎng)線于E,

由/BAD=120°,可得ZA"AE=60°,則A"E=AA"-sinNA"AE=273>AE=AA"-cosZA"AE=2,

4E=10,根據(jù)A4〃=-XJA'E2+A"E-，計(jì)算求解即可.

【詳解】解:如圖，由NB=N。=90。，作A關(guān)于8C對(duì)稱的點(diǎn)A",作A關(guān)于C。對(duì)稱的點(diǎn)A',連接A'A",

與BC交點(diǎn)為P,與8交點(diǎn)為0,連接AP',AQ',

由對(duì)稱的性質(zhì)可得AP'=A"P',AQ'=A'Q',A'D^AD=-AA'=4,A"B^AB=-AA"=2,

22

/.AP'+P'Q'+AQ'=A"P'+P'Q'+A'Q',

.?.當(dāng)A”、P、Q\4四點(diǎn)共線時(shí)，△APQ的周長(zhǎng)最小為AA",

如圖，過(guò)A"作A'EIA。的延長(zhǎng)線于E,

,/ZBAD=120°,

二ZA"AE=60°,

二A"E=A4〃.sinZA"AE=26，AE=AA?.cosZA"AE=2,

A'E=10,由勾股定理得A'A"^^IA'E2+A"E2=477

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【鞏固練習(xí)3】如圖，在平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC、8D相交于點(diǎn)。，點(diǎn)及歹分別是邊AD、AB

上的點(diǎn)，連接OE、OF、EF,若AB=C,BC=2,/DAB=30。，則口OE/周長(zhǎng)的最小值是.

【分析】作點(diǎn)O關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)M,點(diǎn)O關(guān)于AD的對(duì)稱點(diǎn)N,連接MN,MF,NE,AN,AM,

則口0所的周長(zhǎng)=OE+OF+M=ME+E尸+M尸，故當(dāng)V、E、F、N四點(diǎn)共線時(shí)ME+EP+MF,

即此時(shí)口0所的周長(zhǎng)最小，最小值為MN的長(zhǎng)，證明△MAN是等邊三角形，得到MN=AM=A。；

過(guò)D作。尸，AB交直線AB于P,由平行四邊形的性質(zhì)得到AO=8C=2,OD=OB=^BD,由含

30度角的直角三角形的性質(zhì)得到。尸=；A。=1,則AP=6，OD=OB==^,即可得到點(diǎn)P與點(diǎn)

B重合，則OIW+OB?=巫,由此即可得到答案.

2

【詳解】解:作點(diǎn)。關(guān)于A8的對(duì)稱點(diǎn)M,點(diǎn)。關(guān)于AD的對(duì)稱點(diǎn)N,連接MN,MF,NE,AN,AM,

由作圖得：AN=AO=AM,ZNAD=ZDAO,ZMAB=ZBAO,NE=OE,MF=OF,

.、口OEE的周長(zhǎng)nOE+OB+EF'nME+Ef'+MF,

.?.當(dāng)M、E、F、N四點(diǎn)共線時(shí)ME+EF+MF,即此時(shí)口OEF的周長(zhǎng)最小，最小值為MN的長(zhǎng),

,/ZDAB=30°,

AMAN=60°,

/XMIN是等邊三角形，

MN=AM=AO-,

過(guò)D作。尸_LAB交直線AB于P,

???四邊形A3CD是平行四邊形，

/.AD=BC=2,OD=OB=-BD,

2

在Rt口ADP中，/D4尸=30°,ZDPA=90°,

：.DP=-AD=1,

2

AAP=y/AD2-BD2=V3>OD=OB=^BD^,

?*.AB=AP=6,

.?.點(diǎn)P與點(diǎn)B重合，

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2025屆中考復(fù)習(xí)

/.OA=^AB'+OB-=—，

2

MN=—

2

【題型3】動(dòng)線段問(wèn)題：造橋選址(構(gòu)造平行四邊形)

【例題1】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知A(3,6),8(-2,2),在x軸上取兩點(diǎn)C,。(點(diǎn)C在點(diǎn)D

左側(cè))，且始終保持CD=1,線段。在x軸上平移，當(dāng)AD+8C的值最小時(shí)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為.

【分析】作點(diǎn)B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)B\將B，向右平移1個(gè)單位得到B",連接AB",與x軸交于點(diǎn)D,

過(guò)點(diǎn)B，作AB"的平行線，與x軸交于點(diǎn)C,得到此時(shí)AD+BC的值最小，求出直線AB",得到點(diǎn)D

坐標(biāo)，從而可得點(diǎn)C坐標(biāo).

【詳解】解：如圖，作點(diǎn)B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)B',將B，向右平移1個(gè)單位得到B",連接AB”,與x

軸交于點(diǎn)D,過(guò)點(diǎn)作AB〃的平行線，與x軸交于點(diǎn)C,

可知四邊形BB〃DC為平行四邊形，

則BC=B〃D,

由對(duì)稱性質(zhì)可得：BC=BC,

AD+BC=AD+BC=AD+B〃D=AB〃,

則此時(shí)AB〃最小，即AD+BC最小，

VA(3,6),B(-2,2),

???B'(-2,-2),

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2025屆中考復(fù)習(xí)

.?.B"(-1,-2),

設(shè)直線AB"的表達(dá)式為：y=kx+b,

6=3k+bk=2

則解得:

b=0

直線AB"的表達(dá)式為：y=2x,

令y=0，解得：X=O,即點(diǎn)D坐標(biāo)為(0,0),

點(diǎn)C坐標(biāo)為(-1,0),

故答案為：(-1,0).

【例題2】如圖,已知點(diǎn)A(3,0),5(1,0),兩點(diǎn)C(-3,9),。(2,4)在拋物線y=/上，向左或向右平

移拋物線后，C,。的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為C',D',當(dāng)四邊形ABC'。的周長(zhǎng)最小時(shí)，拋物線的解析式

為.

B(l,0),C(-3,9),D(2,4),

AB=3-1=2,CD=^(-3-2)2+(9-4)2=572,

由平移的性質(zhì)可知：C'D'=CD=5y/2,

二四邊形ABC'。的周長(zhǎng)為AB+80+C'Z>,+ZTA=2+80+50+D'A;

要使其周長(zhǎng)最小，則應(yīng)使8。+。，A的值最小；

設(shè)拋物線平移了a個(gè)單位，當(dāng)a>0時(shí)，拋物線向右平移，當(dāng)a<0時(shí)，拋物線向左平移;

C'(-3+ii,9),ZT(2+a,4),

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將A向左平移2個(gè)單位得到。4),則由平移的性質(zhì)可知：BD"=AD',

將￡>”(a,4)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)記為點(diǎn)E,則E(a,-4),由軸對(duì)稱性質(zhì)可知，BD"=BE,

：.BC'+D'A=BC'+BE,

當(dāng)B、E、。三點(diǎn)共線時(shí)，BC+BE的值最小，

9Q

將E點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式可得：

解得：?=—,此時(shí)BC'+BEMC'EMj-B+a-ay+,+dy

此時(shí)四邊形ABC'。的周長(zhǎng)為AB+BC'+C'D'+。'A=2+5收+而；

當(dāng)a=4時(shí)，C'(l,9),。'(6,4),4(3,0),5(1,0),

此時(shí)四邊形ABC'。的周長(zhǎng)為：

AB+BC'+C'D'+Z),A=2+(9-0)+5V2+^(6-3)2+(4-0)2=16+572；

2+5V2+V178<16+5>/2,

.?.當(dāng)時(shí)，其周長(zhǎng)最小，所以拋物線向右平移了II個(gè)單位，所以其解析式為：y一生『

/u鞏固練習(xí)/___________

【鞏固練習(xí)1】如圖，在直角坐標(biāo)系中，矩形0ABe的頂點(diǎn)。在坐標(biāo)原點(diǎn)，頂點(diǎn)A,C分別在x軸,

》軸上，B,。兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為2(-4,6),D(0,4),線段所在邊。4上移動(dòng)，保持所=3,當(dāng)

四邊形BOEF的周長(zhǎng)最小時(shí)，點(diǎn)E的坐標(biāo)為.

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【答案】(-。40)

【詳解】解:如圖所示，：D(0,4),

??.D點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為H(0,-4),

；.ED=EH,

將點(diǎn)H向左平移3個(gè)單位，得到點(diǎn)G(-3,-4),

；.EF=HG,EF〃HG,

二四邊形EFGH是平行四邊形，

；.EH=FG,

；.FG=ED,

VB(-4,6),

BD=^(-4-0)2+(6-4)2=275,

又：EF=3,

Z.四邊形BDEF的周長(zhǎng)=BD+DE+EF+BF=26+FG+3+BF,

要使四邊形BDEF的周長(zhǎng)最小，則應(yīng)使FG+BF的值最小,

而當(dāng)F、G、B三點(diǎn)共線時(shí)FG+BF的值最小，

設(shè)直線BG的解析式為：y=kx+b(k^0)

VB(-4,6),G(-3,-4),

.J-4^+b=6

??[-3左+5=-4'

.卜=T0

.?%=_34'

y——lOx—34,

當(dāng)y=0時(shí)，x=-3.4,

/.F(-3.4,0),

￡(-0.4,0)

故答案為：(-040).

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【鞏固練習(xí)2】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中有4(0,3),0(5,0)兩點(diǎn).將直線小丁=彳向上平移2個(gè)

單位長(zhǎng)度得到直線4,點(diǎn)8在直線4上，過(guò)點(diǎn)B作直線4的垂線，垂足為點(diǎn)C,連接4B,BC,CD,

則折線ABCD的長(zhǎng)AB+8C+CD的最小值為.

【答案】2A/5+V2

【分析】先證四邊形ABC尸是平行四邊形，可得=則AB+JBC+CD=CF+萬(wàn)+CD，即當(dāng)

點(diǎn)C,點(diǎn)，點(diǎn)F三點(diǎn)共線時(shí)，b+CD有最小值為。尸的長(zhǎng)，即A8+8C+C。有最小值，即可求

解.

【詳解】解：如圖，將點(diǎn)A沿y軸向下平移2個(gè)單位得到E(o,l),以4E為斜邊，作等腰直角三角形

AEF,則點(diǎn)尸(1,2),連接CF,

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?.?□AM