第頁，共頁第18頁，共18頁2022級高三上學期第四次學情檢測數學試題一．單選題1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據對數函數的定義域得到集合B，再由集合的并集運算得到結果.【詳解】由可得，則，又，所以，故選：D.2.已知復數且復數z是方程的一個根，則實數（）A.1 B. C. D.2【答案】B【解析】【分析】將復數代入方程，化簡后利用復數相等的性質求解即可/【詳解】因為復數且復數z是方程的一個根，所以.即，則故選：B.3.已知拋物線，則拋物線C的準線方程為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】轉化為拋物線的標準方程，直接得出準線方程即可.【詳解】由可得，所以拋物線C的準線方程為，故選：C4.已知雙曲線的漸近線方程為，則雙曲線的離心率（）A. B. C.或 D.或【答案】C【解析】【分析】分焦點在軸、軸上兩種情況討論可得，即可得答案.【詳解】若焦點在軸上，則；焦點在軸上，則.故選：C.5.若，則（）A.2 B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用誘導公式、余弦的二倍角公式和同角三角函數關系求解即可.【詳解】由題意可得，所以，，故選：A6.今年賀歲片，《第二十條》、《熱辣滾燙》、《飛馳人生2》引爆了電影市場，小明和他的同學一行四人決定去看這三部電影，則恰有兩人看同一部影片的選擇共有（）A.9種 B.36種 C.38種 D.45種【答案】B【解析】【分析】先安排2人看同一部影片，再安排剩余2人，利用排列組合知識進行求解.【詳解】從4人中選擇2人看同一部影片，再從3部影片中選擇一部安排給這兩人觀看，剩余的2人，2部影片進行全排列，故共有種情況.故選：B7.已知為數列的前n項和，且，若對任意正整數n恒成立，則實數的最小值為（）A.4 B. C.9 D.【答案】D【解析】【分析】利用關系及等比數列定義得，將問題化為恒成立，研究右側數列的單調性并求其最大值，即可得答案.【詳解】由，令，解得，當時，由，得，即，所以數列是以為首項，為公比的等比數列，所以，由，即恒成立，令，則，而，所以，即數列單調遞減，故，所以，所以的最小值為.故選：D8.在中，角的對邊分別為，若，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由，結合，由正弦定理可得.最后由，結合余弦定理可得答案.【詳解】，由正弦定理，則.由余弦定理，.故選：B二．多選題9.已知隨機變量X，且，則（）A. B.若則C.若，則 D.【答案】ABD【解析】【分析】根據給定條件，利用正態分布的性質、期望及方差的性質逐項分析判斷即可.【詳解】由題知，故A正確；，故B正確；，故C錯誤；由正態分布密度曲線關于對稱，利用對稱性知，，所以，故D正確.故選：ABD.10.有6個相同的球，分別標有數字1，2，3，4，5，6，從中不放回地隨機取兩次，事件表示“第一次取出的球的數字是偶數”，事件表示“第二次取出的球的數字是奇數”，事件表示“兩次取出的球的數字之和是偶數”，則（）A.與為互斥事件 B.與相互獨立C. D.【答案】BD【解析】【分析】由互斥事件、相互獨立事件的定義判斷AB；利用概率的基本性質計算判斷C；求出條件概率判斷D.【詳解】依題意，不放回的隨機取兩次，共有種不同結果，，共個不同結果，，共個不同結果，，共個不同結果，對于A，事件能同時發生，如基本事件，與不互斥，A錯誤；對于B，，，共6個不同結果，，與相互獨立，B正確；對于C，，共9個不同結果，，，C錯誤；對于D，由選項B知，，D正確.故選：BD11.已知函數，則（）A.當，時，直線與曲線相切B.當時，函數的減區間為C.當時，若函數有3個零點，則實數的取值范圍為D.當，時，若（其中），有【答案】ACD【解析】【分析】對于A，由切線斜率為1求出切點，結合點斜式即可判斷A；求導，根據導數正負情況即可判斷B；由函數的單調性和極值以及零點即可求解判斷C；由函數的零點情況，結合和基本不等式即可求解判斷D.【詳解】對于A選項，當，時，，有，若，解得或，由，可得與曲線相切，故A選項正確；對于B選項，，當時，由，有，故函數的減區間為，故B選項錯誤；對于C選項，當時，，所以由B可知函數在上單調遞增，在上單調遞減，又，，極大值，故若函數有3個零點，則實數的取值范圍為，故C選項正確；對于D選項，當，時，，由，若（其中），則有，有，可得，有，又由，有，可得，故D選項正確.故選：ACD.【點睛】關鍵點睛：求證的關鍵1是先由即結合立方和公式化簡得到，關鍵2是利用基本不等式得到關于的不等關系得解.三、填空題12.有一組數據：，且n為這組數據的分位數，則的展開式中第三項的系數為______．【答案】80【解析】【分析】根據百分位數定義求出，由二項展開式的通項即可求解.【詳解】將數據按從小到大排成一列：，由，可知這組數據的分位數為5，即，所以的展開式中第三項為：，所以的展開式中第三項的系數為：80.故答案為：8013.已知圓，直線與圓交于兩點，則最小值為______．【答案】2【解析】【分析】根據直線過定點，結合弦長公式即可求.【詳解】由可得，所以直線恒過定點，因為，所以在圓內，由圓可知圓心為，半徑，當時，圓心到直線的距離取到最大值，此時最小，因為，所以.故答案為：214.已知個點大致呈線性分布，其中，且數據的回歸直線方程為，則的最小值為______．【答案】【解析】【分析】根據回歸方程必過樣本中心點，即可得到答案.【詳解】回歸直線經過，且，代入回歸方程得：，即，所以當時，的最小值為.故答案為：.四、解答題15.已知函數，其中為常數，為自然對數的底數．（1）當時，求的單調區間；（2）若在區間上的最大值為2，求的值．【答案】（1）答案見解析；（2）.【解析】【分析】（1）利用導數求得的單調區間；（2）先求得，然后對a進行分類討論，研究單調性及最值求a的值.【小問1詳解】由題設的定義域為，且，則，當時，當時，所以的單調遞增區間為，單調遞減區間為.【小問2詳解】由題設，當，結合，易知，所以在上單調遞增，故無最大值，不符合；當，且，則時，時，所以在上遞增，在上遞減，則，故，可得.綜上，.16.某高中學校為了解學生參加體育鍛煉的情況，統計了全校所有學生在一年內每周參加體育鍛煉的次數，現隨機抽取了60名同學在某一周參加體育鍛煉的數據，結果如下表一周參加體育鍛煉次數01234567合計男生人數1245654330女生人數4556432130合計579111086460（1）若將一周參加體育鍛煉次數為3次及3次以上的，稱為“經常鍛煉”，其余的稱為“不經常鍛煉”．請完成以下2×2列聯表，并依據獨立性檢驗，能否有90%的把握認為性別因素與學生體育鍛煉的經常性有關系；性別鍛煉合計不經常經常男生

女生

合計

（2）若將一周參加體育鍛煉次數為0次的稱為“極度缺乏鍛煉”，“極度缺乏鍛煉”會導致肥胖等諸多健康問題，以樣本頻率估計概率，在全校抽取20名同學，其中“極度缺乏鍛煉”的人數為X，求和；（3）若將一周參加體育鍛煉6次或7次的同學稱為“運動愛好者”，為進一步了解他們的生活習慣，在樣本的10名“運動愛好者”中，隨機抽取3人進行訪談，設抽取的3人中男生人數為，求的分布列和數學期望．附：參考數據：0.10000500.0100.0052.7063.8416.6357.879【答案】（1）列聯表見解析；有90%的把握認為性別因素與學生體育鍛煉的經常性有關系（2），（3）分布列見解析，【解析】【分析】（1）由60名同學的統計數據可得列聯表，代入公式可得，再對照臨界值表即可得出結論；（2）求出隨機抽取一人為“極度缺乏鍛煉”者的概率，易得服從二項分布，由二項分布即可得和；（3）依題意可得的所有可能取值為0，1，2，3，利用超幾何分布公式求得概率，進而即可得到的分布列和期望值.【小問1詳解】根據統計表格數據可得列聯表如下：性別鍛煉合計不經常經常男生72330女生141630合計213960根據列聯表的數據計算可得，故有90%的把握認為性別因素與學生體育鍛煉的經常性有關系；【小問2詳解】因學?？倢W生數遠大于所抽取學生數，故近似服從二項分布，易知隨機抽取一人為“極度缺乏鍛煉”者的概率，即可得，故，；【小問3詳解】易知10名“運動愛好者”有7名男生，3名女生，所以Y的所有可能取值為0，1，2，3，且Y服從超幾何分布：，，，故所求分布列為Y0123P可得17.設x∈R，函數的最小正周期為，且圖象向左平移后得到的函數為偶函數．（1）求解析式，并通過列表、描點在給定坐標系中作出函數在上的圖象；（2）在銳角中，分別是角的對邊，若，求的值域．【答案】（1）詳見解析；（2）【解析】【分析】（1）根據的最小正周期為，求得，再利用平移變換，得到函數，再根據函數是偶函數求得，從而得到，然后利用“五點法”作圖求解；（2）由，利用正弦定理，結合恒等變換求得，再根據是銳角三角形，求得角B的范圍，再利用余弦函數的性質求解.【小問1詳解】解：因為函數的最小正周期為，所以，則，由圖象向左平移后得到的函數為，因為函數是偶函數，所以，則，因為，所以，所以．由五點法，列表如下：0010-10的圖象，如圖所示：【小問2詳解】由，利用正弦定理得，即，即，因為，所以，，所以；因為是銳角三角形，所以，即，解得因為，所以，所以，所以的值域是.18.已知圓與軸交于點，且經過橢圓的上頂點，橢圓的離心率為．（1）求橢圓的方程；（2）若點為橢圓上一點，且在軸上方，為關于原點的對稱點，點為橢圓的右頂點，直線與交于點的面積為，求直線的斜率．【答案】（1）（2）直線的斜率或【解析】【分析】（1）由題意首先依次得出，，進一步結合離心率公式以及的關系式即可求解；（2），則，進一步表示出點以及的面積，結合已知可得點的坐標，由此即可得解.【小問1詳解】圓過1,0，，又圓過，，又，橢圓的方程為.【小問2詳解】設，則，由題知且，則，，由，解得，，又，，又，，直線的斜率或.19.已知有窮數列中的每一項都是不大于的正整數.對于滿足的整數，令集合.記集合中元素的個數為（約定空集的元素個數為0）.（1）若，求及；（2）若，求證：互不相同；（3）已知，若對任意的正整數都有或，求的值.【答案】（1），.（2）證明見解析（3）答案見解析【解析】【分析】（1）觀察數列，結合題意得到及；（2）先得到，故，再由得到，從而證明出結論；（3）由題意得或，令，得到或，當時得到，當時，考慮或兩種情況，求出答案.【小問1詳解】因為，所以，則；【小問2詳解】依題意，則有，因此，又因為，所以所以互不相同.【小問3詳解】依題意由或，知或.令，可得或，對于成立，故或①當時，，所以.②當時，或.當時，由或，有，同理，所以.當時，此時有，令，可得或，即或.令，可得或.令，可得.所以.若，則令，可得，與矛盾.所以有.不妨設，令，可得，因此.令，