專題27相似模型之托勒密定理與不等式模型

相似三角形是幾何中重要的證明模型之一，是全等三角形的推廣，分析圖形間的關(guān)系離不開(kāi)數(shù)量的計(jì)

算。相似和勾股是產(chǎn)生等式的主要依據(jù)（其他依據(jù)還有面積法，三角函數(shù)等），因此要掌握相似三角形的基

本圖形，體會(huì)其各種演變和聯(lián)系。相似三角形是初中幾何中的重要的內(nèi)容，常常與其它知識(shí)點(diǎn)結(jié)合以綜合

題的形式呈現(xiàn)，其變化很多，是中考的常考題型。本專題重點(diǎn)講解相似三角形的托勒密定理與托勒密不等

式模型。

托勒密（Ptolemy）定理的歷史，可追溯到公元2世紀(jì)，古希臘數(shù)學(xué)家和天文學(xué)家Ho/emy,他對(duì)三角

學(xué)有很多貢獻(xiàn)。該定理無(wú)論從內(nèi)涵還是應(yīng)用都極具魅力。從表面上看內(nèi)。距必定理是關(guān)于邊的等式，但由

于四邊形外接圓的存在，尸⑹”町定理從一個(gè)側(cè)面反映了角的關(guān)系。也許正因?yàn)槿绱耍ɡ碛辛溯^

好的應(yīng)用背景。尸加3,少定理不但有著豐富的內(nèi)涵，而且具備廣泛的外延，而尸勿3沖不等式就是其重要的

拓展。

目錄導(dǎo)航］

模型1.托勒密（定理）模型.............................................................1

模型2.托勒密不等式模型...............................................................6

習(xí)題練模型口

.........................................................................................................................................................8

模型L托勒密（定理）模型

模型解讀

托勒密定理：四邊形ABC。內(nèi)接于圓，求證：ACBD=ADBC+ABCD.

cc

證明：如圖，在8。上取一點(diǎn)P,使其滿足N1=N2.

Ar)

VZ3=Z4,:.AACDs/\BCP,—=——，BPACBP=ADBC?

BCBP

ABAC

又ZACB=ZDCP,Z5=Z6,Z.AACBADCP,——=—,ACDP^ABCD.②

DPCD

①+②，有ACBP+ACPD=AZ>5C+AB?CD.

即AC(BP+PD)=ADBC+ABCD,故Aa3D=AD-8C+AB-CD.

特例：(1)當(dāng)AA3C是等邊三角形時(shí)，如圖1,根據(jù)托勒密定理有：DBAC=ADBC+ABCD,

又等邊AABC有AB=AC=BC,故：DB=DA+DC.

特例：（2）當(dāng)AA5C是等腰直角三角形，如圖2,根據(jù)托勒密定理：ADBC=ABCD+ACBD,

又AB:AC:BC=1:1:0，代入可得結(jié)論：42AD=BD+CD.

特例：（3）當(dāng)A45C是一般三角形時(shí)，如圖2,根據(jù)托勒密定理可得：ADBC=ABCD+ACBD

又BC：AC：AB^a：b：c,代入可得結(jié)論：a-AD=b-BD+c-CD.

模型運(yùn)用

例1.（2024?湖北武漢.模擬預(yù)測(cè)）“托勒密定理”由依巴谷提出，其指出圓的內(nèi)接四邊形中，兩條對(duì)角線的乘

積等于兩組對(duì)邊乘積之和.如圖，。。中有圓內(nèi)接四邊形ABCD,已知BD=8,CD=5,AB=6,NB￡）C=60。，

貝|JAD=()

c8夜-7D80-8

'7--7

例2.（2024?浙江?模擬預(yù)測(cè)）某著作講述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四邊形中，兩條對(duì)

角線的乘積小于或等于兩組對(duì)邊乘積之和，當(dāng)且僅當(dāng)凸四邊形的對(duì)角互補(bǔ)時(shí)取等號(hào).如圖，四邊形ABC。內(nèi)

接于半徑為2指的圓，ZA=120,ZB=45,AB=AD,則四邊形ABCD的周長(zhǎng)為（）

A.4A/3+6A/2B.10A/3C.4百+4夜D.4G+5夜

例3.（2023?河南商丘?模擬預(yù)測(cè)）請(qǐng)閱讀下列材料，完成相應(yīng)的任務(wù)：

克羅狄斯?托勒密（ClaudiusPtolemaeus,約90年-168年），“地心說(shuō)”的集大成者，生于埃及，著名的天文

學(xué)家，地理學(xué)家，占星學(xué)家和光學(xué)家.

托勒密定理實(shí)出自依巴谷（Hipparchus）之手，托勒密從他的書中摘出并加以完善.

托勒密定理：圓的內(nèi)接四邊形兩對(duì)對(duì)邊乘積的和等于兩條對(duì)角線的乘積.

已知：如圖1,四邊形A3CD內(nèi)接于<。，求證：AB-CD+5c?Ar>=AC-3r）下面是該結(jié)論的證明過(guò)程:

證明：如圖1,^ZBAE=ZCAD,交BD于點(diǎn)、E.AD=AD>

ZABE=ZACD（依據(jù)1）,（依據(jù)2）,.?.絲=世

ACCD

..ABCD=ACBE,AB=AB：.ZACB=ZADE.

ZBAE=ZCAD,ZBAE+ZEAC=ACAD+AEAC,即NBAC=NEAD,

AABC^AAEZ),QAD-BC=ACED,

ABDC+ADBC=ACBE+ACED=AC(BE+ED)=ACBD.

任務(wù)：(1)托勒密定理的逆命題是;上述證明過(guò)程中的“依據(jù)1”為；“依據(jù)2”為.

(2)當(dāng)圓內(nèi)接四邊形ABCD是矩形時(shí)，托勒密定理就是我們非常熟知的一個(gè)定理：.

⑶如圖2,以A3為直徑的。中，點(diǎn)C為。上一點(diǎn)，且NABC=30。，/ACB的角平分線交：。于點(diǎn)

連接AD,BD,若AB=4,求CD的長(zhǎng).

例4.(23-24九年級(jí)上.浙江衢州?期中)如圖，四邊形ABC。內(nèi)接于。。

(1)連接AC、BD,若乙BAC=/CAO=60。，則ZkOBC的形狀為.

(2)在(1)的條件下，試探究線段A。，AB,AC之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

⑶若AB=BC，/D4B=N4BC=9。。，點(diǎn)尸為AB上的一動(dòng)點(diǎn)，連接出，PB,PD,求證：PD=PB+&a.

例5.(24-25九年級(jí)上?江蘇鹽城?階段練習(xí))【給出問(wèn)題］：已知：。是正方形ABCD的外接圓，點(diǎn)尸在30

上(除A、2外)，試求NAPB的度數(shù).

【分析問(wèn)題】：善于思考的小明在分析上述題目后，有了以圓為工具來(lái)解決問(wèn)題的思路.用圓來(lái)畫出準(zhǔn)確的

示意圖就能順利解題了，在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步探索就有了新發(fā)現(xiàn).請(qǐng)善于思考的你幫助解答以下問(wèn)題：

（1）①尺規(guī)作圖，在：。中作出內(nèi)接正方形ABCD（保留痕跡，不寫作法）.②原題中Z4PB=_.

【深入思考】（2）【問(wèn)題】如圖1,若四邊形ABCD是O的內(nèi)接正方形，點(diǎn)P為弧DC上一動(dòng)點(diǎn)，連接

PA.PB、PC、PD,請(qǐng)?zhí)骄渴珼、PA.PC三者之間或者P。、PB、PC三者之間有何數(shù)量關(guān)系，并給予證明.

（3）【拓展】如圖2,若六邊形ABCDEF是：。的內(nèi)接正六邊形，點(diǎn)尸為弧3c上一動(dòng)點(diǎn)，請(qǐng)?zhí)骄縋A、PB、PC

三者之間有何數(shù)量關(guān)系：（不寫證明過(guò)程）.

（4）【應(yīng)用】如圖3,若四邊形ABCD是矩形，點(diǎn)尸為邊。C上一點(diǎn)，ZAPB=45°,PD=2,PC=4,試

求矩形ABCD的面積.

例6.（2024?山東德州?一模）AA8C是。。的內(nèi)接三角形，點(diǎn)尸是。。上一點(diǎn)，且點(diǎn)P與點(diǎn)A在8C的兩側(cè)，

連接以，PB,PC.⑴如圖①，若AA8C是等邊三角形，則線段加，PB,PC之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并證

明你的結(jié)論.（2）如圖②，把（1）中的AA8C改為等腰直角三角形，N8AC=90。，其他條件不變，三條線段

PA,PB,PC還有以上的數(shù)量關(guān)系嗎？說(shuō)明理由.

（3）如圖③，把（1）中AABC改為任意三角形，AB^c,AC=b,BC=。時(shí)，其他條件不變，則B4,PB,PC

三條線段的數(shù)量關(guān)系為（直接寫結(jié)果）

（4）由以上你能發(fā)現(xiàn)圓內(nèi)接四邊形的四條邊和對(duì)角線有什么關(guān)系？

例7.（2024?浙江溫州?三模）如圖，已知圓內(nèi)接VABC,點(diǎn)D為圓上一點(diǎn)且BD=CD，連接2。交BC于點(diǎn)E.⑴

求證：ZAEC=ZABD；（2）設(shè)AD=機(jī)，ZBAD=ZCAD=a.

①求證：AB+AC=2ADcosa；②若AD=N江,求AB-AC的值.（用含相、上的代數(shù)式表示）

模型2.托勒密不等式模型

模型解讀

托勒密不等式模型：對(duì)于任意凸四邊形ABC。，ACBD<ABCD+ADBC

證明：如圖1,在平面中取點(diǎn)E使得NABE=/ACD,

易證.?.絲=殷，即ACBEnAB。①，

ACCD

AJ^ApARA(^

連接。E,如圖2,,/—=—,；.—=—,又Na4C=/BAE+NCAE=NZMC+/CAE=NZME,

ACADAEAD

:.AABCsAAED,,即ACDEuADBC②，

ACBC

將①+②得：ACBE+ACDE=ABCD+ADBC,：.AC-BD<AC(BE+DE)=AB-CD+AD-BC

即當(dāng)且僅當(dāng)A、B、C、。共圓時(shí)取到等號(hào).

模型運(yùn)用

例1.（23-24九年級(jí)上?湖北武漢?期中）在AABC中，A8=4,AC=2,以BC為邊在AABC外作正方形BCDE,

線段引入CE交于點(diǎn)。，則線段A。的最大值為（）

A.672B.6C.4+2亞D.3拒

例2.（23-24八年級(jí)下.湖北武漢.階段練習(xí)）如圖，平面內(nèi)三點(diǎn)A、B、C滿足AB=5,AC=3,以8C為斜

邊作等腰直角三角形BCD,連接AD,則AD的最大值為（）

A.2忘B.4A/2C.4D.8

例3.（2023?廣東河源?三模）【發(fā)現(xiàn)問(wèn)題】愛(ài)好數(shù)學(xué)的小明在做作業(yè)時(shí)碰到這樣的一道題目：如圖①，點(diǎn)。

為坐標(biāo)原點(diǎn)，。的半徑為1,點(diǎn)43,0）.動(dòng)點(diǎn)3在。上，連接A3,作等邊VABC（A,B,C為順時(shí)

針順序），求OC的最大值；

【解決問(wèn)題】小明經(jīng)過(guò)多次的嘗試與探索，終于得到解題思路：在圖①中，連接08,以08為邊在OB的

左側(cè)作等邊△BOE,連接（1）請(qǐng)你找出圖中與0C相等的線段，并說(shuō)明理由；（2）線段OC的最大值

為.

【靈活運(yùn)用】（3）如圖②，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3,0）,點(diǎn)8的坐標(biāo)為（5,0），點(diǎn)尸為線段A3

外一動(dòng)點(diǎn)，且上4=2,PM=PB,ZBPM=90°,求線段AM長(zhǎng)的最大值及此時(shí)點(diǎn)尸的坐標(biāo).

【遷移拓展】（4）如圖③，點(diǎn)。是以8C為直徑的半圓上不同于&C的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以BD為邊

作等邊,請(qǐng)直接寫出AC的最值.

習(xí)題練模型

1.（23-24九年級(jí)上?浙江金華?期中）如圖，點(diǎn)P為正方形ABC。的外接圓。的A。上一點(diǎn)，連接叢PB,PC,

PA_i_PC

則的值為（）

rD

p

A.1B.72C.V3D.2

2.（23-24九年級(jí)上?江蘇宿遷?階段練習(xí)）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于O,AB=6,AD=10,NBAD=60。，點(diǎn)C

是弧的中點(diǎn)，則C4的長(zhǎng)為.

3.（2024?天津?校考一模）如圖，在AABC中，AD=y/lO,CD=^2,ZACB=90°,AC=2BC,則8。的最大值

為_(kāi)_________

B

D

4.（23-24九年級(jí)上.河北石家莊?期中）如圖，A、P、8、C是。上的四個(gè)點(diǎn)，ZAPC=NCPB=60°.

⑴判斷VABC的形狀，并證明你的結(jié)論.⑵求證：PA+PB=PC.

（3）若BC=2百，點(diǎn)尸是弧AB上一動(dòng)點(diǎn)（異于點(diǎn)A,B）,求上4+PB的最大值.

5.（23-24九年級(jí)上?江蘇宿遷?階段練習(xí)）（1）【基礎(chǔ)鞏固】如圖1,NABC內(nèi)接于Q,若NC=60。，弦AB=,

則半徑/=;

（2）【問(wèn)題探究】如圖2,四邊形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)均在。上，若NA￡）C=60。，4D=OC,點(diǎn)B為弧AC

上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A,點(diǎn)C重合）.求證：AB+BC=BD；

（3）【解決問(wèn)題】如圖3,一塊空地由三條直路（線段AD、AB,2C）和一條道路劣弧CO圍成，已知

CM=DM千米，NDMC=60。,CD的半徑為1千米，市政府準(zhǔn)備將這塊空地規(guī)劃為一個(gè)公園，主入

口在點(diǎn)M處，另外三個(gè)入口分別在點(diǎn)C、D、P處,其中點(diǎn)尸在CD上，并在公園中修四條慢跑道，即圖中

的線段DM、MC、CP、PD,某數(shù)學(xué)興趣小組探究后發(fā)現(xiàn)C、P、D、M四個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)圓上，請(qǐng)你幫他

們證明C、P、D、M四點(diǎn)共圓，并判斷是否存在一種規(guī)劃方案，使得四條慢跑道總長(zhǎng)度（即四邊形OMCP

的周長(zhǎng)）最大？若存在，求其最大值；若不存在，說(shuō)明理由.

6.（23-24九年級(jí)上?山西大同?階段練習(xí)）閱讀與思考請(qǐng)閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)：

克羅狄斯?托勒密（約90年-168年），是希臘數(shù)學(xué)家，天文學(xué)家，地理學(xué)家和占星家.在數(shù)學(xué)方面，他還

論證了四邊形的特性，即有名的托勒密定理，托勒密定理的內(nèi)容如下：圓的內(nèi)接四邊形的兩條對(duì)角線的乘

積等于兩組對(duì)邊乘積的和.即：如圖1,若四邊形4BCD內(nèi)接于。。，則有.

任務(wù)：（1）材料中劃?rùn)M線部分應(yīng)填寫的內(nèi)容為.

（2）如圖2,正五邊形ABCDE內(nèi)接于。O,AB=2,求對(duì)角線2。的長(zhǎng).

7.（23-24九年級(jí)上.江蘇南京.期末）問(wèn)題提出：若一個(gè)四邊形的兩組對(duì)邊乘積之和等于它的兩條對(duì)角線的

乘積，則稱這個(gè)四邊形為巧妙四邊形.

初步思考：（1）寫出你所知道的四邊形是巧妙四邊形的兩種圖形的名稱：,.

（2）小敏對(duì)巧妙四邊形進(jìn)行了研究，發(fā)現(xiàn)圓的內(nèi)接四邊形一定是巧妙四邊形.

如圖①，四邊形ABC。是。。的內(nèi)接四邊形.求證：ABCD+BCAD=ACBD.

小敏在解答此題時(shí)，利用了“相似三角形”進(jìn)行證明，她的方法如下：

在上取點(diǎn)使/MCBn/OCA.（請(qǐng)你在下面的空白處完成小敏的證明過(guò)程.）

推廣運(yùn)用：如圖②，在四邊形ABC。中，NA=NC=90。，AD=6,AB=46,CD=2.求AC的長(zhǎng).

8.（2023?湖南?一模）定義：在凸四邊形中，我們把兩組對(duì)邊乘積的和等于對(duì)角線的乘積的四邊形稱為“完

美四邊形”。（1）在正方形、矩形、菱形中，一定是“完美四邊形”的是.

（2）如圖1,在AABC中，AB=2,BC=1,AC=3,D為平面內(nèi)一點(diǎn)，以A、B、C、D四點(diǎn)為頂點(diǎn)構(gòu)成的

四邊形為“完美四邊形”，若DA,DC的長(zhǎng)是關(guān)于x的一元二次方程x2-（m+3）x+；（5m2-2m+13）=0（其中m為

常數(shù)）的兩個(gè)根，求線段BD的長(zhǎng)度.

（3）如圖2,在“完美四邊形"EFGH中，ZF=90°,EF=6,FG=8,求“完美四邊形"EFGH面積的最大值.

H

G

9.（2024.山西大同.校考一模）閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù).

托勒密定理：托勒密（Ptolemy）（公元90年?公元168年），希臘著名的天文學(xué)家，他的要著作《天文學(xué)大

成》被后人稱為“偉大的數(shù)學(xué)書”，托勒密有時(shí)把它叫作《數(shù)學(xué)文集》，托勒密從書中摘出并加以完善，得到

了著名的托勒密（Ptolemy）定理.

圖1圖2圖3

托勒密定理：圓內(nèi)接四邊形中，兩條對(duì)角線的乘積等于兩組對(duì)邊乘積之和.

已知：如圖1,四邊形內(nèi)接于求證：AB-CD+BC-AD=AC-BD

下面是該結(jié)論的證明過(guò)程：

證明：如圖2,作交BD于點(diǎn)、E.

A3BEABBE

-----=/ABE=NACD；.△ABEs△ACZ）=.'.AB*CD—AC,BE

ACCDACCD

；AB=ABNACB=ZADE（依據(jù)1）

ZBAE=ZCAD：.ZBAE+ZEAC=ZCAD+ZEAC即ZBAC=ZEAD

（依據(jù)2）：.AD-BC=AC-ED

:.AB，CD+AD?BC=AC,（BE+ED）：.AB-CD+AD-BC^AC-BD

任務(wù)：（1）上述證明過(guò)程中的“依據(jù)1”、“依據(jù)2”分別是指什么？

（2）當(dāng)圓內(nèi)接四邊形ABC。是矩形時(shí)，托勒密定理就是我們非常熟知的一個(gè)定理：.（請(qǐng)寫出）

（3）如圖3,四邊形A8CD內(nèi)接于。O,A8=3,AD=5,/區(qū)4。=60。，點(diǎn)C為BO的中點(diǎn)，求AC的長(zhǎng).

10.（23-24九年級(jí)上?山西臨汾?期末）閱讀下列材料，并完成相應(yīng)任務(wù)

托勒密，古希臘天文學(xué)家、地理學(xué)家和光學(xué)家，而他在數(shù)學(xué)方面也有重大貢獻(xiàn)，下面就是托勒密發(fā)現(xiàn)的一

個(gè)定理，圓內(nèi)接四邊形的兩組對(duì)邊乘積之和等于兩條對(duì)角線的乘積.下面是該定理的證明過(guò)程（部分）

求證：ADBC+ABCD=ACBD

證明：以C頂點(diǎn)，CB為一邊作NBCE交BD于點(diǎn)E,使得N3CE=NACD

XVZCAD=ZCBE：.VACD:NBCE，黑=MAADBC=ACBE,

BEBC

又ZADC=/BEC,NADC+ZABC=180°,/BEC+/DEC=180°,

ABAC

:.ZABC=NCED：.NCAB=NCDE：.AABC△DEC,/.—=——

DEDC

：.ADBC+ABCD=ACBD

任務(wù)：（1）請(qǐng)將“托勒密”定理的證明過(guò)程補(bǔ)充完整；（2）當(dāng)圓內(nèi)接四邊形ABCD是矩形時(shí)，托勒密定理就是我

們非常熟知的一個(gè)定理：.（3）如圖②若NADB=N3DC=60。，試探究線段AD,"ZCD之

間的數(shù)量關(guān)系，并利用托勒密定理證明這個(gè)結(jié)論.

11.（2024?河南南陽(yáng)?一模）學(xué)習(xí)過(guò)“圓內(nèi)接四邊形”后，劉老師布置了課后閱讀“認(rèn)識(shí)托勒密”，小明讀了托勒

密的生平、貢獻(xiàn)，對(duì)“托勒密定理”很感興趣，并進(jìn)行了下列的研究，請(qǐng)完成他的研究.托勒密定理：圓的內(nèi)

接四邊形兩對(duì)對(duì)邊乘積的和等于兩條對(duì)角線的乘積.

E

DD

?O

圖1圖2圖3

己知：如圖1,.求證：.

證明：如圖2,作=交BD于點(diǎn)、E,

：..ABEsACD,：.ABDC=ACBE,......

NABCsAAED,：.ADBC=ACED,

：.ABDC+ADBC=ACBE+ACED=AC（BE+ED）=ACBD.

（D請(qǐng)幫小明寫出已知和求證，并完成證明過(guò)程；

⑵如圖3,已知正五邊形A8CDE內(nèi)接于（AB^l,求對(duì)角線BD的長(zhǎng).

12.（23-24九年級(jí)下?湖南長(zhǎng)沙?階段練習(xí)）如圖，四邊形A3。內(nèi)接于O,對(duì)角線AC,相交于點(diǎn)E.

圖1圖2圖3

（1）如圖1,求證：=（2）如圖2,尸為線段AC上一點(diǎn)，ZADF=ZBDC,

①求證：/XDFCSADAB；②求證：ABCD+ADBC=ACBD

（3）如圖3,當(dāng)DC=CB,AB=m,AD=n,CO=百時(shí)，求（用機(jī)，〃表示）.

13.（24-25九年級(jí)上?江蘇宿遷?期中）【閱讀材料】克羅狄斯?托勒密（約90-168年）是希臘著名的數(shù)學(xué)家、

天文學(xué)家和地理學(xué)家，托勒密定理是歐幾里得幾何中的重要定理.定理內(nèi)容如下：任意一個(gè)凸四邊形，兩

組對(duì)邊乘積的和不小于兩條對(duì)角線的乘積，當(dāng)且僅當(dāng)四邊形四個(gè)頂點(diǎn)共圓時(shí)，等號(hào)成立.即：四邊形ABCD

中，有ABCD+3c?ADAACBD,當(dāng)A、B、C、。四點(diǎn)共圓時(shí)，有ABCD+B。AD=AC-3D.

【嘗試證明】（1）如圖1,四邊形ABCD內(nèi)接于。，求證：ABCD+BCAD=ACBD.

證明：在AC上取點(diǎn)E,連接DE,使/CDE=/BDA.

圖I

VZDCA=ZDBA,：._____,:.AB-CD=ECBD①,

ECCD

VZCDE=ZBDAf:?/CDE+ZBDE=/BDA+/BDE,^ZADE=ZBDCf

ApAfJ

又,：NDAE=NDBC,：.AADE^ADBC,：.——=—,

BCBD

：.②，?+?^ABCD+BCAD^（EC+AE）BD,即.

【直接應(yīng)用】（2）如圖2,A3為，。的直徑，AB=5,AD=4,BF=1,求。尸的長(zhǎng);

圖2圖3圖4

【拓展應(yīng)用】（3）如圖3,在四邊形ABCD中，AC^CD,zS4CD=60°,AB=2,BC=6,則。8的最大值

為;

【靈活運(yùn)用】（4）如圖4,在等腰三角形ABC中，AB=AC=8,3C=12,點(diǎn)。在底邊2C上，且ADAC=ZACD,

將三角形AC。沿著2D所在的直線翻折，使得點(diǎn)C落在點(diǎn)E處，連接￡B,則￡B的長(zhǎng)為.

14.（24-25九年級(jí)上?陜西安康?階段練習(xí)）【問(wèn)題提出】（1）如圖1,四邊形ABCD內(nèi)接于）0,AB=AD,

238=60。，連接AC,則ZACD的度數(shù)為.

【問(wèn)題探究】（2）如圖2,在四邊形AECQ中，ZDAE=ZDCE=90°,AD^AE,連接AC,將ACD繞點(diǎn)A

順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到aABE的位置，若AC=8,求四邊形AECD的面積；

【問(wèn)題解決】（3）如圖3,若（。是一個(gè)半徑為30m的圓形荷花池，4B和4D是荷花池上的兩座長(zhǎng)度相等的

小橋，且N54D=120。，現(xiàn)要在荷花池上再修建三座小橋AC、3C和CD,為使游客更好地欣賞荷花，要求

這三座小橋的總長(zhǎng)度最大，請(qǐng)你求出此時(shí)這三座小橋的總長(zhǎng)度（即AC+3C+CD的最大值）.

15.（2024?廣東佛山?一模）（1）小迪同學(xué)在學(xué)習(xí)圓的內(nèi)接正多邊形時(shí)，發(fā)現(xiàn)：如圖1,若尸是圓內(nèi)接正三角

形ABC的外接圓的BC上任一點(diǎn)，則NAP3=60。，在PA上截取尸河=PC,連接MC,可證明AMCP是

（填”等腰”、“等邊”或“直角”）三角形，從而得到尸C=MC,再進(jìn)一步證明PBC=,得到

PB=MA,可證得：.

（2）小迪同學(xué)對(duì)以上推理進(jìn)行類比研究，發(fā)現(xiàn)：如圖2,若P是圓內(nèi)接正四邊形ABC。的外接圓的8C上任

一點(diǎn)，則NAPB=NAPD=_。，分別過(guò)點(diǎn)5。作RM_LAP于M、DNLAP于N.

（3）寫出尸氏尸。與序之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.

A

圖1圖2

16.（23-24九年級(jí)下?浙江?期末）如圖，是VABC外接圓的直徑，。是圓心，,ACB的平分線交。0于

點(diǎn)。.（1）若。的半徑為5,AC=6,求3C.（2）若AC=4,3C=6,求CD.

（3）探究，直接寫出三條線段C4,Cfi,CD之間的數(shù)量關(guān)系.

\H

17.（2024?山東淄博?二模）已知，VABC內(nèi)接于：O,平分/54c交邊于點(diǎn)E,連接DBDC.

（1）如圖1,過(guò)點(diǎn)。作直線MN〃3C,求證：MN是。的切線：

（2）小明同學(xué)圍繞圓內(nèi)接三角形進(jìn)行了一系列的探究，發(fā)現(xiàn)線段9，AC,之間存在著一種數(shù)量關(guān)系;

【發(fā)現(xiàn)猜想】在圖1中，小明同學(xué)發(fā)現(xiàn)，當(dāng)乙BAC=120。時(shí)，線段AB,AC,AZ）之間滿足數(shù)量關(guān)系

AB+AC=AD

【推理證明】延長(zhǎng)AC到點(diǎn)尸使得CP=ABAD平分/BAC：.BD=CD:.BD=CD

又-,ZABD=/PCD:.AABDdPCD:.AD=PD

ZDAP=^ABAC=60°ADP為正三角形:.AD=AP=CP+AC=AB+AC

【類比探究】如圖2,當(dāng)?shù)腃=90。時(shí)，試猜想線段AB,AC,AD之間滿足的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

【一般歸納】如圖3,當(dāng)/瓦1C=2a時(shí)，試猜想線段AB,AC,AD之間滿足的數(shù)量關(guān)系（用含有a的三角

函數(shù)表示），并證明你的結(jié)論；

［拓展應(yīng)用】如圖4,過(guò)點(diǎn)￡作EG,,垂足為G,過(guò)點(diǎn)￡作硝，AC,垂足為H,求證：S四邊形皿”=S^ABC

18.（23-24九年級(jí)上?浙江杭州?期末）定義：有一個(gè)角是其對(duì)角一半的圓的內(nèi)接四邊形叫做圓美四邊形，其

中這個(gè)角叫做美角.（1）如圖1,若四邊形ABCD是圓美四邊形，則美角NA=______度.

（2）在（1）的條件下，若。的半徑為10.①求80的長(zhǎng).②如圖2,在四邊形ABCD中，若C4平分/BCD,

求證：BC+CD=AC.(3)在(1)的條件下，如圖3,若AC是。的直徑，用等式直接寫出線段AB，BC,

CO之間的數(shù)量關(guān)系.

專題27相似模型之托勒密定理與不等式模型

相似三角形是幾何中重要的證明模型之一，是全等三角形的推廣，分析圖形間的關(guān)系離不開(kāi)數(shù)量的計(jì)

算。相似和勾股是產(chǎn)生等式的主要依據(jù)（其他依據(jù)還有面積法，三角函數(shù)等），因此要掌握相似三角形的基

本圖形，體會(huì)其各種演變和聯(lián)系。相似二角形是初中幾何中的重要的內(nèi)容，常常與其它知識(shí)點(diǎn)結(jié)合以綜合

題的形式呈現(xiàn)，其變化很多，是中考的常考題型。本專題重點(diǎn)講解相似三角形的托勒密定理與托勒密不等

式模型。

托勒密（Ptolemy）定理的歷史，可追溯到公元2世紀(jì)，古希臘數(shù)學(xué)家和天文學(xué)家打。岳四，他對(duì)三角

學(xué)有很多貢獻(xiàn)。該定理無(wú)論從內(nèi)涵還是應(yīng)用都極具魅力。從表面上看定理是關(guān)于邊的等式，但由

于四邊形外接圓的存在，放。/々">定理從一個(gè)側(cè)面反映了角的關(guān)系。也許正因?yàn)槿绱耍ɡ碛辛溯^

好的應(yīng)用背景。尸加3,少定理不但有著豐富的內(nèi)涵，而且具備廣泛的外延，而尸勿3沖不等式就是其重要的

拓展。

目錄導(dǎo)航

............................................................................................................................................................................................1

模型L托勒密（定理）模型.............................................................1

模型2.托勒密不等式模型...............................................................6

習(xí)題練模型

8

模型1.托勒密（定理）模型

托勒密定理：四邊形ABCD內(nèi)接于圓，求證：ACBD=ADBC+ABCD.

證明：如圖，在上取一點(diǎn)P,使其滿足N1=N2.

VZ3=Z4,：.AACDs^BCP,——=——，BPACBP=ADBC?

BCBP

40Ar

又ZACB二ZDCP,N5=/6,:.△ACBsgCP,—=—,ACDP=ABCD.②

DPCD

①+②，有=

即AC{BP+PD）=ADBC+ABCD,故AC-3D=AD-3C+AB-CD.

特例：（1）當(dāng)AHBC是等邊三角形時(shí)，如圖1,根據(jù)托勒密定理有：DBAC=ADBC+ABCD,

又等邊“3C有AB=AC=BC,故：DB^DA+DC.

特例：（2）當(dāng)A43C是等腰直角三角形，如圖2,根據(jù)托勒密定理：ADBC=ABCD+ACBD,

又AB:AC:BC=1:1：75,代入可得結(jié)論：42AD=BD+CD.

特例：（3）當(dāng)A43C是一般三角形時(shí)，如圖2,根據(jù)托勒密定理可得：ADBC^ABCD+ACBD

又BC：AC：AB=a：b：c,代入可得結(jié)論：a-AD=b-BD+c-CD.

例1.（2024?湖北武漢?模擬預(yù)測(cè)）“托勒密定理”由依巴谷提出，其指出圓的內(nèi)接四邊形中，兩條對(duì)角線的乘

積等于兩組對(duì)邊乘積之和.如圖，中有圓內(nèi)接四邊形ABCD,已知%>=8,CD=5,AB=6,ZBDC=60°,

8夜-6C8夜-7n8722-8

7'77

【答案】B

【分析】過(guò)點(diǎn)B作BELCD,垂足為E,過(guò)點(diǎn)8作BGLAC,垂足為G,根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等可得

ZBDC=ZBAC=&）°,在MBDE中,利用銳角三角函數(shù)的定義求出DE和BE的長(zhǎng)，從而求出CE的長(zhǎng)，再

在垃BCE中,利用勾股定理求出2C的長(zhǎng)，然后在RtAABG中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出AG和BG的

長(zhǎng)，從而在H3CG中，利用勾股定理求出CG的長(zhǎng)，進(jìn)而求出AC的長(zhǎng)，最后利用托勒密定理，進(jìn)行計(jì)算

即可解答.

【詳解】解：過(guò)點(diǎn)5作3EJLCD,垂足為E,過(guò)點(diǎn)8作8GLAC,垂足為G,

ZBDC=60°,Z.BDC=ABAC=60°,

在府3DE中，BD=8,DE=BD-cos600=8x-=4,B￡=BDsin60°=8x—=4^,

22

CD=5,:.CE=CD-DE=5-4^1,在垃.BCE中,BC=JBE。+CE?=?4廚+5=7,

在RtZ\ABG中，AG=AB-cos60°=6x-=3,BG=ABsin60°=6x—=373,

22

在Rf3CG中，CG々BC?-BG?=b_(3我2=痙,，AC=AG+CG=3+后，

,?四邊形ABCD是。的內(nèi)接四邊形，二=

.-.7AD+6x5=8（3+V22）,解得：AD=，呼一。,故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，解直角三角形，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解

題的關(guān)鍵.

例2.（2024?浙江?模擬預(yù)測(cè)）某著作講述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四邊形中，兩條對(duì)

角線的乘積小于或等于兩組對(duì)邊乘積之和，當(dāng)且僅當(dāng)凸四邊形的對(duì)角互補(bǔ)時(shí)取等號(hào).如圖，四邊形ABCD內(nèi)

接于半徑為2出的圓，ZA=120，ZB=45，AB^AD,則四邊形的周長(zhǎng)為（）

C.4石+40D.473+572

【答案】A

【分析】本考查了圓的相關(guān)性質(zhì)，勾股定理，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，連接AC,BD,設(shè)圓心為0,

連接。。并延長(zhǎng)交U。于連接AM,過(guò)A作4VLCD交CD延長(zhǎng)線于N,由NZMB=120。，AB=AD,

得ZAB￡>=30°,即得NA/=ZABD=30°,可得==BD=y/3AD=6,由ZADC=135°,

得_4斯是等腰直角三角形，AN=瓜,在Rt_ACW中，AC=2AN=2后，由托勒密定理的推論知有

2yf3BC+2V3CD=6x276,故3C+CZ）=60，從而可得四邊形ABCD的周長(zhǎng)為4若+60.

【詳解】解：連接AC,BD,設(shè)圓心為。，連接。。并延長(zhǎng)交一。于連接AM,過(guò)A作AN_LCD交CD延

長(zhǎng)線于N,如圖：ADAB=120°,AB^AD,:.ZABD=30°,

AD=AD=^ABD=30°,DM是C。的直徑，.?.NZMM=90。:.AD^-DM,

2

O半徑為2道，.?.￡>〃=4若,AD=273=AB,BD=6AD=6,

AD_2^

ZADC=135°,:.ZADN=45°：.MN是等腰直角三角形,:.AN==A/6，

夜一收

ZDCB=180°-ZDAB=60°,AB^AD,ZDCA=ZBCA=30°,在Rt.AGV中，AC=2AN=2^6,

由托勒密定理任意凸四邊形中，兩條對(duì)角線的乘積小于或等于兩組對(duì)邊乘積之和，當(dāng)且僅當(dāng)凸四邊形的對(duì)

角互補(bǔ)時(shí)取等號(hào).A&CD=MAC,.12^0+27^。。=6x2#,

:.BC+CD=6也,AB+BC+CD+AD=2^+672+273=4A^+6A/2,

四邊形ABCD的周長(zhǎng)為4括+6點(diǎn)，故選：A.

例3.（2023?河南商丘?模擬預(yù)測(cè)）請(qǐng)閱讀下列材料，完成相應(yīng)的任務(wù)：

克羅狄斯?托勒密（ClaudiusPtolemaeus,約90年-168年），“地心說(shuō)”的集大成者，生于埃及，著名的天文

學(xué)家，地理學(xué)家，占星學(xué)家和光學(xué)家.

托勒密定理實(shí)出自依巴谷（Hipparchus）之手，托勒密從他的書中摘出并加以完善.

托勒密定理：圓的內(nèi)接四邊形兩對(duì)對(duì)邊乘積的和等于兩條對(duì)角線的乘積.

已知：如圖1,四邊形ABCD內(nèi)接于（O,求證：=下面是該結(jié)論的證明過(guò)程：

證明：如圖1,作44E=NC4D,交BD于點(diǎn)E.AD=AD>

..ZABE^ZACD（依據(jù)1）,AABE^,ACD（依據(jù)2）,.?.絲=超

ACCD

..ABCD=ACBE,AB=AB：.ZACB=ZADE.

ZBAE=ZCAD,/.ZBAE+ZEAC=ACAD+AEAC,即NBAC=NE4D,

?.△ABCs^AED,QADBC=ACEDf

AB?DC+AD?BC=AC?BE+AC?ED=AC（BE+ED）=AC?BD.

任務(wù)：⑴托勒密定理的逆命題是;上述證明過(guò)程中的“依據(jù)1”為；“依據(jù)2”為.

（2）當(dāng)圓內(nèi)接四邊形ABCD是矩形時(shí)，托勒密定理就是我們非常熟知的一個(gè)定理：.

⑶如圖2,以A3為直徑的。中，點(diǎn)C為1O上一點(diǎn)，且NABC=30。，NACB的角平分線交（O于點(diǎn)。,

連接AD,BD,若AB=4,求CD的長(zhǎng).

【答案】（1）如果一個(gè)四邊形兩對(duì)對(duì)邊乘積的和等于兩條對(duì)角線的乘積，那么這個(gè)四邊形是圓的內(nèi)接四邊形；

同弧所對(duì)的圓周角相等；兩個(gè)角分別對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似（2）勾股定理（3）。=拒+迷

【分析】（1）利用逆命題的意義，矩形的性質(zhì)，勾股定理，圓的有關(guān)性質(zhì)和相似三角形的判定定理解答即

可；（2）利用相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理，矩形的性質(zhì)及勾股定理解答即可；

（3）利用圓的有關(guān)性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，含30。角的直角三角形的性質(zhì)分別求得四邊形的

邊長(zhǎng)，再利用（2）的結(jié)論解答即可得出結(jié)論.

【詳解】（1）解：托勒密定理的逆命題是如果一個(gè)四邊形兩對(duì)對(duì)邊乘積的和等于兩條對(duì)角線的乘積，那么

這個(gè)四邊形是圓的內(nèi)接四邊形.證明過(guò)程中的“依據(jù)1”為：同弧所對(duì)的圓周角相等；依據(jù)2”為：兩個(gè)角分別

對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似.故答案為：如果一個(gè)四邊形兩對(duì)對(duì)邊乘積的和等于兩條對(duì)角線的乘積，那么

這個(gè)四邊形是圓的內(nèi)接四邊形；同弧所對(duì)的圓周角相等；兩個(gè)角分別對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似；

（2）解：如圖，作=交BD于點(diǎn)、E,

AD=AD^：.ZABE=ZACD,ABE^.ACD,——=——，ABCD=AC-BE,

ACCD

AB=AB^二=ZADE,/BAE=ZCAD，/.ZBAE+ZEAC=ZCAD-^-ZEAC，

即=ABC^AED,:.與=學(xué),:.ADBC=ACED.

ACAD

:.ABCD+ADBC=ACBE+ACED=AC（BE+ED）.ABCD+BC-AD=AC-BD,

.四邊形ABC。是矩形，AAB=CD,AD=BC,AC=BD,ZABC=90°,

AB2+BC2=AC2,故答案為：勾股定理；

（3）解：血為直徑，:.ZADB=ZACB=90°,

ZABC=30。，AB=4,■-AC=^AB=2,BC=AB-cos30°=273.

NACB的角平分線交于點(diǎn)。，=.?.AT）=3D,

：...ABD為等腰直角三角形，.?.AD==孝AB=2及.

.四邊形ABCD為圓的內(nèi)接四邊形，:.ACBD+ADBC=ABCD.4CD=2x272+273x2721；.CD=版+娓.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓的有關(guān)性質(zhì)，圓周角定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，等腰直角三

角形的判定與性質(zhì)，含30。交的直角三角形的性質(zhì)，逆命題的意義，本題是閱讀型題目，理解并熟練應(yīng)用新

結(jié)論是解題的關(guān)鍵.

例4.(23-24九年級(jí)上?浙江衢州?期中)如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于上0.

(1)連接AC、BD,若/8AC=NCAO=60。，則△D8C的形狀為.

(2)在(1)的條件下，試探究線段A。，AB,AC之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

(3)若AB=BC，/D48=/A8C=90。，點(diǎn)尸為AB上的一動(dòng)點(diǎn)，連接抬，PB,PD,求證：PD=PB+亞臥.

【答案】(1)等邊三角形；(2)AC=AB+AD理由見(jiàn)解析；(3)證明見(jiàn)解析.

【分析】(1)利用等弧對(duì)等角，可以判斷出△OBC是等邊三角形；

(2)如圖1,在AC上截取AE=AO,連接。E,利用等邊△DBC以及等邊對(duì)等角的關(guān)系，可以證得

DEC(SAS),可以證明AC=AB+AO；

(3)如圖2,根據(jù)已知條件易證得四邊形A2C。是正方形，在PD上取也同樣可證得△ZME妾A

BAP(SAS),可證得APAE為等腰直角三角形，所以「￡=也雨.

【詳解】(l)：N2AC=NBr?C=60°,ZCAD=ZCBD=60°,；.NBDC=NCBD=NBCD=60。,

.?.△DBC是等邊三角形.故答案為等邊三角形.

(2)結(jié)論：AC=AB+AD.理由：如圖1,在AC上截取AE=A￡),連接DE.

：NOAE=60°,AO=AE,.,.△AOE是等邊三角形，.?.AO=OE,ZADE=ZBDC=60°,：.ZADB=ZEDC,

\'DA=DE,DB=DC,：./\DAB^/^DEC(SAS),：.EC=AB,：.DE=AD：.AC=AE+EC^AD+AB.

(3)如圖2中，在PD上取。?：ZDAB=ZABC^90°,

.?./BCQ=NAOC=90。，.?.四邊形4BCD是矩形，?.?AB=BC，???ABuBC，四邊形ABC。是正方形，

：.DA=BD,ZADE=ZABF,DE=BP,：./\DAE^/\BAP(SAS),

J.AE^AP,NDAE=/BAP,：.ZPAE=ZBAD^9Q°,；.PE=gPA,

：.PD-PB=PD=DE=PE=6PA.

另解：（2）（3）問(wèn)也直接利用托勒密定理，但是解答題還是建議常規(guī)輔助線方法為好，除非題中證明過(guò)托

勒密定理。

【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形、正方形以及全等三角形的判定和性質(zhì)，證明三條線段之間的數(shù)量關(guān)系，

一般采用“截”、“補(bǔ)”法構(gòu)造全等三角形，利用等量代換證明；根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出全等三角形，利

用等量代換求解是解答本題的關(guān)鍵.

例5.（24-25九年級(jí)上?江蘇鹽城?階段練習(xí)）【給出問(wèn)題］：已知：。是正方形A3CD的外接圓，點(diǎn)尸在C。

上（除A、8外），試求/AP3的度數(shù).

【分析問(wèn)題］善于思考的小明在分析上述題目后，有了以圓為工具來(lái)解決問(wèn)題的思路.用圓來(lái)畫出準(zhǔn)確的

示意圖就能順利解題了，在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步探索就有了新發(fā)現(xiàn).請(qǐng)善于思考的你幫助解答以下問(wèn)題：

（1）①尺規(guī)作圖，在。中作出內(nèi)接正方形ABCD（保留痕跡，不