2025年中考數(shù)學總復習《三角形的有關(guān)證明》專項測試卷（附答案）

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一、單選題

1.某校八年級生物興趣小組租兩艘快艇去微山湖生物考察，他們從同一碼頭出發(fā)，第一艘

快艇沿北偏西70。方向航行50千米，第二艘快艇沿南偏西20。方向航行50千米，如果此時

第一艘快艇不動，第二艘快艇向第一艘快艇靠攏，那么第二艘快艇航行的方向和距離分別是

A.南偏東25，500千米B.北偏西25，500千米

C.南偏東70,100千米D.北偏西20,100千米

2.如圖，AB=AC,BD=CD,ZBAD=35°,ZADB=120°,則/C的度數(shù)為（）

C.35°D.55°

3.如圖，P是等邊VABC的邊AC的中點，E為邊延長線上一點，PE=PB,則NCPE的

度數(shù)為（）

A.20°B.25°C.30°D.35°

4.如圖，在△ABC中,AB=AC,ADJ_BC于點D,DE_LAB于點E,DF±AC于點F,下列結(jié)

論:①NBAD=NCAD;②AD上任意一點到AB,AC的距離相等;③BD=CD;④若點P在直線AD

上廁PB=PC.其中正確的是（）

B.①②C.①②③D.①②③④

5.如圖，△ABC中，的垂直平分線交8c邊于點E,AC的垂直平分線交邊于點N,

若/BAC=70。，則/胡N的度數(shù)為（)

40°C.50°D.55°

6.如圖，在圓柱的截面ABCD中，AB=—,BC=12,動點P從A點出發(fā)，沿著圓柱的側(cè)

面移動到BC的中點S的最短距離為.

A.10B.12C.20D.14

二、填空題

7.如圖，長方形ABC。沿AM折疊，使D點落在上的N點處，AD=7cm,0M=5cm,

ZDAM=39°,則AAW之△AOM,AN=cm,NM=cm,NNAB=.

8.如圖，點。為VABC的邊3C上一點，且滿足AD=OC,作于點E,若

/區(qū)4。=70。,/。=40。,45=6,則BE的長為.

9.如圖，已知△ABC中，AC=3,BC=4,/C=90。，Z）E垂直平分AB,交AC,A8于點

D,E,則CD的長為.

10.如圖，已知等邊三角形ABC的高為7cm,P為AABC內(nèi)一點，PD±AB于點D,PE±AC

于點E,PF_LBC于點F.則PD+PE+PF=.

11.如圖，已知EC=8C,Z1=Z2,要使需添加的條件是（只需

寫出一個條件）.

12.如圖，點P是△ABC外的一點，尸。于點。，PELAC于點E,于點孔連

接PB,PC.若PD=PE=PF,ZBAC=10°,則/BPC的度數(shù)為.

三、解答題

13.求證：在一個三角形中，如果兩個角不等，那么它們所對的邊也不相等.

14.如圖，在AABC中，ZA=90°,平分NA3C交AC于點。，AB=4,BC=12,AD=3,

若點尸在BC上運動.

(1)求線段。尸的最小值；

(2)當。P最小時，求，CDP的面積.

15.(1)【動手操作】如圖①，已知上4。瓦

①用量角器畫NAOB的平分線OC.

②在OC上任取一點畫也產(chǎn)，OAM2LOB,垂足分別為P,Q.

③度量點M到OA的距離，你發(fā)現(xiàn)了什么？在OC上再取幾點試一試.

(2)【實驗發(fā)現(xiàn)】角的平分線上的點到角的兩邊的距離.

(3)【結(jié)論應用】如圖②，點P是ZAOC的平分線上一點，Q4,垂足為。，且尸。=3,V

是射線OC上一動點，則PM的最小值是

16.如圖，等腰梯形ABCD的上底AD=2,下底3C=4,底角NB=45°,建立適當?shù)钠矫?/p>

直角坐標系，求出各頂點的坐標.

AD

H

17.如圖，點E是等邊三角形ABC內(nèi)一點，且￡A=EB,214BC外一點。滿足砒＞=AC,BE

平分NDBC,求/由汨的度數(shù).

18.如圖，點2,F,C,E在直線/上（點RC之間不能直接測量），點A,。在/的異側(cè),

AB//DE,ZA=ZD,測得AB=DE.

(1)求證：△ABC9△￡>￡■/；

(2)若BE=10m,BF=3m,求FC的長.

參考答案

題號123456

答案BACDBA

1.B

【分析】根據(jù)題意得出AO=BO以及NBOA=90。，進而得出第二艘快艇航行的方向和距離.

解：:第一艘快艇沿北偏西70。方向，第二艘快艇沿南偏西20。方向，

.'.ZBOA=90°,

;BO=AO=50km,

AAB=5072km,ZB=ZOAB=45°,

:第二艘快艇沿南偏西20。方向，

.?.Z1=ZCAO=20°,

；.N2=45°-20°=25°,

第二艘快艇航行的方向和距離分別是：北偏西25。，500千米.

故答案選：B.

【點睛】本題主要考查了勾股定理以及方向角，正確把握方向角的定義是解題關(guān)鍵.

2.A

【分析】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)，正確判斷對應角，對應邊是解決本題的關(guān)鍵.在

中，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求得4,根據(jù)全等三角形的對應角相等即可解決.

【詳解】解：在中，ZB=180°-ZBAD-ZADB=25°,

VAB=AC,BD=CD,AD=AD,

：.ABO絲ACD(SSS),

NC=NB=25。.

故選：A.

3.C

【分析】根據(jù)“三線合一”可得3尸平分/ABC,可得NP3C=30°,根據(jù)NCPE=ZACB-NE

即可作答.

【詳解】是等邊VABC的邊AC的中點，

，3P平分ZABC,AABC=60°=ZACB,

ZPBC=30°,

PE=PB,

：.NPBC=NE=30°,

：.NCPE=ZACB-NE=30°,

故選：C.

【點睛】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，“三線合一”以及三角形外角的定義和性質(zhì)等知

識，掌握“三線合一”是解答本題的關(guān)鍵.

4.D

【詳解】?/AB=AC,

又：A￡)_LBC于。，

：.ZBAD=ZCAD,BD=CD,故①③正確；

ZBAD=ZCAD,

二上任意一點到A3、AC的距離相等，故②正確；

是BC的中垂線，

若點尸在直線AD上，則尸8=PC,故④正確.

故選D.

5.B

【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可求/B+NC,根據(jù)垂直平分線性質(zhì)，EA=EB,NA=NC,

則ZNAC=ZC,從而可得NBAC=N8AE+/M4C—NE4N=/8+/C—

NEAN,即可得到/EAN=/8+/C—N8AC,即可得解.

【詳解】解：：/BAC=70°,

ZB+ZC=180°-70°=110°,

VAB的垂直平分線交8C邊于點E,AC的垂直平分線交BC邊于點N,

:.EA=EB,NA=NC,

：.ZEAB=ZB,ZNAC=ZC,

ZBAC=NBAE+/NAC—NEAN=ZB+ZC-NEAN,

：./EAN=/B+/C—/BAC,

=110°-70°

=40。.

故選：B.

【點睛】本題主要考查了三角形的內(nèi)角和，線段垂直平分線的性質(zhì)，角的和差關(guān)系，能得到

求NE4N的關(guān)系式是關(guān)鍵.

6.A

【分析】將圓柱的截面ABCD展開，根據(jù)兩點之間線段最短，利用勾股定理求出斜邊AS

即可.

【詳解】將圓柱的截面ABCD展開，可得到直角三角形ABS,

因為，BS=6,AB=—x兀x—=8,

兀2

所以，AS==762+82=10-

故選A

【點睛】本題考核知識點：勾股定理.解題關(guān)鍵點：利用勾股定理分析最短距離.

7.7512°

【解析】略

8.3

【分析】本題考查等腰三角形的性質(zhì)及含30度角的直角三角形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是掌握等

腰三角形的性質(zhì)及含30度角的直角三角形中30度角所對的邊等于斜邊的一半.由等腰三角

形的性質(zhì)得ZZMC=NC=40。，求出44￡=30。，然后由30度角的直角三角形的性質(zhì)即可求

解.

9

【詳解】：AD=CDf

：.ZDAC=ZC=4O°.

9：ZBAC=70°,

：.ZBAE=70°-40°=30°.

?:BE±AD,

：.ZAEB=90°,

BE=-AB=-x6=3.

22

故答案為:3.

9-I

【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)和勾股定理即可得到結(jié)論.

【詳解】解：TOE垂直平分A5,

：.AD=BD,

VAC=3,BC=4,ZC=90°,

：.AD=BD=4-CD,

，：AC2=AD2-CD?,

：.32=(4-CD)2-CD2,

,、7

故答案為《.

o

【點睛】此題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)以及角平分線的性質(zhì).此題難度不大，注意掌握

轉(zhuǎn)化思想與數(shù)形結(jié)合思想的應用.

10.7cm

【分析】連接PA、PB、PC,作AB邊上的高CG,根據(jù)AABP、△BCP、△ACP的面積和

等于△ABC的面積，等邊三角形的三邊相等，即可得出結(jié)論.

【詳解】如圖，連接PA、PB、PC,作AB邊上的高CG,

SAABP+SABCP+SAACP=SAABC,

??.-AB.PD+-BCPF+-ACPE=-AB.CG,

VAABC是等邊三角形,

???AB=BC=AC,

A-AB(PE+PF+PD)=-AB-CG,

???等邊三角形ABC的高為7cm,

/.PE+PD+PF=CG=7cm.

【點睛】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，將一個三角形的面積轉(zhuǎn)化成三個三角形的面積

和是解題關(guān)鍵.

11.DC=AC（答案不唯一）

【分析】由Nl=/2可得再由EC=BC,添力口DC=AC,利用“SAP判定兩

個三角形全等.

【詳解】解：添加的條件是OC=AC,理由如下：

VZ1=Z2,

Z1+ZECA=Z2+ZECA,

即NECZANBCA,

在4后（7。和4BCA中，

EC=BC

<NECD=NBCA,

DC=AC

:.AECD咨ABCA（SAS）.

故答案為DC=AC.

【點睛】本題考查了全等三角形的判定定理.熟記全等三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵.

12.35。/35度

【分析】根據(jù)角平分線的判定，可得NA3P=NCBP,/ACP=NFCP；根據(jù)三角形外角的

性質(zhì)，可得NABC+/BAC=NACF,NPBC+NBPC=/FCP,根據(jù)等量代換，可得答案.

【詳解】解：由尸于點。，PELAC于點E,PFLBC于點尸，連接尸8,PC.

?：PD=PE=PF,

：.NABP=ZCBP,NACP=ZFCP.

,：ZABC+ZBAC=ZACF.

即|ZABC+|ZBAC=|ZACF,

即/尸ZBAC=ZFCP.

'：ZPBC+ZBPC=ZFCP,

：.NBPC=|ZBAC=1x70°=35°,

故答案為：35°.

【點睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)與判定，三角形外角的性質(zhì)，掌握角平分線的性質(zhì)與判

定是解題的關(guān)鍵.

13.見解析

【分析】先假設(shè)它們的對邊相等，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出假設(shè)不成立，從而證得原

結(jié)論成立.

【詳解】證明：假設(shè)它們所對的邊相等，則根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)定理，“等邊對等角“知它

們所對的角也相等，這就與題設(shè)兩個角不等相矛盾，因此假設(shè)不成立，故原結(jié)論成立.

【點睛】本題結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)考查反證法，解此題關(guān)鍵要懂得反證法的意義及步驟.

14.(1)。尸的最小值是3；

⑵當。尸最小時，△C￡＞尸的面積為12.

【分析】(1)由垂線段最短可知當。尸時，。尸最短，根據(jù)角平分線的性質(zhì)即可得出結(jié)

論；

(2)由勾股定理得BD=5,當。尸最小時,DPLBC,再由勾股定理得尸2=4,貝|CP=BC-PB=8,

然后由三角形面積公式即可求解.

【詳解】(1)解：當。尸，8c時，線段。P的值最小，

平分/ABC,ZA=90°,

當DP_LBC時，DP=AD,

\"AD=3,

尸的最小值是3；

（2）解:VZA=90°,

BD=7AB2+AD2="+32=5,

當。P最小時，DP=3,DPYBC,

則/。尸B=/QPC=90°,

PB=yjBIJr-DP^=152—32'=4，

.?."=8C-P8=12-4=8,

；.△CDP的面積=工CPxOP=1x8x3=12,

22

即當。尸最小時，△CD尸的面積為12.

【點睛】本題考查了勾股定理、角平分線的性質(zhì)、垂線段最短以及三角形面積等知識，熟練

掌握勾股定理和角平分線的在是解題的關(guān)鍵.

15.（1）見詳解（2）相等（3）3

【分析】（1）根據(jù)要求畫出圖形；利用測量法解決問題.

（2）由（1）的結(jié)論，即可作答.

（3）根據(jù)垂線段最短，作圖，再結(jié)合角平分線的性質(zhì)，即可作答.

本題考查作圖-基本作圖，垂線段最短，角平分線的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，

靈活運用所學知識解決問題.

【詳解】解：（1）如圖所示；

"YPVA

發(fā)現(xiàn)了MP=MQ；又在OC上再取點K和點Z,同樣發(fā)現(xiàn)性=AV，ZV=Zy；

（2）由（1）得：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等；

故答案為：相等.

（3）如圖所示：過點P作/V_LOC,

A

°MVC

則PM的最小值為線段尸丫的長度，

:點P是-4OC的平分線上一點，PDLOA,垂足為，PV±OC,

：.PV=PD=3,

PM的最小值為3,

故答案為：3.

16.見解析,A(0,l),B(-l,0),C(3,0),D(2,l).

【分析】作AELBC,DFLBC分別與E,F,就很容易求出AE,BE,CE,的長，以BC

為x軸，AE為y軸建立坐標系，就可以求出各點的坐標.

【詳解】作AE_LBC,DF_LBC分另ij與E,F,貝l|EF=AD=2,BE=CF=1,

直角△ABE中,/B=45。，則其為等腰直角三角形，因而AE=BE=1,CE=3.

以BC所在的直線為x軸，由