專題31最值模型之將軍飲馬模型

“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”，這是唐代詩人李頑《古從軍行》里的一句詩，由此卻引申出一系

列非常有趣的數學問題，通常稱為“將軍飲馬”。

將軍飲馬問題從本質上來看是由軸對稱衍生而來，同時還需掌握平移型將軍飲馬（即將軍遛馬、造橋

或過橋），主要考查轉化與化歸等的數學思想。在各類考試中都以中高檔題為主，本專題就特殊的平行四邊

形背景下的將軍飲馬問題進行梳理及對應試題分析，方便掌握。

目錄導航］

例題講模型］

........................................................................................................................................................1

模型1.將軍飲馬模型（雙線段和的最小值）....................................................1

模型2.將軍飲馬模型（雙線段差的最大值）...................................................3

模型3.將軍飲馬模型（多線段和的最值）......................................................5

習題練模型

.........................................................................................................................................................7

例題講模型1

模型1.將軍飲馬模型（雙線段和的最小值）

模型解讀

條件：A,5為定點，機為定直線，P為直線機上的一個動點，求AP+5P的最小值。

模型（D點4、3在直線機兩側：模型（2）點A、5在直線同側：

A

A*

?-------------------------?m

B

B■m

模型證明

模型（1）點A、3在直線機兩側:模型（2）點A、3在直線同側:

A'

圖⑴圖（2）

模型（1）：如圖（1）,連結AB,根據兩點之間線段最短，AP+BP的最小值即為：線段A8的長度。

模型（2）：如圖（2）,作點A關于定直線機的對稱點連結/區根據兩點之間線段最短，AP+BP的最小

值即為：線段/‘2的長度。

模型運用

例1.（2024.陜西西安?一模）如圖，在四邊形ABCD中，AD//BC,AB=BC=4,AD=8,AG=2,ZABC=90°,

E是邊CO上的一動點，尸為AE的中點，則AF+GV的最小值為.

例2.（2024?四川廣安?中考真題）如圖，在YABCD中，AB=4,AD=5,NABC=30。，點M為直線5c上

一動點，則M4+A?的最小值為.

例3.（2024?廣東?二模）如圖，菱形ABCD的一條對角線AC=4A/L2918=60。，尸是對角線AC上的一

個動點，E,尸分別為邊ZM,0c的中點，則PE+Pb的最小值是（）

A.2B.273C.4D.4A/3

例4.(2024?河南洛陽?模擬預測)如圖，在扇形BOC中，ZBOC=60°,平分/30C交于點。，點E

為半徑08上一動點.若陰影部分周長的最小值為2忘+三，則扇形的半徑03的長為

模型2.將軍飲馬模型(雙線段差的最大值)

模型解讀

條件：A,B為定點,機為定直線，尸為直線/上的一個動點，求HPdPI的最大值。

模型(1)：點A、5在直線機同側：模型(2)：點4、5在直線機異側:

模型證明

模型(1)：如圖(1),延長A8交直線小于點P,當A、B、P不共線時，根據三角形三邊關系，有：\P'A-P'B\

<AB,當A、B、P共線時，^\PA-PB\=AB,i^\B\-PB\<AB,即|AP-BP|的最大值即為：線段AB的長度。

模型(2)：如圖(2),作點B作關于直線m的對稱點夕，連接48,交直線m于點P,此時PB=PB1

當A、B、P不共線時，根據三角形三邊關系，有：

當A、B、P共線時，有陷-尸8|=|必-尸21=/夕，故附-PBIS4夕，即IAP-2PI的最大值即為：線段的長度。

模型運用

例1.（2024?河南南陽.一模）如圖，已知AABC為等腰直角三角形，AC=BC=6,NBCD=15°,P為直線

CO上的動點，則|E4—PB|的最大值為.

例2.（2024?陜西渭南?二模）如圖，在菱形ABCQ中，E為42邊中點，而點F在。C邊上，尸為對角線AC

所在直線上一動點，已知AB=8,DF=2,且NABC=60。，則|尸尸-尸目的最大值為.

例3.（23-24八年級下?山東聊城?期中）如圖，在正方形ABCD中，AB=8,AC與8。交于點。，N是AO

的中點，點〃在BC邊上，且BM=6.尸為對角線8￡＞上一點，則PM-PN的最大值為.

模型3.將軍飲馬（多線段和的最值模型）

模型解讀

模型（1）：兩定點+兩動點

條件：A,B為定點,在直線機、”上分別找兩點P、Q,使協+尸。+。8最小。

兩個點都在直線外側（圖1-1）；內外側各一點01-2）；兩個點都在內側（圖1-3）

B

圖1-1圖1-1圖2

模型（2）：一定點+兩動點

條件：如圖2,A為定點,在直線機、〃上分別找兩點P、Q,使三角形AP。的周長（AP+PQ+Q4）最小。

模型證明

圖1-1圖1-1圖1-1圖2

模型（1-1）（兩點都在直線外側型）

如圖（1-1）,連結根據兩點之間線段最短，B4+PQ+QB的最小值即為：線段的長度。

模型（1-2）（直線內外側各一點型）

如圖（1-2）,作點B關于定直線n的對稱點3；連結根據對稱得至I］：故必+2。+。8=以+尸。+。氏,

根據兩點之間線段最短，出+尸。+。2的最小值即為：線段/夕的長度。

模型（1-3）（兩點都在直線內側型）

如圖（1-3）,作點B關于定直線〃的對稱點2；作點A關于定直線機的對稱點連結

根據對稱得至lj：QB=QB,,PA=PA',?PA+PQ+QB^PA'+PQ+QB",

根據兩點之間線段最短，融+尸。+。8的最小值即為：線段才夕的長度。

模型（2）；如圖（2）,作點A分別關于定直線機、〃的對稱點/'、N”,連結/'8,

根據對稱得至U：QA=QA',PA=PA",PA+PQ+QA=PA,,+PQ+QA',

再利用“兩點之間線段最短”，得到B4+PQ+QA的最小值即為：線段N'A”的長度。

模型運用

例1.（2023?四川廣元?一模）如圖，已知正方形ABCD邊長為3,點E在邊上且鹿=1,點P,。分別

是邊BC,8的動點（均不與頂點重合），當四邊形AEPQ的周長取最小值時，四邊形AEPQ的面積是（）

D9

A.-D

42-I

例2.（2022?山東泰安?中考真題）如圖，ZAO5=30。，點加、N分別在邊OA、02上，且OM=3,ON=5,

點尸、。分別在邊03、Q4上，則MP+R2+QN的最小值是(

C.734-2D.735-2

例3.（23-24九年級上?陜西漢中?期中）（1）如圖①，在Rt^ABC中，ZB=90°,AB=3,BC=4.若點尸

是邊AC上一點.則8尸的最小值為.（2）如圖②，在RtZiA5c中，?B90?,AB=BC=2,點E是

3C的中點.若點P是邊AC上一點，求PB+PE的最小值.（3）公園內有一條四邊形ABCD型環湖路，如

圖③.若40=2000米，CD=1000米，ZA=60°,ZB=90°,ZC=150°.為滿足市民健身需求，現要修一

條由CE,EF,FC連接而成的步行景觀道，其中點E,尸分別在邊AB,AD上.為了節省成本，要使所修

的這條步行景觀道最短，即CE+砂+FC的值最小，求此時3E,小的長.（路面寬度忽略不計）

圖①圖②

習題練模型］

1.（2024?河南周口?一模）如圖，正方形ABCD中，點N分別為AB,BC上的動點，B.AM=BN,DM,

AN交于點E,點、F為AB的中點，點P為BC上一個動點，連接PE,PF.若AB=4,則PE+尸尸的

最小值為（）

9

A.V10-1B.2A/10-2C.5D.

2

2.（2024.山東泰安?二模）如圖，在矩形ABCD中，AB=6,相＞=5,點E是AD邊的點，ED=3,點、F是

線段CO上一點，連接E尸，以E尸為直角邊作等腰直角EFG,FG為斜邊，連接AG,則AG+EG的最小

值為（）

D.3小

3.（2022.內蒙古赤峰.統考中考真題）如圖，菱形ABCD,點A、B、C、。均在坐標軸上，ZABC=120°,

點A（-3,0）,點E是。的中點，點尸是0c上的一動點，則尸D+PE的最小值是（）

A.3B.5C.2A/2D.173

4.（2023?遼寧盤錦?統考中考真題）如圖，四邊形ABCD是矩形，=AD=4插,點尸是邊上

一點（不與點4。重合），連接PBPC.點、M,N分別是PBPC的中點，連接MN,AM,DN,點、E

在邊AD上，ME//DN,則AM+ME的最小值是（）

A.2?B.3C.372D.472

5.（2023?安徽?統考中考真題）如圖，E是線段上一點，VADE和3CE是位于直線48同側的兩個等邊

三角形，點P1分別是COAB的中點.若AB=4,則下列結論簿誤的是（）

A.R4+PB的最小值為3君B.PE+尸口的最小值為2退

C._CDE周長的最小值為6D.四邊形ABCD面積的最小值為3g

6.（2023?廣東廣州?統考中考真題）如圖，正方形ABCD的邊長為4,點E在邊3c上，且3E=1,尸為對角

線上一動點，連接CF,EF,則CF+EF的最小值為

7.（2024.陜西寶雞.二模）如圖，點0是矩形ABCD的對稱中心，點尸，。分別在邊AD,BC上，且尸。經

過點。，AB=6,AP=3,BC=8,點E是邊A3上一動點.貝憶回。周長的最小值為

8.（2024?陜西渭南?二模）如圖，在四邊形AC3。中，ZBAC=ZBAD=60°,ZACB=ZADB=90°,BC=6,

連接8、A3交于點。，點E為48上一動點，連接CE,點尸為CE的中點，連接。尸、DP,則OP+OP的

最小值為.

9.（2024.陜西商洛.三模）如圖，點。為正方形ABCD的對稱中心，點E為AD邊上的動點，連接OE,作

交于點尸，連接EF,尸為EP的中點，G為邊CD上一點，且CD=4CG=8,連接以，PG,

則R4+PG的最小值為.

10.（2023?江蘇南通?模擬預測）如圖，R△ABC中，ZC=90°,AC=8,BC=6,/為Rt^ABC的內心,

若M、N分別是斜邊和直角邊AC上的動點，連接的、MN,則加的最小值為.

11.（2024?海南?三模）如圖，矩形ABC。中，AB=2,3C=4,尸、。分別是直線BC、AB上的兩個動點,

AE^l,△AEQ沿E。翻折形成一在。，連接PnPD,則EF=,PR+PD的最小值是.

12.（2024?陜西咸陽?模擬預測）如圖，在YA5co中，連接AC,ZD=ZCAD,AB的垂直平分線交A8于

E,交AC于EP是線段E廠上一動點，點0為3c的中點.若BC=4,YABCD的面積是24,則依+尸。

的最小值為.

13.（2024?山東淄博?一模）如圖，線段AC與相交于點E,保持ZBEC=60°，已知AC=3,BD=2,則AD+BC

的最小值是.

14.（2023?黑龍江綏化?統考中考真題）如圖，一ABC是邊長為6的等邊三角形，點E為高8。上的動點.連

接CE,將CE繞點C順時針旋轉60。得到CP.連接AF,EF,DF,則一CD尸周長的最小值是.

15.（2023上?江蘇常州?九年級?？茧A段練習）如圖，8是的直徑，點A是半圓上的三等分點，B是弧

AD的中點，尸點為直線8上的一個動點，當CD=4時，AP+5尸的最小值為.

16.（2023?湖北黃岡??？寄M預測）如圖，在菱形A8CD中，ZA=60°,A8=6,點￡為A3的中點，點廠

在8上，且CF=2,點G為直線3D上一動點，|Gb-GE|的最大值是.

17.（2023?陜西西安?校考模擬預測）如圖，四邊形A8CD中，AB//CD,ZABC=9Q°,AB=5,BC=4,

CD=3,點尸為直線BC左側平面上一點，BCP的面積為2,貝I」叢-尸。的最大值為.

18.（2024?陜西榆林?二模）【問題提出】（1）如圖1,在四邊形ABCD中，AD//BC,AD=8,3c=15,

點E為AD的中點，點F為8c上一點，連接EFEF//CD,則叱的長為；

【問題探究】（2）如圖2,菱形ABCD的邊長為8,且NABC=60。，E是以）的中點，尸為對角線AC上一

動點，連接。AEF,求/歷周長的最小值；

【問題解決】（3）某校為了開展勞動教育，開辟出一塊四邊形空地，其平面示意圖如圖3中四邊形A8CD所

示，經測量，BC=24米，CZ）=16米，NBCD=90°,并沿著對角線BD修建一條隔墻（厚度不計）將該空

地分成和△BCD兩個區域，其中區域為幼苗培育區，△BCD區域為作物觀察區，的中點

P處有一扇門，現計劃在3C上取點E、尸（點E在點尸左側），并沿E尸修建一面結果記錄墻（厚度不計），

根據規劃要求，E尸=5米，且PE與。尸的長度之和最小，請問PE+D歹的值是否存在最小值？若存在，求

出尸E+OR的最小值；若不存在，請說明理由.

圖2

19.（23-24九年級上?河南周口?期末）唐朝詩人李頑的詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃

昏飲馬傍交河.”詩中隱含著一個有趣的數學問題一將軍飲馬問題：

如圖1所示，詩中將軍在觀望烽火之后從山腳下的A點出發，走到河旁邊的P點飲馬后再到8點宿營.請

問怎樣走才能使總的路程最短？

作法如下：如圖1,從8出發向河岸引垂線，垂足為。，在3。的延長線上，取8關于河岸的對稱點連

接與河岸線相交于P,則P點就是飲馬的地方，將軍只要從A出發，沿直線走到尸，飲馬之后，再由

P沿直線走到B,所走的路程就是最短的.

（1）觀察發現如圖2,在等腰梯形ABCD中，AB=CD=AD^2,ZD=120°,點E、歹是底邊AD與的中

點，連接EF,在線段EF上找一點P,使3P+AP最短.

作點8關于的對稱點，恰好與點C重合，連接AC交EF于一點，則這點就是所求的點尸，故3P+好的

最小值為.

（2）實踐運用如圖3,已知.。的直徑肱V=l,點A在圓上，且/4W的度數為30。，點8是弧4V的中點，

點尸在直徑上運動，求BP+AP的最小值.

（3）拓展遷移如圖，已知拋物線丁=62+陵+。（。彳0）的對稱軸為x=l,且拋物線經過A（-l,0）、C（0,-3）兩

點，與x軸交于另一點3.①求這條拋物線所對應的函數關系式；②在拋物線的對稱軸直線x=l上找到一點

M,使"。0周長最小，請求出此時點M■的坐標與△ACM周長最小值.

20.（2024?甘肅蘭州?模擬預測）如圖，一次函數y=x+8的圖象與反比例函數＞=§（尤＜0）的圖象交于A（a,6）,

8兩點.（1）求此反比例函數的表達式及點B的坐標；

（2）在y軸上存在點尸，使得AP+3尸的值最小，求AP+3尸的最小值.

21.（2023?山東棗莊?統考中考真題）如圖，拋物線＞=-/+法+。經過A（T0）,C（0,3）兩點，并交無軸于另

一點8,點M是拋物線的頂點，直線AM與軸交于點。.

備用圖

（1）求該拋物線的表達式；（2）若點H是x軸上一動點，分別連接MH,DH,求+的最小值;

22.(2023?陜西西安?九年級校考階段練習)【問題提出】

⑴如圖1,4403=45。，在—AC?內部有一點P,M、N分別是Q4、05上的動點，分別作點尸關于邊。4、

的對稱點匕P2,連接巴與。4、。3相交于M、N,貝ij此時」/MN的周長最小，且順次連接0,R,

乙后。片舄的形狀是等腰直角三角形.理由如下：

???點尸關于邊。4、。8的對稱點分別為￡,舄，

OP=OPl=OP2,ZA0P=ZA0Pl,ABOP=ABOP,,PM=PXM,PN=P2N

：.JPMN=PM+尸N+MN=+肱V=即PMN周長的的最小值為々鳥

???ZAOB=45°，二^OP2=2(ZAOP+/BOP)=90。；...。［鳥是等腰直角三角形.

學以致用：若ZAOB=30。,在NAO3內部有一點P,分別作點P關于邊Q4、。8的對稱點A，鳥，順次連

接0,P、,鳥，則。片鳥的形狀是_________三角形.

(2)【問題探究】如圖2,在&ABC中，AB=AC,ZBAC=3Q°,點。是3c的中點，若4。=/?,請用含有

/?的代數式表示，ABC的面積.(3)【問題解決】如圖3,在四邊形ABC。內有一點P,點尸到頂點8的距離

為10,ZABC=60°,點M、N分別是AB、3c邊上的動點，順次連接尸、M.N,使PMN在周長最小的

情況下，面積最大，問：是否存在使一PMN在周長最小的條件下，面積最大這種情況？若存在，請求出一尸

的面積的最大值；若不存在，請說明理由.

專題31最值模型之將軍飲馬模型

“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”，這是唐代詩人李頑《古從軍行》里的一句詩，由此卻引申出一系

列非常有趣的數學問題，通常稱為“將軍飲馬”。

將軍飲馬問題從本質上來看是由軸對稱衍生而來，同時還需掌握平移型將軍飲馬（即將軍遛馬、造橋

或過橋），主要考查轉化與化歸等的數學思想。在各類考試中都以中高檔題為主，本專題就特殊的平行四邊

形背景下的將軍飲馬問題進行梳理及對應試題分析，方便掌握。

目錄導航］

例題講模型］

........................................................................................................................................................1

模型1.將軍飲馬模型（雙線段和的最小值）....................................................1

模型2.將軍飲馬模型（雙線段差的最大值）...................................................3

模型3.將軍飲馬模型（多線段和的最值）......................................................5

習題練模型

.........................................................................................................................................................7

例題講模型1

模型1.將軍飲馬模型（雙線段和的最小值）

模型解讀

條件：A,5為定點，機為定直線，P為直線機上的一個動點，求AP+5P的最小值。

模型（D點4、3在直線機兩側：模型（2）點A、5在直線同側：

A

A*

?-------------------------?m

B

B■m

模型證明

模型(1)點A、3在直線機兩側:模型(2)點A、3在直線同側:

A'

圖⑴圖（2）

模型(1)：如圖(1),連結AB,根據兩點之間線段最短，AP+BP的最小值即為：線段A8的長度。

模型(2)：如圖(2),作點A關于定直線機的對稱點連結/區根據兩點之間線段最短，AP+BP的最小

值即為：線段/‘2的長度。

模型運用

例1.(2024.陜西西安?一模)如圖，在四邊形ABCD中，AD//BC,AB=BC=4,AD=8,AG=2,ZABC=90°,

E是邊CO上的一動點，尸為AE的中點，則AF+GV的最小值為.

【答案】275

【分析】本題考查軸對稱中最短路線問題，正方形的判定，勾股定理，靈活運用將軍飲馬模型是解題的關

鍵.取AO的中點女連接即7,CH,CG,CF,證明出廠點就是3"與AE的交點，四邊形3C"。是平行

四邊形，四邊形ABCH是正方形，利用將軍飲馬模型得到CG是AF+GF的最小值，再在RtaCG”中，利

用勾股定理求出CG即可.

【詳解】取AD的中點”連接

BC=4,AD=S,:.AH=HD=BC=4,

AD//BC,，四邊形BCD”是平行四邊形，，9〃CD,且點H為AD的中點,

Ap4H1

.?.受=笠=:，二8〃與AE的交點就是4E的中點尸，連接CH,

AEAD2

AD//BC,AH=BC,四邊形ABC”是平行四邊形，

AB=BC=4,NABC=90。.?.四邊形是正方形，C關于8H對稱，

連接CP,CG,則AB=CF,AAF+GF=CF+GF>CG,即AP+GF的最小值為CG的長，

在Rt"G〃中，CH=AB=4,GH=AH-AG=3-2=2,

由勾股定理，得CG=dCH4+GH?=收+2?=2宕,故答案為：2石.

例2.（2024?四川廣安?中考真題）如圖，在YABCD中，AB=4,AD=5,NABC=30。，點M為直線8C上

一動點，則M4+A?的最小值為.

【答案】V41

【分析】如圖，作A關于直線BC的對稱點A,連接交BC于■,則=AHLBC,AM'=AM',

當重合時，MA+MD最小，最小值為AD,再進一步結合勾股定理求解即可.

【詳解】解：如圖，作A關于直線3c的對稱點A,連接AO交BC于財，則=AH±BC,

AAT=AM',.?.當重合時，M4+MD最小，最小值為AO,

A'

?：AB=4,ZABC=30°,在YABCZ）中，/.AH=^AB=2,AD//BC,：.AA^2AH=4,AALAD,

AD=5,=A/42+52=741>故答案為："T

【點睛】此題考查了平行四邊形的性質，勾股定理，軸對稱的性質，求最小值問題，正確理解各性質及掌

握各知識點是解題的關鍵.

例3.（2024?廣東?二模）如圖，菱形A5CD的一條對角線AC=46，ZZMB=60°,尸是對角線AC上的一

個動點，E,尸分別為邊D4,DC的中點，則尸E+尸尸的最小值是（）

DF

￡

A.2B.273C.4D.46

【答案】C

【分析】作點E關于直線AC的對稱點G,連接PG,根據軸對稱的性質可知PE+Pb=Pb+PG,證明四

邊形AGED為平行四邊形，PE+尸產=尸3=4）為最小值，再求出菱形ABCD的邊AD,即為尸E+P尸的最

小值.

【詳解】解：如圖，連接30,交AC于K,

?.?菱形ABC。，AB//CD,AB=CD=AD,KA=KC=2A/3,AC.LBD,

'：ZDAB=60°：.ZD4C=30°,；?AD=2DK,

AD2-DK2=12>DK=2,AD=4,

作點E關于直線AC的對稱點G,連接PG,：.PE+PF=PF+PG,

:點E為邊AD上的中點，則點G也為邊A3的中點，

...當點尸、G、尸在一條直線上時，PE+尸尸有最小值，

連接FG交AC于P,...當P,P'重合時，PE+PF=RS為最小值，

?.?尸,3為￡）。,鉆的中點，，￡>尸=47,...四邊形46￡0為平行四邊形，

FG=AD=4,；.PE+尸尸的最小值是4,故選：C.

【點睛】本題考查了軸對稱中的最短距離問題、菱形的性質、平行四邊形的判定與性質，勾股定理的應用，

學會利用軸對稱的性質解決最短距離問題是解答本題的關鍵.

例4.（2024?河南洛陽?模擬預測）如圖，在扇形2OC中，/BOC=60。,0D平分NBOC交BC于點、D,點E

為半徑上一動點.若陰影部分周長的最小值為2&+。，則扇形的半徑的長為.

c

【分析】本題主要考查扇形周長的計算，軸對稱最短路徑的計算方法，掌握扇形弧長的計算方法，軸對稱

求最短路徑的方法是解題的關鍵.根據題意可求出NCOD=4OD=30。，作點。關于08的對稱點D,可

得CD'最小，則扇形周長最小，由此即可求解.

【詳解】解：：0D平分NBOC,NBOC=60°,ZCOD=ZDOB=30°,

設扇形的半徑OC=O3=r,五的長為：黑又2b=§,陰影部分的周長最小為2及+g,

“360°63

如圖所示，作點。關于的對稱點。'，連接CD'與08交于點E,此時，CE+ED=CE+ED'=CD'的值

最小，即陰影部分的周長最小，

/.Z.COD'=Z.COB+NBOD'=90°,：.CD'=仿，

即1+應廠=2應+1，解得，「=2,故答案為：2.

63

模型2.將軍飲馬模型（雙線段差的最大值）

模型解讀

條件：A,B為定點,m為定直線，尸為直線/上的一個動點，求HP-5PI的最大值。

模型（1）：點4、3在直線機同側:模型（2）：點A、3在直線m異側:

*A

模型證明

圖⑴圖（2）

模型（1）：如圖（1）,延長A2交直線根于點P,當A、B、P不共線時，根據三角形三邊關系，有：\P-A-P'B\

<AB,當A、B、P共線時，^\PA-PB\=AB,故|B4-PB|S48,即|AP-BP|的最大值即為：線段的長度。

模型（2）：如圖（2）,作點8作關于直線相的對稱點夕，連接交直線加于點尸，此時尸2=尸2'。

當A、B、P不共線時，根據三角形三邊關系，有：

當A、B、P共線時,有陷-心|=解-尸8'|=/5',故幺夕,即IAP-8尸|的最大值即為：線段/g的長度。

模型運用

例1.（2024?河南南陽?一模）如圖，已知AABC為等腰直角三角形，AC=BC=6,ZBCD=15°,P為直線

CO上的動點，則|B4一尸2|的最大值為.

【答案】6

【分析】作A關于CD的對稱點4,連接A'B交CD于P,則點尸就是使|以孑8|的值最大的點，|以-P8|=4B,

連接4C,根據等腰直角三角形的性質得到NCAB=NABC=45。，NACB=90。，根據角的和差關系得到/

ACD=75°,根據軸對稱的性質得到4C=AC=BC,ZCA'A=ZCAA'=15°,推出△48C是等邊三角形，根據等

邊三角形的性質即可得到結論.

【詳解】如圖，作A關于的對稱點4,連接43并延長交CO延長線于點尸，則點尸就是使|卓-「目的

值最大的點，|出一尸理=AB,連接HC,

ABC為等腰直角三角形，AC=BC=6,：.ZCAB=ZABC=45°,ZACB=90°,

?；/BCD=15°,：.ZACD=75°,:點A與4關于CO對稱，

CD±AA',AC=A'C,ZCArA=ZCAA',：.ZCAA'=15°,

?：AC=BC,：.A'C=BC,ZC4,A=ZC4A,=15°,AZACA'=150°,

,：ZACB^9Q°,：.ZA!CB=63°,△43C是等邊三角形，AA:B=BC=6.故答案為：6

【點睛】此題主要考查軸對稱-最短路線問題，等腰直角三角形的性質，等邊三角形的判定和性質，正確的

作出圖形是解題的關鍵.

例2.（2024?陜西渭南.二模）如圖，在菱形ABCD中，E為邊中點，而點尸在DC邊上，P為對角線AC

所在直線上一動點，己知AB=8,DF=2,且NABC=60。，則戶尸-咫的最大值為.

【答案】273

【分析】本題考查菱形的性質，軸對稱中最值問題，勾股定理.取AD的中點G,連接PG,易得PG=PE,

故歸尸-P同=|Pb—PG|wbG,即當凡G,0共線時，歸歹―PE|=bG最大，作WAD于先后求出

HD,HF,GH,最后用勾股定理求FG即可.

【詳解】解：如圖，取仞的中點G,連接尸G,「四邊形ABCD是菱形.?./G=/LE,/G"=/&1P

AG=AE

在tAPG和NAPE中-4GAp=ZEAP:.^APG^A叨(SAS)PG=PE

AP=AP

連接尸GA\PF-PE\=\PF-PG\<FG當EG。共線時，歸尸―尸耳=對最大，圖中P處

作于HZD=ZB=60°/.ZDFH=30°:.HD=-DF=\FH=收_=亞

j__________

GD=-AD=A.■.07=4-1=3...PG=^GH1+FH1=2A/3?即伊斤一尸目的最大值為2G.

例3.（23-24八年級下?山東聊城?期中）如圖，在正方形A8CD中，AB=8,AC與8。交于點。，N是A0

的中點，點M■在BC邊上，且3M=6.P為對角線80上一點，則PM-PN的最大值為.

【答案】2

【分析】本題考查了正方形的性質，平行線分線段成比例定理，等腰直角三角形的判定與性質，最值問題

等,熟練掌握和靈活運用相關知識是解題的關鍵.以8。為對稱軸作N的對稱點N',連接尸N',根據對稱

性質可知，PN=PN',由此可得RW-PNYW,當尸,三點共線時，取“=”，此時即尸河-PN的值

最大，由正方形的性質求出AC的長，繼而可得ON'=ON=2應，AN'=6^/2,再證明娶=邕=:，可

BMAN3

得N'M〃AB,ZCMN'=90°,判斷出Z\N'CM為等腰直角三角形，求得N'M長即可得答案.

【詳解】解：如圖，以為對稱軸作N的對稱點N',連接PN',

根據軸對稱性質可知，PN^PN',：.PM-PN'<MN',當尸,三點共線時，取“=”，

?.?在正方形ABC。中，AB=BC=CD^AD^8,ZABC=ZBCD=ZCDA=ZDAC=90°,

AC=-JiAB=8叵，:。為AC中點，AO=OC=4&，

為04中點，ON=2&,/.ON'=ON=2^,/.AN'=6^/2,

CMCN'1

VBM=6,：.CM=AB-BM=8-6=2,：.——=--=-

BMAN'3

Z.N'M//AB,：.ZCMN'=ZCBA=90°,ZMCN'=45°,

.?.△N'CN為等腰直角三角形，C0=NN=2,故答案為：2.

模型3.將軍飲馬（多線段和的最值模型）

模型解讀

模型（1）：兩定點+兩動點

條件：A,8為定點，在直線機、”上分別找兩點尸、Q,使RL+P0+Q5最小。

兩個點都在直線外側（圖1-1）；內外側各一點（圖1-2）；兩個點都在內側（圖1-3）

圖1-1圖1-1圖1-1

模型（2）：一定點+兩動點

條件：如圖2,A為定點，在直線小、〃上分別找兩點P、Q,使三角形APQ的周長（AP+PQ+Q4）最小。

模型證明

圖1-1圖1-1圖1-1圖2

模型（1-1）（兩點都在直線外側型）

如圖（1-1）,連結AB,根據兩點之間線段最短，9+PQ+Q8的最小值即為：線段A8的長度。

模型（1-2）（直線內外側各一點型）

如圖（1-2）,作點B關于定直線n的對稱點B，，連結48；根據對稱得到:QB=QB',故PA+PQ+QB=PA+PQ+QB）,

根據兩點之間線段最短，9+尸。+。8的最小值即為：線段/夕的長度。

模型（1-3）（兩點都在直線內側型）

如圖（1-3）,作點B關于定直線〃的對稱點2作點A關于定直線相的對稱點連結/3',

根據對稱得至lj：QB=QB',PA=PA',PA+PQ+QB^PA'+PQ+QB）,

根據兩點之間線段最短，B4+PQ+QB的最小值即為：線段/'夕的長度。

模型（2）：如圖（2）,作點A分別關于定直線小〃的對稱點，、/"，連結/區

根據對稱得至lj：QA=QA',PA=PA",故故24+PQ+QA=RT'+PQ+QT,

再利用“兩點之間線段最短”，得到出+PQ+QA的最小值即為：線段N'A”的長度。

模型運用

例1.（2023?四川廣元?一模）如圖，已知正方形ABCD邊長為3,點E在邊上且座=1,點P,。分別

是邊BC,8的動點（均不與頂點重合），當四邊形AEPQ的周長取最小值時，四邊形AEPQ的面積是（）

【答案】B

【分析】作E關于BC的對稱點E,點4關于。C的對稱點A，，連接今E,四邊形AEPQ的周長最小，根

據S四娜AEP2=S正方形^38——S&PCQ—S^BEP>即可解.

【詳解】解：如圖1所示，作E關于BC的對稱點E,點A關于DC的對稱點A,連接A'E，四邊形AEPQ

的周長最小,

VAD=AD=3,BE=BE'=1,AX=6,AE'=4.

VDQ//AE',。是AA的中點，,。。是△AA'E'的中位線,

/.DQ=^AE'=2,CQ=DC-CQ=3-2=1,■：BP//AA,：.ZXBE'P,

333

CP=BC-BP=3——=-,

翳蛋即一-222

S四邊形AEP2=S正方形Ass--SNCQ~^BEP=9--AD-DQ--CQ-CP--BE-BP

9

=9--x3x2--xlx---xlx-=~,故選：B.

22222

【點睛】本題主要考查了正方形的性質，軸對稱的性質，三角形相似的判定和性質，中位線的性質，三角

形面積的計算，解題的關鍵是作出輔助線，找出四邊形A"。的周長最小時，P、。的位置.

例2.（2022?山東泰安?中考真題）如圖，ZAOB=30。，點M、N分別在邊0403上，且。M=3,ON=5,

點尸、。分別在邊03、上，則MP+R2+QN的最小值是(

C.734-2D.735-2

【答案】A

【分析】作M關于0B的對稱點AT,作N關于的對稱點N,連接MN,即為MP+PQ+QN的最小值;

證出△OMV為等邊三角形，AOMM為等邊三角形，得出NMOM，=90。，由勾股定理求出MW即可.

【詳解】解：作M關于08的對稱點作N關于0A的對稱點V,如圖所示：

連接MN,即為MP+PQ+QN的最小值.

根據軸對稱的定義可知：ON'=ON=5,OM'=OM=3,ZN'OQ=ZM'OB=3Q°,

：.ZNON'=60°,/MOAT=60。，.'.△ONM為等邊三角形，AOW為等邊三角形，

A

/.ZN'OM'=90°,.?.在RtAM'ON'中，M'N'=^+^=A/34-故選：-

【點睛】本題考查了軸對稱-最短路徑問題，根據軸對稱的定義，找到相等的線段，得到等邊三角形是解題

的關鍵.

例3.（23-24九年級上?陜西漢中?期中）（1）如圖①，在Rt^ABC中，ZS=90°,AB=3,8C=4.若點尸

是邊AC上一點.則BP的最小值為.（2）如圖②，在Rt^ABC中，?B90?,AB=BC=2,點、E是

BC的中點.若點P是邊AC上一點，求心+PE的最小值.（3）公園內有一條四邊形ABCD型環湖路，如

圖③.若AD=2000米，CD=1000米，ZA=60°,ZB=90°,ZC=150°.為滿足市民健身需求，現要修一

條由CE,EF,FC連接而成的步行景觀道，其中點E,尸分別在邊AB,AD1..為了節省成本，要使所修

的這條步行景觀道最短，即CE+EF+FC的值最小，求此時3E,小的長.（路面寬度忽略不計）

【答案】（1）y;（2）P3+PE的最小值為拓；（3）BE的長為500米，。產的長為1000米

【分析】（1）過8作BPLAC于P,由垂