專題32最值模型之將軍遛馬模型與將軍過橋（造橋）模型

將軍遛馬模型和將軍過橋（造橋）模型是將軍飲馬的姊妹篇，它是在將軍飲馬的基礎上加入了平移的

思想，主要還是考查轉化與化歸等的數學思想。在各類考試中都以中高檔題為主，本專題就將軍遛馬模型

和將軍過橋（造橋）模型進行梳理及對應試題分析，方便掌握。

在解決將軍遛馬和將軍過橋（造橋），不管是橫向還是縱向的線段長度（定長），只要將線段按照長

度方向平移即可，即可以跨越長度轉化為標準的將軍飲馬模型，再依據同側做對稱點變異側，異側直接連

線即可。利用數學的轉化思想，將復雜模型變成基本模型就簡單容易多了，從此將軍遛馬和將軍過橋（造

橋）再也不是問題！

目錄導航一

例題講模型

模型1.將軍遛馬模型.........................................................................2

模型2.將軍造橋（過橋）模型................................................................4

習題練模型

...........................................................................................................................................6

例題講模型］

模型1.將軍遛馬模型

將軍遛馬模型：已知/、8是兩個定點，P、。是直線加上的兩個動點，尸在。的左側，且間長度恒定,

在直線機上要求尸、。兩點，使得H+PQ+08的值最小。

點/、2在直線機異側（圖1-1）；點/、3在直線加同側（圖1-2）；

A.

Q

圖1-2

將軍遛馬模型（異側型）：如圖1-1,過/點作NC〃私且/。=尸0,連接3C,交直線機于0,。向左平移

P。長，即為尸點，此時尸、。即為所求的點。

'：PQ為定值，，求PA+PQ+QB的最小值，即求B4+Q2的最小值+尸0。

,：AC//m,AC=PQ,得到四邊形4PQC為平行四邊形，^AP=QC?：.PA+QB=QC+QB,

再利用“兩點之間線段最短”，可得E4+Q2的最小值為C3,故我+尸0+。3的最小值=2。+。〃

圖1-1圖1-2

將軍遛馬模型（同側型）：如圖1-2,過/點作/￡〃相，且4E=P0,作8關于加的對稱點戌，連接夕￡,交

直線于。，。向左平移尸。長，即為尸點，此時P、。即為所求的點。

■:PQ為定值，,求PA+PQ+QB的最小值，即求處+08的最小值+產。。

'：AE//m,AE=PQ,得到四邊形4P0E為平行四邊形，^AP=QEo：.PA+QB=QE+QB,

根據對稱，可得。3'=。2,QE+QB=QE+QB,,

再利用“兩點之間線段最短“，可得。E+01的最小值為￡戌，ikPA+PQ+QB的最小值=尸0+后夕。

模型運用

例1.（2023?陜西?模擬預測）如圖，菱形48CD的邊長為3,/BAD=60°,點、E、F在對角線NC上（點E

在點尸的左側），且￡歹=1,則DE+8/最小值為

例2.（2023?安徽合肥?校考三模）在邊長為2的正方形/BCD中,點￡、下是對角線50上的兩個動點，且

始終保持8尸-5￡=1,連接NE、CF,則NE+C廠的最小值為（）

A.272B.3C.275D.275+1

例3.（2024?河北邯鄲?三模）如圖，在邊長為1的菱形/BCD中，ZABC=60°,將△48。沿射線8。的方

向平移得到△42'。'，分別連接HC,A'D,B'C,則HC+8'C的最小值為（）

A.1B.V2C.V3D.2

例4.（2024?陜西西安?模擬預測）如圖，在正方形48CD中，E,尸是對角線/C上兩點（點E靠近點/）,

旦EF=26,當+B/的最小值為2加時，48的長為.

模型2.將軍造橋（過橋）模型

模型解讀

將軍造橋（過橋）模型:已知，如圖2,將軍在圖中點/處，現要過河去往8點的軍營，橋必須垂直于河岸建

造，問：橋建在何處能使路程最短？（即：NM+ACV+A?的值最小）。

圖2-1圖2-2

模型證明

將軍造橋（過橋）模型：如圖2-2,過/點作S.AA^MN,連接42,

:AAY/MN,且四邊形/尸0c為平行四邊形，故

為定值，二求/M+ACV+A?的最小值，即求的最小值+MM

再利用“兩點之間線段最短”，可得NM+A?的最小值為/'8,故NM+AW+A?的最小值=/\B+TW。

模型運用

例1.（2023?陜西西安?校考模擬預測）如圖，Y/BCD中，48=3,AD=2,ADAB=60°,DFA.AB,BELCD；

垂足分別為點歹和E.點G和〃分別是。尸和BE上的動點,GH//AB,那么AG+GH+CH的最小值為.

例2.（2023?江蘇蘇州?校考二模）如圖，在Rt448C中，AACB=9Q。,NBAC=3Q。,4B=班.如果在三角

形內部有一條動線段MN〃/C,且兒W=l,則4W+8N+CW的最小值為.

例3.（2024?陜西西安,二模）如圖1,正方形NBCD的邊長為4,點E、尸是對角線上兩動點，且所=2,

（1）①四邊形的形狀為；

②連接NC、AF,當點A,F,"共線時，CE+C尸的值為.

（2）自古以來，黃河就享有“母親河”的美譽，是中華文明的發源地之一，也是中華民族生生不息、賴以生存

的搖籃.如圖2,某地黃河的一段出現了分叉，形成了“丫”字型支流，分叉口有一片三角形地帶的濕地，在

支流1的左上方有一村莊A,支流2的右下方有一開發區B,為促進當地的經濟發展，經政府決定在支流1

和支流2上分別修建一座橋梁尸。、MN（支流1的兩岸互相平行，支流2的兩岸也互相平行，橋梁均與河

岸垂直），你能幫助政府計算一下由村莊A到開發區3理論上的最短路程嗎？（即/尸+PQ+QN+跖V+A?和

的最小值）.經測量，A、8兩地的直線距離為2000米，支流1、支流2的寬度分別為1506米、250米，

且與線段N8所夾的銳角分別為60。、30°.

習題練模型

1.（2023安徽中考學二模）如圖，菱形ABCD的邊長為2百，ZABC=60°,點E、F在對角線BD上運動,

且EF=2,連接AE、AF,貝SAEF周長的最小值是（）

A.4B.4+73C.2+26D.6

2.（2023?廣西?二模）已知，在河的兩岸有A,B兩個村莊，河寬為4千米，A、B兩村莊的直線距離AB

=10千米，A、B兩村莊到河岸的距離分別為1千米、3千米，計劃在河上修建一座橋MN垂直于兩岸，M

點為靠近A村莊的河岸上一點，則AM+BN的最小值為（）

A.2>/13B.1+375C.3+737D.785

3.（2024?四川瀘州一模）如圖，在直角坐標系中，/（-2,0）,5（0,2）,C是03的中點，點。在第二象限,

且四邊形/OCD為矩形，尸是CD上一個動點，過點尸作于"，。是點8關于點/的對稱點，則

BP+PH+HQ的最小值為

4.（2022?四川自貢?中考真題）如圖，矩形48co中，48=4,BC=2,G是/。的中點，線段E尸在邊AB

上左右滑動；若EF=l,則GE+CF的最小值為.

5.（2023上?江蘇鹽城?九年級校聯考階段練習）如圖，正方形/BCD內接于。O,線段兒W在對角線5。上

運動，若。。的周長為2萬,MN=1,貝！U4WN周長的最小值是

6.（2023秋?河南南陽?九年級校聯考期末）如圖，在邊長為4的正方形N8CD中將AABD沿射線8。平移,

得到AEG尸，連接EC、GC.求EC+GC的最小值為

7.（2024?江蘇揚州?一模）如圖，在矩形中，點￡、尸是對角線8。上的兩點，ZC5D=30°,AB=EF,

DF

點G是邊3c的中點.當GE+/尸取最小值時，一的值為.

8.（2024?陜西西安?模擬預測）如圖，矩形48co中，AB=12,AD=6,E是邊上一動點，過點E作

對角線ZC的垂線，分別交ZC于點。、交直線CD于點尸，則點E在運動過程中，4T+FE+EC的最小值

是.

9.（2024?廣東廣州?三模）如圖，正方形/8CD內接于OO,線段跖V在對角線8。上運動，若。。的面積

為2%,MN=1,則（1）O。的直徑長為；（2）A/MN周長的最小值是

10.（2024?吉林長春?三模）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線-4x+3與y軸交于點A,與X軸的

一個交點為點3,點3在拋物線對稱軸左側，線段CD在對稱軸上，CD=2,則四邊形/BCD周長的最小值

11.（2024-江蘇蘇州?二模）如圖，等邊的邊長為3,點。在邊/C上，4D=g,線段尸。在邊8/上

運動，尸。=（，有下列結論：①CP與。。可能相等；②A/QD與ABC尸可能相似；③四邊形尸。。面積的

最大值為電1；④四邊形PC。。周長的最小值為3+巨，其中，正確結論的序號為.

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12.（2024?陜西咸陽?模擬預測）如圖，在正方形中，對角線NC與2。交于點。，OD=4,E是OD

的中點，尸。是對角線/C上的一條動線段，若5P-E0的最大值為石，則P。的長為.

AD

13.（2024?江蘇連云港?二模）如圖，正方形的邊4BCD長為4,￡是N8的中點，P是OE上的動點，過點尸

作尸GLDE,分別交3c于點F，G.當。G+EF取最小值時，則斯的長是.

14.（2024?四川廣安?二模）如圖，。是直線x=l上長度固定為1的一條動線段.己知點/（TO）,5（0,4）,

則BC+AD的最小值為

15.（2024?陜西西安?模擬預測）如圖，在正方形/8CD中，E,歹是對角線/C上兩點（點E靠近點/）,

且所=2挺，當BE+BF的最小值為2JS時，Z3的長為.

16.（23-24九年級下?浙江杭州?階段練習）如圖，平面直角坐標系xQy中，點N是直線y=2x+7上一動點,

將點N向右平移1個單位得到點8,點C（2,0）,則03+CB的最小值為,此時點3坐標為.

17.（2024?陜西西安?二模）如圖，在平面直角坐標系中，點”（-2,0）,5（0,1）,C（0,3）,將線段48沿x軸

向右平移得到連接HC,B'C,則4C+8'C的最小值為.

18.（2023上?陜西西安?九年級校考階段練習）（1）問題提出如圖①，在AABC中，AB=AC=6,ZBAC=\20°,

點D,￡分別是48,ZC的中點.若點河，N分別是OE和8C上的動點，則NM+MN的最小值是.

（2）問題探究：如圖②，/和8兩地在一條河的兩岸，現要在河上造一座橋（與河床垂直），橋造在何處,

才能使從/到2的路徑8最短.博琳小組針對該問題展開討論，小旭同學認為：過/作河

岸的垂線，使44』及W,MN為河寬,連接42,與河的一岸交于點N,此時在點N處建橋，可使從/

到8的路徑8最短.你認為小旭的說法正確嗎？請說明理由.（3）問題解決：如圖③，在矩

形/8CD中，48=60,80=80.￡、尸分別在48,CD上，且滿足￡尸〃3C,BE=20.若邊長為10的正方

形必空。在線段E尸上運動，連接DP,當產取值最小時，求EN的長.

圖①圖②圖③

19.（2023.山東中考二模）如圖，拋物線y=ox2+bx+c（右0）,經過點/（-1,0）,B（3,0）,C（0,3）三

點.⑴求拋物線的解析式及頂點”的坐標;（2）連接NC、3C,N為拋物線上的點且在第四象限，當S3sLs.c

時，求N點的坐標；（3）在（2）間的條