第2節(jié)相等角的構(gòu)造

前言：在了解特殊角的基礎(chǔ)上，可構(gòu)造相等角，若存在特殊位置關(guān)系，則從位置考慮；若無特殊位置關(guān)系,

可用三角函數(shù)度量并構(gòu)造.

知識導(dǎo)航

構(gòu)造相等角

(1)平行：兩直線平行，同位角、內(nèi)錯角相等；

平行：Z1=Z3,Z2=Z3

(2)角平分線：角平分線分的兩個角相等；

角平分線：Z1=Z2

(3)等腰三角形：等邊對等角；

等腰三角形：Z1=Z2

(4)全等(相似)三角形：對應(yīng)角相等；

全等三角形：Z1=Z2

(5)圓周角定理：同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等.

圓周角定理：Z1=Z2

(6)三角函數(shù)：若兩個角的三角函數(shù)值相等，則這兩個角相等；

三角函數(shù)：若tan/l=tan/2,則/1=/2

構(gòu)造相等角，先考慮是否有特殊位置關(guān)系，作恰當(dāng)?shù)膸缀螛?gòu)造，若無明顯位置關(guān)系，再考慮度量角，即用三角

函數(shù)值構(gòu)造相等角.思路多未必是好事，挑出關(guān)鍵性條件確定恰當(dāng)方法才是更重要的.

引例1：如圖，已知拋物線過點A(4,0),B(-2,0),C(0,-4).

(1)求拋物線的解析式；

(2)點C和點Ci關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，點P在拋物線上，且/PAB=NCAG,求點P的橫坐標(biāo).

解析：(1)拋物線：y=|x2-%-4；

⑵由題意得：C1坐標(biāo)為(2,-4),

思路1：計算已知角三角函數(shù)值構(gòu)造相等角過點Ci作CiHXAC交AC于H點，由題意得點H(l,3),

HCi=V2,HA=3vx

tanzCaC]=叔[]tanZ-PAB=

設(shè)點P坐標(biāo)為(小彳小？一根一4),

則由題意得：聲:…I1

3’

解得：m-L=-|,m2=

???點P的橫坐標(biāo)為V或_|.

思路2：巧用特殊角.

如圖構(gòu)造等腰直角三角形AMC,

可得M點坐標(biāo)為(4,-4),

/.AAMC是等腰直角三角形./MAC=45。,考慮tan/MAG=可知tan/SG=:，下同思路1求解P點坐

標(biāo).

弓I例2:如圖，拋物線y=ax?+6久+c與兩坐標(biāo)軸相交于點A(-1,0)、B(3,0)、C(0,3),D是拋物線的頂點，

E是線段AB的中點.

(1)求拋物線的解析式，并寫出D點的坐標(biāo)；

(2)F(x,y)是拋物線上的動點：

①當(dāng)x>l,y>0時，求4BDF的面積的最大值；

②當(dāng)ZAEF=ZDBE時，求點F的坐標(biāo).

解析：⑴拋物線：y=-/+2x+3,D點坐標(biāo)為(1,4);⑵①鉛垂法，當(dāng)F坐標(biāo)為(2,3)時，△BDF面積最大，最

大值為1；

②思路1:構(gòu)造平行線.

過點E作EF〃:BD交拋物線于F點，

..?BD解析式：y=-2x+6,

可得EF的解析式為：y=-2x+2,

聯(lián)立方程：一/+2久+3=-2x+2,

解得：%i=2-V5,%2=2+V5(舍).

/.F點坐標(biāo)為(2-V5--2+2V5).

將EF作關(guān)于x軸的對稱，如圖，交點亦為滿足條件的F點，且翻折后的直線解析式為：y=2x-2,

聯(lián)立方程：一比2+2%+3=2x-2,

解得：久1=-V5,%2=Vs(舍).

；.F點坐標(biāo)為(-V5>-2V5-2).

綜上，F(xiàn)點坐標(biāo)為(2-V5--2+2有)或(-V5--2V5-2).

思路2:三角函數(shù)值.

由題意可得：tan/DBE=2,

設(shè)F點坐標(biāo)為(m--m2+2m+3),

過F點作FH±x軸交x軸于H點則H點坐標(biāo)為(m,0),FH=-m2+2m+3\,EH=\m-1|,由題意得：

：x

tanzXFF=黑=+2,'=?--2-3?_解得：=2-V5,x2=2+場舍)，乂3=-低4=逐(舍).

F點坐標(biāo)為(2-V5--2+2遙)或(-V5--2V5-2).

引例3：若二次函數(shù)y=ax?++c的圖像與x軸、y軸分別交于點A(3,0)、B(0,-2),且過點C(2,-2).

(1)求二次函數(shù)表達(dá)式；

(2)在拋物線上(AB下方)是否存在點M,使/ABO=/ABM?若存在，求出點M到y(tǒng)軸的距離；若不存在，

請說明理由.

解析：⑴拋物線：y=|%2-2；

(2)思路1：構(gòu)造全等三角形

作小AOB關(guān)于AB的對稱的^ANB,BN與拋物線的交點即為M點求N點坐標(biāo)：構(gòu)造△AEN-ANFB,

可得N點坐標(biāo)為信，-H).

聯(lián)立方程：-%2--x-2=——x—2,

3312

解得:=0,%=V,

2O

即M點橫坐標(biāo)為9，.?.M點到y(tǒng)軸的距離為J

思路2：構(gòu)造等腰三角形

考慮直接分析/ABO=NABM并不容易，可尋找NABO的相等角.過點A作AH±x軸，延長BM與AH交于

H點，則NBAH=NABO=NABH,△ABH是等腰三角形，即AH=BH,設(shè)H點坐標(biāo)為(3,m),

貝！IAH=-m,BH=7(3-0)2+(m+2)2

令一根=J(3-0)2+(zn+2/,解得：m=

故H點坐標(biāo)為(3，-彳).

由B、H兩點坐標(biāo)求直線BH解析式：y=-^x-2,下同思路1,可求M點橫坐標(biāo)為118.

引例4:如例已知點A(-l,0),B(3,0),C(0,1)在拋物線y=ax2+bx+c上.

(1)求拋物線解析式；

(2)在x軸下方且在拋物線對稱軸上,是否存在一點Q,使NBQC=/BAC?若存在，求出Q點坐標(biāo);若不存在,

(2)思路：構(gòu)造輔助圓

考慮到NBAC和NBQC所對的邊均為BC,故構(gòu)造△ABC的外接圓，與該拋物線對稱軸的交點即為Q點.

AABC外接圓圓心記為M點，

則M在線段AB的垂直平分線上，

即M點在拋物線的對稱軸上，

設(shè)M點坐標(biāo)為(1,m),

根據(jù)MA=MC得：+1)2+(m-0)2=J(1—0)2+(7H—1)2,

解得：m=-l,；.M點坐標(biāo)為(1,-1),

圓M半徑為Vl2+22=V5,

.-.MQ=逐，

???Q點坐標(biāo)為((L—1一逐).

真題演練

2x

1.如圖，拋物線y=mx-|mx-4與x軸交于.A(xi,0),B(x2,0)兩點,y軸交于點C,且x2-i=

(1)求拋物線的解析式；

(2)拋物線上一點D(1,-5),直線BD與y軸交于點E,動點M在線段BD±,當(dāng)NBDC=/MCE時，求點

M的坐標(biāo).

2.如圖，已知拋物線y=a/+法+5經(jīng)過A(-5,0),B(-4,-3)兩點與x軸的另一個交點為C,頂點為D,連結(jié)

CD.

(1)求該拋物線的表達(dá)式；

(2)點P為該拋物線上一動點(與點B、C不重合),設(shè)點P的橫坐標(biāo)為t.該拋物線上是否存在點P,使得/PBC

=ZBCD?若存在，求出所有點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

3.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的一邊AB在x軸上，/ABC=90。，點C(4,8)在第一象限內(nèi)，AC與y

軸交于點E,拋物線y=lx2+bx+c經(jīng)過A、B兩點與y軸交于點D(0,-6).

⑴請直接寫出拋物線的表達(dá)式；

(2)若點M是x軸上一點(不與點A重合),拋物線上是否存在點N,使NCAN=NMAN.若存在，請直接寫

出點N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

4.如圖，直線.y=-3x+3與x輒y軸分別交于A、B兩點，拋物線y=-x2+bx+c與直線y=c分別交y

軸的正半軸于點C和第一象限的點P,連接PB，得△PCB04BOA(。為坐標(biāo)原點).若拋物線與x軸正半軸交點

為點F,設(shè)M是點C,F間拋物線上的一點(包括端點),其橫坐標(biāo)為m.

(1)直接寫出點P的坐標(biāo)和拋物線的解析式；

(2)求滿足/MPO=NPOA的點M的坐標(biāo).

5.如圖，直線.y=-X+3與X軸、y軸分別交于B、C兩點，拋物線y=-x2+bx+c經(jīng)過點B、C與x軸另

一交點為A，頂點為D.

(1)求拋物線的解析式；

(2)在拋物線的對稱軸上是否存在一點P,使得乙4PB=NOCB?若存在，求出P點坐標(biāo)；若不存在,請說

明理由.

6.如圖，二次函數(shù)y=x2+bx+3的圖像與y軸交于點A，過點A作x軸的平行線交拋物線于另一點B,拋物

線過點C(1,0),且頂點為D,連接AC、BC、BD、CD.

(1)填空:b=;

(2)點P是拋物線上一點，點P的橫坐標(biāo)大于1,直線PC交直線BD于點Q若NCQD=/ACB,求點P的坐標(biāo).

第2節(jié)相等角的構(gòu)造

1?解析(：1風(fēng)-叼=戶24"4)=H

解得：爪=|.拋物線：y=|--1-4.

(2)思路：化角度正切值為“k”

令|/—|x—4=0,解得：*1=—|,尤2=4,

即A點坐標(biāo)為(-|，0),B點坐標(biāo)為(4,0).

考慮C(0,-4)、D(l,-5),連接BC,易證△BCD是直角三角形，

CTABC4V2.

tanZ-BDC=—==4,

CDV2'

若/MCE=NBDC,貝!]tanzMCF=4,kCE=*

設(shè)CE解析式為：y--^x-4,

又BD解析式為：y=|x-p

聯(lián)立方程：一"一4="—與解得：x=||,

故M點坐標(biāo)為管，-署）

2.解析：(1)拋物線：y=%2+6%+5;

(2)①當(dāng)點P在直線BC上方時，如圖，過點B作DC的平行線，與拋物線交點即為P點，得直線BP解析式為:

y=2x+5,

2

聯(lián)立方程：x+6x+5=2x+5,解得：X1=-4,xZ=0,故P點坐標(biāo)為(0,5).

②當(dāng)點P在直線BC下方時,

思路1：利用三角函數(shù)值.

連接BD,可得BD_LBC,可得tanzBCD=|,

若/PBC=/BCD,則需滿足tanzPBC=

但鑒于BC并非水平或豎直直線，故tanzPBC=?這個條件并不好用.考慮到B、C點坐標(biāo)的特殊性，可以發(fā)

現(xiàn)，過點B作BM±x軸，易得△BMC是等腰直角三角形，即有/MBC=NMCB,

可轉(zhuǎn)化問題"NPBC=NBCD”為“/PBC+NCBM=/BCD+NBCM”，即NPBM=NDCM.

由題意得：tan/DCM=2,故tan/PBM=2,

轉(zhuǎn)化為直線BP的條件即為"kBP=

可得直線BP解析式為：y=|%-1,

聯(lián)立方程：/+6比+5="-1,解得：=-4,乂2=-1.故P點坐標(biāo)為(一點一：).

綜上所述，P點坐標(biāo)為(0,5)或(-1，-J.

思路2:構(gòu)造對稱.

不難發(fā)現(xiàn)，情況①中的直線BP和情況②中的直線BP是關(guān)于直線BC對稱，故兩個BP的k相乘為1,可知

情況②中的kBP=點可知BP解析式：y=|x-1.

同思路1求得P點坐標(biāo).

3.解析：(1)拋物線：y=7%2-|x-6；

42

(2)思路：角平分線構(gòu)造相等角

①當(dāng)M點在A點右邊時，作/CAM角平分線，與拋物線交點即為所求N點.令一|久一6=°,解得：久］

42

=4,久2=-2,故A點坐標(biāo)為(-2,0),AN=6,BC=8.

即tan^CAB=1,根據(jù)特殊角的結(jié)果,

可得tanzJVNB=tan|/.CAB=

故直線AN解析式為：y=|%+1,

聯(lián)立方程:濟一|久一6=)+1,解得：4=一2,久2=等故此點坐標(biāo)為缺號)

②當(dāng)M點在A點左邊時，作/CAM角平分線，其所在直線與拋物線交點即為所求N點.

由題意可知此時AN與情況①中的角平分線互相垂直，可知AN解析式：y=-2x-4,

聯(lián)立方程：江2—|x-6=—2%—4,解得：均=-2,盯=盤故N點坐標(biāo)為@一等

綜上所述，N點坐標(biāo)為管垓),g)

4.解析：(1)P(3,4),拋物線:y=-x2+3x+4;

(2)當(dāng)M點在C、P之間的拋物線上時，

思路：構(gòu)造平行

M點在C點位置時，PM〃OA,有/MPO=NPOA,此時M點坐標(biāo)為(0,4);

當(dāng)M點在P、F之間的拋物線上時，

思路：構(gòu)造等腰三角形

延長PM與x軸交于點N,

若/MPO=/POA^AOPN為等腰三角形，其中NP=NO,設(shè)N點坐標(biāo)為(n,0),

貝！1NO=n,NP=yj(n-3)2+(0-4)2=7(n-3)2+16,

當(dāng)NO=NP時，即n=J(TI一3尸+16,解得：n=p

直線PN解析式為：y=—：久+—，

聯(lián)立方程：一/+2久+3=—日支+一,

解得:%]=3,%2=。故M點坐標(biāo)為管，鬻)

綜上所述，M點坐標(biāo)為(0,4)或(^，譽).

5.解析：⑴拋物線：y=-x2+2x+3;

⑵由點坐標(biāo)可知：/OCB=45。,故P點需滿足/APB=45。,思路1:構(gòu)造輔助圓.

過點A作AMLBC交BC于M點，以M點為圓心，MA為半徑作圓，與對稱軸的交點即為所求P點.

易求M點坐標(biāo)為(1,2),且.MA=2a,故MP=AM=2&,：.P點坐標(biāo)為((1，2+2段).

此外在x軸的下方還有一個對稱的P點(1，-2-2V2).

綜上所述，P點坐標(biāo)為((1，2+2或)或(1,-2-2V2).

思路2：利用特殊角的三角函數(shù).

考慮到P點在對稱軸上且A、B兩點距離對稱軸距離相等，故對稱軸即/APB的角平分線,

另求tan22.5。=&-1,即些=&