專題05三角形中的倒角模型之雙角平分線（三角形）模型

近年來各地考試中常出現一些幾何倒角模型，該模型主要涉及高線、角平分線及角度的計算（內角和

定理、外角定理等）。熟悉這些模型可以快速得到角的關系，求出所需的角。本專題就三類雙角平分線模型

進行梳理及對應試題分析，方便掌握。

大家在掌握幾何模型時，多數同學會注重模型結論，而忽視幾何模型的證明思路及方法，導致本末倒

置。要知道數學題目的考察不是一成不變的，學數學更不能死記硬背，要在理解的基礎之上再記憶，這樣

才能做到對于所學知識的靈活運用，并且更多時候能夠啟發我們解決問題的關鍵就是基于已有知識、方法

的思路的適當延伸、拓展，所以學生在學習幾何模型要能夠做到的就是：①認識幾何模型并能夠從題目中

提煉識別幾何模型；②記住結論，但更為關鍵的是記住證明思路及方法；③明白模型中常見的易錯點，因

為多數題目考察的方面均源自于易錯點。當然，以上三點均屬于基礎要求，因為題目的多變性，若想在幾

何學習中突出，還需做到的是，在平時的學習過程中通過大題量的訓練，深刻認識幾何模型，認真理解每

一個題型，做到活學活用！

目錄導航

例題講模型

…........................................................................................................................................................2

模型1雙角平分線模型（雙內角）......................................................2

模型2.雙角平分線模型（一內角一外角）................................................8

模型3.雙角平分線模型（雙外角）

習題練模型

17

例題講模型］

模型1雙角平分線模型（雙內角）

雙角平分線模型1：當這兩個角為內角時，這夾角等于90。與第三個角的一半的和。

1）兩內角平分線的夾角模型

圖1圖2圖3

條件：如圖1,在△A8C中，/4BC和的平分線3P,CP交于點尸；結論：ZP=90°+1-Z^o

證明：和的平分線3P,CP交于點P,：.ZPBC=-ZABC,ZPCB=-ZACB

22o

ZP=180°-(/PBC+/PCB)=180°-1(NABC+/ACB)=180°-1(180°-//)=90°+-ZAo

222

2)凸多邊形雙內角平分線的夾角模型1

條件：如圖2,BP、CP平分N4BC、ZDCB,兩條角平分線相交于點尸；結論：2/尸=//+/。。

證明：?:BP、CP平分NN2C、NDCB,：.ZPBC=-ZABC,ZPCB=-ZDCB

22o

AZP=180°-(ZPBC+ZPCB)=180°-1(ZABC+ZDCB)=180°-1(360°-Zy4-ZD)=-(ZA+ZD)a

222

即：2NP=NA+ND。

3)凸多邊形雙內角平分線的夾角模型2

條件:如圖3,CHOP平分入BCD、/CDE,兩條角平分線相交于點P；結論：2ZP=ZA+ZB+ZE-180°=

證明：?:CP、DP平分/BCD、ZCDE,：.ZPCD=-ZBCD,ZPDC=-ZCDE

22o

AZP=180°-(./PCD+/PDC)=180°-1(ZBCD+ZCDE)=180°-1(54Q°-ZA-ZD-ZE)=ZA+ZD+Z

22

￡-90°。即：2/尸=//+/￡>+/￡-180°

模型運用

例1.（2023秋?安徽阜陽?八年級統考期中）如圖，在"BC中，點尸是內一點，且點尸到三邊

的距離相等，若/8尸。=124。，則乙4=.

【分析】由條件可知8尸、C尸平分/N3C和//C3,利用三角形內角和可求得/N.

【詳解】解：：點P到。3c三邊的距離相等，

8尸平分CP平分NACB,

4=180°-（/ABC+ZACB）,=180°-2（NPBC+NPCB）

=180°-2x（180°-NBPC）=180°-2xQ80°-124°）=68°故答案為：68°.

【點睛】本題考查角平分線的性質與判定，掌握角平分線的交點到三角形三邊的距離相等是解題的關鍵.

例2.（2023秋?山西太原?八年級校考期末）已知：如圖，P是“BC內一點,連接P8,PC.

⑴猜想：NBPC與/ABP、ZACP,//存在怎樣的等量關系？證明你的猜想.（2）若N/=69。，PB、PC分

別是//8C、//CB的三等分線，直接利用（1）中結論，可得/2PC的度數為一.

【答案】（1"BPC=N4+N4BP+N4CP,證明見解析（2）106°

【分析】（1）根據三角形內角和定理得到N/+/4BC+//C2=180。，ZBPC+ZCBP+ABCP=180°,再結合

ZCBP=ZABC-ZABP,NBCP=N/C8-N4C尸即可得至I」結論；（2）先根據三角形內角和定理和角三等分線的

定義得到43C+Z4c5=111。，ZABP=^ZABC,ZACP=^ZACB,再代入（1）中結論求解即可.

【詳解】（1）解：猜想；/BPC=NA+/ABP+NACP,

證明：由題意得：+ZABC+ZACB=180°,ZBPC+ACBP+ZBCP=180°,

,/NCBP=NABC-ZABP,NBCP=ZACB-ZACP,NBPC+ZABC-NABP+ZACB-ZACP=180°,

，ZBPC+(ZABC+ZACB)-(ZABP+ZACP)=180°,：.ZBPC+180°--(ZABP+ZACP)=180°,

ZBPC=ZA+ZABP+ZACP；

(2)解：：N4=69。，PB、PC分別是/4BC、//CS的三等分線，

AZABC+ZACB=180°-ZA=111°,ZABP=-ZABC,ZACP=-ZACB,

33

NBPC=NN+；(/4BC+N/C5)=69+37=106.故答案為：106°.

【點睛】本題主要考查了三角形內角和定理，角三等分線的定義，熟知三角形內角和為180度是解題的關鍵.

例3.(2023秋?河南濮陽?八年級校考期末)模型認識：我們學過三角形的內角和等于180。，又知道角平分

線可以把一個角分成大小相等的兩部分，接下來我們就利用上述知識進行下面的探究活動.

如圖①，在。3C中，BP、C尸分別是N/3C和N/C8的角平分線.

解決問題：(1)若/ABC=40。，44cs=80。，則/BPC=______；(直接寫出答案)

⑵若NR4C=100。，求出/8PC的度數；

拓展延伸：(3)如圖②，在四邊形4BCD中，BP、C尸分別是N48C和NOCB的角平分線，直接寫出N3PC

與N/+/D的數量關系.

【答案】(1)120°(2)140°(3)ZBPC=-(ZA+ZD)

【分析】(1)根據角平分線的定義和三角形內角和定理可得/8PC的度數；

(2)根據角平分線的定義和三角形內角和定理可得N5PC的度數；

(3)根據角平分線的定義和四邊形內角和定理可得N8PC與NN+ND的數量關系.

【詳解】(1)解：CP分別是/NBC和乙4cB的角平分線，ZABC=40°,/4CB=80。,

：.NPBC=gNABC=gX40°=20°,/PCB=N4CB=gx80°=40°.

AZBPC=180°-ZFSC-ZPCB=180°-20°-40°=120°；故答案為：120°；

(2)；BP、CP分別是/48C和N/C8的角平分線，

/PBC=gNABC,/PCB=gZACB.

AZ5PC=180°-ZP5C-ZPCS=180°-y（180°-NB/C）=90°+yABAC,

'：ZBAC=\0Q°,：.Z5PC=90°+yZ5/lC=90o+yxl00°=140°；

（3）,:BP、CP分別是/48C和4DC5的角平分線，:./PBC=g/ABC,/PCB=；/DCB.

：.ZJgPC=180°-ZPSC-ZPC5=180°-1（360°-ZA-ZD）=yCZA+ZD）.

【點睛】本題考查了角平分線的定義，三角形的內角和定理，多邊形的內角和公式，此類題目根據同一個

解答思路求解是解題的關鍵.

例4.（23-24八年級?山東青島?期末）【基礎探究1】（1）如圖1,“8C中，BP平分NABC,CP平分/ACB,

探求ZBPC與N4之間的數量關系；

【基礎探究2】（2）如圖2,08c中，BR、是N/8C的三等分線，/、瑪是NZC3的三等分線，

則NBRC與NA之間的數量關系是；

【基礎探究3】（3）如圖3,“3C中，BP、、BP］、妣是//3C的四等分線，（與、CR、CR是/ZC8的

四等分線，則/BAC與2/之間的數量關系是；

【拓展與探究】（4）如圖4,“3C中，BR、BP?、....BP—、瓦"是//3C的”等分線，C＜、CP2.....

CP?_2、CP-是ZACB的n等分線,請用一個等式表示/BRC、/BR-C、N4三者之間的數量關系是；

【探究與應用】（5）“3C中，BP、、BP2、……、即023是/48C的2024等分線，"、CP1、……、CPW23

是//CH的2024等分線，若/廖。與22c的和是//的7倍，則=______°?

AAAA

—C上

圖1圖2圖3圖4

12ZBPC=U5°+^ZA(4)

【答案】（1）/BPC=90°+—/A（2）ZBPC=6f）°+-ZA(3)3

23

ZB^C+ZBP^C=\SCP+ZA（5）105

【分析】本題考查三角形的內角和定理，〃等分線的定義.

，由角平分線得到NPBC=g//3C,

（1）由三角形的內角和定理可得443C+//CS=180。-4

NPCB=gzACB,從而ZBPC=180°-ZPBC-ZPCB=180°-^-(ZJ5C+ZACB)=9Q°+ZA；

22

(2)由三等分線可得N48C=1/A8C,APXCB=-AACB,從而

22

ZBPtC=180°-2P、BC-Z^C5=180°-j(ZABC+ZACB)=60°+-ZA；

(3)同(2)思路即可求解；

]F7—1—1]

(4)同(2)(3)思路即可/BqC=—480。+——/A,ZBP^C=——180。+—乙4,兩式相加即可解答；

nnnn

(5)同(4)思路可得/86。+/8鳥022c=180P+//,又NBP,+NBP?2c=/A,即可求得乙4=30。，同

理有/期。/=蝮4800+3"http://,即可解答.

101220242024

【詳解】解：(1)'：ZA+ZABC+ZACB=1SO°,：.ZABC+ZACB^180°-ZA,

'：BPABC,CP平分N4CB,：.ZPBC=-ZABC,ZPCB=-ZACB,

22

ZBPC=180°—NPBC-NPCB=180°--ZABC--ZACB

22

=180°-1(ZylSC+Z^C5)=180°-1(180°-Z^)=90°+1z^.

(2),:BR、8鳥是//3C的三等分線，期、C￡是NNCB的三等分線,

22

ZPBC=-ZABC,NRCB=-ZACB,

1313

922

AZBPXC=180°-ZPXBC-APXCB=180°--ZABC--^CB=180°-y(AABC+ZACB)

222

=180。-§(180。-//)=60。+§//.故答案為：ZBP1C=60°+-ZA

(3)；BP、、BP]、8A是N/8C的四等分線，C＜、CP-瑪是//C5的四等分線，

ZP3BC=^ZABC,ZP3CB=24cB,

:BP3c=180。-/P3BC-HCB=180°-^ZABC-^ACB=180°-；(NABC+N/C3)

=180。-：(180。-//)=135。+：//.故答案為：ZBP3C=\35°+^ZA

(4),:BP、、BP]、……、BP2、8勺_1是/48C的"等分線，C＜、CP?……、CP—、。匕7是//CB的

〃一11n—11

〃等分線，；?/PiBC=——/ABC,NP小BC=—NABC,NRCB=——NACB,?陽=—NACB,

nnnn

H—1pl—1

??.NBP】C=180。—ZPXBC-ZP、CB=180。—?ZABC-—ZACB

nn

n—1〃—IIH—1

=180°--------(ZABC+ZACB)=1SO0--------(180°-4)=-180°+——N4,

nnnn

/BP,—?=180°-%iBC-ZP^CB=180°--ZABC--ZACB

nn

=1SQ0--(ZABC+ZACB)=180°--(180°-ZA}-180°+-Zy4,

nnnn

1n—\n—11

ABPC+ZBP_,C=--180°+——/4+------1800+-ZA=180°+ZA.

Xnnnnn

故答案為：NBRC+/BP,-C=180P+//

(5),:BP、、BP?、.........B/23是//3C的2024等分線，/、CP2,.......、C%m是//酸的2024等分

線,

2022220222

：.ZP.BC=------NABC,NP.BC=-------NABC,ZPCB=-------ZACB,苗22c臺=----ZACB,

202420222024?2202420222024

20222022

.??NBP1c=180°-ZRBC-ZRCB=180°-^^AABC-^^NACB

20242024

2022/、2022/、22022

=180。-----(ZABC+ZACB}=1SO0----------(180。—N4)-------180°+-------/A,

20241720241720242024

22

^BP2Q22C=180。—“2022BC-ZP202KB=180。-----/ABC----------ZACB

202220242024

2?20222

180°---------(ZABC+ZACB}=1SO0---------(180。—//)=-----180°+-------,

2024172024v720242024

2202220222

/BP2c+NBRo22c=-180°+------ZA+--------180°+------ZA=180°+ZA

2024202420242024

,:/BP?C+/BP2022c=7/A.-.180°+ZA=7ZAf=30°,

同理可得/J86n2C=2|j80o+2jN/=90o+Jx3()o=105。.故答案為：105

乙u4r*乙u4(乙

模型2.雙角平分線模型（一內角一外角）

模型解讀

雙角平分線模型2：當這兩個角為一個內角和一個外角時，這夾角等于第三個角的一半。

模型證明

1）一個內角一個外角平分線的夾角模型

條件:如圖1,在AABC中,AP平分N48C,CP平分/NC8的外角，兩條角平分線相交于點P；結論：/尸=.

證明：?:BP、CP平分N4BC、ZACD,：.ZPBC=-ZABC,ZPCD=-ZACD

22o

AZP=ZPCD-ZPBC=-（./ACD-/ABC）=-ZAO

22

2）一個內角一個外角平分線的夾角模型（累計平分線）

條件：如圖2,ZA=a,AABC.N/CD的平分線相交于點4,4"，與。的平分線相交于點6，AP.BC,

/8CD的平分線相交于點g……以此類推；結論：的度數是0.

證明：；BPi、CPi平分/4BC、ZACD,：.ZPBC=-ZABC,ZPCD=-ZACD

22o

ZPi=ZPiCD-ZPiBC=-CZACD-ZABC)=-ZA=Lao同理.ZP2=-ZPI=—a,ZP?=^L

222'2222"

模型運用

1.（2023?浙江?八年級假期作業）如圖，OG平分NMCW,點48是射線CW,ON上的點，連接按

以下步驟作圖：

M

G

/cX/、

o"BL）N

①以點3為圓心，任意長為半徑作弧，交于點C,交BN于點。；

②分別以點C和點。為圓心，大于1C。長為半徑作弧，兩弧相交于點E;

2

③作射線BE,交OG于點P.若a13N=140。，AMON=50°,則/OP3的度數為（）

A.35°B.45°C.55°D.65°

【答案】B

【分析】根據條件可知5P平分N4BN,則可求出/P8N,根據OG平分NMON求出/8OG,進而利用

2PBN=NPOB+ZOPB即可求出答案.

【詳解】由作法得8P平分乙4BN,/尸8"=,乙48"=工'140。=70。，

22

OG平分AMON，：.ZBOP=-ZNOM=-x50°=25°,

22

,?ZPBN=ZPOB+ZOPB,/.ZOPB=ZPBN-ZPOB=70°-25°=45°.故選B.

【點睛】本題主要考查角平分線的定義及作法，三角形的外角的性質，根據題目條件發現角平分線是解題

的關鍵.

例2.（2023?河北?九年級專題練習）問題情境：如圖1,點。是△48C外的一點，點E在3C邊的延長線上,

BD平分/ABC,CD平分/4CE.試探究與//的數量關系.

圖1圖1圖3

（1）特例探究：如圖2,若△/8C是等邊三角形，其余條件不變，則/。=；

如圖3,若A/BC是等腰三角形，頂角N/=100。，其余條件不變，則；這兩個圖中，與//度

數的比是；（2）猜想證明：如圖1,△/3C為一般三角形，在（1）中獲得的/。與//的關系是否還

成立？若成立，利用圖1證明你的結論；若不成立，說明理由.

【答案】（1）30。；50。；1:2（2）成立，見解析

【分析】(1)根據三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和用//和表示出//CE,再根據

角平分線的定義得到N4CE=2NDCE,ZABC=2ZDBC,然后整理即可.

(2)根據三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和用//和表示出//CE,再根據角平分線

的定義得到N/CE=2NDCE,ZABC=2ZDBC,然后整理即可.

【詳解】(1)解：如圖2,是等邊三角形，.?.N/BC=60。，ZACE=120°,

QBD平分NABC,CD平分NACE.ZDBC=30°,ZDCE=60°,

■：ADCE=AD+ADBC,ZD=30°；

如圖3,???MBC是等腰三角形，=100°,ZABC=ZACB=4CP,ZACE=140°,

QBD平分ZABC,CD平分NACE.ZDBC=20。,ZDCE=70°,

ZDCE=ZD+ZDBC,ZD=50°；故答案為30。，50°,1:2；

(2)解：成立，如圖1,在A48c中，ZACE=ZA+ZABC,

在AD3C中，ZDCE=ZD+ZDBC,…(1)

;CD平分/4CE,BD平分N4BC,：.ZACE=2ZDCE,ZABC=2ZDBC,

又：N4CE=NA+N4BC,2ZDCE=ZA+2ZDBC,…(2)

由(1)x2-(2),：.2ZD+2ZDBC-(ZA+2ZDBC)=0,,-,ZA=2ZD.

【點睛】本題考查等邊三角形的性質、等腰三角形的性質、利用三角形的外角性質和角平分線的定義解答

是關鍵.

例3.(2023春?浙江?七年級專題練習)N/CD是A/BC的外角，N48C的平分線與//CD的平分線交于

點4，/48C的平分線與乙4q。的平分線交于點次，…，N/.TBC的平分線與乙品。。的平分線交于點

An.設貝！］“=_________,N4202i=_____________.

An

r較安10

【合茶】,五r

【分析】據角平分線的定義可得NAiBC=g/ABC,ZAiCD=yZACD,再根據三角形的一個外角等于與

它不相鄰的兩個內角的和可得NACD=NA+NABC,ZAiCD=ZAiBC+ZAi,整理即可求出/Ai的度數，

同理求出/A2,可以發現后一個角等于前一個角的根據此規律即可得解.

【詳解】解：：AiB是NABC的平分線，AC是NACD的平分線，

.".ZAiBC=|ZABC,ZAiCD=yZACD,

XVZACD=ZA+ZABC,ZAiCD=ZAiBC+ZAi,

Ay(ZA+ZABC)=yZABC+ZAi,.".ZA^yZA,

0n°nn

XA=0,/.aZAl=—,同理可得：Z^An=-,**?Z^A2021=^2021,故答案為：~^22021,

【點睛】本題考查了三角形的內角和定理，三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和的性質，角

平分線的定義，熟記性質并準確識圖然后求出后一個角是前一個角的3是解題的關鍵.

模型3.雙角平分線模型(雙外角)

模型解讀

雙角平分線模型3：當這兩個角為外角時，這夾角等于90。與第三個角的一半的差。

模型證明

1)兩外角平分線的夾角模型

條件：如圖1,在ZUBC中，BO,CO是A/BC的外角平分線；結論：ZO=90°--ZA.

2

證明：?:BO、CO平分/CBE、ZBCF,：.ZOBC=-ZEBC,ZOCB=-ZBCF

22o

AZ0=180°-(/OBC+/OCB)=180°-1(ZEBC+ZBCF)=180°-1CZA+ZACB+ZABC+

22

=180°-1(180°+//)=90°+!//。

22

2)旁心模型旁心：三角形的一條內角平分線與其他兩個角的外角平分線交于一點

條件：如圖2,BD平分/ABC,CD平分//C2的外角，兩條角平分線相交于點。；結論：AD平分/CAD。

證明：如圖3,過點。作DM_LA4、DNLAC、DHLBC,

'：BD平分N/BC,CD平分//C8的外角，

：.DH=DM,DH=DN,：.DM=DN,平分NG4D。，

模型運用

例1.(2023.廣東八年級期中)如圖，在△NBC中，ZB=46°,三角形的外角ND/C和//C/的平分線交于

點、E,則N/EC=.

【答案】67°.

【分析】先根據三角形內角和定理計算出NB/C+/8(N=180。-48=134。，則利用鄰補角定義計算出/

DAC+ZFCA=\SQ°-ZBAC+1800-ZBCA=226°,再根據角平分線定義得到JNEC4=g

ZFCA,所以NE/C+NEC4=g(NDAC+NFCA)=113。，后再用三角形內角和計算N/EC的度數.

【詳解】解：VZB=46°,ZBAC+ZBCA=ISO0-46°=134°,

AZDAC+ZFCA=\S0°-ZBAC+1S00-/8。=360°-134°=226°,

■:AE和CE分別平分乙D/C和ZFCA,/EAC=|ZDAC,ZECA=yZFCA,

AZEAC+ZECA=^(ZDAC+ZFCA)=113°,

ZAEC=ISO°-CZEAC+ZECA)=180°-113°=67°.故答案為：67°.

【點睛】本題考查角平分線的有關計算，三角形內角和定理，三角形外角的性質.在本題解題過程中，有

些角單獨計算不出來，所以把兩個角的和看作一個整體計算(如：NBAC+NBCA,NDAC+NFCA),故掌

握整體思想是解決此題的關鍵.

例2.(2023?安徽宿州?八年級校聯考期末)(1)如圖(a),BD平分/ABC,CO平分

①當N/=60°時，求，。的度數.②猜想//與/。有什么數量關系？并證明你的結論.

(2)如圖(b),8。平分外角/C8P,CD平分外角/BC0,(1)中②的猜想還正確嗎？如果不正確，請

你直接寫出正確的結論（不用寫出證明過程）.

A

圖（a）

【答案】（1）①120。；②/D=90°+g//；證明見解析；（2）不正確；ZD=90°-^ZA

【分析】（1）①根據角平分線的定義以及三角形的內角和定理計算即可；

②結論：ZD=90°+yZA.根據角平分線的定義以及三角形的內角和定理計算即可；

（2）不正確.結論：/D=9（F-g/A.根據角平分線的定義以及三角形的內角和定理三角形的外角的性質

計算即可.

【詳解】解：（1）①?.?//=60。，ZABC+ZL4C5=180°-60°-120S

VZDBC=-ZABC,ZDCB=-ZACB,ZDBC+ZDCB=-x120°=60°,NO=180°-60°=120°；

222

②結論：ZD=90°+-Z^.理由：ZDBC=-ZABC,ZDCB=-ZACB,

222

ZDBC+ZDCB=|x（ZABC+ZACB）=；（180°一//）=90°-^ZA

ZD=180°-（90°~^ZA）=90°+^ZA；

（2）不正確.結論：ZD=90°.理由：?;NDBC=（NPBC,NDCB=；NQCB,

:.NDBC+NDCB=gx（ZPBC+NQCB）=g（N4+N4CB+N4+N4BC）=1（180°+Z^）=90°+^ZA,

ZD=180。-（90。+；〃=90。-；4.

【點睛】本題考查三角形內角和定理，三角形外角的性質，角平分線的定義等知識，解題的關鍵是熟練掌

握基本知識，屬于中考常考題型.

例3.（2023秋?貴州遵義?八年級校考階段練習）如圖（1）,ZCBF,乙4CG是的外角，N/CG的平

分線所在直線與NABC的平分線BD交于點與ZCBF的平分線BE交于點E.⑴若乙4=70°,則/D=_度;

（2）若44=￡，求/￡的度數；（3）在圖（1）的條件下，沿8/作射線W,連接如圖（2）.求證：AD

平分4c.

M

ADD

E

圖⑴圖⑵

【答案】(1)35。(2)90。-：7(3)見解析

【分析】(1)由角平分線的定義得到〃CG=12/CG,ZDBC=-ZABC,然后根據三角形的內角和即可

22

得到結論；(2)根據角平分線的定義得到/D3C=」443C,NCBE=g/CBF,于是得到/4)8￡=90。,

22

由(1)知根據三角形的內角和得到/￡=90。-1a；(3)過點。作。于點H,DKVBM

22

于點K,。/_1/。于點/,由角平分線的性質可得，DK=DH,DI=DH,則DK=。/,即可得到結論.

【詳解】(1)解：平分4CG,BD平分/ABC,：.ZDCG^-ZACG,ZDBC^-ZABC,

22

VZACG=ZA+ZABC,/.2ZDCG=ZACG=ZA+/ABC=ZA+2NDBC,

,/NDCG=ZD+NDBC,2ZDCG=2ND+2NDBC,

:.NA+2NDBC=2ND+2NDBC,：.ZD=-AA=35°；故答案為：35°

2

(2)BD平分ZABC,BE平分NCBF,；.NDBC=-ZABC,NCBE=-ZCBF,

22

?.ZDBC+NCBE=1(ZABC+ZCBF)=90。，；.NDBE=90°,

ND=—N4,Z_A.=a,*'?ND=-a,NE=90°—cc；

222

(3)如圖2,過點。作。H_L3G于點"，DKLBM于點、K,D/_L/C于點/,

圖⑵

:BD平分/4BC,CD平分UCG,?.DK=DH,DI=DH,?.DK=DI,

:DKLBM于點K,D/_L/C于點/,平分4c.

【點睛】本題主要考查三角形的角平分線的性質與判定，三角形外角的性質，三角形內角和定理，靈活運

用三角形外角的性質是解題的關鍵.

例4.（2023?甘肅天水?七年級統考期末）已知在A/BC中，圖1,圖2,圖3中的AABC的內角平分線或外

角平分線交于點O,

（1）如圖1,點。是A/BC的兩個內角平分線的交點，猜想與之間的數量關系，并加以證明.

（2）請直接寫出結果.如圖2,若//=60。，4/臺。的內角平分線與外角平分線交于點O,則/。=；

如圖3,若乙4=60。，A/BC的兩個外角平分線交于點。，則/。=.

【分析】（1）根據角平分線的性質可以得到=NOCB=a4CB,再根據三角形的內角和

定理得到和△O8C的三個內角的和是180。，對角度進行等價代換即可；

（2）圖2中，根據角平分線的性質可以得到=AOCM=\^ACM,再根據三角形外角的

性質得到/O=/OCM-/O3C和4=//CN-/ABC,最后對角度進行等價代換即可；圖3中，根據角

平分線的性質可以得到NOBC=|APBC,AOCB=；NQCB,再根據三角形的內角和定理得到^ABC和

△OBC的三個內角的和是180。，最后再結合平角的性質對角度進行等價代換即可.

【詳解】解：（1）ZO=90°+-ZA.

2

證明：：臺。平分//3C,CO平分//C3,/.AOBC=-ZABC,ZOCB=-ZACB,

22

NO=180°-（NO3C+NOC2）=180。-生/g+；//0“

=180°-1（ZABC+Z^C5）=180°-1（180°-Z^）=90°+：//.即/0=90。+3//.

(2)30°；60°.如圖2所示:

:BO平分/ABC,CO平分4cA/,AZOBC=-ZABC,ZOCM=-ZACM,

22

NO=ZOCM-ZOBC=-ZACM--ZABC=-(AACM-NABC)=-ZA.

2222

,/4=60。/.Z0=1z^=1x60°=300.即/O=30。.

如圖3所示：?；BO平分NPBC,CO平分N0C2,AZOBC=-ZPBC,ZOCB=-ZQCB,

~22

ZO=180°-(ZOBC+ZOCB)=18O°—(g/PBC+gN0C“

=180°-1(180°-Z^JBC)+1(180°-Z^CS)=；N4BC+；N4cB

=^(ZABC+ZACB)=1(180°-Z^).

,?N/=60°/.ZO=1(180°-Z^)=1x(180°-60°)=60°.

即NO=60。.故答案為：30°；60°.

【點睛】本題考查了角平分線的性質，三角形的內角和定理和三角形外角的性質，熟練掌握這些知識點是

解題關鍵，特別注意等價代換的使用.

習題練模型

1.（2023春?山東泰安?七年級統考期末）如圖，^ABC的外角NACD的平分線CP與內角/ABC的平分線BP

交與點P,若/8PC=40。，則/。4尸=（）

A.45°B.60°C.50°D.55°

【答案】C

【分析】根據外角與內角性質得出NA4c的度數，再利用角平分線的性質以及直角三角形全等的判定證明

RtAPK4^RtAPAM(HL),得出/=尸，即可得出答案.

【詳解】解：延長民4,作PN工BD,PFLBA,PMLAC,設/PCD=x。，

?；CP平分/4CD,ZACP=ZPCD=,PM=PN,

■：BP^ZABC,AABP=ZPBC,PF=PN,PF=PM,

NBPC=40°,N4BP=NPBC=ZPCD-NBPC=&-40>,

:.ZBAC=ZACD-ZABC=2v°-(r°-40>)-(r°-4CP)=8CP,ZCAF=100°,

—PA

在Rt△0E4和RtZVW中，

[PM=PF

RtAPK4^RtAPA￡4(HL),/.ZFAP=ZPAC=50°.故選：C.

【點睛】此題主要考查了角平分線的性質以及三角形外角的性質和直角三角全等的判定等知識，根據角平

分線的性質得出尸M=PN=PF是解決問題的關鍵.

2.（2023?江蘇?八年級統考期末）A43c中，點。是A48C內一點，且點。到A43c三邊的距離相等；乙4=40。，

貝ijNBOC=()

C.130°D.140°

【解答】解：到三角形三邊距離相等，.是內心，

即三條角平分線交點，AO,BO,C。都是角平分線，

ZCBO=ZABO=-/ABC,ZBCO=ZACO=-ZACB,

22

NABC+NACB=180°-40°=140°,ZOBC+ZOCB=70°,

ZJBOC=180°-70°=110°.故選：A.

3.（2023秋?四川綿陽?八年級統考期末）如圖，在A/BC中，NN=30。，￡為8C延長線上一點，NABC與

//CE的平分線相交于點。，則/。等于（）

15°C.20°D.30°

【答案】B

［分析］先根據角平分線的定義得到Z1=Z2,Z3=Z4,再根據三角形外角性質得/I+/2=/3+/4+44,

Z1=Z3+ZD,則2/1=2/3+44,利用等式的性質得到,然后把的度數代入計算即可.

【詳解】解答：解：???UBC的平分線與N4CE的平分線交于點。，.?./1=N2,Z3=Z4,

VZACE=ZA+ZABC,即Nl+N2=N3+N4+4,二2/1=2/3+//,

：Nl=/3+/D,/.ZD=-Z^=-x30°=15°.故選：B.

22

【點睛】本題考查了三角形內角和定理和三角形外角性質、角平分線的性質等，根據三角形內角和是180。

和三角形外角性質進行分析是解題關鍵.

4.（2023春?廣東?七年級專題練習）如圖，已知AABC,O是AABC內的一點，連接OB、OC,將/ABO、

/ACO分別記為Nl、Z2,則/I、/2、/A、/O四個角之間的數量關系是（）

A.Zl+Z0=ZA+Z2B.Z1+Z2+ZA+ZO=180°C.Z1+Z2+ZA+ZO=360°D.Z1+Z2+ZA=ZO

【答案】D

【分析】連接NO并延長，交于點。，由三角形外角的性質可知乙ZCOD=ZCAD+

Z2,再把兩式相加即可得出結論.

【詳解】解：連接/O并延長，交3c于點。，

：N3OD是A/OB的外角，NCOD是ZUOC的外角，

AZBOD=ZBAD+Z10,NCOD=NC4D+N2②,

①+②得，ZBOC=（ZBAD+ZCAD）+Z1+Z2,EPZBOC=ZBAC+Z1+Z2.故選：D.

【點睛】本題考查的是三角形外角的性質，熟知三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和是解答

此題的關鍵.