專(zhuān)題2-7雙曲線(xiàn)離心率取值范圍專(zhuān)題十六大題型匯總

。常考題型目錄

題型1根據(jù)a,b,c的不等關(guān)系求離心率的取值范圍.....................................1

題型2焦半徑范圍的應(yīng)用.............................................................2

題型3根據(jù)直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的關(guān)系求取值范圍...........................................3

?類(lèi)型1利用漸近線(xiàn)的斜率......................................................4

?類(lèi)型2聯(lián)立法..................................................................5

題型4雙曲線(xiàn)的有界性...............................................................6

題型5和差最值相關(guān).................................................................7

題型6點(diǎn)差法的運(yùn)用.................................................................8

題型7焦點(diǎn)三角形的運(yùn)用............................................................10

題型8雙曲線(xiàn)對(duì)稱(chēng)性的運(yùn)用..........................................................11

題型9通徑相關(guān).....................................................................12

題型10由題目條件確定離心率取值范圍..............................................13

題型11聯(lián)立求點(diǎn)坐標(biāo)型.............................................................14

題型12向量相關(guān)...................................................................15

題型13雙曲線(xiàn)與圓相關(guān).............................................................16

題型14雙曲線(xiàn)與內(nèi)切圓相關(guān).........................................................18

題型15雙曲線(xiàn)與角平分線(xiàn)相關(guān).......................................................18

題型16橢圓與雙曲線(xiàn)結(jié)合..........................................................20

Q知識(shí)梳理

知識(shí)點(diǎn).求解雙曲線(xiàn)離心率的方法如下：

(1)定義法：通過(guò)已知條件列出方程組或不等式組，求得a、c的值或不等式，根據(jù)離心率

的定義求解離心率e的值或取值范圍；

(2)齊次式法：由已知條件得出關(guān)于a、c的齊次方程或不等式，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程

或不等式求解；

(3)特殊值法：通過(guò)取特殊位置或特殊值構(gòu)建方程或不等式，求得離心率的值或取值范圍.

但題型分類(lèi)

題型1根據(jù)a,b,c的不等關(guān)系求離心率的取值范圍

【例題1】(2223?順義期末)若雙曲線(xiàn)C：*5=l(a>b>0)的離心率為e,貝Ue的取值

范圍是()

A.(1,2)B,(V2,+oo)C.(1,V2)D.(2,+oo)

【變式1-1]1.(22.23下?三模)已知雙曲線(xiàn)C。—痣=M其中瓶>力0),若4<0,

則雙曲線(xiàn)C離心率的取值范圍為()

A.(1,V2)B.(V2,+oo)C.(1,2)D.(2,+8)

【變式1-1]2.(17口8?單元測(cè)試)已知二次曲線(xiàn)1+片=1,當(dāng)me[-2,-1]時(shí)，該曲線(xiàn)

4771

的離心率的取值范圍是

【變式1-1]3.(2223?柳州?模擬預(yù)測(cè))雙曲線(xiàn)A-=1(m>4)的離心率的取

值范圍是.

22

【變式1-U4.已知雙曲線(xiàn)C：高^(guò)+扁=1的焦點(diǎn)在y軸上，則C的離心率的取值范圍為

()

A.(1,2]B.(1,3]

C.(蜀D.(I，T

題型2焦半徑范圍的應(yīng)用

【方法總結(jié)】

利用IPF1I或IPF2I的范圍:

22

F為雙曲線(xiàn)京=1的右焦點(diǎn)，若P是雙曲線(xiàn)右支上的動(dòng)點(diǎn)，則|PFI"-a.若P是雙曲線(xiàn)

左支上的動(dòng)點(diǎn)，則|PF|2c+a.

【例題2](19-20下?lián)犴樢荒?設(shè)雙曲線(xiàn)C：《-《=1(a>0,b>0)的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)分

別為0,&，若點(diǎn)P在雙曲線(xiàn)。的右支上，且IPF/=4|PF2|,則雙曲線(xiàn)C的離心率的取值范

圍是().

A?(詞B.(喘C/l，+8)D.Q+oo)

22

【變式2-1J1.(23-24上?課時(shí)練習(xí))雙曲線(xiàn)京-氏=1(a>0,6〉0)的兩個(gè)焦點(diǎn)為6/2,

若雙曲線(xiàn)上存在點(diǎn)P,使IP6I=2\PF2\,求雙曲線(xiàn)離心率的取值范圍.

【變式2-1]2.(23-24上期中)已知雙曲線(xiàn)?-g=l(a>0,b>0),0為坐標(biāo)原點(diǎn)，&,

尸2為其左、右焦點(diǎn)，若左支上存在一點(diǎn)P,使得尸2P的中點(diǎn)M滿(mǎn)足|OM|=|c,則雙曲線(xiàn)的

離心率e的取值范圍是

【變式2-1]3.(22-23上?南昌?期末)已知雙曲線(xiàn)攝-5=l(a>0,b>0)左，右焦點(diǎn)分

別為a(-c,。),心C0)，若雙曲線(xiàn)右支上存在點(diǎn)P使得赤冷=亞泊，則離心率的取值

范圍為

【變式2-1】4.(2223上?惠州?期末)已知見(jiàn)&分別是雙曲線(xiàn)C：5—《=1Q>0">0)

的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P是雙曲線(xiàn)C上在第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，若sin/P&Fi=3sin"6F,則雙

曲線(xiàn)C的離心率的取值范圍為

【變式2-1]5.(22.23上?深圳期末)設(shè)&,4是雙曲線(xiàn)/—5=l(a>0,6>0)的左右

焦點(diǎn)，若雙曲線(xiàn)上存在點(diǎn)P滿(mǎn)足羽-PF；=-a2,則雙曲線(xiàn)離心率的取值范圍是()

A.[&,+8)B.[V3,+00)C.[2,+8)D.[3,+00)

22

【變式2-1]6.(2L22專(zhuān)題練習(xí))已知雙曲線(xiàn)C:。一石=l(a>0,b>0)的上、下焦點(diǎn)分

2

別是0,F2,若雙曲線(xiàn)C上存在點(diǎn)P使得布-PF；=-4a,則雙曲線(xiàn)C的離心率的取值范圍

是()

A.(1,2]B.(1,V5]C.[2,+00)D.[V5,+oo)

題型3根據(jù)直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的關(guān)系求取值范圍

【方法總結(jié)】

方法：與漸近線(xiàn)的斜率比較，則

b

(1)當(dāng)直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，該直線(xiàn)的斜率為k=±-

a

bh

(2)當(dāng)直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的左右兩支都有交點(diǎn)時(shí)，該直線(xiàn)的斜率滿(mǎn)足左e(-

aa

(3)當(dāng)直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的單支有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，該直線(xiàn)的斜率滿(mǎn)足心(-8,-今uq,+8)

?類(lèi)型[利用漸近線(xiàn)的斜率

【例題3-1](23-24上?南京?階段練習(xí))已知雙曲線(xiàn)E：4-§=K?>0,b>0)的離心

率為e,若直線(xiàn)y=±2%與E無(wú)公共點(diǎn),則e的取值范圍是

【變式3-1】1.(2223?昆明模擬預(yù)測(cè))經(jīng)過(guò)原點(diǎn)且斜率為近的直線(xiàn)I與雙曲線(xiàn)C：§-^=

l(a>0,b>0)恒有兩個(gè)公共點(diǎn),則C的離心率e的取值范圍是

【變式3-1]2.(2122?專(zhuān)題練習(xí))已知圓(％-1尸+*=|的一條切線(xiàn)y=依與雙曲線(xiàn)

C：g-§=l(a>0,b>0)有兩個(gè)交點(diǎn)，則雙曲線(xiàn)C的離心率的取值范圍是()

A.(1,V3)B.(4,+8)C.(低+8)D.(2,+8)

【變式3-1]3.(22-23上?蘭州?期中)過(guò)雙曲線(xiàn)/一5=l(a>0,6>0)的右焦點(diǎn)F作一

條直線(xiàn)，當(dāng)直線(xiàn)斜率為1時(shí)，直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)左、右兩支各有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)直線(xiàn)斜率為3時(shí)，

直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)右支有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則雙曲線(xiàn)離心率的取值范圍為

【變式3-1]4.(2223?攀枝花三模)已知雙曲線(xiàn)C：*l(a>0,6>0),A為雙曲

線(xiàn)C的左頂點(diǎn),B為虛軸的上頂點(diǎn)，直線(xiàn)I垂直平分線(xiàn)段4B,若直線(xiàn)I與C存在公共點(diǎn),

則雙曲線(xiàn)C的離心率的取值范圍是()

A.(V2,V3)B.(V2,+oo)C.(V3,+oo)D.(1,V2)

【變式3-1]5.(22-23上?階段練習(xí))若雙曲線(xiàn)《-5=1的右支上存在兩點(diǎn)A,BJgAABM

為正三角形(其中M為雙曲線(xiàn)右頂點(diǎn))，則離心率e的取值范圍為

【變式3-1]6.(22-23下?黔東南?階段練習(xí))已知雙曲線(xiàn)5-5=l(a>0,6>0),若過(guò)

右焦點(diǎn)F且傾斜角為30。的直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的右支有兩個(gè)交點(diǎn)，則此雙曲線(xiàn)離心率的取值范圍

是.

【變式3-1]7.(2122?專(zhuān)題練習(xí))已知雙曲線(xiàn)?-《=1(a>0,6>0)的右焦點(diǎn)為F,若

過(guò)F且傾斜角為60。的直線(xiàn)分別與雙曲線(xiàn)的左右兩支相交，則此雙曲線(xiàn)離心率的取值范圍

是.

【變式3-1]8.(2019下?臨汾?期末)已知點(diǎn)。為雙曲線(xiàn)C的對(duì)稱(chēng)中心，過(guò)點(diǎn)。的兩條直線(xiàn)k與

"的夾角為60°,直線(xiàn)。與雙曲線(xiàn)C相交于點(diǎn),直線(xiàn)％與雙曲線(xiàn)C相交于點(diǎn)4,&,若使

MiBil=|4殳1成立的直線(xiàn)。與％有且只有一對(duì)，則雙曲線(xiàn)C離心率的取值范圍是

A.呼,2]B.(爭(zhēng)2)。件,+8)D.除+時(shí)

?類(lèi)型2聯(lián)立法

【方法總結(jié)】

方法：聯(lián)立法：

(1)當(dāng)直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，有k=±:或A=0

(2)當(dāng)直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，有△>0

(3)當(dāng)直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的左右兩支都有交點(diǎn)時(shí)，有%2久2<0

A>0

<XXn>0

(4)當(dāng)直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的左支有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，有?2

x1+x2<0

A>0

,,一<>0

(5)當(dāng)直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的右支有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，有?2

%1+X2<0

v2

【例題3-2】（2223下安慶?階段練習(xí)）已知雙曲線(xiàn)=i（a>0）與直線(xiàn)/：x+y=1

相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)，則雙曲線(xiàn)C的離心率的取值范圍為（）

A.曾，網(wǎng)）B.（V2,+oo）

C.（^,+oo）D.（^,V2）U（V2,+oo）

【變式3-2]1.（23-24上?南通?階段練習(xí)）過(guò)點(diǎn)（2,2）能作雙曲線(xiàn)/—2=1的兩條切線(xiàn),

則該雙曲線(xiàn)離心率e的取值范圍為

【變式3-2】2.（2122上?貴陽(yáng)?階段練習(xí)股雙曲線(xiàn)。:條-y2=i（a>0）與直線(xiàn)]：%+y=1

相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)A,B,則雙曲線(xiàn)C的離心率e的取值范圍是（）

A.（V2,+oo）B.（手,u（VX+°o）C.（手,+8）D.

【變式3-2]3.（22-23上?九龍坡?階段練習(xí)）已知直線(xiàn)2%—y+1=。與雙曲線(xiàn)提-g=

l（a>0,b>0）相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)，且雙曲線(xiàn)的一個(gè)焦點(diǎn)到它的一條漸近線(xiàn)的距離為E,

則該雙曲線(xiàn)的離心率的取值范圍是

題型4雙曲線(xiàn)的有界性

【方法總結(jié)】

22

【例題4]（23-24上?課時(shí)練習(xí)）如果雙曲線(xiàn)臺(tái)-卷=1右支上總存在到雙曲線(xiàn)的中心與右

焦點(diǎn)距離相等的兩個(gè)相異點(diǎn)，則雙曲線(xiàn)離心率的取值范圍是

22

【變式4-1】1.（22-23下河南?階段練習(xí)）已知6（-6。）3（a。）分別為雙曲線(xiàn)C曝-琶=

l（a>0,b>0）的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在C的右支上，點(diǎn)Q在直線(xiàn)/：x=-葉處上，若麗=QP,

則雙曲線(xiàn)C的離心率的取值范圍是（）

A.（l,陰B.[萼收）

C.（l,噌D.[喑+8）

【變式4-1]2.（22-23下?合肥一模）已知雙曲線(xiàn)E:g-g=l（a>0,b>0）的左右焦

點(diǎn)分別為&尸2A為其右頂點(diǎn),P為雙曲線(xiàn)右支上一點(diǎn)直線(xiàn)P&與y軸交于Q點(diǎn)若AQ〃PF2,

則雙曲線(xiàn)E的離心率的取值范圍為

【變式4-1]3.（21.22上?駐馬店?階段練習(xí)）已知6,F2分別是雙曲線(xiàn)E：=

l（a>0,b>0）的左、右焦點(diǎn).若雙曲線(xiàn)E上存在一點(diǎn)P使得|就+而2〔=b,則雙曲線(xiàn)E的離

心率的取值范圍為

【變式4-1]4.（20-21下?全國(guó)?階段練習(xí)）F（c,0）是雙曲線(xiàn)?-5=l（a>0，b>0）的

右焦點(diǎn)，直線(xiàn)％=c交該雙曲線(xiàn)于點(diǎn)M,N（M在第一象限），點(diǎn)8、4分別是該雙曲線(xiàn)的左、

右頂點(diǎn)，C是4B延長(zhǎng)線(xiàn)上的點(diǎn),AN1CM.該雙曲線(xiàn)離心率的取值范圍是（）

A.（V2,+oo）B.（1,V2）C.（1,V3）D.[2,+8）

【變式4-1]5.（20-21下?全國(guó)?階段練習(xí)）已知雙曲線(xiàn)C：《-5=l（a>0,b>0）的左焦點(diǎn)

為F,。為坐標(biāo)原點(diǎn)，P為雙曲線(xiàn)C右支上一點(diǎn)，伊眉-|PO|=2a,則雙曲線(xiàn)C的離心率的取

值范圍是

題型5和差最值相關(guān)

22

【例題5]（22-23下?洛陽(yáng)?開(kāi)學(xué)考試）已知雙曲線(xiàn)C：3-標(biāo)=1Q>0,6>0）的上下焦點(diǎn)分

別為6,，點(diǎn)M在C的下支上，過(guò)點(diǎn)M作C的一條漸近線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足為。，若[MD|>I6F2I-

|恒成立,貝北的離心率的取值范圍為()

A.?B.(|,2)C.(l,2)D.(|,+8)

【變式5-1]1.(22-23下?開(kāi)學(xué)考試)雙曲線(xiàn)/—2=1的左焦點(diǎn)為F,4(0,-6),M為雙

曲線(xiàn)右支上一點(diǎn)，若存在M，使得|FM|+\AM\=5,則雙曲線(xiàn)離心率的取值范圍為()

A.(1,V3]B.(1,得C.[V3,+c?)D.[V5,+c?)

【變式5-1]2.(21-22下?沙坪壩?模擬預(yù)測(cè))已知雙曲線(xiàn)C:=1(a>0)的右焦點(diǎn)

為F，點(diǎn)4(0,-a),若雙曲線(xiàn)的左支上存在一點(diǎn)P,使得|PA|+\PF\=7,則雙曲線(xiàn)C的離心

率的取值范圍是()

A.(1,^]B.(1,V3]C.[^,+oo)D.[V3,+oo)

【變式5-l】3.(2122專(zhuān)題練習(xí)搭雙曲線(xiàn)E：^—A=>0'b>。)的左、右焦點(diǎn)為6，尸2，

若在其漸近線(xiàn)上存在一點(diǎn)P,使得IIP&I-〔PF2"=2b,則雙曲線(xiàn)E的離心率的取值范圍

為

【變式5-1]4.(22-23下?襄陽(yáng)?模擬預(yù)測(cè))已知雙曲線(xiàn)C：g-g=l(a>0,b>0)的右焦

點(diǎn)為網(wǎng)2傷,0),點(diǎn)4坐標(biāo)為(0,1),點(diǎn)P為雙曲線(xiàn)左支上的動(dòng)點(diǎn)，且AaPF的周長(zhǎng)不小于18,

則雙曲線(xiàn)C的離心率的取值范圍為

【變式5-1]5.(22-23下.商丘.期中)已知雙曲線(xiàn)「1―5=1(a>0,b>0)的左、右

焦點(diǎn)分別為0,F2,直線(xiàn)y=k(%+§(k力0)與x軸交于點(diǎn)M,若A為「右支上的一點(diǎn)，

且|AM|+2|461=，則廠的離心率的取值范圍為

【變式5-1]6.(22-23下?模擬預(yù)測(cè))已知雙曲線(xiàn)「：5—5=l(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)

分別為6,F2,直線(xiàn)y=kx+b與y軸交于點(diǎn)A,若P為「左支上的一點(diǎn)，目|P川+2|P&|<

\PF2\,貝心的離心率的取值范圍為

題型6點(diǎn)差法的運(yùn)用

【方法總結(jié)】

雙曲線(xiàn)中點(diǎn)弦的斜率公式:

r2V2A2

設(shè)M（x0,%）為雙曲線(xiàn)—=AB不平行y軸）的中點(diǎn)，則有kAB-kOM^—

aba

22

4-4=i

證明：設(shè),B（x,,y）,則有4AB=』~—b

20：\兩式相減得：

西一々^_Ai

[a2b2=

X；-才一

0

a2b2

整理得：胃二與=4，即（X+%）（X—為）_尸

,因?yàn)榧樱?,先）是弦的中點(diǎn),

,2AB

(玉+%2)(%1—％2)Y

尤1a

b22

所以：自所以如此”

尸一1

【例題6]（22-23下安康?二模）已知雙曲線(xiàn)C:m-[=l（a>0,b>0）上有不同的三點(diǎn)

A,B,P,HA,B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，直線(xiàn)PA,PB的斜率分別為岫4,kPB，且岫4?kPBeg,1）,

則離心率e的取值范圍是

【變式6-1]1.（22-23上?亳州?期末）如圖為陜西博物館收藏的國(guó)寶——唐金筐寶鈿團(tuán)化

紋金杯，杯身曲線(xiàn)內(nèi)收，玲瓏嬌美，巧奪天工，是唐朝金銀細(xì)作的典范之作.該杯的主體部

22

分可以近似看作是雙曲線(xiàn)C囁-色=l（a>0,6>0）的部分的旋轉(zhuǎn)體.若該雙曲線(xiàn)右支上

存在點(diǎn)P，使得直線(xiàn)PA,PB（點(diǎn)A,B為雙曲線(xiàn)的左、右頂點(diǎn)）的斜率之和為：，則該雙曲

線(xiàn)離心率的取值范圍為

【變式6-1]2.(2L22福州?模擬預(yù)測(cè))已知C為焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線(xiàn)，其離心率為日,P

為C上一動(dòng)點(diǎn)(除頂點(diǎn))，過(guò)點(diǎn)P的直線(xiàn)4,%分別經(jīng)過(guò)雙曲線(xiàn)的兩個(gè)頂點(diǎn)，已知直線(xiàn)4的斜率

七e[1,|],則直線(xiàn)%的斜率七的取值范圍為()

A.『平.圖C.[|,4]D,[^]

【變式6-1]3.(21.22上?全國(guó)?階段練習(xí))已知雙曲線(xiàn)C。—《=l(a>0,6>0),若雙

曲線(xiàn)不存在以點(diǎn)(2a,a)為中點(diǎn)的弦，則雙曲線(xiàn)離心率e的取值范圍是()

A.(l，胡B.停雪C.殍,+由.等+時(shí)

【變式6-1]4.(2223?黔東南一模)設(shè)雙曲線(xiàn)發(fā)捻―《=l(a>0,b>0)的右焦點(diǎn)為F,

M(0,3b),若直線(xiàn)1與E的右支交于4,B兩點(diǎn)，且尸為4M4B的重心,則E的離心率的取值范圍

為()

A.(手，閆U(V3,+00)B.(嚕旬U(V3,+oo)

C.(l,f)D.(l,甯

題型7焦點(diǎn)三角形的運(yùn)用

【例題7](24-25上?成都?一模)雙曲線(xiàn)”喧-《=Ma,b>0)其左、右焦點(diǎn)分別為小尸2，

傾斜角為蕓勺直線(xiàn)PF2與雙曲線(xiàn)H在第一象限交于點(diǎn)P,設(shè)雙曲線(xiàn)H右頂點(diǎn)為2,若|P&I>

6\AF2\,則雙曲線(xiàn)H的離心率的取值范圍為

【變式7-1]1.(22-23上錦州?期中)已知雙曲線(xiàn)C:=l(a>0,b>0)的左右焦點(diǎn)

分別為6(—c,0),F2(C,0),點(diǎn)P在雙曲線(xiàn)C右支上，滿(mǎn)足麗厄=0,\PF±\>2IPF2I,又

直線(xiàn)Z：2x+3y-2c=0與雙曲線(xiàn)C的左、右兩支各交于一點(diǎn),則雙曲線(xiàn)C的離心率的取值

范圍是

【變式7-1]2.(22-23下?模擬預(yù)測(cè))已知雙曲線(xiàn)C：^-^=l(a>0,b>0)的左、右焦

點(diǎn)分別為尻，F(xiàn)2,。為。右支上一點(diǎn)，P&與C的左支交于點(diǎn)Q.若|PQ|=\PF2\,貝兒的離心率

的取值范圍是()

A.(1,3]B.(2,3]C.(V5,3]D.(2,V7]

【變式7-1】3.(20-21下?南寧?開(kāi)學(xué)考試)已知點(diǎn)尸"是雙曲線(xiàn)C：?-5=1(。>0,b>0)

的左、右焦點(diǎn)，0為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線(xiàn)C的右支上，且滿(mǎn)足I6F2I=2\OP\JPFJ>3|PF2|,

則雙曲線(xiàn)C的離心率的取值范圍為()

A.[|,+8)B榨,+8)C.(臼D.(1,1]

【變式7-1]4.(2021?全國(guó)專(zhuān)題練習(xí))已知雙曲線(xiàn)C:捻-5=l(a>0,b>0)的左、

右焦點(diǎn)分別為&、F2,過(guò)F2的直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)C的右支交于M、N兩點(diǎn)，若|MN|=|M&|,貝U

雙曲線(xiàn)C的離心率的取值范圍是()

A.(1,V3)B.(1,V5)C.(1,3)D.(V5,3)

題型8雙曲線(xiàn)對(duì)稱(chēng)性的運(yùn)用

【例題8](22-23下?宜昌?階段練習(xí))已知國(guó),4是雙曲線(xiàn)/-5=l(a>0,6>0)的左，

右焦點(diǎn)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)&且與x軸垂直的直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)相交于點(diǎn)4,且4在第三象限，

四邊形a4F2B為平行四邊形，a為直線(xiàn)B0的傾斜角，若a6仁,§,則該雙曲線(xiàn)離心率的取

值范圍是

22

【變式8-1]1.(2223?合肥模擬預(yù)測(cè))設(shè)點(diǎn)F為雙曲線(xiàn)C：三-4=1的左焦點(diǎn)，經(jīng)過(guò)

原點(diǎn)O且斜率k>百的直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)C交于A、B兩點(diǎn)，AF的中點(diǎn)為P,BF的中點(diǎn)為Q.

若。P1OQ,則雙曲線(xiàn)C的離心率e的取值范圍是

【變式8-1]2.(22-23下?通化?一模)已知雙曲線(xiàn)C:g-g=l(a>0,b>0)的左、

右焦點(diǎn)分別為6,尸2,若在C上存在點(diǎn)P(不是頂點(diǎn))，使得“4&=3NPF/2，則C的離

心率的取值范圍為

22

【變式8-1]3.(22-23上?期末)已知雙曲線(xiàn)。曝-=l(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分

別為6,，點(diǎn)P為第一象限內(nèi)雙曲線(xiàn)上的點(diǎn)，點(diǎn)Q為點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)。的對(duì)稱(chēng)點(diǎn).若|OP|=\OF2\,

2|Q0|<IP&I<3|Q6|,則雙曲線(xiàn)C的離心率的取值范圍為()

A.(l用B.殍，詞

C.(1,V5]D.[2,V5]

題型9通徑相關(guān)

【方法總結(jié)】

雙曲線(xiàn)的通徑為空

a

【例題9](23-24上?咸陽(yáng)?階段練習(xí))過(guò)雙曲線(xiàn)攝-5=l(a>0,6>0)的左焦點(diǎn)且垂直于x

軸的直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)交于4B兩點(diǎn)，。為虛軸上的一個(gè)端點(diǎn)，且乙4D8為鈍角,則此雙曲線(xiàn)離

心率的取值范圍為()

A.(1,V2)B.(V2,V2+V2)C.(V2,2)D.?2+VX+8)

22

【變式9-1]1.(22-23上?期末)雙曲線(xiàn)C+—琶=l(a>0,b>0)的左右焦點(diǎn)分別為&,

F2,若雙曲線(xiàn)C的右支上存在一點(diǎn)P,使得△PF/2為鈍角等腰三角形，則雙曲線(xiàn)C的離心率

的取值范圍是()

A.(1,V2)B.(1,V2+1)C.(V2,+oo)D.(V2+1,+oo)

22

【變式9-1]2.(21-22上?恩施?開(kāi)學(xué)考試)雙曲線(xiàn)-a=l(a>0,b>0)的左頂

點(diǎn)為4,右焦點(diǎn)為F,過(guò)點(diǎn)4的直線(xiàn)交雙曲線(xiàn)C于另一點(diǎn)B,當(dāng)BF時(shí)滿(mǎn)足|2F|>2\BF\,

則雙曲線(xiàn)離心率e的取值范圍是()

A.l<e<2B.l<e<-C.-<e<2D.l<e<—

222

【變式9-1]3.(22.23上?張掖?階段練習(xí))過(guò)雙曲線(xiàn)《—《=l(a>0,b>0)的左焦點(diǎn)F

作直線(xiàn)I與雙曲線(xiàn)交于A,B兩點(diǎn)，使得|=4b,若這樣的直線(xiàn)有且僅有兩條，則離心率e的取

值范圍是

【變式9-1]4.(22-23上鎮(zhèn)江期末)過(guò)雙曲線(xiàn)5-2=l(a〉0,b>0)的左焦點(diǎn)尸作

直線(xiàn)/與雙曲線(xiàn)交48兩點(diǎn)，使得|48|=3b,若這樣的直線(xiàn)有且僅有兩條，則離心率e的取值

范圍是

題型10由題目條件確定離心率取值范圍

【例題10](2223?合肥模擬預(yù)測(cè))雙曲線(xiàn)《-g=l(a>2,b>0)的焦距為2c(c>0),

已知點(diǎn)A(a,0),8(0，)，點(diǎn)(2,0)到直線(xiàn)AB的距離為由，點(diǎn)(-2,0)到直線(xiàn)力B的距離為d2,且

慮+d2N2，則雙曲線(xiàn)離心率的取值范圍為()

A.惇閭B.惇詞C.[^,V10]D.[V3.2V3]

【變式10-1】L(22-23下溫州?模擬預(yù)測(cè))設(shè)過(guò)原點(diǎn)且傾斜角為60。的直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)C:

1(a>0,6>0)的左，右支分別交于A、B兩點(diǎn)，F(xiàn)是C的焦點(diǎn)，若三角形4BF的

面積大于J6a2(02+爐),則C的離心率的取值范圍是()

A.(1,V7)B.(V2,7)C.(2,7)D.(2,77)

【變式10-1]2.(22-23下?開(kāi)封?模擬預(yù)測(cè))已知雙曲線(xiàn)C：《-《=l(a>0,b〉0)的實(shí)軸

為44，對(duì)①久上任意一點(diǎn)P，在&&上都存在點(diǎn)Q，使得IPQI=^b,貝北的離心率的取

值范圍為()

A.(1,V5)B.g,+8)C.(1,謂D欄，啕

【變式10-1】3.(22-23下?模擬預(yù)測(cè))已知雙曲線(xiàn)C：攝—5=l(a>0,b>0),點(diǎn)8的坐

標(biāo)為(0/)，若C上的任意一點(diǎn)P都滿(mǎn)足|PB|>b,貝力的離心率取值范圍是()

A.(1，^^]B.C.(1,V2]D.[V2,+co)

【變式10-1J4.(22-23上?濟(jì)南?階段練習(xí))已知雙曲線(xiàn)E=l(a〉0/>0)的左、

右焦點(diǎn)分別為0,F2,過(guò)尸2作圓。：+*=a2的切線(xiàn)，切點(diǎn)為T(mén),延長(zhǎng)尸2T交雙曲線(xiàn)E的左

支于點(diǎn)P.若IPF21>/丁尸21，則雙曲線(xiàn)E的離心率的取值范圍是()

A.(V2,+00)B.(V2,V5)

C.(V2,V6)D.(V2,V10)

【變式10-1]5.(22-23上?南京?階段練習(xí))已知F為雙曲線(xiàn)提-《=l(a>0,b>0)的左焦

點(diǎn)，直線(xiàn)/過(guò)點(diǎn)F與雙曲線(xiàn)交于4B兩點(diǎn)，目|力用最小值為甲，則雙曲線(xiàn)離心率取值范圍為()

A.(1,2)B.(1,V2)C.(1,2]D.(1,V2]

【變式10-1】6.(22-23下?閔行?階段練習(xí))已知雙曲線(xiàn)。吟―5=l(a>0,6>0),點(diǎn)B

的坐標(biāo)為(0,b)若C上的任意一點(diǎn)P都滿(mǎn)足|P8|26,則C的離心率取值范圍是.

題型11聯(lián)立求點(diǎn)坐標(biāo)型

【例題11](22-23上揚(yáng)州?期中)過(guò)雙曲線(xiàn)「：捻—《=l(a>0,b〉0)的左焦點(diǎn)后的動(dòng)直

線(xiàn)/與r的左支交于A、B兩點(diǎn)，設(shè)r的右焦點(diǎn)為尸2.若存在直線(xiàn)2,使得力41BF2,貝療的離

心率的取值范圍是

【變式n-1】1.(22-23上?舟山?期末)已知曲線(xiàn)C1方程：/+=1(2wkW3),

曲線(xiàn)C2方程：t/+川=1(34tW4)，曲線(xiàn)C3為焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線(xiàn)，且它的漸近

線(xiàn)過(guò)Q與C2的交點(diǎn)，則曲線(xiàn)C3的離心率的取值范圍是

【變式11-1]2.(20-21下?玉林?模擬預(yù)測(cè))過(guò)雙曲線(xiàn)C:g-g=l(a>0,b>0)的右焦

點(diǎn)F弓|一條漸近線(xiàn)的垂線(xiàn)，與另一條漸近線(xiàn)相交于第二象限,則雙曲線(xiàn)C的離心率的取值

范圍是()

A.(V2,+8)B.(V3,+8)C.(2,+oo)D.(3,+oo)

【變式11-1】3.(20-21下吳忠?模擬預(yù)測(cè))已知乙，%是雙曲線(xiàn)T：《—5=l(a>0,b>0)

的兩條漸近線(xiàn)，直線(xiàn)1經(jīng)過(guò)T的右焦點(diǎn)F,且l〃h,1交7于點(diǎn)M,交％于點(diǎn)Q，若靄e弓勺，

WQIz§

則雙曲線(xiàn)T的離心率e的取值范圍為（）

A.[2,3]B.[V2,V3]C.[V3,2]D.[V2,3]

【變式11-1]4.（22-23上?成都?期中）如圖,已知梯形ABCD中,\AB\=2\CD\,點(diǎn)E在

線(xiàn)段4c上且版=AEC,雙曲線(xiàn)過(guò)C,D,E三點(diǎn)，且以4B為焦點(diǎn).當(dāng)|W4W劉寸，雙曲線(xiàn)離

心率e的取值范圍是

【變式11-1J5（20-21下?蘇州?階段練習(xí)）已知雙曲線(xiàn)C：?-2=13>0）,若在直線(xiàn)—+

y+2=。上存在點(diǎn)P滿(mǎn)足：過(guò)點(diǎn)P能向雙曲線(xiàn)C引兩條互相垂直的切線(xiàn)，則雙曲線(xiàn)C的離心率

取值范圍是

題型12向量相關(guān)

【例題12]（22-23上?階段練習(xí)）已知F是雙曲線(xiàn)5=l（a>0,b>0）的右焦點(diǎn)，直

線(xiàn)x-2V2y=。與雙曲線(xiàn)C相交于4B兩點(diǎn)，若乙4FB>90°,則雙曲線(xiàn)C的離心率的取值范

圍是?

【變式12-1】1.（22-23上?湖州?期中）過(guò)雙曲線(xiàn)9—5=l（a>0,6>0）上的任意一點(diǎn)P,

作雙曲線(xiàn)漸近線(xiàn)的平行線(xiàn)，分別交漸近線(xiàn)于點(diǎn)MN,若麗-ON>y,則雙曲線(xiàn)離心率的

4

取值范圍是

【變式12-1】2.（18口9?二模）已知雙曲線(xiàn)—5=l（a>0,b>0）的右頂點(diǎn)為4,拋

物線(xiàn)=12a比的焦點(diǎn)為F.若在雙曲線(xiàn)E的漸近線(xiàn)上存在點(diǎn)P,使得刀?而=0，則雙曲線(xiàn)

E的離心率的取值范圍是（）

A.(1,2)B.(1,穹C.(2,+8)D信,+8)

22

【變式12-1]3.(22-23下?階段練習(xí))已知雙曲線(xiàn)。毛―(=2(a>0,b>0),尸為雙曲線(xiàn)

的右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F作漸近線(xiàn)的垂線(xiàn)MN(kMN<0),垂足為M,交另一條漸近線(xiàn)于N,若麗=

AMF(A>2),則雙曲線(xiàn)C的離心率的取值范圍是()

A.[遮,+8)B.(1,V3]

C.(V2,V3]D?件,+8)

22

【變式12-1】4.(2L22?專(zhuān)題練習(xí))已知雙曲線(xiàn)。吃―標(biāo)=l(a>0,b>0)的上、下焦點(diǎn)

分別是0,尸2若雙曲線(xiàn)C上存在點(diǎn)P使得西-PK=-4a2,PF^+PF^<4a2+3次，則

其離心率的取值范圍是()

A.(1,V3)B.(1,3)C.(V3,+oo)D.(3,+oo)

【變式12-1】5.(22-23上?涼山?期末)已知橢圓G和雙曲線(xiàn)。2有相同的焦點(diǎn)6和&，設(shè)G和

。2的離心率分別為ei0『為兩曲線(xiàn)的一個(gè)公共點(diǎn)M\PK-PK\=2|P0|(。為坐標(biāo)原點(diǎn)).

若02G(V2,V5)，則ei的取值范圍是

題型13雙曲線(xiàn)與圓相關(guān)

【例題13](23-24上?太原期末)已知雙曲線(xiàn)E：^-^=l(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分

別為6,，過(guò)&作圓。：/+V=a?的切線(xiàn)，切點(diǎn)為7,延長(zhǎng)尸2T交雙曲線(xiàn)E的左支于點(diǎn)P.若

\PF2\>1\TF2\,則雙曲線(xiàn)E離心率的取值范圍是

【變式13-1】1.(22-23上?成都?階段練習(xí))已知雙曲線(xiàn)C：5=l(a>0,b>0)的右焦

點(diǎn)為F，以尸為圓心，a為半徑作圓F，圓F與雙曲線(xiàn)C的一條漸近線(xiàn)交于M,N兩點(diǎn)若乙MFN>

60。，則C的離心率的取值范圍是

【變式13-1】2.(23-24上?沙坪壩?階段練習(xí))已知雙曲線(xiàn)C：*5=l(a>0,6>0),

22

MQo.Vo)是直線(xiàn)-ay+4a=。上任意一點(diǎn)，若圓(久-x0)+(y-y0)=8與雙曲線(xiàn)C的

右支沒(méi)有公共點(diǎn)，則雙曲線(xiàn)C的離心率的取值范圍是（）

A.（1,V2]B.（1,2]C.（2,+oo）D.[V2,+00）

【變式13-1】3.（2223?福州?模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線(xiàn)C：5—《=l（a>0,b>0）,F為左焦

點(diǎn)，4分別為左、左頂點(diǎn)，2為。右支上的點(diǎn)，且|0P|=\0F\（。為坐標(biāo)原點(diǎn)）.若直線(xiàn)PF

與以線(xiàn)段力為直徑的圓相交，則C的離心率的取值范圍為（）

A.（1,V3）B.（百,+8）C.（強(qiáng)+8）D.（3）

22

【變式13-1】4.（2223?模擬預(yù)測(cè)）已知P為雙曲線(xiàn)—標(biāo)=l（a>0,b>0）上的動(dòng)點(diǎn)，

。為坐標(biāo)原點(diǎn)以O(shè)P為直徑的圓與雙曲線(xiàn)C的兩條漸近線(xiàn)交于萬(wàn)區(qū),為）兩點(diǎn)A,

B異于點(diǎn)。），若為為>0恒成立，則該雙曲線(xiàn)離心率的取值范圍為（）

A.（1,V2]B.（1,V3]C.[V2,+oo）D.[V2,V3]

【變式13-1】5.（2223?黔東南三模）已知6,尸2分別是雙曲線(xiàn)C：?—《=1（。>0,b>0）

的左、右焦點(diǎn)，以O(shè)4為直徑的圓與C的漸近線(xiàn)的一個(gè)交點(diǎn)為P,點(diǎn)P異于坐標(biāo)原點(diǎn)。，若

|P&|，則C的離心率的取值范圍是（）

A.（1,V2）B.（1,2）C.（V2,+00）D.（2,+00）

【變式13-1】6.（2223上?周口?階段練習(xí)汜知6/2分別是雙曲線(xiàn)冬=l（a〉0,6>

0）的左，右焦點(diǎn)，直線(xiàn)I是雙曲線(xiàn)C的一條漸近線(xiàn)，心關(guān)于直線(xiàn)?對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)為4'，以Fi4'l為

直徑的圓與直線(xiàn)I有公共點(diǎn)，則雙曲線(xiàn)C的離心率的取值范圍為（）

A.[V2,+oo）B.（V2,+oo）C.（1,V2]D.（1,V2）

【變式13-1】7.（23-24上?階段練習(xí)）已知雙曲線(xiàn)C:《―5=l（a〉0">0）的左頂點(diǎn)

為A,右焦點(diǎn)為F,以線(xiàn)段AF為直徑的圓M與雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)相交于B,D兩點(diǎn)，目

滿(mǎn)足布?麗=-2（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），若圓M的面積S滿(mǎn)足Se詈，器，則雙曲線(xiàn)C的離

心率e的取值范圍是（）

A.[-J,2]B.[2,4]C.g,4]D.(1,2]

題型14雙曲線(xiàn)與內(nèi)切圓相關(guān)

【例題14](22-23上楊浦?期末)已知&、F2分別為雙曲線(xiàn)捻—2=l(a>。,6>0)的左、

右焦點(diǎn)，過(guò)尸2的直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的右支交于力、B兩點(diǎn)，記^力尸建2的內(nèi)切圓半徑為G,△BF±F2

的內(nèi)切圓半徑為上,AAF1F2與△B04的內(nèi)切圓圓心均在直線(xiàn)久=心上，且萬(wàn)上<3a2,則此

雙曲線(xiàn)離心率的取值范圍為

【變式14-1]1.(22-23上溫州?期中)已知P是雙曲線(xiàn)真-5=l(a,b>0)上一點(diǎn)，&,

心分別是左、右焦點(diǎn)，焦距為2c,AP66的內(nèi)切圓的周長(zhǎng)是兀c,則離心率e的取值范圍

是

【變式14-1]2.(22-23上云南?期末)已知點(diǎn)P為雙曲線(xiàn)提-^=l(a>0,b>0)右支上

一點(diǎn)，點(diǎn)分別為雙曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)I是4的內(nèi)心(三角形內(nèi)切圓的圓心),

若恒有S.PFI-S.PFZ>苧SA.F1f成立，則離心率的取值范圍是()

A.(1,V3)B.(1,2V3)

C.(1,2A/3]D.(1,V3]

【變式14-1】3.(24-25上?成都?階段練習(xí))雙曲線(xiàn)H：《-'=l(a,b>0)其左、右焦點(diǎn)

分別為6/2，傾斜角為T(mén)的直線(xiàn)P4與雙曲線(xiàn)H在第一象限交于點(diǎn)P，設(shè)△尸衣F2內(nèi)切圓半徑

為r,若|P&I>2V3r,則雙曲線(xiàn)H的離心率的取值范圍為

【變式14-1】4.(2L22下?浙江?開(kāi)學(xué)考試)已知&、?2分別為雙曲線(xiàn)=l(a>0,b>0)

的左、右焦點(diǎn)，過(guò)尸2的直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的右支交于人B兩點(diǎn)，記△46F2的內(nèi)切圓半徑為七，

2

ABF#2的內(nèi)切圓半徑為上，nr2<4a,則此雙曲線(xiàn)離心率的取值范圍為.

題型15雙曲線(xiàn)與角平分線(xiàn)相關(guān)

【例題15](19-20下安徽?期末)已知雙曲線(xiàn)《-g=l(a>0,b>0)在兩條漸近線(xiàn)所構(gòu)成

的角中，設(shè)以實(shí)軸為角平分線(xiàn)的角為e,若e的取值范圍是槨唱?jiǎng)t該雙曲線(xiàn)離心率的取值

范圍是（）

A.（1,V2]B.陣,2]C.序，閭D.[2,+oo）

【變式15-1]1.（22.23下?張家界?期中）已知雙曲線(xiàn)C：9—《=l（a>0,b>0）的左、