與平行或相似有關的線段倍分問題

知識與方法

一、與平行線有關的線段倍分

平行線分線段成比例是證明比例線段的常用依據之一，是研究比例線段、線段倍分及相似圖形的最基本、最重

要的理論.運用平行線分線段成比例解題的關鍵是尋找題中的平行線.若無平行線，需作平行線，而作平行線要考慮

過哪一個點作平行線，一般由成比例的兩條線段啟發而得.

1.平行線分線段成比例

如圖1232,如果lillklk,則-=r

八，八1小LilZII62ACDF,ACDFDEDF

2.平行線分線段成比例的推論

如圖1233,如果DE//BC廁金=空=器

如圖1-2-33,在相似三角形的判定中，我們通過作平行線，從而得出A字型或8字型相似.在做題時，我們也

常常關注題目中由平行線所產生的相似三角形.

3.基本圖形

條件:如圖1-2-34,AF〃DE〃:BC.

圖1-2-34

【簡析】：AF〃DE〃:BC,

.DE_BDDE_AD

"AF~AB'BC-AB'

DE,DEBD,ADAB

"AFBC~~ABAB~AB

.??白+白=點（兩邊同時除以DE）.

firDCUc,

二、與相似三角形有關的線段倍分

在相似圖形中出現的線段間的關系比全等圖形中的等量關系更為復雜，不僅有比例式，還有等積式、平方式,

甚至是線段乘積的和差、線段比的和差等.證明這類問題，一般需要通過比例的轉換或中間量的過渡.相似基本圖形

如圖1-2-35.

相

似

基

本

圖

形

圖1-2-35

典例精析

例1如圖1236在AABC中,E,D是BC邊的三等分點，F是AC的中點,BF分別交AD,AE于點G,H,則

BG:GH:HF=.

答案:5:3:2

圖1-2-36

【簡析】因條件中沒有平行線，故需過F作BC的平行線，構造基本圖形.過點F作FM〃BC交AE于點

M,則根據△BEHsAFMH,利用BF表示出HF的長度.過點D作DN〃AC交BF于點N,貝！］ABDN^ABCF

且ADNGsZiAFG,依據ABDNS2^BCF可以用BF表示出BN的長，然后依據ADNGsaAFG表示出NG的長,

則BG,GH,HF都可以利用BF表示出來，則比值即可求解.

如圖1237,過點F作FM〃BC交AE于點M,設BC=6a,則BD=DE=EC=2a.

是AC的中點，

MF=-EC=a.

2

VFM//BC,

JABEH^AFMH.

HF_MF_a_1圖1-2-37

"BH-BE_4a~4

11

???HFHF=-BF.

45

過點D作DN〃AC交BF于點N,設AC=2b,貝(JAF=CF=b,

?.?DN〃AC,MBDNsz\BCF.

.BD_ND_BN_2a_1

"BC-CF~BF_6a~3,

iii

??.DN=-CF=-bBN=-BF.

33f3

VDN//AC,

ADNG^AAFG.

NGDN三bi

?,?左=赤=「3

???NG=-GF,BPNG=-NF=-(BF-BN')=-(BF--BF)=-BF.

3444\3/6

111

BG=-BF+-BF=-BF.

362

113

??.GH=BF—BG-HF=BF--BF--BF=—BF.

2510

131

???BG\GH\HF=-BF\—BF\-BF=5:3:2.

2105

例2⑴如圖1238①，在AABC中,AB>AC,點D,E分別在邊AB,AC上，且DE〃BC若4D=2,4E=|,則需的

值是_______.

⑵如圖②,在⑴的條件下，將AADE繞點A按逆時針方向旋轉一定的角度連接CE和BD,黑的值變化嗎？若

DL)

變化，請說明理由；若不變化，請求出不變的值.

⑶如圖③，在RtAABC中，LACB=90。，翳=*點M,N分別在邊AB,AC上，且MN〃BC,現將AAMN繞點A

按逆時針方向旋轉到AADE的位置，連接BD,CE,CD若/BAC=/ADC,MN=3,CD=6,請直接寫出線段BD的長度.

【簡析】(1)由DE〃BC,根據平行線分線段成比例即可求得需；

DL)

⑵由⑴可知黑=條由旋轉的性質可知/BAD/CAE,可得AABDs^ACE根據相似三角形的性質可得

AEAC

結論；

(3)由旋轉可知/BAC=NDAE,由已知NBAC=NADC,可得/EAD=/ADC,則AE〃DC,進而求得NEDC=90。,由

MN=ED可求得EC,根據(2)的結論即可求得BD.

.解：(1)-［解析］?DEBC,二-=

v74BDECBDAD

3

???A4Dc=2,CAAEL=一3"?一CE=—7=3

2BD24

⑵不變.

由⑴可知DE〃BC,

AADE^AABC.

ADAE日口4。AB

"AB~~4c間AE-AC

由旋轉的性質可知，NBAD=NCAE.

AD_AB

?AE-AC'

AAABD^AACE.

.CE_AE_3

"BD~AD~4

(3)BD=改,［解析］；MN〃BC,NACB=90。,

4

ZANM=90°.

由旋轉的性質可知,NAED=NANM=90O,ED=MN=3.

ZBAC=ZDAE,ZBAC=ZADC,

:.ZEAD=ZADC.

???AE〃CD.

???乙EDC=180°-2LAED=90°.

VDC=6,ED=3,

???在RtAEDC中，EC=y/ED2+DC2=3^5.

由⑵可知,需=可=、

???BO=-X3V5=—.

44

進階訓練

1.如圖1239,在AABC中,BC=2R,Mi分別是AB,AC邊的中點（圖①）,P2,MZ分別是AP?AMI的中點（圖

②）,P3,M3分別是AP2,AM2的中點（圖③）……按這樣的規律下去,P5M5的長為.

圖1239

2.如圖1240在四邊形ABCD中,AD〃BC,AB=DC=3,P是BC上的一點,PE〃AB交AC于點E,PF〃CD交

BD于點F.設PE,PF的長分別為m,n,x=m+n.那么當點P在邊BC上移動時，x的值是否變化?若變化，求出x的

取值范圍；若不變，求出x的值，并說明理由.

圖1-2-40

3.如圖1241,。是AABC的邊BC上一點，過點。的直線分別交射線AB線段AC于點M,N,且得心算=

n.

（1）翳=-（用含m的代數式表示），黑=_（用含n的代數式表示）；

⑵若0是線段BC的中點，求證:m+n=2;

⑶若R=k也片0）,求m,n之間的關系（用含k的代數式表示）.

圖1-2-41

4.如圖1242,在RtAABC中,/ABC=9(F,BC=2AB=12,D,E分別是邊BC,AC的中點，連接DE,將AEDC繞

點C按順時針方向旋轉，記旋轉角為a.

問題解決：

⑴①當a=0。時,喘=;

②當a=180°時,黑=_.

DD

⑵試判斷當0。Wa<360。<360。時，器的大小有無變化？請僅就圖②的情形給出證明.

DL）

問題再探：

⑶當AEDC旋轉至A,D,E三點共線時線段BD的長為,

5.⑴已知，點G,F,H,E分別在四邊形ABCD的四條邊上，目EFXGH.

①如圖1243①，若四邊形ABCD是正方形,EF=a，則GH=;

②如圖②，若四邊形ABCD是矩形,AB=m,BC=n,求普的值.

EF

⑵如圖③,四邊形ABCD中，點E.F分別在BC,CD上，且AELBF.若/BCD=9（T,AB=BC=10,AD=CD=5,求票的

值.

圖1-2-43

6.如圖1-2-44,AADE由AABC繞點A按逆時針方向旋轉90。得到，且點B的對應點D恰好落在BC的延

長線上，AD,EC相交于點P.

(1)求/BDE的度數.

(2)F是EC延長線上的點，且/CDF=NDAC.

①判斷DF和PF的數量關系，并證明；

圖1-2-44

類型四答案

進階訓練I

1.9解析］在AABC中,BC=2R,Mi分別是AB,AC的中點,P2,M2分別是AP1,AM1的中點,P3,M3分別是

16

AP2,AM2的中點，

可得：2M2白IX；,

M

故Pnn=￡T，

故P5%=;看

2.解:x的值不變,x=3.

理由如下：

：PE〃AB,

ACEP^ACAB.

PE_CP

"AB-BC

VPF/7CD,

???ABFP^ABDC.

.PF_BP

"DC-BC

..._P_E_i_,PF-_CP_i,__B_P

**ABDC~BCBC

TAB=DC,

_P_E_l,__P_F^3_C_P_I,__B_P

**ABAB-BCBC

.m+n_CP+BP

"AB~BC

m+nBCy

???--=—=1.

3BC

.,.m+n=3,即x的值不變,x=m+n=3.

3.解:⑴1-mn-l［解析］：AB=AM-BM,

ACABAC

AC=AAN+CN,—=m,——=n,

AMAN

ABAM-BM=y1---B-M-=m.

AMAMAM

AC_AN+CNy.CN

=14-----=n.

AN-ANAN

BMCNy

一=l——=n—1.

AM'AN

(2)證明:設AM=a,AN=b.

一AB=m,A一C=n,???A.B=am,AC=b7n.

AMAN

MB=MA-AB=a-am=(1-m)a,CN=AC-AN=bn-b=(n-l)b.

如圖①，過點B作BH〃AC交MN于H,

：.ZOBH=ZOCN.

VO是線段BC的中點??.OB=OC.

在△OBH與△OCN中,

ZOBH=乙OCN,

OB=0Cf

上BOH=乙CON,

：.AOBH^AOCN(ASA).

.*.BH=CN=(n-l)b.

BH//AN,JABMH^AAMN.

.BM_BH日口(1一m)。_(n-l)Z7

''AM~AN'Wa-b'

m+n=2.

(3)若—=/c(/c=/=0),設AM=c,AN=d，則AB=cm,AC=dn,MB=(1-m)c,CN=(n-1)d.

如圖②，過點B作BG〃AC交MN于G,

②

???ZOBG=ZOCN.

■:ZBOG=ZCON,

AAOBG^AOCN.

BGOB口門BG1

?..加=舒即至加=7

??.BG=-d.

k

???BG〃AN,

JAMBG^AMAN.

n-l,

...吧=竺,即(l-m)c=K

AMANfcd'

yn-l

1—m=——.

k

n=k-km+l.

4.解：⑴②爭解析］當a=0。時,

VBC=2AB=12,

AB=6.

AC=7AB2+BC2=V62+122=6V5

D,E分別是邊BC,AC的中點,

???BD=CD=^BC=6,AE=CE=^AC=375.

.AE_3V5_V5

??——.

BD62

故答案為當

②曰［解析］如圖①.當a=180。時,

?.?將AEDC繞點C按順時針方向旋轉,

；.CD=6,CE=3V5

AE=AC+CE=9V5,BD=BC+CD=18.

...些=/="故答案為：立.

BD1822

(2)當0°<a<360。<360。時熬的大小沒有變化.

DD

證明:如題圖②,???NECD二NACB,

JNECA二NDCB.

由⑴可知,由=n=當

AECA^ADCB.

.AE_EC_

"BD~CD~2'

(3)6V5噌［解析］如圖②,

②

易知NCDE=9(F,AC=6V5,CD=6,VA,D,E三點共線,ZADC=90°.

???AD=VXC2-CD2=J(6歸f-62=12=BC.

；AD=BC,AB=DC,

四邊形ABCD是平行四邊形.

ZABC=90°,

..?四邊形ABCD是矩形.

???BD=AC=6V5.

如圖③，

由(1)知”AC=6V5,CD=6,VCD±AD,

???AD=VXC2-CD2=12.

1

VDE=-AB=3,AAE=AD-DE=12-3=9.

2

由⑵可得竺=些,...4=竺”

-4'…B8。2'V55

2

綜上所述，BD=6愿或噌.

故答案為：6有噌.

5.解:⑴①a［解析］如圖①，過點G作GM_LCD于點M,過點E作ENLBC于點N,

???ZGMH=ZENF=90°,EN=AB,GM=BC.

??.四邊形ABCD是正方形，

???ZB=90°,AB=BC.

???GM=EN.

VEF±GH,ZB=90°,

JZBGH+ZBFE=180°.

ZBGM=90°,

???ZMGH+ZEFN=90°.

ZENF=90°,AZNEF+ZEFN=90°.

???ZMGH=ZNEF.

ZMGH=乙NEF,

在AMGH和ANEF中GM=EN,

"MH=(ENF,

：.AMGH^ANEF(ASA).

???GH=EF=a.

故答案為a.

②如圖②，過點G作GMLCD于點M,過點E作ENLBC于點N,

???EN=AB,GM=BC.

同⑴得NMGH=ZNEF.

ZGMH=ZENF,

FFFN

.,.△FEN^AHGM.

GHGM

GH_BC_n

EFABm"

⑵如圖③，過點A作GH〃BC,過點B作BG±GH于點G,延長CD交GH于點H,連接BD,則四邊形BCHG

為矩形.

AB=CB,

在4ABD和4CBD中AD=CD..[?△ABD之△CBD(SSS).