線段有關的動點

類型一：線段和差的最值

動點最值問題的基礎就是線段和差問題。線段和差問題是一個貫穿整個初中數學的問題,是一個難點問題.解決

這類問題，在于找出兩個“量”：一是定點，二是動點或不定點所在的定直線；進而利用“兩點之間線段最短”“垂線段

最短”“三角形的三邊關系”等幾何原理來求解；或者轉化為函數關系，利用函數最值來求解.其中“垂線段最短”和“兩

點間線段最短”是根本依據，“三點共線”“軸對稱”“旋轉”則是利用作圖來實現“垂線段最短”和“兩點間線段最短”的變

換方式；而通過函數表達式，進而利用函數最值來求線段和差的最大值或最小值，則是數形結合的體現.

【方法技巧】關于線段和差中的動點問題，我們從5個方面來學習.

（1）利用垂線段最短的性質解決最大（小）值的問題.

⑵利用三點共線的特征解決最大（小）值的問題.

（3）利用軸對稱變換解決最大（小）值的問題.

⑷利用旋轉變換解決最大（小）值的問題（旋轉章節會介紹）.

（5）利用二次函數的最值性質解決最大（小）值的問題.

本質是根據“兩點之間線段最短”，通過做軸對稱點求線段之和最小值；根據“兩點之間線段最短”，通過構造三

角形利用三角形三邊關系求運動中某一條線段最值；求最值的實質都是幾條線段共線時得到最大值或最小值。

1.常見類型

⑴已知：在直線1同側有A,B兩點，在1上找一點P,使得AP+PB最小.

?B

A?

-----------------------------------1

作法：如圖，作點A關于直線1的對稱點A1,連接A'B,與直線1的交點P就是所求的點.

⑵已知:在直線1同側有A,B兩點在1上找一點P,使得AP-PBI最小.

?B

A?

作法：如圖，連接AB，作線段AB的垂直平分線，與直線1的交點P就是所求的點.

⑶已知:在直線1同側有A.B兩點，在1上找一點P,使得|AP-PB|最大.

?B

Au

作法：如圖，連接BA并延長，與直線1的交點P就是所求的點.

⑷已知在直線1同側有AB兩點在1上找兩點CD(其中CD的長度固定等于所給線段d),使得AC+CD+DB

最小.

?B

A?

3------------------------------/

作法:如圖，先將點A向右平移a個單位長度到點AI使AA'=CD=a，作A關于直線1的對稱點A“，連接A"B,

與直線1的交點D就是所求的點.連接A'D,過點A作AC〃AD,交直線1于點C,則此時AC+CD+DB最小.

(5)已知:在/MON內有一點P,在邊ON,OM上分別找點Q,R,使得PQ+QR+RP最小.

作法:如圖，分別作點P關于射線ON,OM的對稱點P；P”,連接PP”與射線ON、OM的交點Q、R就是所求的

點

⑹已知在/MON內有一點P,在邊OM,ON上分別找點R,Q,使得PR+QR最小.

作法：如圖，作點P關于射線0M的對稱點P,作P'QXON,垂足為Q,P'Q與射線0M的交點R,與ON

的交點Q就是所求的點.

⑺已知:在/MON內有兩點P,Q,在邊OM,ON上分別找點R,S.使得PR+RS+SQ最小.

作法：如圖，作點P關于射線OM的對稱點P,作點Q關于射線ON的對稱點Q1,連接PQ,與射線OM,

ON的交點R、S就是所求的點.

(8)其他非基本圖形類線段和差最值問題.

①求線段的最大值與最小值需要將該條線段轉化到一個三角形中，在該三角形中，其他兩邊是已知的，則所求

線段的最大值為其他兩線段之和，最小值為其他兩線段之差.

②在轉化較難進行時需要借助于三角形的中位線及直角三角形斜邊上的中線.

③線段之和的問題往往是將各條線段串聯起來，再連接首尾端點，根據兩點之間線段最短以及點到線的距離垂

線段最短的基本依據解決長

典例精析

【典型題1】★★如圖，在RtAABC中2BAC=90o,AB=3,AC=4,P為BC邊上一動點PE_LAB于點E,PF±AC

于點F,點M為EF的中點，則線段AM的最小值為.

【思路分析】利用垂線段最短求線段最小值.易證四邊形AEPF是矩形，連接AP,由矩形的性質可知，AP經

過點M,AM=^EF=所以當AP±BC時,AP的最小值=筆=”，AM的最小值：=[x?=*

zZDC5，55

【典型題2】★★如圖在口ABCD中,AD=7,AB=2V3,ZB=60°.E是邊BC上任意一點，沿AE剪開，將AABE沿

BC方向平移到ADCF的位置，得到四邊形AEFD,則四邊形AEFD周長的最小值為.

AD

BECF

【思路分析】從結論入手分析，四邊形AEFD的周長等于2AD+2AE,AD長度固定,只有讓AE取最小值，因此

當AE±BC時，四邊形AEFD的周長最小，利用直角三角形的性質解答即可.

【答案解析】解：當AEXBC時，四邊形AEFD的周長最小.

???AE1BC,AB=2V3,4B=60AE=3,BE=V3,VAABE沿BC方向平移到ADCF的位置,二

EF=BC=AD=7,...四邊形AEFD周長的最小值為:14+6=20,故答案為20.

【規律總結】線段之和的問題往往是將各條線段串聯起來，再連接首尾端點，根據兩點之間線段最短以及點到

線的距離垂線段最短的基本依據解決.

【典型題3】★★如圖，已知直線RIHli、k之間的距離為8,點P到直線11的距離為6,點Q到直線L的距離

為4,PQ-在直線11上有一動點A,直線L上有一動點B,滿足AB_L12」且PA+AB+BQ最小，此時PA

【思路分析】從題目條件入手分析，進行PA和BQ的等量代換.作PEA】于E交12于F,在PF上截取PC=8,連

接QC交％于B,作BA，。于A,此時PA+AB+BQ最短作QDXPF于D.首先證明四邊形ABCP是平行四邊

形,PA+BQ=CB+BQ=QC利用勾股定理即可解決問題.

【答案解析】解:作PEL】于E交b于F,在PF上截取PC=8,連接QC交L于B,作BAL1于A.此時PA+AB

+BQ最短作QDXPFTD.

在RtAPQD中,：ZD=90°,PQ=4V30PD=18,DQ=JPQ2-PD2.

'：AB=PC=8,AB//PC,.,.四邊形ABCP是平行四邊形,，PA=BC,PA+BQ=CB+BQ=QC=

y/DQ2+CD2yjPQ2+CD2-PD2=J(4同J+102-182=16.

【典型題4]★★如圖，在等邊三角形ABC中,BC邊上的高AD=6,E是高AD上的一個動點，F是邊AB上

的中點，在點E運動的過程中，存在EB+EF的最小值，則這個最小值是.

BDC

【思路分析】此題先從結論入手分析，明顯不能直接得出EB+EF的最小值，因此需要將其中1條或者2條線

段等量轉化為其他線段.再從題目條件分析，顯然B和C關于AD對稱，連接CE,此時求EB+EF的最小值就

轉化為求EC+EF的最小值,故當點E為FC與AD的交點時（即當F、E、C三點共線時）,EC+EF的最小值為

FC,所求問題可解.

【答案解析】如圖，連接CF.

BDC

?.?等邊AABC中,AD是BC邊上的中線,，AD是BC邊上的高線,即AD垂直平分BC,；.EB=EC,當B、F、E

三點共線時,EF+EC=EF+BE=CF,Y等邊AABC中,F是AB邊的中點,，AD=CF=6,：.EF+BE的最小值為6.

【典型題5】★★★如圖.在正方形ABCD中.E,F分別為AD,BC的中點,P為對角線BD上的一個動點，則下

列線段的長等于AP+EP最小值的是（）

_￡

FC

B.DEC.BDD.AF

【思路分析】從結論入手分析，明顯不能直接得出AP+EP的最小值，因此需要將其中1條或者2條線段等量

轉化為其他線段.再從題目條件分析點E關于BD的對稱點E，在線段CD上，可得E為CD中點，連接AE；它與BD

的交點即為點P,PA+PE的最小值就是線段AE的長度洞理，也可取A關于BD的對稱點C,連接EC即可）.

【答案解析】過點E作關于BD的對稱點E,連接AE,交BD于點P,PA+PE的最小值AE.

VE為AD的中點為CD的中點,；四邊形ABCD是正方形,二易證AABF咨AADE,；.AE=AF.故選D.

AE_r>

BF

【規律總結】利用軸對稱解決最短路線問題.

【典型題6】★★★如圖,R3ABC中,NBAC=9（T,AB=3,AC=6或點D,E分別是，邊BC,AC上的動點則DA

+DE的最小值為

【思路分析】從結論入手分析，明顯不能直接得出DA+DE的最小值，因此需要將其中1條或者2條線段等量

轉化為其他線段.再從題目條件分析，如下圖，作A關于BC的對稱點A；連接AA：交BC于F,過A作A1E±AC于

點E,交BC于點D,則AD=AD,此時AD+DE的值最小，就是A'E的長.

%

【答案解析】解作A關于BC的對稱點A；連接AA:交BC于F,過A作A'E±AC于E,交BC于D,則AD=AD,

此時AD+DE的值最小，就是A'E的長；

2

RtAABC中,NBAC=90°,AB=3,AC=6a,：.BC=Js+（6&）?=9,SABC=^AB-AC=?AF,???3X

6V2=9AF.AF=2vx.?.AA'=2AF=4V2,v^A'FD=乙DEC=90°,ZA'DF=ZCDE,.\ZA'=ZC,

ZAEA'=ZBAC=90。,；.AAEA'sBAC,：.—==華,A'E=—,即AD+DE的最小值是—

BCAC96V233

【典型題7】★★★如圖，在AABC中,AB=2,/ABC=6（T,NACB=45O,D是BC的中點，直線1經過點D,AE，

1,BFL,垂足分別為E,F,則AE+BF的最大值為.

【思路分析】此題先從結論入手分析，明顯不能直接得出AE+BF的最大值，因此需要將其中1條或者2條線

段等量轉化為其他線段.再從題目條件分析，做如下圖的輔助線，將BF轉化為CK,延長AE,過點C作CNXAE于

點N,可得AE+BF=AE+CK=AE+EN=AN,止匕時求AE+BF的最大值就轉化為求AN的最大值.

【答案解析】解：如圖，過點C作CKL于點K,過點A作AHLBC于點H,

在RtAAHB中，

,//ABC=60。,AB=2,；.BH=1,AH=百，在RtAAHC中，ZACB=45°,.\AC=yjAH2+CH2=

J(V3)2+(V3)2=V6,

:點D為BC中點,；.BD=CD,

在ABFD與ACKD中.

ZBFD=/.CKD=90°,

乙BDF=4CDK,

BD=CD

：.ABFD^ACKD(AAS),BF=CK,

延長AE,過點C作CN±AE于點N,可得AE+BF=AE+CK=AE+EN=AN,

在RtAACN中,AN<AC,當直線1J_AC時，最大值為限

綜上所述，AE+BF的最大值為V6

【規律總結】求線段的最大值與最小值需要將該條線段轉化到一個三角形中，在該三角形中，其他兩邊是已知

的，則所求線段的最大值為其他兩線段之和，最小值為其他兩線段之差.

【典型題8】★★如圖，點P是/AOB內任意一點,OP=5cm,點M和點N分別是射線OA和射線OB上的動點，

△PMN周長的最小值是5cm,則/AOB的度數是().

【思路分析】此題從題目條件入手分析，抓住2PMN周長的最小值”，MN不變，需要將PN和OM根據對

稱軸性質進行等量代換.分別作點P關于OA、OB的對稱點C、D，連接CD,分別交OA、OB于點M、N,連接OC、

OD、PM、PN、MN,由對稱的性質得出PM=CM,OP=OC,ZCOA=/POA;PN=DN,OP=OD,/DOB=/POB,得出

^AOB=|ZCOD,TiEttiAOCD是等邊三角形狷出/COD=60。,即可得出結果.

【答案解析】解:分別作點P關于OA、OB的對稱點C、D,連接CD,

分別交OA、OB于點M、N,連接OC、OD、PM、PN、MN,如圖所示:

丁點P關于OB的對稱點為C,關于OA的對稱點為D,；.PM=CM,OP=OC,NCOA=/POA;：點P關于OB

的對稱點為D,，PN=DN,OP=OD,/DOB=ZPOB,.*.OC=OP=OD/AOB=[NC。。,???PMN周長的最小值是5cm,

PM+PN+MN=5,CM+DN+MN=5,即CD=5=OP,OC=OD=CD,即ZkOCD是等邊三角形.ZCOD=60°,Z

AOB=30°.

【典型題9】、★★★如圖，正方形ABCD的邊長為4,E在CD上,DE=1,點M,N在BC上，且MN=2,求四

邊形AMNE周長的最小值.

【思路分析】四邊形AMNE的邊長AE和MN是定值，于是轉化為求AM+EN的最小值.

【答案解析】如圖，在AD上取一點A1使得AA，=MN=2,作A關于BC的對稱點A",連接A”E交BC于N.

四邊形AMNE的周長=AM+MN+EN+AE,其中MN=2,AE=y/AD2+DE2=V17,AM+EN=A'N+EN=

A'N+EN=AEE為AM+EN的最小值，A"E=A/72+22=宿,四邊形AMNE的周長的最小值為V53+2+

V17.

【規律總結】求四邊形周長的最值，或者求三條線段和的最值，兩動點間距離一定，另兩點為定點，將兩動點

進行平移，再作一定點的對稱點，將問題轉化成兩線段和的問題，然后求解.

【典型題10]★★★如圖，矩形ABCD中,AB=3,BC=4,E為直線BC上一點

⑴如圖①，當E在線段BC上且DE=AD時，求BE的長

⑵如圖②，當E為BC邊延長線上一點，且BD=BE時，連接DE,M為DE的中點，連接AM,CM.求證:AM，CM;

圖①圖②

（3）如圖③，在⑵的條件下，點P,Q為AD邊上的兩個動點，且PQ=接連接PB,MQ,則四邊形PBMQ周長的最

小值為.

圖③

【思路分析】（3）四邊形PBMQ的邊長PQ和MB是定值，于是轉化為求PB+QM的最小值.

【答案解析】(1)DE=AD,ABCD為矩形,AD=BC=4=DE,DC=AB=3,

在RtADCE中，CE=<DE2-DC2=V7,BE=4一巾;

⑵如圖，連接BM.

VBD=BE,M為DE的中點ADBE為等腰三角形,.,.BM_LDE,；.ZBMD=90°,

易證AADM名△BCM（SAS）（這里略去證明過程）；.NAMD=/BMC,

ZAMD+ZAMB=/BMC+/AMB=NBMD=90。,；.AM_LCM.

(3)四邊形PBMQ的周長=PB+BM+MQ+PQ,PQ=j,MB=字(此處略去求解過程).PBMQ的周長最小

時,PB+QM值最小.

如圖，作MN〃PQ,且MN=PQ作點B關于AD對稱點B：連接B'N交于AD于P.

則PN=QM,PB'=PB,PB+QM=PB'+PN>B'N=等此處略去求解過程）.

四邊形PBMQ周長的最小值為1+?+蜉.

【典型題II】★★★如圖，菱形ABCD的邊長為l,NABC=60。,點E是邊AB上任意一點（端點除外），線段CE

的垂直平分線交BD,CE分別于點F,G,AE,EF的中點分別為M,N.

⑴求證:AF=EF;

⑵求MN+NG的最小值；

⑶當點E在AB上運動時,NCEF的大小是否變化？為什么?

【思路分析】(1)連接CF,可得CF=EF,又由菱形的對稱性可得和CF=AF,通過等量代換即可證明AF=EF.

⑵要求出MN+NG的最小值，根據題目條件，MN和NG均為三角形中位線，因此等量代換為求AF+CF的最

小值.連接CF.當A、F、C三點共線時，AF+CF有最小值.

(3)ZCEF不變.這道題有多種思路解法.

解法1“延長EF,交DC于H”,利用外角的性質推導證明.

解法2：AFGE為直角三角形，點N為EF中點,.?.GN=FN=EN.

VAF=CF=EF,N為EF中點,MN=GN=FN=EN,.\F、M、E、G四點在以N為圓心、EF為直徑的圓上.

,/圓周角ZEFG和/GME對著同一條圓弧,ZEFG=ZGME.

又可得出ZGME=ZCAB=60°,ZEFG=60°,NCEF=NFGE-NEFG=90。-60。=30。(為定值).

【答案解析】⑴如圖連接CF.

DC

,/FG垂直平分CE,.\CF=EF,：四邊形ABCD為菱形,.?.點A和點C關于對角線BD對稱,CF=AF,

AF=EF;

(2)如圖，連接AC、CF.

VM和N分別是AE和EF的中點，點G為CE中點，:MN=^AF,NG=[CF,即MN+NG=^AF+CF),

當點F與菱形ABCD對角線交點O重合時,AF+CF最小，即此時MN+NG最小,?菱形ABCD邊長為1,ZABC

=60。,...△ABC為等邊三角形,AC=AB=1,即MN+NG的最小值為

⑶不變，理由是:延長EF,交DC于H.

ZCFH=ZFCE+ZFEC,ZAFH=ZFAE+ZFEA,.\/AFC=/FCE+/FEC+/FAE+NFEA,：點F在

菱形ABCD對角線BD上，根據菱形的對稱性可得：ZAFD=ZCFD=|zAFC,?/AF=CF=EF,ZFAE=ZFEA,Z

FEC=ZFCE,.\/AFD=/FAE+ZABF=ZFAE+ZCEF,/.ZABF=ZCEF,V/ABC=60°,；.ZABF=Z

CEF=30。為定值.

【說明】本節重點是本題第(1)(2)小題，第(3)小題的外接圓后面會繼續介紹.

【典型題12]★★★★如圖,正方形ABCD的邊長為6,M為AB的中點,AMBE為等邊三角形，過點E作ME

的垂線分別與邊AD、BC相交于點F、G,點P、Q分別在線段EF、BC上運動，目滿足/PMQ=60。,連接PQ.

(1)求證:AMEP^AMBQ.

(2)當點Q在線段GC上時,試判斷PF+GQ的值是否變化？如果不變，求出這個值，如果變化，請說明理由.

⑶設/QMB=o^B關于QM的對稱點為B；若點B落在AMPQ的內部，試寫出a的范圍，并說明理由.

【思路分析】(2)PF和GQ不在同一條線段上，但是PF在線段FG上，通過作輔助線求得FG,再利用第(1)

小題結論,AMEP三AMBQ,可得PE=BG+GQ,使得PF和GQ“取得聯系”，再作輔助線將BG轉換成FD上的線段

GE.

⑶點B關于QM的對稱點為B1尋求B的邊界點，依題意畫出示意圖，按照B，落在PQ上時和當點B，落在MP

上時分別求解，得出a的范圍.

【答案解析】證明：(1)：正方形ABCD的邊長為6,M為AB的中點，

ZA=ZABC=90°,AB=BC=6,

AM=BM=3,VAMBE是等邊三角形，

/.MB=ME=BE,ZBME=ZPMQ=60°,

/.ZBMQ=ZPME,

又：ZABC=ZMEP=90°,

AMBQ=AMEP(ASA).

⑵PF+GQ的值不變，理由如下:如圖，連接MG,過點F作FHLBC于H,

,.?ME=MB,MG=MG,

RtAMBG=RtAMEG(HL),

.*.BG=GE,ZBMG=ZEMG=30°,

NBG"NEGM—器*,BG=b,

ZBGM=ZEGM=60°,GE=V3

ZFGH=60°,

???FH=CD=6,

.，廠「口FH^36

???smZ.FGH=——=—=——，

FG2FG

：.FG=4V3,VAMBQaAMEP,

BQ=PE,???PE=BQ=BG+GQ,

FG=EG+PE+FP=EG+BG+GQ+PF=2V3+GQ+PF,.??GQ+PF=2A/3.

⑶如圖.當點B落在PQ上時,

△MBQ烏△MEP,

MQ=MP,：ZQMP=60°,

AMPQ是等邊三角形，當點B，落在PQ上時.點B關于QM的對稱點為B；

AMBQaAMB'Q,

/.ZMBQ=ZMB'Q=90°

/.ZQME=30°.

點B與點E重合，點Q與點G重合,

“MB=乙QMB'=a=30°.

如圖，當點B落在MP上時,

AF,D

M

B/GQC

同理可求："MB=4QMB'=a=60°,

.?.當30。＜”60。時點B落在AMPQ的內部.

類型二：線段的最值

典例精析

【典型題1】★★如圖，在RtAAOB中QB=2V3,ZA=30°,OO的半徑為1,點P是AB邊上的動點，過點P作

?0的一條切線PQ（其中點Q為切點），則線段PQ長度的最小值為

【思路分析】PQ=70P2-1,根據垂線段最短得到當OPLAB時,0P最小.

【答案解析】如圖，連接OP、OQ作OP」AB于P,

???PQ是。O的切線,???OQLPQ,

PQ=[OP?_0Q2=70P2_i,

當OP最小時，線段PQ長度最小,

當OPLAB時,OP最小，

在RtAAOB中,NA=30°,

0B/

OCAA=---=6,

tan/

在R3AOP，中,NA=30。，

1

???OP'=-0A=3,

2

二?線段PQ長度的最小值=V32-1=2V2.

【典型題2】★★★如圖.在=ABCD中,/B=6(F,AB=10,BC=8點E為邊AB上的一個動點，連接ED并延長

至點F,使得DF=：DE以EC、EF為鄰邊構造口EFGC,連接EG則EG的最小值為_______.

4

【思路分析】利用垂線段最短求最值.如解析中圖，EG的最小值即EP的最小值，當EPXCD時,EP取得最

小值.

【答案解析】解:如圖，作CHXAB于點H,EG與CD交于點P.

?.?在口ABCD中,NB=6(T,BC=8,

CH=4V3.

四邊形ECGF是平行四邊形，

；.EF〃CG,

AEPDAGPC,—=—=

GPPCGC

CLDE4ED4

DF=-DE,???—=一，，一=

4EF5GC5

當EP取得最小值時，EG即可取得最小值,

當EPXCD時,EP取得最小值,

CH=EP,,-.EP=4V3,GP=5V3,

:.EG的最小值是9V3

【典型題3】★★★如圖，已知直線丫=-舊久+4與x、y軸交于A、B兩點,。O的半徑為1,P為AB上一動

點,PQ切。。于Q點.當線段PQ長取最小值時，直線PQ交y軸于M點，a為過點M的一條直線，則點P到

直線a的距離的最大值為.

【思路分析】當OP最小時PQ長取最小值，此時OPLAB，若使點P到直線a的距離最大，則最大值為PM,

且M位于x軸下方.

【答案解析】解：如圖，

在直線y——V3x+4_b,x=0時,y=4,當y=0時，x=——,???OB=4,OA=——■tanZ-OBA=一=一,/.Z,OBA=

330B3

30。，由PQ切。O于Q點可知:OQ，PQ,PQ=^OP2-OQ2,

當OP最小時PQ長取最小值，止匕時OP1AB,：.OP=^OB=2,

止匕時PQ=V22-I2=?BP=V42-22=2V3,OQ=^OP,即NOPQ=30。，

若使點P到直線a的距離最大，則最大值為PM,且M位于x軸下方,

過點P作PELy軸于點E,

EP=\BP=V3,

BE=J(2V3)2-(V3)2=3,

.?.OE=4-3=1,

VOE=|OP,.\ZOPE=30°,

.-.乙EPM=30°+30°=60°,

即ZEMP=30°,PM=2EP=2V3

【典型題4]★★★如圖，邊長為6的等邊AABC，點E是對稱軸AD上的一個動點，連接EC,將線段EC繞

點C逆時針旋轉60。得到FC,連接DF,則在點E的運動過程中，求DF的最小值

4

B5K~/^C

F

【思路分析】本題采用兩種方法，相同之處是構造全等三角形，將DF轉化為另一條線段.其本質是利用垂線段

最短求最值.

【答案解析】方法1：取AC的中點F1,連接EF.

易證AFCE絲4DCF（這里略去證明過程）,F,E=DF,

,/F'EBAADC的中位線時FE最小，

.?.當FE〃BC時,FE最小，此時FE=|

方法2:連接BF,易證AAEC絲ABFC（這里略去證明過程）,

ZCBF=ZDAC=30°,

作DHJ_BF于點H,由垂線段最短DFNDH,

ADF的最小值=DH=^BD=1-BC=1

242

【典型題5】★★★如圖,/ACB=9（F,BC=8,AC=6j^P為AC上一動點，連接BP,CM，BP于點M,求AM的最

小值.

Bi

\M\

【思路分析】已知直角三角形斜邊中點，可以考慮構造斜邊中線（見輔助線章節）.因此連接直角三角形斜邊中線

求最值.取BC的中點。，則MO,A0為定值.其本質是利用三角形的三邊關系求最值.

【答案解析】解：如圖，取CB中點O,連接AO,MO.

,--AM+MO>AO,

AM>2V13-4,

.,.AM的最小值為一4.

【典型題6】如圖，在矩形ABCD中,AB=4,BC=3,E,F分別為AB,CD邊的中點動點P從點E出發沿EA向

點A運動，同時，動點Q從點F出發沿FC向點C運動，連接PQ,過點B作BH_LPQ于點H,連接DH.若點P的

速度是點Q速度的2倍，在點P從點E運動至點A的過程中，線段PQ長度的最大值為線段DH

長度的最小值為.

【思路分析】連接EF交PQ于M,連接BM取BM的中點O,連接OHQD,過點O作ONLCD于N.當點P與

A重合時,PQ的值最大；要求線段DH的最小值，將DH放在AODH中，利用三角形的三邊關系求最值.求出OD,

OH即可解決問題.

【答案解析】解:連接EF交PQ于M,連接BM,取BM的中點O,連接OHQD.過點。作ONLCD于N.

,/四邊形ABCD是矩形,DF=CF,AE=EB,...四邊形ADFE是矩形,EF=AD=3,

FQ//PE,ZkMFQs△MEP,MF=FPPE,

".,PE=2FQ,.\EM=2MF,

.*.EM=2,FM=1,

當點P與A重合時，PQ的值最大，此時

PM=>JAE2+ME2=V22+22=2&,

MQ=y/FQ2+MF2=Vl2+l2=V2,

PQ=3V2,

MF〃ON〃BC,MO=OB,

；.FN=CN=1,DN=DF+FN=3,ON=|(FM+BC)=2,

：.OD=y/DN2+ON2=V32+22=V13,

VBH±PQ,.\ZBHM=90°,

VOM=OB,

OH=-BM=ixV22+22=V2,

22

VDH>OD-OH,.*.DH>V13-V2

ADH的最小值為V13-V2.

【典型題7】★★★如圖，在矩形ABCD中,AB=4,AD=6,E是AB邊的中點,F是線段BC上的動點，將AEBF沿

EF所在直線折疊得到AEBF連接BD,則BD的最小值是（）.

C.2V13-2D.4

【思路分析】當/BFE=NDEF,點B，在DE上時，此時BD的值最小，根據勾股定理求出DE,根據折疊的性質

可知B'E=BE=2,DE-B'E即為所求.

【答案解析】解:如圖，當NBFE=/DEF,點B在DE上時,此時BD的值最小.

根據折疊的性質,AEBF0AEB'F,

.?.FB'±ED,.\EB'=EB,

：E是AB邊的中點,AB=4,

AE=EB'=2,

???AD=6,：.DE=V62+22=2”U,

DB'=2V10-2.

【規律總結】翻折變換，兩點之間線段最短的綜合運用，確定點B，在何位置時，BD的值最小，是解決問題的

關鍵.

【典型題8】★★★如圖,AABC是等邊三角形,AB=4,E是AC的中點,D是直線BC上一動點，線段ED繞

點E逆時針旋轉90。，得到線段EF,當點D運動時，求AF的最小值.

【思路分析】構造全等三角形，設未知數，根據勾股定理列方程，利用二次函數性質求最值.注意D是直線BC

上的動點.

【答案解析】如圖，作DM_LAC于M,FN_LAC于N.設DM=x.

在ACDM中，CM=日。用=?居則EM=2-yx.

?易證AEDM0△FEN（證明過程略）,

??.DM=EN=x,EM=NF=2——x,AN=2+x.

在RtAAFN中,AF2=（2-yx）+（2+x）2=+萼）+4+2V3,

此時.A戶沒有最小值.

當D在BC的延長線上時，設DM=EN=y,

EM=2+Ry,EN=2-y.（此時可理解為y=-x）

22

.?.在RtAAFN中，AF2=（2+乎%）+（2-y）2=^（y-等）+4+2b，當y=時小產有最小值4+

2V3,AF的最小值=V4+2V3=V3+1.

【規律總結】設未知數，根據題目條件列方程，利用二次函數性質求最值.此方法在第三部分會重點講解，是解

壓軸題的基本方法.

【典型題9】★★★如圖,圓柱形玻璃杯高為14cm,底面周長為32cm,在杯內壁離杯底5cm的點B處有一

滴蜂蜜，此時一只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿3cm與蜂蜜相對的點A處，則螞蟻從外壁A處到內壁B處的最

短距離為cm（杯壁厚度不計）.

【思路分析】平面展開——最短路徑問題.將圓柱體側面展開，過B作BQLEF于Q,作A關于EH的對稱點

A：連接AB交EH于P,連接AP,則AP+PB就是螞蟻到達蜂蜜的最短距離，求出AQ,BQ,根據勾股定理求出AB

即可.

【答案解析】解：如圖，沿過A的圓柱形的高剪開，得到矩形EFGH過B作BQXEF于Q,作