專題17全等三角形模型之奔馳模型

對于奔馳模型我們主要是可以通過一些幾何變化，把其中的線段進行轉移，以達到聚合條件，推出我

們想要的結論的目的。對于幾何變化，目前學過的主要有：軸對稱，平移，旋轉，位似等。對于“奔馳模型”

我們主要采用旋轉的方法進行變換。對于旋轉處理，我們主要分為：旋轉全等，旋轉相似。今天的這主要

講“奔馳模型”之旋轉全等類型。

大家在掌握幾何模型時，多數同學會注重模型結論，而忽視幾何模型的證明思路及方法，導致本末倒

置。要知道數學題目的考察不是一成不變的，學數學更不能死記硬背，要在理解的基礎之上再記憶，這樣

才能做到對于所學知識的靈活運用，并且更多時候能夠啟發我們解決問題的關鍵就是基于已有知識、方法

的思路的適當延伸、拓展，所以學生在學習幾何模型要能夠做到的就是：①認識幾何模型并能夠從題目中

提煉識別幾何模型；②記住結論，但更為關鍵的是記住證明思路及方法；③明白模型中常見的易錯點，因

為多數題目考察的方面均源自于易錯點。當然，以上三點均屬于基礎要求，因為題目的多變性，若想在幾

何學習中突出，還需做到的是，在平時的學習過程中通過大題量的訓練，深刻認識幾何模型，認真理解每

一個題型，做到活學活用！

目錄導航

例題講模型

模型1.奔馳模型1（點在等邊三角形內）...............................................2

模型2.奔馳模型2（點在等腰直角三角形內）..........................................7

模型3.奔馳模型3（點在三角形外-雞爪模型）.........................................13

習題練模型一

.........................................................................................................................................18

例題講模型］

模型1.奔馳模型1（點在等邊三角形內）

模型解讀

此模型通常會和旋轉一起來考查，還會綜合勾股定理的知識來解題。為什么和旋轉-起考查，因為旋轉的特

征是:共頂點等線段。等邊三角形，三邊相等，每一個頂點出發都有兩個相等線段，都符合共頂點等線段。

等邊三角形三個頂點都可以作為旋轉中心（如上圖的旋轉）。

條件：如圖，已知正三角形內有一點P,^SzP^+PB-=PC-（?？紨祿築P=3,AP=4,CP=5）,

結論：NAP8=150。。（注意該模型條件結論互換后依舊可以證明）

AA

常用結論等邊三角形的面積公式：5.「=心乂32（選填題非常適用）

△AoC4

模型證明

證明：以AP為邊向左側作等邊三角形APP,連接PC。

?.?三角形ABC和三角形/尸產都為等邊三角形；：.AB^AC,AP=AP'=PP',ZBAC=ZPAP=ZPP'A=60°；

,,

：.ZBAC-ZPAC=ZR4P-ZR\C,：.ZBAP=ZPAC,：.^ABP=^ACP\SASy：.BP=CP',NAPB=/AP'C；

,：PA2+PB-=PC1,；.PP-+PC2=PC',/./PP'C=90°,

：./4P'C=NPP'C+/PP'4=150°；：.ZAPB=150%

模型運用

注意：多線段共端點?？夹D。

例1.（23-24八年級下廣東深圳?期中）如圖，點P是等邊三角形ABC內的一點，且PA=2,BB=1.5,PC=2.5,

則/APB的度數為0.

A

【答案】150

【分析】將繞點2逆時針旋轉60。后得到的首先證明AP3C絲AEBA,推出PB=￡B,

ZEBP=ZABC=60°,所以VBPQ為等邊三角形，得NBQP=60°,可得PE=PB=1.5,ZEPB=60°,

AE=PC=2.5,PA=2,即可得到VAPE為直角三角形，則NAPE=90。，所以N4P8=90。+60。=150。；由此

即可解決問題.

【詳解】解：如圖，將ABPC繞點8逆時針旋轉60。后得到的43瓦L.

:.APBC'EBA,：.PB=EB,ZEBP=ZABC=60°,

：.APBE為等邊三角形，:.PE=PB=15,NEPB=60°,

VAE^PC=2.5,PA=2,：.PE5+AP2=AE2,，VAPE為直角三角形，

ZAPE=90°,：.ZAPS=90°+60°=150°；故答案為：150.

【點睛】本題考查旋轉的性質、等邊三角形的判定和性質、勾股定理的逆定理等知識，解題的關鍵是勾股

定理逆定理的應用，屬于中考?？碱}型.

例2.（2022?湖南?中考真題）如圖，點。是等邊三角形A3C內一點，OA=2,OB=1,OC=百，則AAOB

與ABOC的面積之和為（）

【答案】C

【分析】將AAO3繞點2順時針旋轉60。得ABCD,連接O。，得到ABOD是等邊三角形，再利用勾股定理

的逆定理可得/COD=90。，從而求解.

【詳解】解：將AAC?繞點8順時針旋轉60。得ABCD,連接0。，

4

:.OB=OD,400=60。，CD=OA=2,..ABOD是等邊三角形，:.OD=OB=1,

?：OD2+OC2=12+(V3)2=4,CD2=22=4,:.OD2+OC2=CD2,:.ZDOC=90°,

.?.AAO3與ABOC的面積之和為SBOC+SBC?=SBOD+SCOD=*xF+Lxlx^=圭叵.故選：C.

△oC/C△2>C￡z^tSUL)△CC/ZJ42,4

【點睛】本題主要考查了等邊三角形的判定與性質，勾股定理的逆定理，旋轉的性質等知識，利用旋轉將

AAOB與NB0C的面積之和轉化為S.BOC+S、BCD,是解題的關鍵.

例3.(2024.重慶沙坪壩.模擬預測)如圖，VABC,ACDE都是等邊三角形，將ACDE繞點C旋轉，使得點

A,D,E在同一直線上，連接BE.若BE=2,AE=7,則CO的長是.

【答案】5

【分析】本題主要考查等邊三角形的性質，旋轉的性質，全等三角形的判定和性質，熟練掌握性質定理是

解題的關鍵.根據題意證明氯方￡之ACW(SAS),即可求解.

【詳解】解：VABC,ACDE都是等邊三角形，.?.3C=AC,CE=r)C,ZACB=ZDCE=60°,

ZACD+ZDCB=ZACB=60°,ZDCB+NBCE=ZDCE=60°,/.ZACD=NBCE,

BC=AC

在ACBE和△C4D中，</BCE=ZACD,/.△CBE^AC4D(SAS),.,BE=AD,

CE=DC

■:BE=2,AE=7,:.BE=AD=2,DE=AE—AD=7—2=5,CD=5.故答案為：5.

例4.（2024?安徽?一模）如圖，P是等邊三角形ABC內的一點，且口=3,尸3=4,PC=5,以為邊在AABC

外作△BQC/ABPA,連接PQ,則以下結論中不正確的是（）

A.ZPBQ=60°B.ZPQC=90°C.ZAPC=120°D.ZAPB=150°

【答案】C

【分析】根據AABC是等邊三角形，Wt±SZABC=60°,m^BQC^ABPA,得出PB=QB=4,

PA=QC=3,ZBPA=ZBQC,求出/尸8。=60。，即可判斷A；根據勾股定理的逆定理即可判斷B；根據ABP。

是等邊三角形，MC。是直角三角形即可判斷D；求出NAPC=15C）o-NQPC,和PCr2QC,可得/。產小30。，

即可判斷C.

【詳解】解：:△ABC是等邊三角形，.?.NABC=60。，

V/\BQC^/\BPA,：.ZCBQ=ZABP,PB=QB=4,PA=QC=3,ZBPA=ZBQC,

：.ZPBQ=ZPBC+ZCBQ=ZPBC+ZABP=ZABC=60°,所以A正確，不符合題意；

PQ=PB=4,PQ2+QC2=42+32=25,PC2=52=25,J.PQ^QC^PC2,

.../PQC=90。，所以B正確，不符合題意；

;PB=QB=4,ZPBQ=60°,；.ABP。是等邊三角形，AZBPQ=60°,

：.ZAPB=ZBQC=ZBQP+ZPQC=6Q°+90°=150°,所以D正確，不符合題意；

ZAPC=360°-150°-60°-ZQPC=150°-ZQPC,；PC=5,QC=PA=?>,：.PC^2QC,

,/ZPQC=90°,：.ZQPC^30°,：.ZAPC^UO0.所以C不正確，符合題意.故選：C.

【點睛】本題是三角形綜合題，考查了全等三角形的性質、等邊三角形的性質、勾股定理的逆定理，解決

本題的關鍵是綜合應用以上知識.

例5.（24-25九年級上?廣東廣州?開學考試）如圖，。是正VABC內一點，OA=3,OB=4,OC=5,將線

段BO以點B為旋轉中心逆時針旋轉60。得到線段8。，下列結論，①△BO'A可以由ABOC繞點B逆時針旋

轉60。得到；②點。與。'的距離為5；③NAO3=150。；④四邊形AO8OC面積=6+4括；⑤

SAAG+SAAOB=6+；G，其中正確的結論是（）

A.①④⑤B.①③④C.①③④⑤D.①③⑤

【答案】C

【分析】根據正二角形性質，得AB=BC=AC,NABC=60°；根據旋轉的性質，得NO8O=60。，BO=BO',

根據等邊三角形的性質，可判斷②，通過證明△3OA四△BOC,即可判斷①；根據勾股定理逆定理，得

NAOO'=90。，結合等邊三角形△030，，可判斷③；根據等腰三角形三線合一和勾股定理的性質，可計算

得從而判斷④；VAO3繞點A逆時針旋轉60。得到AAMC,根據等腰三角形、勾股定理及其逆定理

的性質計算，可判斷⑤，即可得到答案.

【詳解】解：連接OO',如下圖：：正VABC：.AB^BC=AC,ZABC=60°

?..線段8。以點8為旋轉中心逆時針旋轉60。得到線段30',

AZOB(y=60°,BO=BO'；.△03。為等邊三角形。9'=。8=4,即②錯誤；

Z.OBO=ZABO+ZABO'=60°,ZABC=ZABO+ZOBC=60°；.AABCf=Z.OBC

AB=BC

△BOA和ABOC中<NABO'=ZOBC：.ABOgABOC

BO'=BO

/.O'A=OC=5,ABO'A可以由.BOC繞點B逆時針旋轉60°得到，即①正確；

VOO'=OB=4,OA=3：.O'A2=OO'2+OA2，ZAOO'=90°

△030,為等邊三角形，NBOO=60°/.ZAOB=ZAOO'+ZBOO'=150°,即③正確；

VZAOO'=90°：.S^AOO.=|AOXOO'=1X3X4=6過點3做BNLOO',交OO'于點N

AAA

12

???AOBO'為等邊三角形ZBNO=30°/.ON=；OB=2：.BN=4OB-ON=2百

?*.SROBO,=；OO'XBN=94X26=46，四邊形AOBOC面積=S?oo,=6+4省,即④正確；

?.?正VABC...VAOB繞點A逆時針旋轉60。得到AAMC,如下圖：

VZOAM=60°,AO^AM=3,MC=OB=4,S^AOB=SlAMC，AAOM為等邊三角形QW=AO=Al/=3

13

過點A做AGLOM,交OM于點G,如下圖：T△AOM為等邊三角形，NQ4G=30。AOG=-OM=-

22

?_/77A2―373,_14心CA/_13由9A/3

??AG—7OA—OG------??S——AGxQAf——x--Q----x3—-----

2△A2nM224

222

VMC=4,OM=3fOC=5：.OC=MC+OM：.ZOMC=90°

11

S^OMC=20MXMC=2X^X^=6SAAMC+SAA"=S.AOM+S&OMC+6

???S.B+L℃=LMC+L℃=?+6,即⑤正確；故選：C

【點睛】本題考查了等邊三角形、旋轉、全等三角形、勾股定理逆定理的知識；解題的關鍵是熟練掌握旋

轉、等邊三角形、等腰三角形三線合一、勾股定理及其逆定理的性質，從而完成求解.

模型2.奔馳模型2（點在等腰直角三角形內）

模型解讀

條件：如圖，已知等腰直角三角形ABC內有一點P,滿足尸4+（0PAy=PC?,

結論：ZCPB=135°.（注意該模型條件結論互換后依舊可以證明）

A

BCBC

證明：以AP為邊向左側作等腰直角三角形ZPP',連接尸'C。

?..三角形ABC和三角形NPP'都為等腰直角三角形；

：.AB=AC,AP=AP',NBAC=NR4P'=90°,P,P=^PA,ZAP,P=45°；

,

：.ZBAC-ZPAC=ZR4P-ZR\C,：.ZPAB=ZP'AC,：.^ABP=^ACP(SASy：.BP=CP',NAPB=NAP'C；

PB2+=PC2，PC~+PP2=PC2,；.ZPP'C=90°,

：.NAP'C=/PP'C+NPP'A=135°；：.ZAPB=135°?

模型運用

例1.（23-24九年級上?湖北孝感階段練習）如圖，等腰直角人4。，AC=BC,點P在AACB內，PC=2,

PA=3,/F4D=NACP則P8的長為（）

V17B.413C.572

【答案】A

【分析】先利用等腰直角3CB,4。=3。,得到/。止=45。，再證明NAP￡>=45。，接著把ACBP繞點C

順時針旋轉90。得到VC4E,連接PE,根據旋轉的性質得到CE=PC=2,AE=BP,NPCE=90°,則可判

斷△（7如為等腰直角三角形，仄而PE坨PC=2叵ZCPE=45。，然后計算/APE=90。，從而利用勾股

定理計算出AE即可.

【詳解】解：：等腰直角AACB,AC=BC,ZCAB=45°,

ZPAD=ZACP,/.ZAPD=ZACP+APAC=ZPAD+ZPAC=ZDAC=45°,

如下圖，把ACBP繞點C順時針旋轉90。得到VC4E,連接PE,

/.CE=PC=2,AE=BP,NPCE=90°,為等腰直角三角形,

:?PE=0PC=2&NCPE=45°，Z.ZAPE=180°-ZAPD-ZCPE=180°-45°-45°=90°,

PB=AE=sJPE2+PA2=7（2A/2）2+32.故選：A.

【點睛】本題考查了勾股定理、等腰直角三角形的判定與性質以及旋轉的性質，對應點到旋轉中心的距離

相等；對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角；旋轉前、后的圖形全等.熟練掌握旋轉的性質是解

題的關鍵.

例2.（2024?黑龍江綏化?模擬預測）如圖，在正方形ABC3外取一點E,連接DE,AE,CE,過點。作DE

的垂線交AE于點P,若DE=DP=0PC=2括則下列結論：①△APD四△CEO；?AE±CE；③點C

到直線DE的距離為26；④S正方形ABCD=26其中結論正確的個數有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】C

［分析］利用正方形性質即可證明①,利用全等三角形性質即可推出②,過點C作CF，DE的延長線于點F,

利用勾股定理求出尸E,CE,再利用解直角三角形即可判斷③，利用勾股定理得到C。，進而得到正方形面

積，即可判斷④.

【詳解】解：,四邊形為正方形，，AD=Cr>,ZADC=90°=ZADP+ZPDC,

:DEYDP,：.ZEDP=90°=ZCDE+ZPDC,:.ZADP=ZCDE,

-：DE=DP=&,AAPD^ACED(SAS),故①正確；

ZEDP=90°,DE=DP=C，ZDEP=ZDPE=45°,

???Z\APD也△CEDZ.DEC=ZDPA=180°-ZDPE=135°,

ZAEC=ZDEC-ZDEP=90°,:.AE±CE,故②正確；

過點C作CF,DE的延長線于點尸，如圖所示，

C

1?,/EDP=90°,DE=DP=0，;.PE=^DE2+DP2=2，

VZAEC=90°,PC=2A/5,:.CE=qPC?-PE?=4,

■■ZDEP=ZDPE=45。，/.ZFEC=180°-ZAEC-ZDEP=45°,

?：NF=90。，：.NFCE=45o=NFEC,；.CF=CE.cos45o=2及,故③錯誤；

CF=2A/2，EF=2V2，DF=EF+DE=3>/2，/.CD=\lCF2+DF~=J26>

；?S正方形衿8=。。2=26,故④正確；綜上所述，正確的有3個，故選：C.

【點睛】本題考查了全等三角形性質和判定，正方形性質，勾股定理，解直角三角形，垂直的判定，正方

形面積，解題的關鍵在于熟練掌握相關知識并靈活運用.

例3.（2023年湖北省武漢市中考一模）如圖，中，ZACB=90°,AC=473,3C=6.點尸為AABC

內一點，且滿足當PB的長度最小時，則的面積是.

【答案】6指

【分析】取AC中點O,連接。P,BO,由PA2+PC2=AC2即可得到NAPC=90。，再由3尸N3O-OP,可

得當點P在線段3。上時，BP有最小值，然后利用直角三角形的性質可得尸。=4。=。。=（4。=2百，即

可推出ZfiOC=60°,貝UACOP是等邊三角形，求得ACOP的面積，根據OA=OC可得人心=25對”=6君.

【詳解】解：如圖，取AC的中點。，連接OP,BO,

?.?pe+Pc2=Ac2,，NAPC=90。，.?.點P在以AC為直徑的圓上運動，

在中，BP>BO-OP,；.當點尸在線段30上時，3尸有最小值，

:點。是AC的中點，ZAPC=90°,/.PO=AO=CO=-AC=2y/3,

2

tanZBOC=—=5/3,AZBOC=60°,ACOP是等邊三角形，

，SAC”=￥OC2=￥X12=3百，VOA=OC,：.S^ACP=2S^COP=6y/3,故答案為：6也.

【點睛】本題主要考查了正切的定義與特殊角的三角函數值，勾股定理的逆定理，三角形的三邊關系，直

角三角形斜邊上的中線，等邊三角形的性質與判定，解題的關鍵在于能夠綜合應用各種性質解題.

例4.(2024?河北??？家荒?如圖1,在正方形內有一點P,PA=45,PB=M，PC=1,求NBPC

的度數.

圖1圖2圖3

【分析問題】根據已知條件比較分散的特點，我們可以通過旋轉變換將分散的已知條件集中在一起，于是

將ABPC繞點8逆時針旋轉90。，得到了ABPA(如圖2),然后連結PP,

【解決問題】請你通過計算求出圖2中/3PC的度數；

【比類問題】如圖3,若在正六邊形ABCD跖內有一點P,且PA=2而，PB=4,PC=2.

(1)/3PC的度數為；(2)直接寫出正六邊形ABCDE廠的邊長為—.

【答案】(1)135°；(2)120°；2幣.

【分析】解決問題：由旋轉的性質可得3P=5P=忘，/PBP=90。,ZBP'A=ZBPC,AP'=PC=1，然

后證明PA2=P4+PR?得至UZAP'P=9Q°,則ZBPC=ZBP'A=ZAPP+ZBP'P=135°；

(1)仿照【分析】中的思路，將ABPC繞點2逆時針旋轉120。，得到了ABPA,連接PP<如圖所示，根

據旋轉的性質可得：APBC'PBA,從而得出尸尸為等腰三角形，

PB=PB=4,PC=P'A=2,ZBPC=ZBP'A,,由NP3P=120°,得到4PP=30°,可以求得「尸'=4-，

由勾股定理的逆定理就可以求出/APP=90。，從而得出結論;

(2)延長AP,作5GLAP于點G,在RUP'BG中，PB=4,/BPG=60。，就可以得出PG=2,BG=2&,,

則AG=P'G+PA=2+2=4,在Rt^ABG中，根據勾股定理得AB=4AG?+BG2=2a.

【詳解】解決問題：由旋轉的性質可得”=2尸=&,NPBP=90。,/BPA=NBPC,AP'=PC=i，

:.ZBPP=ZBPP=45。,p*[BP?+BP°=2，VPA2=(75)2=5,pfA2=l2=l-PP'2=22=4,

：.PA2=P'A2+PP'2，/.ZAPP=90°,；.ZBPC=ZBPA=ZAP'P+NBPP=135°；

(1)仿照【分析】中的思路，將ABPC繞點2逆時針旋轉120。，得到了尸N,連接PP'.如圖5,

:.APBC'P'BA,P'B=PB=4,PC=PA=2,ZBPC=NBPA,ABPP為等腰三角形，

：/PBP=120°,ZBP'P=3Q°,作3G_LPP于G,；.NPG3=90°,PP=2PG.

'：P'B=PB=4,ZBP'P=30°,：.BG=2,：.p'G=273?.PP'=473,

在AAPP中，PA=2V13,PP'=4A/3,P'A=2,APA2=52,PP'2=48,P'A2=4>

PA2=PP'2+P'A1???△尸口4是直角三角形，，//止'尸=90。.

ZBPC=ZBP'A=30°+90°=120°.故答案為：120°

(2)延長AP"作3GJ_AP于點G,如圖6,

在Rt△尸'3G中，P'B=4,ZBP'G=180°-ZAP'B=60°,AZP'BG=30°,

：.P'G=2,BG=2y/3,AG=PG+PA=2+2=4,

在RtAABG中，根據勾股定理得AB=+BG=2幣.故答案為：2幣

【點睛】本題主要考查了旋轉的性質，正方形的性質，多邊形內角和，等腰三角形的性質與判定，含30度

角的直角三角形的性質，勾股定理及其逆定理，解題的關鍵在于能夠熟練掌握旋轉的性質.

模型3.奔馳模型3（點在三角形外-雞爪模型）

模型解讀

模型1）條件：如圖1,點尸在等邊三角形ABC外，CP2+AP2=BP2,結論：ZCE4=30°o

模型2）條件：如圖2,點P在等腰直角三角形ABC外，若C產+（714尸『=3尸2,結論：ZAPC=45°o

（注意：上述兩個模型結論和條件互換也成立）

雞爪就是模型本質就是通過旋轉構造“手拉手”，構造出全等三角形，實現邊的轉化，結合勾股定理，非常有

意思。連完輔助線往往會產生新的直角三角形、等邊三角形等。

模型證明

模型1）證明：以AP為邊向右側作等邊三角形ADP,連接。C。

?三角形ABC和三角形AD尸都為等邊三角形；：.AB=AC,AP=AD=DP,ZBAC=ZR\D^ZAPD=60°；

：.ZBAC+ZPAC=ZPAD+ZPAC,：,ZBAP=ZCAD,：.ABAP=^CAD（5A5）,；.BP=CD；

'：CP2+AP-=BP',；.PC2+DP2=CD2,：.ZDPC=90°,ZCB4=ZDPC-ZAPD=30°。

模型2）證明：以AP為邊向上方作等腰直角三角形NPP',且/B4O=90。，連接PC。

?..三角形48c和三角形AP。都為等腰直角三角形；

：.AB=AC,AP=AD,ZBAC=ZRiD=90°,DP=-J2PA,NAPD=45°；

AZBAC+ZPAC=ZR\D+ZPAC,：.ZPAB=ZDAC,：,AABP=AACD（SAS），:.BP=CD；

CP。+（也AP『=BP2，CP2+DP2=CD2,：.ZDPC=90°,：.ZAPC=ZDPC-ZAPD=45°□

模型運用

例1.（2024九年級上.重慶?專題練習）如圖，P是等邊三角形A3C外一點，PA=3,PB=4,PC=5,求

的度數.

【答案】30°

【分析】由等邊三角形的性質可知，BA=BC,ZACB=60。；將繞點C順時針旋轉60。得△BCD,

連PO,首先證明△產□）為等邊三角形，可確定尸。=△7=5,由勾股定理的逆定理可證明"3。為直角三

角形，且/P3D=90。，然后計算"％的度數即可.

【詳解】解：：VABC為等邊三角形，.?.3A=3C,ZACB=60°,

可將繞點C順時針旋轉60。得△BCD,連尸￡）,如下圖，

/.BD=AP=4,CD=PC=5,ZPCD=60°,ZDBC=ZPAC,△PCD為等邊三角形，PD=PC=5,

在△P3D中，PD=5,BD=3,尸3=4,：.PD2=PB2+,；.AP5D為直角三角形，且/尸應）=90。，

ZPBC+ZCBD=ZPBC+ZPAC=360°-ZPBD=270°,

ZBPA=360°-（ZPBC+APAC）-ZACB=360°-270°-60°=30°.

【點睛】本題主要考查了旋轉的性質、等邊三角形的判定與性質、勾股定理的逆定理、四邊形內角和等知

識，正確作出輔助線，構建直角三角形和等邊三角形是解題關鍵.

例2.（2023?廣西賀州?二模）如圖，點尸為等邊三角形A3C外一點，連接PA,PC,若上4=7,尸3=9,

ZAPB=30°,則尸C的長是.

B

【答案］V130

【分析】把尸8繞點8順時針旋轉60°，連接尸。，AQ,可證“PBQ是等邊三角形，利用SAS證明APBC^QBA,

得出PC=0A,在Rt^APQ中，利用勾股定理求出A。，即可求解.

【詳解】解：把PB繞點2順時針旋轉60。，連接尸3AQ,如圖所示:

則尸B=NPBQ=60°,是等邊三角形，.?.NQPB=60°,PQ=PB,

：VABC是等邊三角形，：.AB=CB,NABC=60。，ZPBC=ZQBA=60°+ZPBA,

APBC絲AQBA（SAS）,/.PC=QA,;NQPB=60°,：.ZAPQ=90°,

又AP=7,PB=PQ=9,：.pc=AQ^^AP2+PQ2=772+92=V130.故答案為：V130.

【點睛】本題主要考查等邊三角形的判定和性質，直角三角形，勾股定理，旋轉的性質的綜合，三角形全

等的判定和性質，掌握旋轉的性質，等邊三角形的性質，勾股定理是解題的關鍵.

例3.（23-24八年級上?江蘇無錫?期中）如圖，在四邊形ABCD中,AD=5,CD=3,ZABC=ZACB=ZADC=45°,

則BD的長為（）

A.V34B.屈C.743D.V59

【答案】D

【詳解】作AD，_LAD,AD，=AD,連接CD,DD\如圖:

,/ZBAC+ZCAD=ZDAD,+ZCAD,即NBAD=/CAD，，

BA=CA

在ABAD與ACAD'中，＜ZBAD=ZCAD',AABAD^ACAD1(SAS),

AD=AD'

；.BD=CD.NDAD=90。由勾股定理得DD?JA4+AD，。=5也，ZD,DA+ZADC=90°

由勾股定理得CD，=Jf）c2+Z）Zy2=13?+50=病，故選D.

例4.（23-24九年級上?湖北武漢?階段練習）【問題情境】在數學課上，老師出了這樣一個問題：“如圖1,

在四邊形ABCZ）中，AB^AC,ZABC=60°,ZADC=30°,AD=4,BD=5,求CD的長.”經過小組合作

交流，找到了解決方法：構造旋轉全等.將△3。繞點8逆時針旋轉60。到A54E,連接DE.貝UABDE是等

邊三角形，所以DE=BD=5,導角可得NZME=90。，所以8=AE=JB萬二^5r=3.

（1）請補全圖形；

【探究應用】（2）如圖2,在VABC中，AB=AC,ABAC=120。.D為VABC外一點,且ZADB=50°,—=^,

BD3

求一ADC的度數；

【拓展延伸】（3）如圖3,在VABC中，AB^AC,ZS4C=120°,AD/3C于DM為4D上一點，連接BM,

N為BM上一點，若4V=&,BN=6N54N-NCBN=30。，連接CN,請直接寫出線段CN的長.

【分析】本題主要考查了三角形的綜合，靈活運用旋轉構造相似三角形，利用相似三角形的判定和性質是

本題解題的關鍵.（1）題意補全圖形即可;（2）將AABD繞點A逆時針旋轉得到AACE，連接即，作AF，ED

于R根據含30度的直角三角形的性質及勾股定理求得42=",推出ED=50=C￡,據此求解即可；

DE3

（3）延長AN構造等邊三角形，然后利用兩組三角形相似求出AB,最后利用勾股定理求解.

【詳解】解：（1）補全圖形，如圖,

(2)將△ABD繞點A逆時針旋轉得到AACE,連接ED,作AF，ED于F,

由旋轉的性質知=ZCAE=ZBAD,BD=CE,NCEA=NBD4=50。，

AB^AC,ABAC=120°,ZDAE=ZDAC+ZEAC=ADAC+ABAD=120°,

Z.ZADF=ZAEF=30°,：.ZCED=50°-30°=20°,AD=2AF,

由勾股定理得，DF=6AF,DE=2^AF,.?.絲=手^=蟲，

DE2y[3AF3

...些=立，:.ED=BD=CE,；./EDC=NECD=80°,/.ZADC=30°+80°=110°；

BD3

(3)延長交AC于尸，延長AN到E,使NE=3N,連接BE,如圖，

ZBAN-ZCBN=30°,/.ZBAN=ZCBN+30°,ZBNE=ZBAN+ZABN=NCBN+ZABN+30°=60°,

?：NE=BN,「.△BEN是等邊三角形，.?./￡=60。,

?.?ZANB=180°-ZBNE=120°=ABAC,,

ABBNANABBE_AE

ZBAE=ZAFB,/.ZWVF^ABEA,

BF-AB-AF赤一菽一麗

過尸作FG_L3c于尸，過N作NH_LBC于H,?.?NACB=30。，

:.FG=-FC=-(AB-AF)=3~^AB,CG=

寫AB,3…=國3一下”=『鉆’

226

NHBNBH33-^630+3出

?:NH//GF,：.4BNHs&BFG,Dri-i—I\D,

GFBFBG5+&10+2^10+2V6

:.CH=BC-BH=逑*AB.\CN2=CH2+NH2=9,：.CN=3.故答案為：3.

10+2^6

習題練模型

1.（2024九年級.重慶?期中）如圖，在等邊AABC內有一點P,使得NAPC:NAPS:N3PC=7:8:9,那么以

AP,BP,CP的長度為邊長的三角形的三個內角的大小之比為.

【分析】本題考查了圖形的旋轉，等邊三角形的判定與性質，利用圖形的旋轉添加輔助線是解答本題的關

鍵.將△BAP繞點8順時針旋轉60。得到△BC。，連結PQ,可證得APB。是等邊三角形，從而得到

2BPQ?BQP60?,BP=PQ,所以△PQC就是以AP,BP,CP的長度為邊長的三角形，進一步求出

△尸。C的內角度數，即得答案.

【詳解】將△BAP繞點B順時針旋轉60°得到LBCQ,連結PQ,

則=ZPBQ=60°,AP=CQ,是等邊三角形，

\1BPQ?BQP60?,=二△尸QC就是以AP,BP,CP的長度為邊長的三角形，

7」

\-ZAPC:ZAPB:ZBPC=7:8:9,\2Ape一窗360=105?,

24

?o

2APB—窗360=120?,?BPC—窗360=135?,

2424

\2CPQ135?60?75?,2PQC2BQC?BQP?APB60?60?,

\?PCQ180?2CPQ2PQC45?,

???以w，BP,CP的長度為邊長的三角形的三個內角的大小之比為

NC尸Q:N尸。。：/尸。。=75。：45。：60。=5:3:4.故答案為：5:3:4.

A

2.（23-24九年級下?吉林?階段練習）旋轉是幾何圖形中最基本的圖形變換之一，利用旋轉可將分散的條件

相對集中，以達到解決問題的目的.

圖③

【發現問題】如圖①，在等邊三角形A3c內部有一點P,24=2,PB=6PC=1,求N3PC的度數.

解：如圖①，將線段繞點8逆時針旋轉60P得到線段8P,連接AP',PP'.

?;BP=BP,ZP'BP=6O°,.“尸8尸是等邊三角形，:.ZBP'P=60°,PP=PB=拒,

△ABC是等邊二角形，二Z.ABC=60P,BC=BA,

ZABC-ZABP=NPBP-ZABP,即NPBC=ZP'BA.請你補充完整解答過程.

【應用問題】如圖②，在正方形ABCD內有一點P,若PA=a?，PB=4,PC=3,則_°.

【拓展問題】如圖③，在正方形A3。中，對角線AC,BO相交于點。，在直線AP上方（包括直線AD）

有一點P,B4=4,PD=2,連接尸0,則線段尸。的最大值為_.

【答案】發現問題：150。，應用問題：135,拓展問題：3a

【分析】發現問題：由SAS可判定AABPNACBP,由全等三角形的性質得AP'=CP=1,/BPA=/BPC,

由勾股定理的逆定理得是直角三角形，即可求解；

應用問題：將8°逆時針旋轉90。，連接AP'、PP',由勾股定理得PP=08P=4應，同理可證△AP'P是

直角三角形，即可求解；拓展問題：將OP順時針旋轉90。得。P,連接。尸、PP,同理可證△AORADOP,

由全等三角形的性質得AP=DP=4,PPWPD+DP即可求解.

【詳解】發現問題：證明：補充如下：如圖，

BA=BC

在AABP和ACBP中<NP'BA=ZPBC,AABP'^ACBP(SAS),:.AP'^CP=1,ZBP'A=ZBPC,

BP'=BP

?■?12+(若『=22,...針，2+尸尸，2=川2,.飛叱2是直角三角形，.?./AP'P=90°,

ZBPA=ZB^P+ZAPP=150°,:.NBPC=150°：

應用問題：解:如圖，將BP逆時針旋轉90。，連接AP'、PP,

ZABP1+ZABP=90°,BP=BP=4,ZBP'P=45°,尸尸'=忘2尸=40,

,四邊形ABCD是正方形，:.ZABC=9Q°,AB=CB,ZABP+ZCBP=90°,ZABP'=ZCBP,

BA=BC

在AABP和ACBP中<ZP'BA=ZPBC,^ABP'^CBP(SAS),:.AP'=CP=3,NBP'A=ZBPC,

BP'=BP

?二心卜忘^^國工二轉門+^^泊二人^^/心^是直角三角形，

:.ZAP'P=90°,ZBPA=ZBP'P+ZAP'P=135°,/.ZBPC=1350；故答案：135；

拓展問題：解：如圖，將OP順時針旋轉90。得OP,連接OP、PP',

■.ZDOP+ZDOP'=90°,OP=OP',PP'=V2OP,

,?,四邊形A3。是正方形，:.OA=OD,AC1BD,ZAOP+ZDOP=90°,ZAOP=ZDOP',

OA=OD

在AAOP和ADOP中尸=/。。尸'，:.^AOP^ADOP'(SAS),:.AP=DP=^,

OP=OP'

?1-PP<PD+DPPP'<6,；.y[2OP<6>OP<3y/2.二。尸的最大值為3立，故答案：30.

【點睛】本題考查了旋轉的性質，全等三角形的判定及性質，勾股定理及其逆定理，等邊三角形的判定及

性質，正方形的性質等，能利用旋轉的性質構建全等三角形是解題的關鍵.

3.(23-24九年級上.山西呂梁.期末)閱讀下面材料：張明同學遇到這樣一個問題：如圖1,在正三角形ABC

內有一點P,且尸A=3,尸3=4,PC=5,求的度數.

張明同學是這樣思考的：如圖2,利用旋轉和全等的知識構造△APT,連接PP,得到兩個特殊的三角形，

從而將問題解決.

(1)請你計算圖1中的度數;(2)參考張明同學思考問題的方法,解決下列問題:如圖3,在正方形

內有一點P,且尸4=20，PB=1,PD=V17,求ZAPB的度數.

【答案】(1)150°(2)135°

【分析】(1)將及4尸8逆時針旋轉60。得到A/PC,根據旋轉的性質可知AABPGA/CP,求證A/PP為等邊

三角形，再根據勾股定理的逆定理得出/PPC=90。，即可求出N/PC=NAPB=150。；

(2)將AAPB繞點A順時針旋轉90。，根據旋轉的性質可知AAPP’是等腰直角三角形，求證N/PP=45。，用

勾股定理逆定理求出/尸'依=90°,最后求出入4尸2=/尸尸2+乙4尸尸'=135°即可.

【詳解】(1)(1)如圖2,把“PB繞點A逆時針旋轉60。得到△ACP,

由旋轉的性質，P'A=PA=?>,P'C=PB=4,NR1P=6O。，ZAPB=ZAP'C,

；?AAPP'是等邊三角形，APP'=PA=3,NAPP=60。，

VPP,2+P,C2=32+42=25,PC2=52=25)PP'2+P'C2=PC2,：.ZPP'C=90°,

：.ZAPC=ZAP'P+ZPP'C=60°+90°=150°；；.ZAPB=ZAP,C=150°；

(2)如圖3,把△4PB繞點A逆時針旋轉90。得到AADP,

由旋轉的性質，FA=PA=26，PD=PB=1,ZPAP1^90°,

AAPP是等腰直角三角形，，PP=0PA=4，ZAPP=45。,

222222221

'：PP'+P'D=4+l=n,PD=(A/17)=17,pp'+p'D=PD，AZPP'D=90°,

，TAP'D=ZAPFLAPP'D=45°+90°=135°,ZAPB=TAP'D=135°.

【點睛】本題考查了旋轉的性質，等邊三角形的性質，正方形的性質，勾股定理及其逆定理的運用，全等

三角形的判定與性質，做輔助線構造直角三角形是解答的關鍵.

4.（23-24九年級上?重慶沙坪壩?期末）（1）已知如圖1,在VABC中，AB=BC,NABC=90。，點。在VABC

內部，點E在VABC外部，滿足皮）_L3E,且BD=BE.求證：^ABD^CBE.

（2）已知如圖2,在等邊VABC內有一點P,滿足PA=5,尸8=4,PC=3,求—3PC的度數.

【答案】⑴詳見解析;⑵150°

【分析】（1）先證NABD=NCBE,根據SAS可證AABD絲ACBE；

（2）把線段PC以點C為中心順時針旋轉60。到線段CQ處，連結AQ.根據旋轉性質得APCQ是等邊三角

形，根據等邊三角形性質證ABCPg/iACQ（SAS）,得BP=AQ=4,ZBPC=ZAQC,根據勾股定理逆定理

可得NAQP=90。，進一步推出ZBPC=ZAQC=ZAQP+ZPQC=90°+60°.

【詳解】（1）證明：VZABC=90°,BD±BE

...ZABC=ZDBE=90°gpZABD+ZDBC=ZDBC+ZCBE.\ZABD=ZCBE.

又：AB=CB,BD=BE/.△ABD△CBE（SAS）.

（2）如圖，把線段PC以點C為中心順時針旋轉60。到線段CQ處，連結AQ.

由旋轉知識可得：ZPCQ=60°,CP=CQ=3,...△PCQ是等邊三角形，；.CP=CQ=PQ=3.

又「△ABC是等邊三角形，AZACB=60°=ZPCQ,BC=AC,

ZBCP+ZPCA=ZPCA+ZACQ,即NBCP=/ACQ.