立體幾何中的軌跡、截面、動點、范圍問題

I他.考情探究?

立體幾何中的動點軌跡問題，是一個備受關注的重要專題,它在各級各類考試中占據一席之地，特別是在高

考中亦常有所見。此類題型不僅是檢驗學生空間想象能力、思維能力和創新意識的有效手段，也是培養學生數學

核心素養的重要途徑。

在高考復習備考過程中，其試題常以選擇、多選、填空等形式呈現,設計巧妙，注重知識間的交匯與融合，題型

新穎靈活，旨在全面考查學生的綜合素質。通過此類題型，不僅能夠檢驗學生對各部分知識間的縱向和橫向聯系

的掌握程度，還能夠激發學生的創新意識和創新能力，滲透數學思想方法，充分體現新課程標準的要求和數學核

心素養的培育目標。

然而，由于這類問題通常涉及較為復雜的空間幾何體結構特征，對于許多學生而言，確實存在一定的挑戰和

難度。

?考點梳理?

考點7截面問題

考點8軌跡、截面、動點、范圍軍選題綜合

考點9軌跡、戰面、動點、范圍大題綜合

知識講解

方法點睛1：對于立體幾何的綜合問題的解答方法：

1、立體幾何中的動態問題主要包括:空間動點軌跡的判斷，求解軌跡的長度及動角的范圍等問題；

2、解答方法:一般是根據線面平行，線面垂直的判定定理和性質定理，結合圓或圓錐曲線的定義推斷出動點的軌

跡，有時也可以利用空間向量的坐標運算求出動點的軌跡方程；

3、對于線面位置關系的存在性問題，首先假設存在,然后再該假設條件下，利用線面位置關系的相關定理、性質進

行推理論證，尋找假設滿足的條件，若滿足則肯定假設，若得出矛盾的結論,則否定假設；

4、對于探索性問題用向量法比較容易入手，一般先假設存在，設出空間點的坐標，轉化為代數方程是否有解的問

題，若由解且滿足題意則存在，若有解但不滿足題意或無解則不存在.

方法點睛2：立體幾何中的軌跡問題：

1、由動點保持平行性求軌跡.

（1）線面平行轉化為面面平行得軌跡；（2）平行時可利用法向量垂直關系求軌跡.

2、動點保持垂直求軌跡.

（1）可利用線線線面垂直，轉化為面面垂直，得交線求軌跡；（2）利用空間坐標運算求軌跡；（3）利用垂直關系轉化

為平行關系求軌跡.

3、由動點保持等距（或者定距）求軌跡.

（1）距離,可轉化為在一個平面內的距離關系，借助于圓錐曲線的定義或者球和圓的定義等知識求解軌跡；（2）利

用空間坐標計算求軌跡.

4、由動點保持等角（或定角）求軌跡.

（1）直線與面成定角，可能是圓錐側面；（2）直線與定直線成等角，可能是圓錐側面；（3）利用空間坐標系計算求軌

跡.

5、投影求軌跡.

（1）球的非正投影，可能是橢圓面；（2）多面體的投影，多為多邊形.

6、翻折與動點求軌跡.

（1）翻折過程中尋求不變的垂直關系求軌跡；（2）翻折過程中尋求不變的長度關系求軌跡；（3）利用空間坐標運算

求軌跡.

考點一、軌跡形狀

a峋領

1.（浙江?高考真題）如圖,斜線段AB與平面a所成的角為60°,口為斜足，平面a上的動點P滿足NPAB=

30°,則點P的軌跡是

D.雙曲線的一支

2.（北京?高考真題）平面a的斜線AB交a于點8,過定點A的動直線Z與垂直,且交a于點C,則動點

。的軌跡是（）

A.一條直線B.一個圓C.一個橢圓D.曲線的一支

_________F

3.（北京?高考真題）如圖，在正方體ABCD-中，P是側面8BCQ內一動點，若P到直線BC與

直線GA的距離相等,則動點P的軌跡是（）

A.直線B.圓C.雙曲線D.拋物線

4.（天津?高考真題）如圖，定點口都在平面a內，定點P0a,PR,a,。是a內異于A和B的動點，且

PC,AC,則動點C在平面a內的軌跡是（）

A.一條線段，但要去掉兩個點B.一個圓，但要去掉兩個點

C.一段弧，但要去掉兩個點D.半圓，但要去掉兩個點

5.（重慶?高考真題）到兩互相垂直的異面直線的距離相等的點，在過其中一條直線且平行于另一條直線的

平面內的軌跡是（）

A.直線B.橢圓C.拋物線D.雙曲線

6.（浙江?高考真題）如圖，48是平面的斜線段，力為斜足，若點P在平面d內運動，使得

/\ABP的面積為定值，則動點P的軌跡是

C.一條直線D.兩條平行直線

7.（重慶?高考真題）若三棱錐A-BCD的側面ABC內一動點P到底面BCD的距離與到棱AB的距離相

等,則動點P的軌跡與△ABC組成圖形可能是（）

A

8.（北京?高考真題）如圖，動點P在正方體ABCD-4馬。13的對角線上，過點P作垂直于平面

的直線，與正方體表面相交于河，N.設RP=t,VN=v，則函數4=/（7）的圖象大致是

（）

即照文

1.（2023?浙江?一模）已知線段4B垂直于定圓所在的平面，BC是圓上的兩點，方是點B在AC上的射影,

當。運動，點H運動的軌跡（）

A.是圓B.是橢圓C.是拋物線D.不是平面圖形

2.（2023?云南保山二模）已知正方體ABCD-A.B.C.D,,Q為上底面A.B.C.D.所在平面內的動點，當直

線。Q與。4的所成角為45°時，點Q的軌跡為（）

A.圓B.直線C.拋物線D.橢圓

3.（2024.廣東梅州.一模）如圖，正四棱柱ABCD-中，441=2AB=2,點P是面ABB^上的動

點，若點P到點。1的距離是點P到直線48的距離的2倍,則動點P的軌跡是（）的一部分

A.圓B.橢圓C.雙曲線D.拋物線

4.（2023?全國?模擬預測）已知空間中兩條直線1卜12異面且垂直，平面a〃。且勾Ua,若點P到"、Z2距離相

等，則點P在平面a內的軌跡為（）

A.直線B.橢圓C.雙曲線D.拋物線

5.（2023?云南文山?模擬預測）用一個垂直于圓錐的軸的平面去截圓錐，截口曲線（截而與圓錐側面的交線）

是一個圓，用一個不垂直于軸的平面截圓錐，當截面與圓錐的軸的夾角。不同時，可以得到不同的截口

曲線，它們分別是橢圓、拋物線、雙曲線.因此，我們將圓、橢圓、拋物線、雙曲線統稱為圓錐曲線.記圓

錐軸截面半頂角為a,截口曲線形狀與0,a有如下關系：當。>a時，截口曲線為橢圓；當6=a時，截口

曲線為拋物線:當3<a時,截口曲線為雙曲線.其中/aC（0,m）,現有一定線段AB,其與平面6所成

角儀如圖），8為斜足，￡上一動點P滿足/歷LP=7,設P點在￡的運動軌跡是「，則（）

?，7=譽時，『是雙曲線

36

。當好?/=?時，『是拋物線D.當0=告，7=]■時,r是圓

34

6.（2024.浙江溫州.一模）如圖,所有棱長都為1的正三棱柱ABC—4BQ1，展=2沅，點尸是側棱441上

的動點，且回了=2房，〃為線段FK上的動點，直線平面AEG=M，則點河的軌跡為（）

A.三角形（含內部）B.矩形（含內部）C.圓柱面的一部分D.球面的一部分

7.（2023?貴州黔西?一模）在正方體AC,中，點及為平面ABB.A,內的一動點,由是點“到平面ADD.A,的

距離，d2是點雙到直線BC的距離，且由=4心（4>0）（4為常數），則點M的軌跡不可能是（）

A.圓B.橢圓C,雙曲線D.拋物線

考點二、軌跡長度

典例引領

1.（2023?湖北省直轄縣級單位?模擬預測）已知正方體ABCD-AXBXC.DX的棱長為2,M為棱B.C,的中

點，N為底面正方形上一動點，且直線MN與底面所成的角為卷，則動點N的軌跡的長

度為

2.（2024?四川南充?二模）三棱錐A—8CD中，==BC=CD=0B=6,P為△BCD內部

及邊界上的動點，入尸=22,則點P的軌跡長度為（）

A.兀B.2兀C.3兀D.4兀

___________F

3.（2024.全國.模擬預測）已知正四棱錐P—ABCD的體積為印，底面ABCD的四個頂點在經過球心的

截面圓上，頂點P在球。的球面上，點E為底面/BCD上一動點，PE與PO所成角為告,則點E的軌

6

跡長度為（）

A.V27TB.兀C.D.兀

OO

4.（2023?湖北襄陽?模擬預測）如圖，二面角a—/—6的大小為十，已知4B是Z上的兩個定點，且AB=

4,CEa,DE/3,AB與平面BCD所成的角為若點人在平面BCD內的射影/在△口（：?的內部（包

O

括邊界），則點H的軌跡的長度為（）

A?8.—C.D.—

5.（2024.江西.二模）已知正方體ABCD-的棱長為4,點M滿足C^M=3而方，若在正方形

ABiGA內有一動點P滿足〃平面AM。,則動點P的軌跡長為（）

A.4B.V17C.5D.4V2

6.（2023?江西贛州?二模）在棱長為4的正方體ABCD-45GR中，點P滿足飆=4AP,E,尸分別為

棱,CD的中點，點Q在正方體ABCD-AXBXC,DX的表面上運動,滿足A.Q〃面EFP,則點Q的軌

跡所構成的周長為（）

A5V37口以函。IV37n也魚

7.（2024?廣西南寧?一模）在邊長為4的菱形ABCD中，乙48。=120°.將菱形沿對角線AC折疊成大小為

30°的二面角?—AC—0.若點E為的中點，尸為三棱錐B'-ACD表面上的動點，且總滿足AC

LEF,則點尸軌跡的長度為（）

4+—4+A/^~+

A.B.c.4+—D.4+-\/G+y/2

22

8.（22—23高三下?江蘇南京?階段練習）如圖，在矩形4BCD中，48=240=4,E,F,G,H分別為

AB,,CD,的中點，AC與8。交于點O,現將4AEH,/\BEF,△CFG,/\DGH分別沿EH,

EF,FG,GH把這個矩形折成一個空間圖形，使A與。重合，8與。重合，重合后的點分別記為河，N,

Q為MN的中點，則多面體VNEFGH的體積為；若點P是該多面體表面上的動點，滿足PQ±

ON時,點P的軌跡長度為.

■即P時―__檢__測_

1.（2024.江蘇.一模）在棱長為2a（a>0）的正方體4BCD-中，點分別為棱AB,DG的中

點.已知動點P在該正方體的表面上，且麗?時=0,則點P的軌跡長度為（）

A.12QB.12兀。C.24aD.24兀。

2.（2023?河北?模擬預測）已知正四棱錐（底面為正方形,且頂點在底面的射影為正方形的中心的棱錐為正

四棱錐）P-ABCD的底面正方形邊長為2，其內切球O的表面積為看，動點Q在正方形ABCD內運動，

且滿足OQ=OP,則動點Q形成軌跡的周長為（）

A2兀T337rc4兀n5兀

A?五B.五C.五D.五

3.（2024.四川成都.三模）在棱長為5的正方體ABCD-中，Q是。。1中點，點P在正方體的內

切球的球面上運動，且CPLAQ,則點P的軌跡長度為（）

A.A/5TTB.2函nC.孚D.5兀

4

4.（2024?遼寧?模擬預測）如圖,在棱長為2的正方體ABCD-4BGA中，已知M,N,P分別是棱CR,

AA,，口。的中點，Q為平面PMN上的動點,且直線QBi與直線DB,的夾角為30°，則點Q的軌跡長度

為（）：

____________________________

C.2兀D.37r

5.（23—24高一上.浙江紹興.期末）已知點P是邊長為1的正方體ABCD—45C1A表面上的動點，若直

線AP與平面4BCD所成的角大小為則點P的軌跡長度為（）

A.3A/2-B.+兀C.（4+7T）D.2V2+

6.（2024.陜西銅川.模擬預測）在正四棱臺4BCD—人田QB中,48=2人島=電后，人4=H,P是四

邊形內的動點，且AF=4,則動點P運動軌跡的長度為（）

A.B.生答C.殳答D.2岳

7.（2024.全國.模擬預測）在三棱錐A—BCD中，底面BCD是等邊三角形，側面是等腰直角三角形，

4B=AD=2，P是平面BCD內一點，且AP=1,若人。=述，則點尸的軌跡長度為（）

A.B.要C.D.4

3333

8.（2023?青海?模擬預測）在正四棱臺ABCD—AXBVCXDX中，AB=2AiB1=4通,A&=V10,點P在底面

ABCD內，且AF=4,則P的軌跡長度是.

考點三、軌跡區域面積

典例引領

1.（2023?四川成都?三模）如圖，AB為圓柱下底面圓。的直徑，。是下底面圓周上一點，已知乙40。=看,

OA=2,圓柱的高為5.若點。在圓柱表面上運動,且滿足BC±AD,則點D的軌跡所圍成圖形的面積

為

c

2.（2024?四川成都?二模）在所有棱長均相等的直四棱柱ABCD-A.B.C.D,中，ABAD=60°,點P在四邊

形AAXBXB內（含邊界）運動.當C[P=^CC、時，點P的軌跡長度為等，則該四棱柱的表面積為

C）

A.16+4V3B.8+2V3C.4+V3D.4V3

3.（2022.山東濰坊.三模）已知正方體ABCD-4正。。的棱長為1,空間一動點P滿足4P，人耳，且

NAFBi=/ADBi,則tan/4pBi=，點P的軌跡圍成的封閉圖形的面積為.

4.（2023?上海?模擬預測）正方體ABCD-的邊長為1,點M、N分別為。A、邊的中點，P是

側面ADD.A,上動點，若直線870與面GPN的交點位于△GPN內（包括邊界），則所有滿足要求的點P

構成的圖形面積為.

5.（2023?廣西?一模）如圖，在正方體ABCD-4BCQ中，4B=2,P是正方形ABCD內部（含邊界）的一

A.有且僅有一個點P,使得。

B.AB1〃平面CFG

______________即

C.若加=皆屈，則三棱錐P—BBQ外接球的表面積為16兀

D.河為。的中點，若與平面4BCD所成的角為則點P的軌跡長為方

即時檢測

I__________

1.（2024.四川成都.二模）在正方體ABCD-中，點P在四邊形AA.B.B內（含邊界）運動.當C.P

=卒。。1時，點P的軌跡長度為2譽，則該正方體的表面積為（）

oy

A.6B.8C.24D.54

2.（23-24高二上?北京平谷?期末）已知四棱錐P—ABGD中，側面底面4BCD,24=「8=泵怎，

底面ABCD是邊長為12的正方形，S是四邊形ABCD及其內部的動點，且滿足PS46,則動點S構成

的區域面積為（）

A.4V37TB.12兀C.24兀D.2476

3.（2022.福建三明.模擬預測）已知正方體48co—45GA中，=點E為平面48。內的動點，

設直線AE與平面A.BD所成的角為a,若sina=答，則點E的軌跡所圍成的面積為

4.（2024.北京延慶.一模）已知在正方體ABCD—A8coi中，AB=1,P是正方形ABCD內的動點，_B4

>PG，則滿足條件的點P構成的圖形的面積等于（）

5.（22-23高三上?江西撫州?期中）已知菱形ABCD的各邊長為2,ND=60°.如圖所示,將4ACD沿/C折

起，使得點D到達點S的位置，連接S3,得到三棱錐S-ABC,此時SB=3.若E是線段S4的中點，點

尸在三棱錐S-ABC的外接球上運動，且始終保持EF±AC則點F的軌跡的面積為.

6.（2024.四川綿陽?三模）如圖,正方體ABCD-A'B'C'D'的棱長為3,點河是側面AD4。上的一個動點

（含邊界），點P在棱。。上，且PC1=1.則下列結論不正確的是（）

D'

A.若保持\PM\=V13.則點雙的運動軌跡長度為會

O

B.保持PA1與3D垂直時，點河的運動軌跡長度為22

C.沿正方體的表面從點A到點P的最短路程為2VW

D.當M在。點時,三棱錐B'-MAP的外接球表面積為學兀

考點四、軌跡中長度的最值及范圍

典例引領

1.（2022?青海西寧.二模）在棱長為3的正方體ABCD—ABCpDi中，P為△ACQ內一點，若的面

積為苧，則AP的最大值為

2.（17—18高二下?山西大同?階段練習）已知正方體的ABCD—45GA棱長為2,點雙，N分別是棱

BC,GA的中點，點P在平面48QQ1內，點Q在線段AW上，若PM="，則PQ長度的最小值為

3.（23-24高三上?河北承德?期中）如圖，在直三棱柱ABC-A.B.C.中，8/，BC,AB=AAi=4,BC=

4A后，若P為空間一動點，且|尸風=則滿足條件的所有點P圍成的幾何體的體積為；若動

點P在側面AA.C.C內運動，且=S叵,則線段BP長的最小值為.

___________F

cC,

口

1.（2024?江西宜春?模擬預測）如圖，在四面體4BCD中，△ABC和△ACD均是邊長為6的等邊三角形,

DB=9,則四面體ABCD外接球的表面積為；點E是線段AD的中點，點斤在四面體ABCD的

外接球上運動,且始終保持EF，人C,則點尸的軌跡的長度為.

2.（2023?山東棗莊?二榭如圖，在棱長為1的正方體ABCD-48。。中，M是4旦的中點，點P是側面

CWiG上的動點，且.〃平面ABC,則線段上值長度的取值范圍為（）

B.[<]

C.D?”號

3.（2023?陜西西安?模擬預測）已知正方體ABCD-4場GA的棱長為2方,P是正方形BBQQ（含邊界）

內的動點，點P到平面48。的距離等于2件，則兩點間距離的最大值為（）

O

A.2V3B.3C.3V2D.276

考點五、軌跡中體積的最值及范圍

典例引領

1.（2024?重慶?三模）已知棱長為1的正方體ABCD-內有一個動點河，滿足MA=MD.,且MB

=1,則四棱錐〃-ADD.A,體積的最小值為.

2.（2023?福建龍巖?二模）正方體ABCD-A.B.C.D,的棱長為2,若點河在線段BC,上運動，當4AMC的

周長最小時,三棱錐M-CB1A的外接球表面積為（）

A.4兀B.8兀C.16KD.32k

即時檢測

I__________

1.（2024.山東?模擬預測）如圖，正方形ABCD和矩形ABEF所在的平面互相垂直，點P在正方形ABCD及

其內部運動，點Q在矩形ABEF及其內部運動.設人3=2,人尸=方,若必，。￡；,當四面體上4QE體

積最大時,則該四面體的內切球半徑為.

2.（2024-山東青島.三模）已知長方體ABCD-A.B.CrD,中，AB=2,BC=3,441=4,點P為矩形

A81GQ內一動點，記二面角P—口的平面角為%直線尸。與平面ABCD所成的角為6,若a=

B，則三棱錐P-BBS體積的最小值為.

考點六、軌跡中空間角的最值及范圍

典例引領

1.（2021?山東濱州?二模）在正方體ABCD-4BQQ1中，河是棱的中點，P是底面ABCD內（包括邊

界）的一個動點，若M尸〃平面48C1，則異面直線乂尸與AG所成角的取值范圍是（）

2.（2023?江蘇鹽城?三模）動點M在正方體ABCD-45GR從點瓦開始沿表面運動，且與平面AQG的

距離保持不變，則動直線4河與平面AQG所成角正弦值的取值范圍是（）

3.（17—18高三上?江西鷹潭?階段練習）如圖，已知平面a，a04=2,A、B是直線，上的兩點，C、D是

__________由

平面￡內的兩點，且DA，/,CS，/,4D=3,48=6,CB=6.P是平面a上的一動點，且直線PD,

PC與平面a所成角相等，則二面角P—的余弦值的最小值是（）

A4

4.（2024.陜西咸陽?模擬預測）已知正方形ABCD的邊長為2,P是平面ABCD外一點,設直線PB與平面

ABCD的夾角為a,若R4+PC=20,則a的最大值是（）

A.*B.1C.fD.f

即踴機

1.（2021?湖南永州?模擬預測）已知正四面體A—BCD內接于半徑為手的球O中，在平面BCD內有一

動點P,且滿足AP=4V2,則\BP\的最小值是；直線AP與直線所成角的取值范圍為

2.（2023?河南?模擬預測）正方體ABCD—AiBGDi的棱長為a,M為4瓦中點，P為平面ABCD內一動

點,若平面M尸G與平面ABBA和平面ABCD所成銳二面角相等，則點P到C的最短距離是（）

A.于aB.-aC.9Q

5

3.（23-24高三下?青海西寧?開學考試）如圖，正四面體ABCD的棱長為2,點E在四面體ABCD外側，且

△AED是以E為直角頂點的等腰直角三角形.現以人。為軸，點E繞人。旋轉一周，當三棱錐E—

BCD的體積最小時，直線CE與平面BCD所成角的正弦值的平方為（）

A[B.卓C.?一9D.2一$

33612

考點七、截面問題

典例引領

1.（2024?江蘇南京?模擬預測）已知SOi=2,底面半徑OM=4的圓錐內接于球O,則經過S和0^4中點的

平面截球。所得截面面積的最小值為（）

A.學兀B.李兀C.岑兀D.5兀

234

2.（2024?全國?模擬預測）在正方體ABCD-A.B.C.D,中，E,R分別為棱A.B,,的中點,過直線EF的

平面截該正方體外接球所得的截面面積的最小值為s,最大值為S,則且=（）

S

A.乎B.|CD.|

ZtZtT0o

3.（2024?廣東廣州?二模）用兩個平行平面去截球體,把球體夾在兩截面之間的部分稱為球臺.根據祖晅原

理（“幕勢既同，則積不容異”），推導出球臺的體積/臺=卷瓶（3苦+3芯+向，其中32分別是兩個平

行平面截球所得截面圓的半徑，拉是兩個平行平面之間的距離.已知圓臺502的上、下底面的圓周都

在球O的球面上，圓臺0102的母線與底面所成的角為45。,若圓臺QQ上、下底面截球O所得的球臺的

體積比圓臺O的體積大9兀，則球O的表面積&與圓臺。1。2的側面積S2的比值祟的取值范圍為

4.（22-23高三下?湖北武漢?期中）在正四棱臺ABCD—4BGP中，48=24馬，44i=2v^,Al為棱

5a的中點，當正四棱臺的體積最大時，平面MBD截該正四棱臺的截面面積是（）.

A.子B.守C.WV3D.6V2：

5.（2024?北京豐臺?二模）“用一個不垂直于圓錐的軸的平面截圓錐，當圓錐的軸與截面所成的角不同時，可

__________由

以得到不同的截口曲線”.利用這個原理，小明在家里用兩個射燈（射出的光錐視為圓錐）在墻上投影出

兩個相同的橢圓（圖1）,光錐的一條母線恰好與墻面垂直.圖2是一個射燈投影的直觀圖，圓錐PO的軸

截面人尸口是等邊三角形，橢圓Q所在平面為*則橢圓Q的離心率為（）

即陽性測

1.（2024.四川瀘州.三模）已知正方體ABCD-A.B.C.D,的棱長為2,P為的中點，過4bp三點作

平面a,則該正方體的外接球被平面a截得的截面圓的面積為（）

兀等

A比R.可16C.3兀D.

5B5

2.（2024.云南曲靖.模擬預測）正方體4BCD—4B1GA外接球的體積為泵用兀，E、F、G分別為棱44〉

4氏、4A的中點，則平面即G截球的截面面積為（）

3.（2024.廣西.模擬預測）在三棱錐V-ABC中，，平面VAC,VA=1,AB=AC=V2,AVAC=^,

點尸為棱AV上一點，過點尸作三棱錐V-ABC的截面，使截面平行于直線VB和AC,當該截面面積

取得最大值時，CF=（）

4.（23—24高二上.四川德陽?階段練習）已知正三棱錐A—8CD的外接球是球O,正三棱錐底邊BC=3,

側棱AB=2總點E在線段8。上，且BE=DE,過點E作球O的截面，則所得截面圓面積的取值范圍

是（）

A.［晉,3兀］B.［2兀,3兀］C.,4兀］D.［T，4兀］

5.（2024.重慶.三模）在三棱錐A—BCD中，△48。為正三角形，△BCD為等腰直角三角形，CD且

BC=1,AC=V3,則三棱錐A-BCD的外接球O的體積為；若點E滿足BA=3屈，過點E作

球O的截面,當截面圓面積最小時，其半徑為.

考點八、軌跡、截面、動點、范圍多選題綜合

典例引領

1.（2024?重慶?模擬預測）已知正方體ABCD-4馬的棱長為2,M為DD,的中點，N為（包含

邊界）上一動點，M為平面上一點，且平面那么（）

A.若，則N的軌跡為圓的一部分

B.若三棱柱NAD-NiAQ的側面積為定值，則N的軌跡為橢圓的一部分

C.若點N到直線DD,與直線DC的距離相等，則N的軌跡為拋物線的一部分

D.若DiN與所成的角為卷，則N的軌跡為雙曲線的一部分

2.（2024?廣東廣州?模擬預測）在棱長為1的正方體ABCD-中，若點P為四邊形內（包

括邊界）的動點，N為平面4BCD內的動點,則下列說法正確的是（）

A.若2座=兩，則平面/^4c截正方體所得截面的面積為毛

B.若直線。iN與所成的角為方，則點N的軌跡為雙曲線

C.若|上4|+|PC|=《，則點P的軌跡長度為兀

D.若正方體AC,以直線BD,為軸，旋轉n°（n>0）后與其自身重合，則n的最小值是120

3.（2024.遼寧大連.二模）在棱長為2的正方體ABCD—4BQ1A中，M為CG中點，N為四邊形人皿以

內一點（含邊界），若〃平面則下列結論正確的是（）

A.NBJNCiB.三棱錐NW的體積為等

C.點N的軌跡長度為22D.tan乙41NB1的取值范圍為［1,西］

4.（2024.重慶.模擬預測）已知正方體ABCD-A.B.C.D,的棱長為1,空間中一動點P滿足BP=ABC+

〃函N,Q分別為441,484。的中點，則下列選項正確的是（）

D、G

A.存在點P,使得AP〃平面MNQ

B.設AC,與平面AWQ交于點K,則=4

GK5

C.若NE4C=30°,則點P的軌跡為拋物線

D.三棱錐P-QMN的外接球半徑最小值為至二^

5.（23-24高二上?廣東清遠?期末）如圖，在正方體ABCD-48Q。中，點P為線段AQ上的動點，則下

列結論正確的是（）

A.當3時，印?na的值最小

O

B.當而=得女時，印，戢

O

C.若平面ABCD上的動點M滿足/MDQ=則點M的軌跡是橢圓

6

D.直線。a與平面AAP所成角的正弦值是2

6.（23-24高二上?湖北?期末）如圖，點P是棱長為2的正方體ABCD-的表面上一個動點，尸是

A.當P在平面BCCiBi上運動時,三棱錐P-AA.D的體積為定值

B.當P在線段AC上運動時，DF與4G所成角的取值范圍是［?

C.當直線AP與平面ABCD所成的角為45°時，點P的軌跡長度為兀+

D.當P在底面ABCD上運動,且滿足P尸〃平面BCDi時，線段P尸長度的取值范圍是［V6,272］

7.（2024.湖南長沙.二模）在正方體48co—ABQNi中，43=1,E為A3的中點，歹是正方形ABQQ

內部一點（不含邊界），則（）

A.平面FBD,±平面AQQ

B.平面內存在一條直線與直線石尸成30°角

C.若F到B。邊距離為d,且KF—d?=1,則點尸的軌跡為拋物線的一部分

D.以△AAA的邊AD,所在直線為旋轉軸將△44Q1旋轉一周，則在旋轉過程中，4到平面AB.C的

距離的取值范圍是［?—T，?+T］

8.（23-24高三下?山東荷澤?階段練習）用平面a截圓柱面，圓柱的軸與平面a所成角記為。，當。為銳角

時，圓柱面的截線是一個橢圓.著名數學家。tmde/配創立的雙球實驗證明了上述結論.如圖所示，將

兩個大小相同的球嵌入圓柱內，使它們分別位于a的上方和下方，并且與圓柱面和a均相切.下列結論

A.橢圓的短軸長與嵌入圓柱的球的直徑相等

B.橢圓的長軸長與嵌入圓柱的兩球的球心距QQ相等

C.所得橢圓的離心率e=cosd

D.其中GrG,為橢圓長軸，R為球Q半徑，有A=AGCtan-|-

9.（2024.浙江臺州.二模）已知正方體ABCD—4口。。1的棱長為1，P為平面ABCD內一動點，且直線

DF與平面ABCD所成角為卷，E為正方形的中心，則下列結論正確的是（）

A.點P的軌跡為拋物線

________________眇

B.正方體ABCD-481GA的內切球被平面A.BC.所截得的截面面積為4

6

C.直線CP與平面CD2G所成角的正弦值的最大值為乎

O

D.點/為直線D.B上一動點,^]MP+ME的最小值為,11-產

即時檢測

1.（2024.遼寧大連.一模）正四棱柱ABGD—4BQQ1中，441=248=2,動點？滿足/=&才3+

6瓦],且a,be（0,1）,則下列說法正確的是（）

A.當a=。時，直線47,平面班超

B.當a+b=l時，PB+P5的最小值為新

C.若直線BP與瓦。1所成角為?則動點P的軌跡長為亨

D.當a+2b=1時,三棱錐P—ABC外接球半徑的取值范圍是[春,看）

2.（2024.河北保定.二模）已知正三棱柱ABC-4，1G的所有棱長均為2,。為人口的中點，平面a過點A

與直線人。垂直,與直線分別交于點區尸，尸是△AEF內一點，且4P=2,則（）

A.E為8瓦的中點B.CD//a

C.F為CG的中點D.FP的最小值為

3.（2024.浙江.三模）在棱長為1的正方體ABCD—4BCD1中，已知E、尸分別為線段BQ,。?的中

點，點P滿足加=/1而+〃由，/le[0,1],則（）

A.當久+〃=1時,三棱錐D-PEF的體積為定值

B.當4=〃=a，四棱錐P—AB。。的外接球的表面積是?

C.△PEF周長的最小值為手+浮

ZZZ

D.若40=等，則點P的軌跡長為1

4.（2024.河北石家莊.三模）如圖，在棱長為2的正方體ABCD-A.B.C.D.中，M為的中點，則下列說

法正確的有（）

c,

A.若點。為8。中點，則異面直線MO與CG所成角的余弦值為烏

B.若點N為線段上的動點（包含端點），則+\DN\的最小值為，存

C.若點P為CD的中點，則平面AMP與四邊形CDDG的交線長為方

D.若點Q在側面正方形內（包含邊界）且MQ,AQ,則點Q的軌跡長度為方

5.（2024.湖南益陽.三模）如圖，點P是棱長為2的正方體ABCD-45GA的表面上的一個動點，則下列

A.當點P在平面BCGB[上運動時，四棱錐P—AA.D.D的體積不變

B.當點P在線段AC上運動時，。F與AG所成角的取值范圍為管，方]

C.使直線AP與平面所成角為45°的動點P的軌跡長度為兀+42

D.若F是4旦的中點，當點P在底面ABCD上運動，且滿足P尸〃平面BiCDi時，PF長度的最小值

為西

6.（2024.貴州貴陽.模擬預測）在正三棱柱ABC-中，=441=1,點P滿足BP=ABC+〃國,

其中re[0,1],〃C[0,1],貝!）（）

A.當才=1時，AP+尸員最小值為四

B.當必=1時,三棱錐P—ABC的體積為定值

C.當仁1,〃=得時，平面4BF，平面4AB

D.若AP=1,則P的軌跡長度為專

7.（2024?河北衡水?三模）已知在正方體ABCD-481GA中，4小=2,點M為A.D.的中點，點P為正方

形ABQQi內一點（包含邊界），且8P〃平面AB.M，球。為正方體ABCD-A8QQ1的內切球，下列

_______________________…...>

說法正確的是（）

A.球。的體積為爭

B.點P的軌跡長度為2四

C.異面直線CG與所成角的余弦值取值范圍為，等］

D.三棱錐雙―4415外接球與球O內切

8.（2024.浙江嘉興.模擬預測）如圖，點P是棱長為2的正方體ABCD-A.B.C.D.的表面上一個動點，則

人.當「在平面BCCR上運動時,三棱錐P-AA.D的體積為定值今

O

B.當P在線段AC上運動時，。F與4G所成角的取值范圍是［導方］

C.若尸是A.B.的中點，當P在底面ABCD上運動,且滿足PF±BDi時，PF長度的最小值是娓

D.使直線AP與平面ABCD所成的角為45°的點P的軌跡長度為兀+42

9.（23-24高三下.山東.開學考試）如圖，在棱長為1的正方體ABCD-A8QQ1中，Af為平面ABCD所

A.若M在線段AB上，則。的最小值為

B.過河點在平面ABCD內一定可以作無數條直線與。1河垂直

C.若平面a±AM,則平面a截正方體的截面的形狀可能是正六邊形

D.若G雙與48所成的角為?則點M的軌跡為雙曲線

考點九、軌跡、截面、動點、范圍大題綜合

典例引羯

1.（2022?廣東汕頭?二模）如圖所示，C為半圓錐頂點，O為圓錐底面圓心，BD為底面直徑，4為弧BD中

點.△BCD是邊長為2的等邊三角形，弦上點E使得二面角E—的大小為30°,且施=

tAD.

（1）求力的值；

（2）對于平面4SD內的動點P總有OP。〃。平面