專題21全等與相似模型之半角模型

全等三角形與相似三角形在中考數學幾何模塊中占據著重要地位。全等三角形、相似三角形與其它知

識點結合以綜合題的形式呈現，其變化很多，難度大，是中考的常考題型。如果大家平時注重解題方法，

熟練掌握基本解題模型，再遇到該類問題就信心更足了。本專題就半角模型進行梳理及對應試題分析，方

便掌握。

目錄導航］

例題講模型

........................................................................................................................................................1

模型1.半角模型（全等模型）................................................................1

模型2.半角模型（相似模型）................................................................7

習題練模型］

12

大家在掌握幾何模型時，多數同學會注重模型結論，而忽視幾何模型的證明思路及方法，導致本末倒

置。要知道數學題目的考察不是一成不變的，學數學更不能死記硬背，要在理解的基礎之上再記憶，這樣

才能做到對于所學知識的靈活運用，并且更多時候能夠啟發我們解決問題的關鍵就是基于已有知識、方法

的思路的適當延伸、拓展，所以學生在學習幾何模型要能夠做到的就是：①認識幾何模型并能夠從題目中

提煉識別幾何模型；②記住結論，但更為關鍵的是記住證明思路及方法；③明白模型中常見的易錯點，因

為多數題目考察的方面均源自于易錯點。當然，以上三點均屬于基礎要求，因為題目的多變性，若想在幾

何學習中突出，還需做到的是，在平時的學習過程中通過大題量的訓練，深刻認識幾何模型，認真理解每

一個題型，做到活學活用！

例題講模型|］

模型1.半角模型（全等模型）

模型解讀

半角模型概念：半角模型是指是指有公共頂點，較小角等于較大角的一半，較大的角的兩邊相等，通過旋

轉，可將角進行等量轉化，構造全等三角形的幾何模型。

模型證明

1）正方形半角模型

條件：四邊形ABC。是正方形，Z￡CF=45°；結論：①△8CE絲△DCG；②ACEF出ACGF；?EF=BE+

DF-,④AAEP的周長=2A&⑤CE、CF分別平分乙8￡/和/￡口）。

證明：將ACBE繞點C逆時針旋轉90。至ACDG,即ACBE四△CDG,

/.ZECB=ZGCD,ZB=ZCDG=90°,BE=DG,CE=CG；

?.?A8CD是正方形，AZB=ZCDF=ZBCD=90°,BA=DA；：.ZCDG+ZCDF=l80°,故F、D、G共線。

VZECF=45°,：.ZBCE+ZDCF=45°,：.ZGCD+ZDCF=ZGCF=45°,：.ZECF=ZGCF=45°,

?：CF=CF,：.ACEF^/\CGF,:.EF=GF,'：GF=DG+DF,:.GF=BE+DF,:.EF=BE+DF,

：.\AEFK-^=EF+AE+AF=BE+DF+AE+AF=AB+AD=2AB,過點C作CHIEF,貝!|/CHE=90°,

■:XCEF妾XCGF,（全等三角形對應邊上的高相等），再利用乩證得：XCBEW4CHE,

：.ZHEC=ZCBE,同理可證：ZHFC=ZDFC,即CE、CF分別平分/8所和NEF。。

2）等腰直角三角形半角模型

條件：AABC是等腰直角三角形（/8AC=90。，AB=AC）,ZDA￡=45O；

結論：①△BA。gZkCAG；②ADAE咨AGAE；③NECG==90°；?DE2=BD2+EC2；

證明：將AABD繞點A逆時針旋轉90。至A4CG,即ABADgZkCAG,

ZBAD=ZCAG,ZB=ZGCA=45°,AD=AG,BD=CG；

ZDAE=45°,ZBAD+ZEAC^45°,：.ZCAG+ZEAC=ZGAE=45°,：.ZDAE=ZGAE=45°,

'：AE=AE,；.ADAEmAGAE,:.ED=EG,：AABC是等腰直角三角形，AZACB=45°,：.ZECG=90°,

：.GE2=GC2+EC2,：.DE2=BD2+EC2；

3）等邊三角形半角模型（120。-60。型）

A

條件：AABC是等邊三角形，A8OC是等腰三角形，MBD=CD,ZBDC=120°,Z￡Z)F=60°；

結論：①4BDE沿ACDG；②AEDFmAGDF；③EF=BE+CF；④A4EP的周長=242；

⑤DE、DF分別平分和ZEFCo

證明：將ADBE繞點。順時針旋轉120。至ADCG,即△BDE2ZXCDG,

AZEDB=ZGDC,ZDBE=ZDCG,BE=GC,DE=DG；

VZBDC=nO°,ZEDF=60°,：.ZBDE+ZCDF=60°,：.ZGDC+ZCDF=ZGDF=60°,故/GDF=/EDF,

,:DF=DF,：.4EDF"AGDF,：.EF=GF,,:GF=CG+CF,：.GF=BE+CF,：.EF=BE+CF,

：.\AEF的周長=EF+AE+AF=JBE+CF+4E+AF=4B+AC=2AB,

過點D作DM±GF,則/￡＞處'=N￡)MF=90°,

V^EDF^AGDF,(全等三角形對應邊上的高相等)，再利用HL證得：XDHF”ADMF,

：.ZHFD=ZMFD,同理可證：ZBFD=ZFED,BPDE,￡)/分別平分和NEFC。

4)等邊三角形半角模型(60。-30。型)

條件：AABC是等邊三角形，Z￡A￡)=30°；

結論：①ZXBDA咨ACFA；②△DAE04FAE；③/ECF=120°；@DE2=(^BD+EC)2+^H-BD

證明：將AABD繞點A逆時針旋轉60。至AACP,即AR4。絲△◎廠,

/.ZBAD=ZCAF,/B=/FCA=60°,AD=AF,BD=CF；

VZDAE=30°,：.ZBAD+ZEAC=30°,：.ZCAF+ZEAC^ZFAE^3Q°,：.ZDAE=ZFAE^3QO,

'：AE^AE,：.ADAE^/\FAE,；.ED=EF,是等邊三角形，AZACB=60°,/EC尸=120°,

-入11A/3A/3

過點F作FHJLBC,/.ZFCH=60°,NCFH=30°,；.CH=-CF=—BD,FH=-CF=-BD,

2222

:在直角三角形中：FE2=Ff12+EH2,DE2=（-BD+EC）2+（—BD）2；

22

5）任意角度的半角模型（2a-e型）

條件：ZBAC=2a,AB=AC,

結論：①△BAO0ZkCAF；②AEAD2EAF；③/ECF=180°-2a。

證明：將AABD繞點A逆時針a。至AACR即

/.ZBAD=ZCAF,ZB=ZBCA=ZFCA^90°-a,AD^AF,BD=CF；：.ZECF=ZBCA+ZFCA^180°-2a0

VZBAC=2a,ZDAE=a,：.ZBAD+ZEAC=a,：.ZCAF+ZEAC=ZFAE=a,：.ZDAE=ZFAE^a,

'：AE=AE,:.ADAE沿△FAE。

模型運用

例1.（2023?廣東廣州?二模）在正方形ABCO中，點E、歹分別在邊3C、CD且ZE4F=45。，連接族.

（1）如圖1,若BE=2,DF=3,求E/的長度；（2）如圖2,連接3。，3。與AF、AE分別相交于點M、N,

若正方形ABCD的邊長為6,BE=2,求Db的長；（3）判斷線段3N、MN、三者之間的數量關系并證明

你的結論.

圖1圖2

例2.（23-24八年級下?四川達州?階段練習）倡導研究性學習方式，著力教材研究，習題研究，是學生跳出

題海，提高學習能力和創新能力的有效途徑.

（1）【問題背景】已知：如圖1,點E、尸分別在正方形ABCD的邊BC、CD上，ZE4F=45°,連接班，則

EF、BE、。戶之間存在怎樣的數量關系呢？

（分析：我們把△AZ）/繞點A順時針旋轉90。至AASG,點G、B、C在一條直線上.）

于是易證得：AADF=JO_^AEF,所以EF=_.

直接應用：正方形ABCD的邊長為6,CF=4,則族的值為

（2）【變式練習】已知：如圖2,在中，AB^AC,D、E是斜邊上兩點，且ND4E=45。，請

寫出BDDE,CE之間的數量關系，并說明理由.

（3）【拓展延伸】在（2）的條件下，當NZME繞著點A逆時針一定角度后，點。落在線段2C上，點E落

在線段BC的延長線上，如圖3,此時（2）的結論是否仍然成立，并證明你的結論.

例3.（23-24九年級上?浙江臺州?期中）如圖，在VABC中，AB=AC,NBAC=120。，點。、E都在邊8c

上，NBAD=15°,ZZ）A￡=60°.若DE=3,則AB的長為.

例4.（23-24九年級上?江西南昌?期中）（1）如圖①，在直角VABC中，ABAC=90°,AB=AC,點。為

邊上一動點（與點8不重合），連接AD,將△ABD繞點A逆時針旋轉90。，得到△ACE,那么CE/D之間

的位置關系為,數量關系為；（2）如圖②，在VABC中，NA4c=90。，AB^AC,

D,E（點、D,E不與點8,C重合）為BC上兩動點，且NZME=45。.求證：BD2+CE2=DE2.（3）如圖

③，在VA3c中，ZCAB=120°,AB=AC,ZDAE=6O°,BC=3+^,D,E（點，E不與點2,C重

合）為BC上兩動點，若以RD,DEEC為邊長的三角形是以RD為斜邊的直角三角形時，求BE的長.

例5.（2024?江西?九年級期中）（1）【特例探究】如圖1,在四邊形中，AB=AD,ZABC=ZADC=90°,

ZBAD=100°,ZEAF=50°,猜想并寫出線段BE,DF,所之間的數量關系，證明你的猜想；

（2）【遷移推廣】如圖2,在四邊形ABCD中，AB=AD,ZABC+ZADC=180°,請寫

出線段BE,DF,E尸之間的數量關系，并證明；

（3）【拓展應用】如圖3,在海上軍事演習時，艦艇在指揮中心（O處）北偏東20。的A處.艦艇乙在指揮

中心南偏西50。的8處，并且兩艦艇在指揮中心的距離相等，接到行動指令后，艦艇甲向正西方向以80海

里/時的速度前進，同時艦艇乙沿北偏西60。的方向以90海里/時的速度前進，半小時后，指揮中心觀測到甲、

乙兩艦艇分別到達C,。處，且指揮中心觀測兩艦艇視線之間的夾角為75。.請直接寫出此時兩艦艇之間的

距離.

例6.（2022?湖北十堰?中考真題）【閱讀材料】如圖①，四邊形A3CD中，AB=AD,NB+NO=180。，點E,

產分別在3C,CO上，若NBAD=2/EAF,則=

【解決問題】如圖②，在某公園的同一水平面上，四條道路圍成四邊形ABCD.已知CD=CB=100m,

ZD=60°,ZABC=120°,ZBCD=150°,道路AZ）,A3上分別有景點M,N,且￡）M=100m,

2N=50（g-l）m,若在M,N之間修一條直路，則路線MfN的長比路線M->AfN的長少

m（結果取整數，參考數據：鳳

模型2.半角模型（相似模型）

模型解讀

半角模型特征：①共端點的等線段；②共頂點的倍半角；

半角模型輔助線的作法：由旋轉（或翻折）構造兩對全等，從而將邊轉化，找到邊與邊的關系（將分散的

條件集中，隱蔽的關系顯現）。

常見的考法包括：90。與45。（正方形、直角三角形）；120。與60。（等邊三角形）等。

模型證明

1）半角模型（正方形（或等腰直角三角形）中的半角相似模型）

條件：已知，如圖，在正方形ABC。中，/EAF的兩邊分別交BC、邊于M、N兩點，且/胡尸=45。

結論：如圖1,4MDAs4MANsAABN；

圖1

證明：?.?ABC。是正方形，...NADW=45。，\'ZEAF=45°,：.ZADM=ZEAF,

VZAMD=ZNMA,：.^MDA^/\MAN,同理：4MANs^ABN,：.^MDA^AMAN^^ABN；

結論：如圖2,ABMEsAAMNsADFN.

證明：?.?A8CO是正方形，:.NNDF=45°,,：ZEAF=45°,：,ZNDF=ZEAF,

'：ZDNF=ZANM,：.^AMN^/\DFN,同理：ABMES^AMN,：.ABMES叢AMNS/\DFN；

且喘噬嗡s

結論：如圖3,連接AC,則△AMBs"FC,AANDS^AEC.

圖3

AC

證明：???ABC。是正方形,ZBAC=ZABC=ZACF=45°,忘，/.ZBAM+ZMAC=45°,

AB

He

VZEAF=45°,：.ZFAC+ZMAC=45°,：.ZBAM=ZFAC,：.^AMB^AAFC,

AMAB

…n人—AEACr-AFAEACr-

同理:△A7VZ)0°/\A.ECf-----=-----=J2；即nn------=-----=-----={2°

ANABAMANAB

結論:如圖4,AAMNs^AFE且也=些=生=插.

AMANMN

證明:\'ABCD是正方形，；.AB〃CD,:./DFA=NBAN；VZAFE=ZAFD,ZBAN=ZAMD,：.ZAFE=

/AMN；

ApAr.AFAE『3。

又/MAN=/FAE,:?叢AMNsAAFE,由圖3證明知：——二——=——二夜，

AMANABAMANMN

2）半角模型（含120.60。半角模型）

條件：如圖5,已知NBAC=120。，ZADE=ZDAE=60°；

結論：@LABD^ACAE^ACBA；②絲=笠=生；③AD，AE=BD-CE(DE2=BDCE)o

BDAEAB

證明："：ZADE^ZDAE^60°,：.ZADE=6Q°,：.ZADB=120°,VZBAC=120°,ZADB^ZBAC,

?ADBD日口ADAC

ZABD=ZCBA,：.4ABDs△CBA；>?----------------,0：--------=---------

ACABBDAB

同理：bCAEsbCBA,???烏=空，即：曰=芷，即：AABD^△CAE^△CBA；—=—=

ACABAEABBDAEAB

；?ADAE=BDCE,丁AD=AE=DEf：.DE?=BDCE

模型運用

例1.（23-24九年級上?廣東深圳?期中）如圖,在正方形ABCD中，及尸分別是BC、CD上的點，且NEAF=45。,

AE,AF分別交8。于M、N,連按EMEF,有以下結論：①LABMsANEM；②△AEN是等腰直角三角

BFr-2

形；③當AE=A/時，—=2-V2；@BE+DF=EF；⑤若點尸是QC的中點，貝|CE=：C8.

EC3

其中正確的個數是（）

A.2B.3C.4D.5

例2.（23-24九年級上.河北唐山?階段練習）在同一平面內，將兩個全等的等腰直角三角形擺放在一起，如

圖1所示，點A為公共頂點，點。在的延長線上，NBAC=ZAED=90°,AB=AE=2也.若將AABC

固定不動，把VADE繞點A逆時針旋轉。（0。＜。＜90。），此時線段A。，射線AE分別與射線BC交于點

N.⑴當VADE旋轉到如圖2所示的位置時，①求證：AABNs^MAN；

②在圖2中除△ABN外還有哪些相似三角形，直接寫出；③如圖2,若8M=1，求3N的長；

（2）在旋轉過程中，若=請直接寫出CN的長（用含d的式子表示）.

AA

例3.（2024?遼寧?模擬預測）（1）如圖，等腰RtZXABC中，AB=AC,ABAC=90°,D、E在線段BC上,

且NZME=45。，BC=12,BD=3,求OE的長.

（2）如圖，在AABC中，AB=AC,如果NBAC=120。，。在直線8C上，E在5。上，。在E的右側，

ZZME=60°,若BC=12,CD=2,求DE的長.（3）如圖，在44BC中，若/R4C=2&,D、E是線段BC

上的兩點，ZEAD=a,AC=kAB,AD=&AE,探究8E與8的數量關系.

例4.（2023?遼寧沈陽?統考二模）在菱形A8CD中，/3=60。.點E,P分別在邊8C,CD±,且8E=b.連

接AE,AF.（1）如圖1,連接跖，求證：△AEF是等邊三角形；（2）AG平分S4F交8C于點G.

①如圖2,AG交所于點“，點N是8C的中點，當8E=4時，求MN的長.

②如圖3,。是AC的中點，點H是線段AG上一動點（點H與點A,點G不重合）.當AB=12,3E=4時,

是否存在直線OH將"CE分成三角形和四邊形兩部分，其中三角形的面積與四邊形的面積比為1：3.若

AJ-I

存在，請直接寫出前的值；若不存在，請說明理由.

圖2圖3

例5.（2024?山東煙臺.一模）如圖①，在正方形ABCD中，點N、M分別在邊3C、C￡＞上，連結AM、AN、

MN./MAN=45°,將△AMD繞點A順時針旋轉90。,點。與點8重合,得到&ABE.易證：4ANM經4ANE,

從而得DM+BN=MN.

【實踐探究】⑴在圖①條件下，若CN=6,CM=8,則正方形ABC￡＞的邊長是.

(2)如圖②，點M、N分別在邊C。、A3上，且BN=DM.點、E、尸分別在8M、DN上,ZE4F=45。，

連接所，猜想三條線段砂、BE、叱之間滿足的數量關系，并說明理由.

【拓展應用】(3)如圖③，在矩形ABC￡＞中，AB=6,AD=8,點M、N分別在邊。C、3C上，連結AM,

AN,已知NM4N=45。，BN=2,求DM的長.

圖(2)

習題練模型

1.（2024?福建南平?二模）已知正方形ABCD的邊長為6,E,尸分別是AB,BC邊上的點，且ZEZ*=45。,

將AZME1繞點。逆時針旋轉90。，得至若AE=2,則E似的長為（）

C.6D.6.5

2.（2024?重慶?一模）如圖，正方形ABCD中，E是8c上一點，尸是CD延長線上一點，BE=DF,連接

AE,AF,EF,G為E尸中點，連接AGDG.若=則()

A.45°--aB.30°-aC.450-aD.a

2

3.（2023?江蘇宿遷?三模）如圖，平面直角坐標系中，長方形Q4BC,點A,C分別在y軸，x軸的正半軸上,

OA=6,OC=4,ZDOE=45°,OD、O￡分別交8C,A3于點￡＞、E,且CD=2,則AE的長為()

A.1B.1.5C.2D.2.5

4.（23-24九年級下?湖北襄陽?期中）如圖所示，邊長為4的正方形ABCD中,對角線AC,BD交于點O,

E在線段0。上，連接CE,作所，CE交A2于點F連接C尸交于點則下列結論：①EF=EC；

@CF2=CGCA；③BE-DH=16；④若跖=1,則。石=：點，正確的是（）

AD

A.①②④B.①③④C.①②③D.①②③④

5.（2024.山東淄博.二模）如圖，正方形ABCD的邊長為4,點M在CB延長線上，〃0=1,作

NMAN=45。交DC延長線于點N,則的長為

6.（2024吉林?二模）已知：正方形ABCQ中，NM4N=45。，它的兩邊分別交CB,OC于點M,N,

于點H,連結BH,則下列結論：①BM+DN=MN；②AABMm&ADN；③

CNr-

ZBAM=ZBHM；④當BM=DN時，—-=V2,其中結論一定正確的序號是_______.

DN

7.（2023?山西晉城?校聯考模擬預測）如圖，在矩形ABCD中，AD=9,AB=6,E,尸分別為，CO邊上

的點.若ZE4F=45。，AE=3下,則￡＞尸的長為.

AT）Q

8.（2023?上海寶山?校考一模）如圖，在△ABC中，AB=AC，點D、E在邊BC上，NDAE=NB=30。,且——=-,

AE2

那么D處F的值是

BC

9.（23-24九年級上?黑龍江綏化?期中）已知四邊形中，ABLAD,BC1CD,AB=BC,ZABC=120°,

ZMBN=60。，繞B點旋轉，它的兩邊分別交AD,DC（或它們的延長線）于E,F.當NMBN統B

點旋轉到AE=CF時，如圖1,易證=（不用證明）（1）當NA仙N繞8點旋轉到AEwCF時，

如圖2,（1）中結論是否成立？若成立，請給予證明；（2）當繞B點旋轉到AEwCF時，如圖3,（1）

中結論是否成立？若不成立，線段AE,CF,族又有怎樣的數量關系？請給予證明.

（圖1）（圖2）

10.實踐與探究：小明在課后研究正方形與等腰直角三角形疊放后各個線段間的數量關系.已知正方形

ABCD的邊長為6,等腰RMAEF的銳角頂點A與正方形ABCD的頂點A重合,將此三角形繞A點旋轉，AE,

AF兩邊分別交直線BC,CD于M,N,旋轉過程中，等腰心AAEF的邊防與正方形沒有交點.

（1）如圖1,當M,N分別在邊3C,CO上時，小明通過測量發現+=他給出了如下的證明：

過A作AG,AM交CO延長線于G,連接AG,如圖2,易證則有3M=OG.請你幫助

小明后續證明；

（2）如圖3,當M,N分別在2C,CD的延長線上時，請直接寫出BM,DN,之間的數量關系；

（3）在旋轉過程中，等腰直角三角形的一邊正好經過正方形邊上的中點P,求出此時的長.

圖1圖2圖3

11.（2024.重慶市育才中學二模）回答問題

（1）【初步探索】如圖1：在四邊形48CD中，AB=AD,ZB=ZADC=90°,E、/分別是BC、CD上的點，

MEF=BE+FD,探究圖中/BAE、ZFAD,2E4/之間的數量關系.

小王同學探究此問題的方法是：延長陽到點G,使DG=BE.連接AG,先證明"BE絲AWG,再證明AAEF

^AAGF,可得出結論，他的結論應是；

（2）【靈活運用】如圖2,若在四邊形ABC。中，AB=AD,ZB+ZD=180°.E、尸分別是BC、C￡）上的點，

且EF=BE+FD,上述結論是否仍然成立，并說明理由；

（3）【拓展延伸】知在四邊形ABCQ中，ZABC+ZADC=180°,AB=AD,若點E在CB的延長線上，點尸

在C。的延長線上，如圖3所示，仍然滿足請直接寫出/EAF與/D4B的數量關系.

Qc

12.（2024?山西呂梁?九年級校考期中）在練習課上，慧慧同學遇到了這樣一道數學題：如圖，把兩個全等

的直角三角板的斜邊重合，組成一個四邊形ACB。，ZACD=30°,以。為頂點作交邊AC,BC于

點、M,N,/MDN=60°,連接MN.

探究AM,MN,8N三條線段之間的數量關系.

慧慧分析：可先利用旋轉，把其中的兩條線段“接起來”，再通過證明兩三角形全等，從而探究出AM,MN,

BN三條線段之間的數量關系.

慧慧編題：在編題演練環節，慧慧編題如下：

如圖(1),把兩個全等的直角三角板的斜邊重合，組成一個四邊形AC8D,ZACZ)=45°,以。為頂點作/

MDN,交邊AC,BC于點N,ZMDN=-ZADB,連接MN.

2

(1)先猜想AM,MN,BN三條線段之間的數量關系，再證明.

(2)NMDN繞點D旋轉,當M,N分別在C4,8C的延長線上，完成圖(2),其余條件不變，直接寫出

AM,MN,BN三條線段之間的數量關系.

請你解答：請對慧慧同學所編制的問題進行解答.

13.(2024?貴州?模擬預測)如圖，在正方形ABCD中，AB=4,E、/分另ij是3C、CD上的點，且ZE4F=45。，

AE.Ab分別交3D于點N,連接EN,EF.(1)如圖①，試探究AN和EN的數量關系和位置關系；(2)

如圖②，若點G是跖的中點，連接NG,求證：NG//DF-,(3)在(2)的條件下，若DN=NG,求△但1

的面積.

14.（2024.江西南昌?模擬預測）【模型建立】⑴如圖1,在正方形ABCD中，E,P分別是邊BC,CO上的

點，且ZE4F=45。，探究圖中線段所，BE,。尸之間的數量關系.

小明的探究思路如下：延長CB到點G,使3G=￡＞尸，連接AG,先證明AADP絲”LBG,再證明

△AEF當AAEG.①EF,BE,。歹之間的數量關系為；

②小亮發現這里AABG可以由△A所經過一種圖形變換得到，請你寫出這種圖形變換的過程.像

上面這樣有公共頂點，銳角等于較大角的一半，且組成這個較大角的兩邊相等的幾何模型稱為半角模型.

【類比探究】（2）如圖2,在四邊形中，AB=AD,NABC與ND互補，E,尸分別是邊BC,CDh

的點，且=試問線段跳BE,之間具有怎樣的數量關系？判斷并說明理由.

【模型應用】（3）如圖3,在矩形ABCD中，點E在邊BC上，AD=6,AB=4,ZG4E=45°,求CE的長.

圖1圖2圖3

15.（2024?四川樂山?中考真題）在一堂平面幾何專題復習課上，劉老師先引導學生解決了以下問題：

【問題情境】如圖1，在AABC中，ZSAC=90°,AB=AC,點。、E在邊上，且//ME=45。，BD=3,

CE=4,求Z）E的長.

解：如圖2,將繞點A逆時針旋轉90。得到△AGO"連接EZX.

由旋轉的特征得/BAD=/C4Z7,NB=ZACD,AD=AD'?BD=CD'.

VABAC=90°,ZDAE=45°,：.ZBAD+ZEAC=45°.

,：ZBAD=ZCAD',：.ZCAD'+ZEAC=45°,即/EAD'=45°.ZDAE=ZD'AE.

在A/ME和ADAE中，AD=AD'>ZDAE=ZD'AE,AE=AE,?.:.DE=D'E?

又,?/ECD'=ZECA+ZACD'=ZECA+ZB=90°,；.在RtAECD,中，②.

VCD'=BD=3,CE=4,

圖1圖2

:.DE=D'E=③.

【問題解決】上述問題情境中，“①”處應填：；“②”處應填：；“③”處應填：.

劉老師進一步談到：圖形的變化強調從運動變化的觀點來研究，只要我們抓住了變化中的不變量，就能以

不變應萬變.

【知識遷移】如圖3,在正方形ABC。中，點E、歹分別在邊3C、CD上，滿足△CEF的周長等于正方形ABCD

的周長的一半，連結AE、AF,分別與對角線3。交于M、N兩點.探究8M、MN、ZW的數量關系并證明.

【拓展應用】如圖4,在矩形ABCD中，點￡、F分別在邊3C、CD上，且NE4F=NCEF=45。.探究

BE、EF、小的數量關系：（直接寫出結論，不必證明）.

【問題再探】如圖5,在443C中，ZABC=90°,AB=4,BC=3,點。、E在邊AC上，且NDBE=45。.設

AD=x,CE=y,求y與x的函數關系式.

A

16.（2024?吉林長春?一模）【問題提出】如圖①，在正方形ABC￡＞中，M、N分別是邊A3和對角線上

的點，NMCN=45°,從而△ACMs/^DCZV,——=______.

DN

【思考探究】如圖②，在矩形ABCD中，ZS4c=60。，AB=3,M,N分別是邊。C和對角線3D上的點,

ZMAN=60°,若。W=l,求BN的長.

【拓展延伸】如圖③，在菱形ABCD中，AB=13,對角線AC=10,DEL5c交2C的延長線于點E,M、

N分別是菱形高DE和對角線AC上的點，tanZMBN=^~,AN=3,直接寫出DM的長.

17.（2024?江西新余?模擬預測）【問題提出】（1）如圖①，在正方形ABCD中，點E,歹分別在邊A3和對

角線AC上，ZEDF=45°,求證：BE=V2CF.

【嘗試應用】⑵如圖②，在矩形ABCD中，AB=3,A￡>=4,點E,尸分別在邊A3和對角線AC上，

NEDF=/BAC,AE=1,求CF的長.

【拓展提高】（3）如圖③，在菱形ABCD中，AB=5,AC=6,點E,尸分別在邊A3和對角線AC上,

tanZE￡>F=-,CF=1,DE,CB的延長線交于點G,請直接寫出DG的長.

4

18.（2023?內蒙古赤峰?統考中考真題）數學興趣小組探究了以下幾何圖形.如圖①，把一個含有45。角的三

角尺放在正方形A3CD中，使45。角的頂點始終與正方形的頂點C重合，繞點C旋轉三角尺時，45。角的兩

邊CM,CN始終與正方形的邊AO,AB所在直線分別相交于點N,連接MN,可得ACWN.

【探究一】如圖②，把VCDM繞點。逆時針旋轉90。得到ACB”,同時得到點H在直線AB上.求證:

ZCNM=ZCNH；

【探究二】在圖②中，連接3。，分別交CM,CN于點E,F.求證：ACEFsMNM；

【探究三】把三角尺旋轉到如圖③所示位置，直線8D與三角尺45。角兩邊CM,CN分別交于點E,F.連

接AC交加于點。，求器的值.

圖②圖③

圖①

專題21全等與相似模型之半角模型

全等三角形與相似三角形在中考數學幾何模塊中占據著重要地位。全等三角形、相似三角形與其它知

識點結合以綜合題的形式呈現，其變化很多，難度大，是中考的常考題型。如果大家平時注重解題方法，

熟練掌握基本解題模型，再遇到該類問題就信心更足了。本專題就半角模型進行梳理及對應試題分析，方

便掌握。

目錄導航］

例題講模型］

1-------------------------1........................................................................................................................................................1

模型1.半角模型（全等模型）.................................................................1

模型2.半角模型（相似模型）.................................................................7

習題練模型］

.......................................................................................................................................................12

大家在掌握幾何模型時，多數同學會注重模型結論，而忽視幾何模型的證明思路及方法，導致本末倒

置。要知道數學題目的考察不是一成不變的，學數學更不能死記硬背，要在理解的基礎之上再記憶，這樣

才能做到對于所學知識的靈活運用，并且更多時候能夠啟發我們解決問題的關鍵就是基于已有知識、方法

的思路的適當延伸、拓展，所以學生在學習幾何模型要能夠做到的就是：①認識幾何模型并能夠從題目中

提煉識別幾何模型；②記住結論，但更為關鍵的是記住證明思路及方法；③明白模型中常見的易錯點，因

為多數題目考察的方面均源自于易錯點。當然，以上三點均屬于基礎要求，因為題目的多變性，若想在幾

何學習中突出，還需做到的是，在平時的學習過程中通過大題量的訓練，深刻認識幾何模型，認真理解每

一個題型，做到活學活用！

例題講模型1

模型1.半角模型（全等模型）

模型解讀

半角模型概念：半角模型是指是指有公共頂點，較小角等于較大角的一半，較大的角的兩邊相等，通過旋

21

轉，可將角進行等量轉化，構造全等三角形的幾何模型。

模型證明

1）正方形半角模型

條件：四邊形是正方形，Z￡CF=45°；結論：①△BCEgZkQCG；②△CEP之ZkCGF；?EF=BE+

DF-,④AAEf的周長=2A8；⑤CE、C尸分別平分/8EF和/E/*。

證明：將ACBE繞點C逆時針旋轉90。至ACOG,BPACBE^ACDG,

/.ZECB=ZGCD,ZB=ZCDG=90°,BE=DG,CE=CG；

；ABC。是正方形，；.NB=/CDF=NBCD=90。,BA^DA-,：.ZCDG+ZCDF^1SO°,故尸、D、G共線。

VZ￡CF=45°,：,ZBCE+ZDCF=45°,：.ZGCD+ZDCF=ZGCF=45°,：.ZECF=ZGCF=45°,

'：CF=CF,.,.△CEF^ACGF,:.EF=GF,'：GF=DG+DF,：.GF=BE+DF,：.EF=BE+DF,

：.\AEFW^z=EF+AE+AF=BE+DF+AE+AF=AB+AD=2AB,過點C作CHLEF,貝l|/CHE=90°,

VAC￡F^ACGF,，Cr>=CH（全等三角形對應邊上的高相等），再利用證得：4CBE冬ACHE,

：.ZHEC=ZCBE,同理可證：ZHFC=ZDFC,即CE、C尸分別平分/8EP和NEED。

2）等腰直角三角形半角模型

條件：AA8C是等腰直角三角形（/BAC=90。，AB=AC）,ZDA￡=45°；

結論：①△R4。2△CAG；②△ZME之△GAE；③NECG==90°；@DE2^BD2+EC2；

證明：將AABD繞點A逆時針旋轉90。至AACG,即△BA￡）gZ\C4G,

AZBAD=ZCAG,ZB=ZGCA=45°,AD=AG,BD=CG；

VZDAE=45°,：,ZBAD+ZEAC=45°,：.ZCAG+ZEAC=ZGAE=45°,：.ZDAE=ZGAE=45°,

'：AE=AE,.?.△DAE^AGAE,：.ED=EG,：AABC是等腰直角三角形，/.ZACB=45°,.,.ZECG=90°,

...GE2^GC2+EC2,：.DE2=B》+EC2；

22

3）等邊三角形半角模型（120。-60。型）

條件：A4BC是等邊三角形，A8OC是等腰三角形，S.BD=CD,ZBDC=120°,NEDF=6Q°；

結論：①ABDE2ACDG；②4EDF學AGDF；③EF=BE+CF；④AAEF的周長=2A&

⑤DE、DF分別平分N3EF和NEFC。

證明：將AOBE繞點。順時針旋轉120。至AOCG,即△BDEgZkCZJG,

：./EDB=NGDC,ZDBE=ZDCG,BE=GC,DE=DG；

VZBDC=nO°,ZEDF=6Q°,：.ZBDE+ZCDF=6Q°,：.ZGDC+ZCDF=ZGDF=60°,故/GDF=/EDF,

?：DF=DF,；.4EDF烏AGDF,：.EF=GF,,：GF=CG+CF,；.GF=BE+CF,：.EF=BE+CF,

：.\AEF^J^-^z=EF+AE+AF=BE+CF+AE+AF=AB+AC=2AB,

過點。作。DM±GF,貝

?：4EDF沿AGDF,（全等三角形對應邊上的高相等），再利用乩證得：ADHFmADMF,

：.ZHFD=ZMFD,同理可證：ZBFD=ZFED,即。E、。/分別平分NBEF和/EFC。

4）等邊三角形半角模型（60。-30。型）

條件:AABC是等邊三角形，ZEAD=30°；

\2

①ABDA這ACFA；②△ZME會△/?!￡；③NEC尸=120°；④。仔=（18。+石。2+

結論:BD

2

證明:將AABD繞點A逆時針旋轉60。至AAC尸，即△54。絲△CAR

AZBAD=ZCAF,ZB=ZFCA^6Q°,AD=AF,BD=CF；

23

VZDAE=30°,：.ZBAD+ZEAC^O°,：.ZCAF+ZEAC=ZFAE^Q°,：.ZDAE=ZFAE^30°,

'：AE^AE,；.ADAE咨△FAE,:.ED=EF,:AA8C是等邊三角形，/.ZACB=60°,AZ￡CF=120°,

11

過點尸作切IBC,ZFCH=60°,NCFH=30°,:.CH=-CF=-BD,所”*

22

:在直角三角形中：FE2=FH2+EH2,：.DE2=（-BD+EC）2+（—BD）2；

22

5）任意角度的半角模型（2e-a型）

結論：①△54。之△CAB②LEAD絲AEAF；③NECP=180°-2c。

證明：將AABD繞點A逆時針a。至AACR即ABA￡)0Z\C4R

ZBAD=ZCAF,ZB=ZBCA=ZFCA^90°-a,AD^AF,BD=C