專題30解直角三角形模型之12345模型

初中幾何，直角三角形具有舉足輕重的地位，貫徹初中數學的始終，無論是一次函數、平行四邊形、

特殊平行四邊形、反比例函數、二次函數、相似、圓，都離不開直角三角形。今天我們要重點介紹的“12345”

模型就是中考（選填題）解題神器，需要我們反復斷鉆研、領悟。現在帶領大家領略一下，“12345”模型的

獨特魅力。

模型1*12345”模型及衍生模型

（19年北京市中考）如圖所示的網格是正方形網格，貝！|NP48+NPA4=。（點/,B,尸是網格交點）。

8

力

該類問題解法很多，這里我們就根據現有的方格紙來構造一個等腰直角三角形。

如圖，即：ZPAB+ZPBA=ZBPQ=45°o

上面的/尸/2和/尸84便是今天要說的特殊角，除了它們的和為45。之外，用三角函數的觀點來看:

tanZPAB=-,tanZPBA=-,對于這里的數據，為了便于記憶，總結為“12345”模型。

23

模型證明

12345基礎模型模型還可變式為

tana=—tana=—,_a

,一。；變式LL-；變式2：.石*然。

證明：（基礎模型）如圖，作矩形/BCD,且48=CZ>3,AD=BC=4,在8C上取一點E使得AB=1,在DC

上取一點F使得D尸=2,根據矩形性質得：EC=3,CF=1,iktanZDAF=-,tanZBAE=~,tanZFEC=~,

233

易證："BE"AECF,：.ZBAE=ZCEF,AE=EF,

VZBAE+ZAEB=90°,：,ZCEF+ZAEB=90°,：.ZAEF=9G°,：.ZEAF=45°

證明：（模型變式1）如圖，作矩形/8C。，且/8=CD=a,AD=BC=a+b,在3c上取一點E使得3￡=a,在

OC上取一點下使得DF=6-a,根據矩形性質得：EC=b,CF=a,

,,b-aa,a

故------,tanZ.BAE=—,tan/FEC=—,

a+bbb

易證："BE"AECF,：.ZBAE=ZCEF,AE=EF,

,/ZBAE+ZAEB=9Q°,：.ZCEF+ZAEB=90°,：.ZAEF=90°,：.ZEAF=45°

模型變式2可借鑒變式1證明方法，自行證明即可。

(5)Zct+Zp=90°；(6)ZADB+ZDBA=ABAC-,(6)/ADB+NDBA=/BAC；

上面的這些補充的模型，證明并不算困難，有興趣的同學可借助網格圖或構造圖形自行進行證明。

切記：做題不光要知道題目告訴我什么，還要根據已知的信息，思考這里需要什么，而“12345”模型用來

解決相關的選填題非常方便。下面所列舉的某些題，利用“12345”解題也許未必是最簡，最巧妙的,

但至少可以成為一種通性通法，可在短時間內快速破題。畢竟在考試的時候時間是非常寶貴的。

模型運用

例1.（2022?四川樂山?中考真題）如圖，在比A/3C中，ZC=90°,BC=生，點、D是AC工一點、,連接

BD.若tanN/=,，tanZABD=-,則CD的長為（）

23

A.2>/5C.V5

例2.（2024?吉林長春??？级＃┤鐖D，正方形N2CZ）中，AB=8,G是3c的中點.將A/BG沿NG對折至

LAFG,延長Gr交。C于點￡,則DE的長是（）

例3.（23-24八年級下?江蘇南京?期中）如圖，在四邊形/BCD中，/A=NB=90P,AB=BC=4,AD=3,

E是48上一點，且4DCE=45。，則。E的長度是（）

A.3.2B.3.4C.3.6

a

例4.（2023?山西晉城?模擬預測）如圖，在正方形4BC。中，點E,F分別為BC,48的中點，連接/E,

點G是線段AE上一點，連接G廠，延長FG交CD于點“，若N2=4,4AGF=45°,則CM的長為.

例5.（2023.成都市九年級期中）如圖，在矩形48CD中，AB=2,BC=4,點￡、9分別在5C、CD上，若

AE=MZEAF=45°,則NF的長為.

例6.（23-24九年級上?福建泉州?期中）如圖，在平面直角坐標系中，直線了=-尤+加分別交x軸，V軸于4B

兩點，已知點C（2,0），點尸為線段的中點，連結尸4PC,若NCPA=/4BO,則機的值為.

例7.（2023?龍華區九年級上期末）如圖，已知正方形48C。的邊長為6,E為8C的中點，將沿直

線/E折疊后，點3落在點尸處，/尸交對角線AD于點G,則尸G的長是

BEC

8.（2024九年級上?浙江?專題練習）如圖，將已知矩形紙片4BC。的邊8C斜著向ND邊對折，使點3落在40

上，記為"，折痕為CE；再將CD邊斜向下對折，使點。落在"C邊上，記為。外折痕為C尸，B'D'=2,

BE=GBC.則矩形紙片ABCD的面積為.

例9.（2023?湖北黃岡?統考中考真題）如圖，矩形/BCD中，AB=3,BC=4,以點3為圓心，適當長為半

徑畫弧，分別交8C,BD于點、E,F,再分別以點￡,R為圓心，大于工所長為半徑畫弧交于點P,作射線

2

BP,過點C作8尸的垂線分別交于點M,N,則CN的長為（）

A.VWB.VHC.273D.4

例10.（2023.呼和浩特中考真題）如圖，正方形48co的邊長為2vL點E是。。的中點，BE與4C交于點

M,廠是4D上一點，連接"分別交ZC,4E于點G,H,且連接,則/8=,

MH=.

習題練模型

1.（23-24廣東汕頭?模擬預測）如圖，正方形4BCD中，AB=6,G是BC的中點.將A48G沿/G對折至

A4FG,延長GF交。C于點E,則GE的長是（）

A____________ft

段

BGC

A.5B.4C.3D.2

2.（2024?山東淄博??？家荒＃┤鐖D，正方形ABCD的邊長為9,點E,F分別在邊AB,AD上，若E是

AB中點，且NECF=45。，則CF的長為（）

AEB

A.12B.3C.3710D.375

3.（23-24九年級下?江蘇南通?階段練習）如圖，在四邊形48。中,ZA=ZB=90°,AB=BC=8,AD=6,

￡是邊45上一點，且/。CE=45。，則。E的長度是（）

AD

O

BC

A.8B.7.4C.7D.6.8

4.（23-24九年級上?貴州銅仁?期末）如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線y=-x~\~m（加？0）分別交x

軸，了軸于4,3兩點，已知點C（3,0）.點P為線段03的中點，連接上4,PC,若NCQ4=45。，貝U冽的

值是

5.（2024?遼寧葫蘆島?二模）如圖3,在矩形N5C。中，點￡,歹分別在邊5C,CD上，將矩形/3CD沿/E,

4尸折疊，點3落在點M處，點。落在點G處，點4,M,G恰好在同一直線上，若DF=2CF,AB=6,

AD=10,則線段BE的長為.

G

6.（2024?廣東?模擬預測）在正方形/BCD中，邊長為6,BE=2AE,連接DE,在40、2c上分別存在點G、

F,連接G歹交?！暧凇c，且/G〃D=45。，求線段尸G=.

7.（2023?山東?中考模擬）如圖，在矩形/2C。中，48=4,/。=6,點E,尸分別在邊BC,CD

上，ZEAF=45°,BE=2,則。9的長為.

7.（23-24九年級?江蘇無錫?期末）如圖，在正方形N8CD中，尸是8C的中點，把△巴3沿著E4翻折得到

△PAE,過C作CF_LZ>E于足若CF=2,則DF=.

AD

/E

B4JC

8.（2017無錫中考真題）在如圖的正方形方格紙上，每個小的四邊形都是相同的正方形，/、B、C、。都在

格點處，AB與CD相交于。，貝”劭/5。（的值等于

I

寸

I

Il\I

I-

一-一一一o一

9.（2016甘肅天水中考真題）如圖，把矩形紙片CM5C放入平面直角坐標系中，使04、。。分別落在x軸、

y軸上，連接03,將紙片04BC沿03折疊，使點/落在點，位置，OB=亞，tan/BOCuL,則點/'的

坐標為____________

10.（2023.廣東九年級期中）如圖，折疊邊長為4cm的正方形紙片/8CO,折痕是DM,點C落在點￡處,

分別延長攻，DE交AB于點、F,G,若點“是3C邊的中點，則尸G=cm.

11.（23-24九年級上?重慶?階段練習）如圖，已知正方形ABCD的邊長為布，對角線AC、BD交于點0,

點E在BC上，且CE=2BE,過B點作BFLAE于點F,連接0F,則線段OF的長度為.

12.（2024嚀夏銀川?三模）如圖，在矩形/BCD中，AB=6,BC=10,將矩形NBC。沿BE折疊，點/落

在?處，若EH的延長線恰好過點C,貝的值為.

13.（23-24九年級?天津河西?期末）正方形/BCD的邊長/8=2,￡是的中點，尸是8C的中點，AF分

別與?！?3。相交于點M,N,則的長為.

14.（23-24八年級上?江蘇南京?期末）如圖，在平面直角坐標系中，一次函數y=-2x+4的圖像與x軸、＞

軸分別交于點4、B,將直線AB繞點8順時針旋轉45°,交x軸于點C,則直線BC的函數表達式為.

15.（2324?深圳?模擬預測）如圖，已知點N的橫坐標與縱坐標相等，點8（0,2）,點N在反比例函數y=一

x

的圖象上.作射線AB,