重難點07求圓的方程/氏題型匯總

眉邛題型解讀

〃滿分技巧/

2」

技巧一.幾何法：

根據圓的幾何性質，直接求出圓心坐標和半徑，進而寫出方程.

技巧二待定系數法：

①若已知條件與圓心(a,功和半徑/■有關，則設圓的標準方程,依據已知條件列出關于a,b,，的方程組,

從而求出a,b,「的值;

②若已知條件沒有明確給出圓心或半徑,則選擇設圓的一般方程，依據已知條件列出關于。，E,尸的方程

組，進而求出。，E,尸的值.

技巧三.標準方程法

確定圓心位置的方法

(1)圓心在過切點且與切線垂直的直線上；

(2)圓心在圓的任意弦的垂直平分線上；

(3)兩圓相切時，切點與兩圓圓心共線.

技巧四.圓系方程

1.過直線Ax+By+C-0與圓x2+y2+Dx+Ey+F=0交點的圓系方程為x2+y^+Dx+Ey+F+?(/x+By

+O=0(/leR);

2.過圓G:x2+必+Dix+￡iy+6=0和圓G：必+必+%+￡y+4=0交點的圓系方程：A2+產+Dix

+印/+6+/(必+〃+6x+E2y+Q)=0(/1/-1)(該圓系不含圓G解題時，注意檢驗圓G是否滿足題意，

以防漏解).

用*題型提分練

題型1圓的標準方程法

【例題1](2022秋?青海海南?高二海南藏族自治州高級中學校考期末)圓心在x軸負半軸上，半徑為4,

且與直線x+8y-5=0相切的圓的方程為()

A.(%+3)2+y2=16B.(x—3)2+y2=16

C.(x—13)2+y2=16D.(x+13)2+y2=16

【變式1-1】1.(2023春?上海楊浦?高二統考期末)以C(l,l)為圓心，且經過“(2,3)的圓的方程

是?

【變式1-1]2.(2023秋浙江杭州?高二浙江大學附屬中學校考期末)已知點力(4,0),0(0,0),B(0,-3),則

△AOB的內切圓的方程為.

【變式1-1】3.(2022秋?甘肅蘭州?高二蘭化一中校考期末)斐波那契螺旋線被譽為自然界最完美的"黃

金螺旋線”，它的畫法是：以斐波那契數：1,1,2,3,5,8,13,…為邊長的正方形拼成長方形，然后

在每個正方形中畫一個圓心角為90。的圓弧，這些圓弧所連起來的弧線就是斐波那契螺旋線.如圖為該螺旋

線在邊長為1,1,2,3,5,8的正方形的中的部分，建立平面直角坐標系(規定小方格的邊長為1),則

接下來的一段圓弧所在圓的方程為

【變式1-1]4.(2022秋?廣東珠海?高二珠海市第一中學校考期末)德國數學家米勒曾提出過如下的"最

大視角原理”對定點4B和在直線/上的動點P，當與△4PB的外接圓相切時，乙4PB最大若4(0,2),B(0,8),

P是久軸正半軸上一動點，當P對線段48的視角最大時,△4PB的外接圓的方程為()

A.(X-4)2+(y—4)2=25B.(x-4)2+(y-5)2=16

C.(x—5尸+(y—4)2=16D.(x-4)2+(y-5)2=25

【變式1-1]5.(2022秋廣西欽州?高二浦北中學統考期末)已知直線I：x-2y+4=0與圓C：x2+y2+

2x+2y—8=0相交于A,B兩點.

(1)求圓心為。(—3,3),過A,B兩點的圓D的方程；

(2)求經過點A和點B且面積最小的圓的方程.

【變式1-U6.(2023秋?遼寧沈陽?高二東北育才學校校考期末)已知△ABC中，點4(-1,5),AC邊上中線

所在直線匕的方程為8久+y-12=0,4B邊上的高線所在直線。的方程為％-3y+6=0.

⑴求點B和點C的坐標：

(2)以M(l,0)為圓心作一個圓，使得力、B、C三點中的一個點在圓內，一個點在圓上，一個點在圓外，求這

個圓的方程.

題型2圓的一般方程法

[例題2])(多選)(2022秋?湖北?高二統考期末)已知△ABC的三個頂點的坐標分別為力(1,1),5(-2,3),

CC-1,-2)，則下列說法正確的有()

A.2C邊上的高所在直線的方程7x+4y+2=0；

B.△ABC的外接圓的方程為/+y2+3%-y-4=0；

C.過4作直線1與線段BC相交,則直線/斜率的取值范圍為[-；,目；

D.△ABC的面積為葭.

【變式2-1]1.(2022秋?山東2澤?高二統考期末)已知qBC的三個頂點分別是點A(4,0),B(-2,0),

C(-2,2),則MBC的外接圓的方程為

【變式2-1J2.(2023秋訶南平頂山?高二統考期末)已知A/IBC的頂點坐標分別是43,0),B(1,2),C(-l,0).

(1)求AABC外接圓的方程；

(2)若直線I：3x+4y-8=0與44BC的外接圓相交于M,N兩點，求NMCN.

【變式2-1J3.(2023秋?廣東清遠?高二統考期末)已知448。的頂點分別為4(-1,7),3(-4,-2),。(3,-1).

(1)求AABC外接圓的方程；

⑵設P是直線/：4%-3y-25=。上一動點，過點P作44BC外接圓的一條切線，切點為Q,求|PQ|最小值

及點P的坐標.

【變式2-1]4.(2023秋?廣東深圳?高二深圳大學附屬中學校考期末)矩形4BCD的兩條對角線相交于點

M(2,0),AB邊所在直線的方程為x-3y-6=0,AC所在直線的方程為x-y-2=0.

(1)求BC邊所在直線的方程；

(2)求經過M,A,B三點的圓的方程.

題型3數形結合法

【例題3](2022秋?陜西渭南?高二統考期末)過點4(-6,2),8(2,-2)且圓心在直線x-y+1=0上的圓

的方程是()

A.(x—3)2+(y—2)2=25B.。+3)2+(y+2)2=25

C.(%—3)2+(y—2)2=5D.(%+3)2+(y+2)2=5

【變式3-1]1.(多選)(2022秋?江蘇連云港?高二期末)若圓C的半徑為四,且直線2%+3y-10=0與

圓C相切于點P(2,2),則圓的方程是()

A.%2+(y—l)2=13B.x2+(y+l)2=13

C.(%+4)2+(y—5)2=13D.(%—4)2+(y—5)2=13

【變式3-1]2.(多選)(2022秋?江蘇連云港?高二統考期末)已知圓C和直線遮％-y=0及%軸都相切，

且過點(3,0),則該圓的方程是()

A.(%-3)2+(y-V3)2=3B.(%-3)2+(y+3百?=27

C.O+3/+(y—=3D.(K一3尸+(y—36?=27

【變式3-1J3.(2023秋?江西吉安?高二江西省吉水縣第二中學校考期末)已知點4(-2,2)田(6,4),//(5,2),

H是"BC的垂心.

(1)求點C的坐標；

⑵求MBC的外接圓的方程.

【變式3-1J4.(2023春?上海浦東新?高二校考期末)已知圓C：(x-1尸+(y-1尸=4,P為直線Z：2x+y+

2=。上的動點過點P作圓C的切線P4切點為A,當△24c的面積最小時,△P4C的外接圓的方程為)

A.(x-02+(y-g2=|B.(x-|)2+(y-|)2=；

C*+(y-丁=；D.(x-1)2+y2=^

【變式3-1]5.(2021春浙江寧波?高一鎮海中學校考期末)已知力(1,1),B(3,3)，動點C在直線Z：y=K-4

上.

(1)設△ABC內切圓半徑為r,求r的最大值：

(2)設△ABC外接圓半徑為R,求R的最小值，并求此時外接圓的方程.

B

【變式3-1]6.（2022秋?浙江溫州?高二溫州中學校考期末）已知直線匕:久一y+3=。和%：久+y+1=0的

交點為4,過A且與久軸和y軸都相切的圓的方程為,動點B，。分別在k和％上，目舊C|=2,則

過4,B,C三點的動圓掃過的區域的面積為.

題型4已知解析式型

【例題4】（2023春?四川達州?高二校考期中）方程反-1|=J1-（y-1尸表示的曲線是（）

A.一個圓B.兩個半圓C.兩個圓D.半圓

【變式4-1]1.（2023?四川德陽?統考模擬預測）數學美的表現形式不同于自然美或藝術美那樣直觀，它

蘊藏于特有的抽象概念，公式符號，推理論證，思維方法等之中，揭示了規律性，是一種科學的真實美.平

面直角坐標系中，曲線C：好+必=|%|+份|是一條形狀優美的曲線，曲線C圍成的圖形的面積是（）

A.2TIB.4+nC.2+TID.TI

【變式4-1]2.（2021秋?上海浦東新?高三華師大二附中校考期中）已知曲線C：+2尸+

【變式4-1]3.（多選）（2023?全國?高二專題練習）若曲線E是由方程團-1=和朋-1=彳

共同構成，則（）

A.曲線E關于直線y=士x對稱

B.曲線E圍成的圖形面積為兀+4

C.若點（%o，yo）在曲線E上,則人的取值區間是魚]

D.若圓好+y2=r2（r>0）能覆蓋曲線E,貝!]r的最小值為2

【變式4-1]4.（2022春?貴州黔西?高二統考期末）方程3-1=/4一（y-1）2表示的曲線的周長

為.

【變式4-1]5.（2023?北京?高三專題練習）曲線/+2久|y|+2y2—1=。的一條對稱軸是；y的取

值范圍是.

題型5直徑公式法

【例題5]（2023秋河南駐馬店?高二統考期末）以4（0,0）,B（2,0）為直徑兩端點的圓的方程為（）

A.x2+y2-2x=0B.x2+y2+2x—0

C.x2+y2—2y=0D.x2+y2+2y=0

【變式5-1]1.（2023春?上海崇明?高二統考期末）已知兩點P（3,l）、Q（5,-3）,則以PQ為直徑的圓的方

程是.

【變式5-1]2.（多選）（2022秋?湖北高二校聯考階段練習）下列說法錯誤的是（）

A.若一條直線的斜率為tana,則此直線的傾斜角為a

B.過不同兩點4（巧,%）乃（%2，%）的直線方程為"江=工

yz-yi%2-％1

C.線段AB的兩個端點201，%）和3（X2，%），則以AB為直徑的圓的方程為（x—X1）（X—0）+（y—%）（y—

丫2）=0

D.經過點（2,1）且在x軸和y軸上截距都相等的直線方程為x+y-3=0

【變式5-1]3.（2021秋?安徽?高二校聯考期中）已知圓直徑的兩個端點為4（1,0）,B（0,2V2）,則該圓的

標準方程為.

【變式5-1]4.（2022秋?山西太原?高二校聯考階段練習）已知線段PQ的端點Q的坐標為（-2,3）,

端點P在圓C:（x-8）2+（y-1）2=4上運動.

（1）求線段PQ中點M的軌跡E的方程；

（2）若一光線從點Q射出，經x軸反射后，與軌跡E相切，求反射光線所在的直線方程.

【變式5-1]5.（2022?全國高三專題練習）已知4（1,0）,8（3,0）是圓C直徑上兩個端點，則圓C的方程

為，若直線y=依截圓C所得的弦長為遮，則k=.

題型6圓系方程法

【例題6]（2023秋?山東濟南?高二山東省濟南市萊蕪第一中學校考期末）已知圓的：/+⑺—=5,

圓C2:久2+y2-4x+2y=0.

（1）求圓Ci與圓Q的公共弦長；

（2）求過兩圓的交點且圓心在直線2x+4y=1上的圓的方程.

【變式6-1]1.（2021,全國?高二期末）以圓C]：久2+*+?+1=o與圓：x2+y2+2x+2y+1=0

相交的公共弦為直徑的圓的方程為（）

A.（x-1）2+（y-1）2=1B.（久+I）2+（y+I）2=1

【變式6-1]2.（2023春?河南周口?高二統考期中）經過直線2x+y-6=0與圓C:x2+y2-4x+6y+4=

0的兩個交點，且面積最小的圓的方程是()

A.(x-4)2+(y—2)2=2B.(x+4)2+(y+2)2=2

C.(x—4)2+(y+2)2=4D.(%+4)2+(y—2)2=4

【變式6-1】3.(2023江蘇高二專題練習)求經過直線％+y=0與圓好+川+一例-8=0的交點，

且經過點P(-L-2)的圓的方程.

【變式6-1]4.(2022秋?黑龍江齊齊哈爾?高二齊齊哈爾市恒昌中學校校考期末)圓心在直線x-y-4=0

上,且過兩圓M+必一4刀—6=。和/+y2_4y_6=o的交點的圓的方程為.

題型7對稱相關問題

【例題7](2023春?重慶沙坪壩?高二重慶八中校考期末)已知圓C:久2+y2=25,則圓C關于點(-3,4)對

稱的圓的方程為()

A.(%+3)2+(y-4)2=16B.(x+3)2+(y—4)2=25

C.(x+6)2+(y—8)2=16D.(x+6)2+(y—8)2=25

【變式7-1]1.(2022秋?陜西寶雞?高二統考期末)已知圓C關于直線x-y+1=0對稱的圓的方程

(%—1產+(y—=1,則圓C的方程為()

A.x2+(y+2/=1B.(x—2)2+y2—1

C.x2+(y-2/=1D.(x+2)2+y2=1

【變式7-1]2.(多選)(2022秋?遼寧營口?高三統考期末)已知圓C:(K一3多+(y—3)2=4與直線/:皿+

y-2=0,下列說法正確的是()

A.直線I與圓C一定相交

B.若爪<1則圓C上至少有兩個不同的點到直線I的距離為1

C.若加=1,則圓C關于直線I對稱的圓的方程是0+1尸+(y+1尸=4

D.若m=1,直線I與x軸，y軸分別交于A,B兩點，P為圓C上任意一點，當|PB|=倔寸，貝最

大或最小

【變式7-1]3.（2023秋廣東?高三統考期末）從點P（2,3）射出兩條光線的方程分別為-3y+1=0

和G：3x-4y+6=。，經x軸反射后都與圓（x-a）2+（y-fa）2=1相切，則圓的方程為.

【變式7-1]4.（2022秋?重慶江北?高二校考期末）已知圓C的圓心在第一象限內，圓C關于直線y=1對

稱，與y軸相切，被直線y=-x截得的弦長為20

Q）求圓C的方程；

（2）若點P（6或,2）,求過點P的圓的切線方程.

【變式7-1]5.（2022秋江蘇鎮江?高二揚中市第二高級中學校考期末）已知圓QO+2乃+（y-3）2=l,

圓。2：（久-3/+（y-2/=1,動點P在x軸上，動點M,N分別在圓的和圓。2上,則圓的關于x軸的對

稱圓的方程為_；|PM|+|PN|的最小值是

題型8阿波羅尼斯圓問題

【例題8]（2023秋?重慶沙坪壩?高二重慶南開中學校考階段練習）公元前3世紀，古希臘數學家阿波羅尼

斯結合前人的研究成果，寫出了經典之作《圓錐曲線論》，在此著作第七卷《平面軌跡》中，有眾多關于

平面軌跡的問題，例如:平面內到兩定點距離之比等于定值（不為1）的動點軌跡為圓.后來該軌跡被人們稱

為阿波羅尼斯圓.已知平面內有兩點4（-1,。出口B（2,l）,且該平面內的點P滿足|P2|=V2|PB|,若點P的軌

跡關于直線機x+ny-2=0（m,n>0）對稱，則旨+，的最小值是（）

A.10B.20C.30D.40

【變式8-1]1.（2023春?廣西南寧?高二賓陽中學校聯考期末）數學家阿波羅尼斯證明過這樣一個命題：

平面內到兩定點距離之比為常數％（4>。且2#1）的點的軌跡是圓，后人將這個圓稱為阿波羅尼斯圓，簡

稱阿氏圓.已知在平面直角坐標系久0y中，4（-3,0）,動點M滿足|M川=/|用0|,得到動點M的軌跡是阿氏

圓C.若對任意實數k,直線「y=k（x-1）+b與圓C恒有公共點，貝心的取值范圍是（）

A.[-713,713]B.[-714,714]

C.[-V15,V15]D.[-4,4]

【變式8-1]2.（多選）（2022秋福建廈門?高三廈門雙十中學校考階段練習）古希臘著名數學家阿波羅

尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名，他發現："平面內到兩個定點A,B的距離之比為定值4。*1）的點的軌

跡是圓后來人們將這個圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓.在平面直角坐標系xOy中，

2（1,0）,5（3,0）,點P滿足鬻=V2，點P的軌跡為曲線C,下列結論正確的是（）

A.曲線C的方程為%2+y2-10%+17=0

B.直線3K+4y=0與曲線C有公共點

C.曲線C被支軸截得的弦長為4/

D.A力BP面積的最大值為2女

【變式8-1]3.（2023?江蘇?高二專題練習）古希臘著名數學家阿波羅尼斯發現：平面內到兩個定點48的

距離之比為定值M241）的點的軌跡是圓，此圓被稱為“阿波羅尼斯圓”.在平面直角坐標系xOy中，

4（-2,0）,B（4,0），點P滿足翳=I.設點P的軌跡為C.

①軌跡C的方程為（x+4/+外=