專題26空間向量與立體幾何的綜合應用

【考點預測】

一、空間向量的數量積運算

1、兩向量夾角

已知兩個非零向量b,在空間任取一點。，作刀=3,.礪=%,則叫做向量3,B的夾角，

記作通常規定0工（風力（〃，如果（見3）=掾，那么向量Q,B互相垂直，記作Q_LB.

2、數量積定義

已知兩個非零向量a,b,貝"d^COS,叫做Q,B的數量積，記作4%,即4%=卜[I^COS卜用.零

向量與任何向量的數量積為0,特別地，7￡二問2.

3、空間向量的數量積滿足的運算律：

（4。）％=2（q,a-b=b-a（交換律）；

a-[b+c^=a-b+a-c（分配律）.

二、空間向量的坐標運算及應用

（1）設〃=（%,%，。3），3=僅1也也），則〃+B=（%+4,42+62,〃3+4）；

〃_B=（%_4,%-偽-4）；

4a=（4。],4a2,4a3）；

a-b=%b]+a2b2+a3b3；

a//b{bw6）n%=Abx,a2=Ab2,a3=Ab3；

Q_L區=*+a2b2+a3b3=0.

（2）設4（演,必,zj,8（%2，%/2），則45=05_。/=（X2_再，歹2_必/2_zj.

這就是說，一個向量在直角坐標系中的坐標等于表示該向量的有向線段的終點的坐標減起點的坐標.

（3）兩個向量的夾角及兩點間的距離公式.

①已知Q=（%,%,%），3=（4也也），則|+/2+%2；

W=+82+a2.

a-b=axb{+a2b2+a3b3；

cos伍*,她+華+她；

、/Ja；+a；+必Jb；+b；+b；

②已知/（X］，M，Z］）,8（%,%/2）,則網=J（X］-％Y+（必一%）2+（4-Z2）2,

或者4（43）=|詬卜其中”48）表示/與&兩點間的距離，這就是空間兩點的距離公式.

（4）向量.在向量否上的射影為|a|cos（a⑹=1^.

11'/忖

（5）設3口片6）是平面M的一個法向量，AB,CD是“內的兩條相交直線，則盛下=0,由此可求

出一個法向量G（向量方及而已知）.

（6）利用空間向量證明線面平行：設：是平面的一個法向量，7為直線/的方向向量，證明7i=0,

（如圖8-155所示）.已知直線/Qlaa）,平面a的法向量若7i=0,貝!J///a.

（7）利用空間向量證明兩條異面直線垂直:在兩條異面直線中各取一個方向向量3,b,只要證明alb,

即a.B=0.

（8）利用空間向量證明線面垂直：即證平面的一個法向量與直線的方向向量共線.

（9）證明面面平行、面面垂直，最終都要轉化為證明法向量互相平行、法向量互相垂直.

（10）空間角公式.

①異面直線所成角公式：設B分別為異面直線小4上的方向向量，。為異面直線所成角的大小,

.I/__、|a-b

則cos0=cos（a,b）\="^一?

1'〃a\\b

②線面角公式：設/為平面a的斜線，［為/的方向向量，3為平面a的法向量，。為

a-n

/與a所成角的大小，貝Usin6=\cos(a,n

a^n

③二面角公式：

設％,為分別為平面a，〃的法向量，二面角的大小為夕，貝1。=斬磕或"-伍切（需要根據具體

情況判斷相等或互補），其中〔cosOkB".

_2B-?

（11）點/到平面a的距離為〃，Bwa,〃為平面a的法向量，貝1]d」1U

H

【典型例題】

例1.（2024?高二?浙江杭州?期中）如圖，空間四邊形O4BC中，OA=^i，OB=b，5E，，〃在線段CM上,

且CM=3/M,點N為BC中點，則加=（）

1—211f2-1T1一］一111一2一1］一

A.—a——b+—cB.——a+—b+—cC.—a+—b——cD.—a+b——c

23232222232

【答案】B

【解析】因為N為8C的中點，貝I］兩=礪+麗=歷+；打=礪+3（雙一礪）=|■礪+；區,

因為。4=3W,則而=2次，

3

因止匕，MN=ON-OM=-OB+-OC--OA=--a+-b+-c.

223322

故選：B.

例2.（2024?高二?北京?階段練習）如圖,在平行六面體43co中,M為4G與片。的交點，若CD=a，

一LIUUL±

CB=b，CCX=c,則下列向量中與兩相等的向量是（）

［一1ff

D.1a—bc

22222222

【答案】D

【解析】在平行六面體48CD-44中，麗7=元+6弓+請=-。+61+3（而+以瓦）

^-CB+CC.+-CB+-CD=-a--b+c.

2222

故選：D

例3.(2024?高一廣東云浮?階段練習)已知空間不共線的向量Z，b，且篇=3+2在，BC^-5a+6b，

CD^la-2b>則一定共線的三點是()

A.A、B、CB.B、C、DC.A、B、DD.A、C、D

【答案】C

【解析】因為刀=々+2在，BC=-5a+6b-CD=7a-2b>

對于A：因為益+就=y￡+8另，

則不存在任何2eR,使得衣=4荔，所以A、B、C不共線，故A錯誤；

UULUULUUULU11

對于B：因為BD=BC+CD=2a+4b，

UUUUUU

則不存在任何〃eR,使得=所以8、C、。不共線，故B錯誤；

_UUlttUUJLLlUUlULM1±

對于C：因為/Z)=/3+BC+CZ)=3a+6b，

所以而=3荔，則A、B、。三點共線，故C正確；

對于D：因為益+前=7￡+8書，

則不存在任何teR,使得麗=/%,所以A、C、。不共線，故D錯誤；

故選：C

例4.(2024?高二?安徽黃山?期末)已知向量￡=(2,4,-4"=(1,2,2),則向量2在向量3上的投影向量為(

[122、<122><244}(244}

A。B.3遍C.口.《迎

【答案】D

a-bba-b2+8-8/<244

【解析】由投影向量公式得向量￡在向量g上的投影向量為同.園=彳/r?"匚石(1,2,2)=

故選：D

例5.(2024?江蘇南通?二模)在正方體力BCD-44中，下列關系正確的是()

A.ADLB.CB.A,D1BDC.AC,IA.CD.AC,1CD,

【答案】D

【解析】以。為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，設正方體的棱長為1,

所以2(1,0,0),。(0,0,0),虱1,1,0),q0,1,°,4(1,0,1),0(0,0,1)再(1,1,1居

AD=(-l,0,0),^C=(-l,0,-l),l^=(-l,o,-l),s5=(-l,-l,o),

^G=(-1,1,1)，4C=(-1,1,-1),C5；=(O,-1,1)

對于A,AD-^C=-lx(-l)=1^0,故A錯誤；

對于B,麗?麗=-1x(-1)=1#0,故B錯誤；

對于C,NG?4c=-lx(-1)+1x1+1x(-1)=1w0,故C錯誤;

對于D,JQ-CD；=-lxO+lx(-l)+lxl=O,故D正確.

例6.（2024?內蒙古赤峰?模擬預測）在正方體/BCD-4494中，點瓦尸，G分別是棱/A",網的中點,

則異面直線GE,尸G所成角的余弦值為（）

【答案】A

【解析】根據題意，以。為坐標原點建立空間直角坐標系，如下圖所示:

設正方體的棱長為2,則G(0，2,2),E(1,0,0),尸(1,2,0),GQ,2,1),

可得西=(-1,2,2),同=(1,0,1),

______.pc.FG]_V|

則35=向同

3x72-6

又因為異面直線的夾角范圍是（0看

因此異面直線CXE,FG所成角的余弦值為變.

6

故選：A

例7.（多選題）（2024?高二?江西吉安?期末）在棱長為1的正方體N5CD-44GA中，瓦=:西，麗=麗,

則下列說法正確的是（）

A.尸G〃平面

B.直線尸G與底面/BCD所成的角的正弦值為三

C.平面與底面48co夾角的余弦值為:

D.點。到平面AB.E的距離為方

【答案】AB

【解析】如圖所示，以點。為坐標原點，所在直線分別為x軸，了軸，z軸，建立空間直角坐

標系，

則4(1,0,1),A(14,1),G(0,1,1),￡(o,o,g；尸],i，g

西=卜,0,￡|,京=(一1,04，

?,?尸C.//ZE,

AEu平面4B[E,FC】U平面ABXE,

???FC]〃平面43遂,故A正確.

B選項，平面48C。的法向量數=（0,0』）,

設直線尸G與底面所成的角為6,

FCAA

HillcinA—Iccc/口「AA\l—c.

dint/卜UQ\iL],Ziyi,/故B正確.

前|阿

C選項，函=(0,1,1),ZE=f-l,0,|k設平面/呂￡的法向量3=(x,y,z),

n-AB】=y+z=O9

則一―?1令z=2,得x=l,y=—2,則〃=Q,—2,2).

n-AE=-xH■—2=0,

2

設平面4片￡與底面/BCD的夾角為a,

則cosa=Ms（數，9|=母=嗎上丁"=|，

平面/3也與底面/BCD夾角的余弦值為:，故C錯誤.

D選項，,?FCJ/AE,4￡^:平面/耳￡,尸平面

又N=[O,1,￡|,平面/耳￡的法向量屋1-2,2）,

.?.點Q到平面AB.E的距離即為直線W與平面AB.E的距離?同"I_史卜2+1|_：故

-vrzzn-

D錯誤.

故選：AB

例8.（多選題）（2024?高三?貴州?階段練習）如圖，正方體/BCD-44GA的棱長為2,M是4G上的動

A.AM4c的面積是定值B.與方共線的單位向量是（LLO）

C.森與畫夾角的余弦值是半D.平面/耳。的一個法向量是（0,1,-1）

【答案】AD

[解析】A選項：M在4G上且4G///C,

??.M到AC的距離等于4G到AC的距離，設為定值d,

，邑為定值，故A選項正確；

B選項：（1,1,0）的模為也，不為單位向量，故B選項錯誤；

如圖所示建系,“(2,0,0),5(2,2,0),2)(0,0,0),耳(2,2,2),

則布=(0,2,0),西=(2,2,2),AD=(-2,0,0)

——ABDB.4V3

C選項：c°sN凡期=網網=E=T，故C選項錯誤；

D選項：設元

貝!]麗?力=2x0+2x1+2x(—1)=0,=-2x0+0xl+0x(-l)=0,

即麗，五，ADln，

為面/呂。的一個法向量，故D選項正確；

故選：AD.

例9.(多選題)(2024?高二?重慶沙坪壩?階段練習)給出下列命題，其中為假命題的是()

A.已知亢為平面a的一個法向量，成為直線/的一個方向向量，若力_1_應，則///a

B.已知力為平面a的一個法向量，成為直線/的一個方向向量，若〈用應〉=g,貝I]/與a所成角為已

C.若兩個不同的平面。，。的法向量分別為反，且您=(1,2,-2),v=(-2,-4,4),則a//

D.已知空間的三個向量a,B，△則對于空間的任意一個向量/，總存在實數x，％z使得/=壇+證+z,

【答案】AD

【解析】對于A：由題意，當萬_L歷時，///a或/ua,故A錯誤；

對于B：由圖象可得，ZCAD=—,則='，

33

7TJT

所以乙4DB=飛,根據線面角的定義可得：/與。所成角為:，故B正確;

66

對于C：因為力=(1,2,-2)=-*2,-4,4)=(，所以：//；,故a//，故C正確；

對于D：只有當空間的三個向量3,b-3不共面時，

對于空間的任意一個向量力，才存在實數x,N,z使得/=%+yB+z3,故D錯誤.

故選：AD.

例10.(2024?遼寧?一模)已知空間中的三個點/(LU)，8(2,1,-1),C(3,0,0),則點A到直線3c的距離

為.

【答案】2^1/1742

33

【解析】由題意知,/(U,l),3(2,「l),e(3,0,0),

所以麗=(-1,0,2),就=,

得網=向園=5"軍=包*=￡

1111|sc|V33

例11.(2024?高二?上海徐匯?期末)如圖，在多面體NBCDE尸中，四邊形/BCD為正方形，DE工平面

ABCD,DE/!BF,AD=DE=2,BF卷

(1)求證：ACVEF

(2)在線段DE上是否存在點G,使得直線8G與月。所成角的余弦值為:？若存在，求出點G到平面/CF的

距離，若不存在，請說明理由.

【解析】(1)因為四邊形48CD為正方形，DE1平面/BCD,

如圖以。為原點，分別以D4DC,DE的方向為x，V，z軸的正方向，建立空間直角坐標系，

則。（0,0,0）,/（2,0,0）,2（2,2,0）,。（0,2,0）,￡（0,0,2）,尸（2,2,；

X

所以就=（-2,2,0）,而==（2,2,彳；

所以苑麗=-2x2+2x2+0=0，

所以U_L而，所以

（2）設線段DE上存在一點G（0,0,/z）,04/z42,使得8G與ZD所成角的余弦值為|,

則數=（-2,-2㈤,又25=（-2,0,0）,

9

所以|cos3G,4D|=§,解得〃=1（負值舍去）,

x2

所以存在G（0,0,1）滿足條件，

所以就=（一2,0,1）,依題意可得就=（-2,2,0）,萬:=（0,2,

設歷=（x,%z）為平面/CF的法向量，

AC-n=—2x+2y=0

則一1'設尤=1,可得萬=。,1,-4),

AF-n=2y+-z=Q

\AG-n

所以點G到平面ZC尸的距離為

問3亞，

_TT

例12.（2024,全國?模擬預測）如圖,在四棱錐「-/白》中，P4_L平面/BCD,AB//CD,ZABC=—，AB=2,

2

BC=CD=4,〃為棱P。的中點，直線CW與ZO所成角的余弦值為畫.求：

70

p

(1)點"到直線3c的距離；

(2)二面角P—BC—M的余弦值.

【解析】(1)取C。的中點。，連接力。，

因為N5=2,CD=4,所以4B=CD,

又AB//CD,所以四邊形N3CQ為平行四邊形，

IT

又N4BC=2,

2

故,

因為P/_L平面/BCD,4。"u平面/BCD,

所以尸

如圖，以/為坐標原點，/。，/瓦/尸所在直線分別為工軸，了軸，z軸，建立空間直角坐標系,

設尸（0,0,2a）,則5（0,2,0）,C（4,2,0）.（2,-1,aR,P,0）,

于是慶=（2,3,-a）,㈤5=（4,-2,0）.

設MC,4D所成的角為8,

MCAD|—（4,-2,0）12

火HilIJlcUcUco（A7—

MCIz5，4+9+Q2xV16+4V13+a2xV20

改2同

解得Q=1,

\J13+a2xV2070

設點”到直線的距離為d,

兩灰_(2,-3,1>(4,0,0)_8_V14

則cosBM,BC=

|W||5C|4x74+9+14xV147，

^^d=\BM\smBM,BC=y/]Ax=Vio.

所以點〃到直線3C的距離為廂.

（2）依題意，P8=（0,2,-2）,PC=（4,2,-2）,5C=（4,0,0）,MC=（2,3,-l）.

設平面PBC的一個法向量五=（x,y,z）,

PB-n=（0,2,-2）=2y-2z=0

.k=（4,2,-2）.（2,z）=4x+2y-2z=0'

解得尤=0,令歹=1,得Z=1,所以為=（0,1,1）,

設平面3cM的一個法向量為成=（。也。），

BC'fh=(4,0,01(Q,Z?,C)=4。=0

則

MC-m==2〃+36—c=0

解得Q=0,令6=1,得c=3,則加=（0,1,3）.

設二面角尸-5C-M的平面角為6,由圖知。為銳角，

則C°s"b°s成司-恒久-皿3L4一述

所以二面角P-8C-M的余弦值為寺.

例13.（2024?江蘇?模擬預測）在五棱錐尸一/BCEE中，AB//CF,AEHBC,PE±PF,AB±BC,

PE=PF=AE=2,FC=BC=4,AB=6,平面PEF1平面ABCFE.

P

（2）若向:=九而（2>0）,且直線NM與平面尸CF所成角的正弦值為一p,求2的值.

【解析】（1）證明：延長4E,CF交于點D,;4B//CF,4E//BC,4B1BC

二四邊形ABCD為矩形，DE=DF=2,:.ZDFE=ZCFB=45°,NBFE=90°

BF1EF,:.平面PEF_L平面ABCFE,平面PEFn平面ABCFE=EF

BF<=平面ABCFE,：.8尸_L平面PEF,：.BFYPE,即PEA.BF.

(2)如圖建系，"(0,0,0)制板,0,@,“一2也,2板,0),/(3五,收,0)

5(0,4V2,0),PS=(-72,472,-72PM=(-V2A,4722,-722)

:.AM=AP+PM=(-2后，-倉五卜卜包4屆_5)

=(-272-72/1,4^22-72,72(1-/1))

FP=(V2,0,V2),FC=(-2V2,2V2,0)

設平面PCF的一個法向量力=(x,y,z),

n-FP=0fy[2x+-\/2z=0,、

—0LL=^?=14,-1

n-FC=01一2j2x+2j2y=0

卜"臼_25___________4拒(I-.)____________2而

由憫15J2(2+.)2+2(42-Ip+2(1-4)2.615

n(22-l)(A-4)=0,v0<A<=

例14.(2024?陜西渭南?模擬預測)如圖，在四棱錐尸-48CD中，P4_L平面48。，底面48CD是正方形,

點E在棱尸。上，AD=AP,AEICE.

(1)證明：點￡是尸。的中點;

(2)求直線BE與平面ACE所成角的正弦值.

【解析】(1)由尸4,平面/BCD,CDu平面48cD,所以上4LCD；

又底面ABC。是正方形，所以40,CD；

因為4DcP4=N,/D,尸Nu平面R4。，所以CD_1_平面尸4D；

又ZEu平面尸4。，所以。_LNE,

因為4E_LCE,CDcCE=E,CD,CEu平面尸CD,

可得NE_L平面尸CD,又PDu平面尸CD,

所以4E_LPD,又因為4D=4P,

可知點E是尸。的中點；

（2）根據題意可得/氏/。,/尸兩兩垂直，

因此以A為坐標原點，尸所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標系，如下圖所示:

^AD=AP=2,則4（0,0,0）1（2,0,0）,C（2,2,0）,E0,1,1）；

所以屜=（一2,1,1）,就=（2,2,0）荏=（0,1,1）；

設平面/CE的一個法向量為五=（x,%z）,

AC-w=2x+2y=0

可得:一,_，令>=一1,可得x=l,z=l；

AE=y+z=0

即行=（1,一1,1）；

設直線BE與平面/CE所成的角為。,

BE-n\|-2-l+l|_V2

則sin0=cosBE,n=

BE\j|w|V6X>/33

所以直線5E與平面/CE所成角的正弦值為農.

3

【過關測試】

一、單選題

1.（2024?高二?湖北荊門?期末）在四面體。48C中，M點在線段04上，且（W=2M4,G是的重心,

己知應=1，OB=b-OC=c,則沅等于（

A.-a--b+-cB.--a+-b+-c

333322

C.-~a+-b+-cD.-5+-b--c

333332

【答案】C

【解析】因為G是。3c的重心,

貝=g（n=g（雙一刀+礪=礪+g云

由(W=2M1,^MG=-OA,

3

uutruutruuur1uur2r1r1r1r1rir

所以MG=M4+ZG=—CM——a+-b+-c^——a+-b+-c.

3333333

故選：C.

2.(2024?高二?河南鄭州?期末)人教A版選擇性必修第一冊教材44頁“拓廣探索”中有這樣的表述：在空間

直角坐標系中，若平面々經過點月(%,%,z°),且以拔=(a,6,cj(a6cn0)為法向量，設尸(x,y,z)是平面a內

的任意一點，由方?/=(),可得aa-xJ+Wy-yJ+dz-zjnO,此即平面的點法式方程.利用教材給

出的材料，解決下面的問題：已知平面々的方程為2x+2y+z-7=0,直線/的方向向量為(1,2,-2),則直

線/與平面a所成角的正弦值為()

5

A.—B.-C.D.一

999

【答案】B

【解析】因為平面。的方程為2x+2y+z-7=0,

所以平面。的一個法向量為加=(2,2,1),

直線/的方向向量為力=02-2),

設直線/與平面。所成角為6,

4

和

萬4

--

則sin0=|cos<mHI9

mlX3

故選：B.

3.(2024?全國?一模)如圖，四棱錐P-/5CZ)中，底面/BCD是矩形，PA工AB,PA工AD,AD=1,AB=日

△尸48是等腰三角形，點E是棱屬的中點，則異面直線EC與尸。所成角的余弦值是()

A/6八

A.-V--3-RD.----Lr?-V--6-LJ.-V--2-

3342

【答案】B

【解析】因為48，AD,4P兩兩垂直，

以《為原點，AB,AD,4尸分別為x,y,z軸建立空間直角坐標系.

Zk

又因為&=45=后，AD=\,

所以/（0,0,0）,5（V2,0,0）,C（V2,l,0）,￡＞（0,1,0）,P（0,0,夜）

（5歷、

因為是棱的中點，所以，

EPBE1與2,0￥2J,

所以EC=,P5=（O,1,-72）,

122J

1+1

可得cos〈￡C，P°〉=

3，

-+l+-xVi+2

22

所以異面直線EC與PD所成角的余弦值是逅.

3

故選：B.

4.（2024?高一?全國?課時練習）如下圖所示,在正方體/BCD—44GA中，E,尸分別是的中點,

則異面直線gc與E尸所成的角的大小為（）

C.60°D.90°

【答案】C

以。為坐標原點，D4為x軸，。。為了軸，為z軸，建立空間直角坐標系,

設正方體/BCD-/4GA棱長為2,則￡(2,1,0),F(1,0,0),旦(2,2,2),

C(0,2,0),^C=(-2,0,-2),￡F=(-l,-l,0),

設異面直線與E尸所成的角為氏。€,弓，

\B^-EF\21

貝i|COS0=||=后7,所以?=60°.

麻|?網V8-V22

故選：C

二、多選題

5.（2024?高三?福建?階段練習）如圖，點4B,C,M,N為正方體的頂點或所在棱的中點，則直線MN//

平面/3C的是（）

【解析】對于A項，如圖所示建立空間直角坐標系，設正方體棱長為2,

則/(2,0,1),3(1,2,0),C(0,2,1),M(2,2,2，M0，l，2,

所以通=(-1,2,-1),就=(-2,2,0),而7=(2,1,0),

.、n-AB=-a+2b-c=0

設平面45C的一個法向量為〃=(q也。)，貝卜—.

n-AC=-2a+2b=0

令〃=1=>6=1,o=1,即加=(1,1,1),

顯然麗7?萬=2+1+0=3。0，即加與［不垂直，故直線與平面/5C不平行，故A錯誤;

對于B項，如圖所示取側棱中點。，連接BD,由正方體的特征可知/。//8。,“乂//助,

所以平面48c即平面/8C。，跖￥0平面/8。。，8。u平面/BCD,

對于C項，由正方體的特征易知平面4BC//側面MN,MNu側面AGV,

所以直線M///平面48C,故C正確；

對于D項，如圖所示取正方體一棱中點G,連接CG、MG、BN,

由正方體的特征可知：ACUMN.ABUGM.BN//CG,

易知4C、G、M、N、8六點共面，故D錯誤.

故選：BC

—?1—?

6.（2024?高二?陜西西安?階段練習）如圖，在四面體/3CZ）中，兩兩垂直，AE=-ADf貝（J（）

A.向量近在向量而上的投影向量為12。

B.向量。在向量而上的投影向量為

C.向量區」瓦卡2?麗-前

33

—?2--1--—■

D.向量C￡=—A4+—BD-2C

33

【答案】AD

如圖所示，取BF=—,連接8E,貝U斯//4B.

2

—1—

因為848C,5D兩兩垂直，AE=-AD,

所以。在80上的投影為B點，E在8。上的投影為廠點，

所以向量花在向量而上的投影向量為8尸=；2。，故A正確，B錯誤；

CE=BE-BC=BA+JE-BC=BA+^JD-BC=BA+^（BD-liA^-BC

2—1——

=-BA+-BD-BC,故C錯誤，D正確.

故選：AD

三、填空題

7.（2024?山東濟南?一模）在三棱柱/3C-44G中，AM=2MB>乖=機/，且8N//平面4c則

m的值為.

【答案】g/0.5

__,__2___?-__?2__?2

如圖，不妨設在=Z,就k=反可=",依題意，~AM^-a,MA^MA+JA^-^AB^c--a,

_____2

MC=AC-AM=b——a,

3

因A、N=mAxCx=mb,則BN=BAX+A^N=c-a+mb.

又因BN//平面4cA/,故麗，西，碇必共面，

__一2一2

即存在Z"eR,使8N=2M4]+piMC,SPc-a+mb=A(c-—a)-h/^(b--a),

2

-y(Z+//)=-l

N=m,解得加

從而有，=L

A=12

故答案為：y.

8.(2024?高二?福建泉州?期末)在空間直角坐標系中，若平面a過點《，且以向量力=(a,6,c)(a,b,c

不全為零)為法向量，則平面e的方程為。(x-Xo)+b(y-%)+《z-Zo)=0.已知平面/8C的方程為

x+2y-z+1=0,則點尸(1,2,3)到平面平面ABC的距離為.

【答案】逅/1幾

22

【解析】由平面/8C的方程為x+2y-z+l=0,可得平面/8C過點。(0,0,1),且其法向量為3=(1,2,-1),

又由點尸(1,2,3),可得理=(_1,-2,-2),

所以點尸(1,2,3)到平面。的距離為/^華答=士譽1=

\n\V62

故答案為：逅

2

9.(2024?高二?安徽?階段練習)已知力=(0,2,1)是平面a的法向量，點0(1,0,3)在平面a內，則點尸(2,2,2)到

平面a的距離為.

【答案】±54逐

55

【解析】由題意可得網=(1,0,3)-(2,2,2)=(-1,-2,1),

又行=(0,2,1)是平面a的法向量，

則點尸(2,2,2)到平面a的距離為d=窄曰=短4=容，

故答案為：巫

5

10.(2024?山東?模擬預測)已知在正方體488-44。夕］中，AM=^AD,平面/①。c平面=/,

則直線1與DM所成角的余弦值為.

【答案】叵

30

【解析】作出圖形，如圖所示.

延長QC至E,使得DC=CE,則△4/8名△￡(?￡,AD&q咨LCBE,

故4臺=。￡,4￡=BE,故四邊形4。仍為平行四邊形，

連接BE,延長MC,BE交于點G,連接￡G,則0G即為直線/.

以D為坐標原點，DA,DC,分別為x,y,z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，

設/。=2,過點G作GNLV軸于點N,則△MDCs^GNC,且相似比為1:2,

故CN=2CD=4,GN=2DM=2,

則￡(0,2,2),<7(-2,6,0),Af(1,0,0),A(0,0,2),

故而=(-2,4,-2),麗=(1,0,-2),

\cfi-D^\1(-2,4,-2).(1,0,-2)1V30

故直線1與D.M所成角的余弦值為J?___」=%?

由伊M74+16+4x71+0+430

故答案為：甄

30

四、解答題

11.(2024?浙江?模擬預測)如圖，已知正三棱柱48<7-48￡,48="14，。,￡分別為棱4穌8。的中點.

（1）求證：48，平面/。。；

（2）求二面角/-CQ-E的正弦值.

【解析】（1）取中點尸，由正三棱柱性質得，4耳DG，跖互相垂直，以。為原點，分別以。叫。G，

。尸所在直線為x軸，＞軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系.

不妨設必=2,貝九44=2收，

則4卜夜,0,0）,/（-60,2）,8（60,2死60拄?

證明：港=（2行,0,2）,而=（。,0,2）,西=（0/6,4,DE4^-^~,2,

\7

由布.加=（2后,0,2}（-在0,2）=-4+0+4=0,得48_LNO,

由福?國=（2收,0,2＞（0,指,0）=0+0+0=0,得48_LDC],

因為AD,DC,u平面ACXD,AD^DC^D,所以4臺，平面4CQ.

(2)

由（1）可知而=（2后,0,2）為平面/CQ的一個法向量，設為=（x,%z）平面CQE的法向量,

x+2A/2Z=0

y=0

令z=1,得面C{DE的一個法向量為n=（-272,0,1）,

設二面角N-CQ-E的值為。，

以8?司/T/7

貝i]|cosO|=^^=一,所以，二面角/一。。一￡的正弦值為空.

|44同33

12.（2024?江蘇?一模）如圖，在四棱錐中，EC_L平面48CD,DCLBC,AB//DC,DC=2AB=2,

CB=CE,點、F在棱BE上,S.BF=-FE.

2

D

⑴證明：。￡//平面/FC；

(2)當二面角尸-/C-。為135°時，求CE.

【解析】(1)因為EC_L平面8C,CDu平面/BCD,

所以EC_L3C,EC_LCD,

又DCLBC,

以C為坐標原點，C8,CE,CD所在直線分別為x，V，z軸，，建立空間直角坐標系,

設BC=m,

,?DC=2AB=2,

nx-CA=^x.y,z)?(m,0,1)=mx+z=0

則

nCF^(x,y,z)-|=2，"x」w=c'

e33

令x=l得y=_2,z=_次,故々=(1,—2,—加)

/.DE-nx=-2m+2m=0,

故。￡//平面/FC；

(2)平面NCD的一個法向量％=(0,1,0),

2力以=

cosl35"=-

而-^5+m2-12

\CE=5

13.(2024?天津河西?一模)已知三棱錐尸-/BC中，P4_L平面4BC,AB1AC,AB=2PA=2AC=4,N

為48上一點且滿足3訴=福，M,S分別為P8,3c的中點.

⑴求證：CM1SN；

(2)求直線SN與平面CMN所成角的大小；

(3)求點尸到平面CW的距離.

【解析】(1)因為P/J■平面48C,AB1AC,

如圖以A為原點，尸所在直線分別為x軸、了軸、z軸，建立空間直角坐標系,

則1(0,0,0),8(4,0,0),c(o離嘰尺0,0,2,陷2,0,)N2,1，。，N1，財，

所以誨=(2,-2,1),而=(-1,-1,0),

因為亞?麗=2x(-l)+(-2)x(-l)+lx0=0,

所以CM_LSN.

(2)設平面CAW的法向量力=(x,%z),函=(1,-2,0),

n-CM=Q即"\2x-o2y+z=0，取yu得Y,L-2、)，

則一

n-CN=0

設直線SN與平面CW所成角為。,

n-SN\

3417T

貝Usin又0,-,

3x72-2

TT7T

所以。="所以直線SN與平面CW所成角的大小為“

(3)設點P到平面CAW的距離為d,因為尸N=(l,0,-2),

|PN?司

所以[=^^1=2,所以點P到平面CW的距離為2.

向

14.(2024?天津河東?一模)在正方體MCD-中(如圖所示)，邊長為2,連接&D、BD

⑴證明：平面48。；

(2)求平面ACDX與平面A.BD夾角的余弦值；

(3)底面正方形ABCD的內切圓上是否存在點P使得PB與平面AXBD所成角的正弦值為旦,若存在求PR長

3

度，若不存在說明理由.

【解析】(1)

以。為原點，DA、DC、所在直線分別為x軸、V軸、z軸，建立空間直角坐標系，

貝i]D（0,0,0）,/（2,0,0）,B（2,2,0）,q0,2,q，4（o,o,2，42。

平面450的法向量為既=（x,y,z）,Z）4=（2,0,2）,Z）5=（2,2,0）,

-DA=0j2x+2z=0