專題2-3直線與圓二十一大重點題型匯總

。常考題型目錄

題型1傾斜角與斜率..............................................................1

題型2直線與線段相交問題........................................................2

題型3直線方程..................................................................3

題型4直線過定點問題............................................................5

題型5直線的位置關系............................................................6

題型6距離問題..................................................................7

題型7與直線有關的對稱問題......................................................8

題型8與直線有關的最值問題......................................................9

題型9圓的方程.................................................................10

題型10點與圓的位置關系........................................................12

題型11直線與圓的位置關系......................................................13

題型12位置關系與參數問題......................................................14

題型13弦長問題................................................................15

題型14圓的切線與切線長問題....................................................16

題型15圓與圓的位置關系........................................................17

題型17圓的公共弦問題..........................................................19

題型18圓的公切線問題..........................................................20

題型19與圓有關的最值問題......................................................21

題型20圓的軌跡問題............................................................22

題型21反射光線問題............................................................24

但題型分類

題型1傾斜角與斜率

【例題1】（2022秋?山東聊城?高二山東聊城一中校考期中）直線3x-By-2=0的傾斜

角a=()

A.30°B,60°C.120°D.150°

【變式1-1](2022秋?浙江紹興?高二校考期中)若。eR,則直線y=xcos0-1的傾斜角a

的取值范圍為()

A.g,乎]B.[0,=)u(=,^]

C.[0幣u[乎,TT)D.[0幣uG，乎]

【變式1-2]（2022秋福建福州?高二福建省連江第一中學校聯考期中）已知傾斜角為。的直

線/與直線x+V3y-3=。的夾角為60。,貝帕的值為（）

A.30。或150。B.60。或0。C.90。或30。D.60。或180。

【變式1-3X2022秋?安徽黃山?高二屯溪一中統考期末股直線/的斜率為k，且-當Wk<1,

則直線珀勺傾斜角的取值范圍為（）

C.-）D.[°W）u.）

【變式1-4]（2022秋?安徽亳州?高二校聯考期末）過兩點4（病-3M）、1）的直線

的傾斜角為45。，則m的值為.

【變式1-5]（2022秋?安徽亳州?高二安徽省亳州市第一中學校考期末幅直線3*-By=0

繞著原點逆時針旋轉90。，得到新直線的斜率是（）

A虺B.C.V3D.-V3

33

【變式1-6]（2023春?河南南陽?高二統考期末）直線a,b,c的斜率分別為2,1,-2,傾

斜角分別為a,0,y,則（）

A.a>￡>yB.y>a>0C.y>/?>aD.a>y>p

【變式1-7】（2023春?寧夏固原?高二校考期中）已知直線y=3x+1的傾斜角為a,則

sin（a+1）=__.

【變式1-8]（2023春?江西宜春?高二江西省豐城拖船中學校考期末）已知4（4,8）,B（2,4）,

C（3,y）三點共線，貝3=.

題型2直線與線段相交問題

【例題2]（2023秋?新疆昌吉?高二奇臺縣第一中學校考期末）設點4（2,-3）、B（-3,-2）,

若直線I過點P（l,l）且與線段AB相交，則直線I的斜率k的取值范圍是（）

A.fc>:或/c<-4B.fc>:或k<-i

C.—4<k<-D.——<k<4

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【變式2-1](2023秋?江西撫州?高二統考期末)已知坐標平面內三點

X(-1,1),B(1,1),C(2,V3+1),。為△ABC的邊AC上一動點，則直線BD斜率k的變化范圍是

()

A.[O?Y]B.(-oo,0]u停,+8)

C.[y/Vs]D.(-00,o]U[V3,+oo)

【變式2-2](2023秋?廣東深圳?高二統考期末)已知2(2,-3)、3(2,1),若直線/經過點

P(0,-l),且與線段AB有交點，則/的斜率的取值范圍為()

A.(—8,—2]U[2,+8)B.[—2,2]

C.(—oo,—1]u[1,+oo)D.[—1,1]

【變式2-3](2023秋?安徽六安?高二六安一中校考期末)已知直線依-y-k-l=0和以

M(-3,1),N(3,2)為端點的線段相交，則實數k的取值范圍為()

A.-i<fc<-B.-2<fc<-

223

C.k<-3或k>jD.fc<-2或k>|

【變式2-4](2023秋?湖北武漢?高二統考期末)經過點P(0,-1)作直線I,且直線I與連接

點4(1,-2),B(2,l)的線段總有公共點,則直線I的傾斜角a的取值范圍是.

題型3直線方程

【例題3](2023春?湖北恩施?高二校考期末)過點4(2,3)且平行于直線2x+y-5=。的直

線方程為()

A.x—2y+4=0B.2x+y—7=0C.x—2y+3=0D.x—2y+5—0

【變式3-l](2021秋?安徽合肥?高二安徽省肥東縣第二中學校考期末)直線Z過點(-1,2)目

與直線2%-3y+4=。垂直,貝!H的方程是()

A.2%—3y+5=0B.3%+2y+7=0

C.3%+2y—1=0D.2%—3y+8=0

【變式3-2](2022春?湖南衡陽?高二衡陽市一中校考期末)下列說法中，正確的是()

A.過點P(l,l)且在x,y軸截距相等的直線方程為x+y-2=0

B.直線y=3x-1在y軸上的截距為-1

C.直線x+遍y+1=。的傾斜角為60。

D.過點(1,4)并且傾斜角為90。的直線方程為y-4=0

【變式3-3](2023秋?廣東廣州?高二廣州市天河中學校考期末)已知直線Z：(2m+l)x+

(m+l)y+m=0經過定點P,直線經過點P,且/'的方向向量2=(3,2),則直線2'的方程

為()

A.2%—3y+5=0B.2%—3y—5=0

C.3%—2y+5=0D.3%—2y—5=0

【變式3-4](2023秋?廣東?高二統考期末羥過兩條直線2x+y-8=0和乂-2y+1=0的

交點，且垂直于直線3x-2y+4=0的直線的方程是()

A.2%+3y—13=0B.2%+3y—12=0

C.2%-3y=0D.2%-3y-5=0

【變式3-5](2023秋?浙江嘉興?高二統考期末)已知直線1與直線4：2x-y+2=。和%：％+

y-4=。的交點分別為48,若點P(2,0)是線段AB的中點，則直線4B的方程為.

【變式3-6](2023春?江西吉安?高二井岡山大學附屬中學校聯考期末)已知AABC的三個

頂點分別為4(3,-4),B(6,0),C(-5,2).

(1)求邊AC上的高BD所在直線的方程；

(2)求邊2C上的中線BE所在直線的方程.

【變式3-7](2023秋?浙江紹興?高二統考期末)直線。經過點4(1,-2)與點8(2,1),經過點

P(。,-1)的直線以

⑴求直線I】的方程；

(2)若點4B到直線1的距離相等,求直線"的方程.

題型4直線過定點問題

【例題4](2023秋?江西宜春?高二統考期末)直線kx-y+l=3k,當k變動時，所有直

線恒過定點坐標為()

A.(0,0)B,(0,1)C,(3,1)D.(2,1)

【變式4-1】(2023秋?重慶北暗高二統考期末)若直線k：y=k(x+2)與直線%關于點(1,2)

對稱，則直線G恒過的定點為()

A.(4,0)B.(4,2)C.(2,4)D.(4,4)

【變式4-2X多選)(2023秋?湖南益陽?高二統考期末)已知直線Z：x+y-3+m(2x-y)=

0,其中小為實常數，則()

A.直線/過一定點

B.無論m取何值，直線/不經過原點

C.當爪＞0時，直線1與y軸交于它的負半軸

D.當根=0時，直線1與坐標軸圍成的三角形的面積是1

【變式4-3](多選)(2023秋?山東威海?高二統考期末)已知直線Z：ax-y-a+3=

0(aeR),則()

A.1恒過定點(0,3)B.當a23時，/不經過第二象限

C.1與直線x+ay+1-。垂直D.當a=3時，點(3,2)到/的距離最大

【變式4-4](多選)(2023春?江西撫州?高二江西省樂安縣第二中學校考期末)已知直線

I:(a?+a+l)x—y+1=0,中a6R,則()

A.直線I過定點(0,1)

B.當a=-1時，直線I與直線久+y=0垂直

C.若直線I與直線久-y=。平行，貝！la=0

D.當a=0時，直線I在兩坐標軸上的截距互為相反數

【變式4-5](2023秋?河北唐山?高二唐山一中校考期末)直線Z：(1+4A)x+(2-A)y-7-

4=0(4eR)恒過的定點是.

【變式4-6](2022秋?廣東深圳?高二統考期末)已知直線1：(m+2)x-(2m+l)y-3=

0(meR),直線I分別與x軸正半軸、y軸正半軸交于A,B兩點.

(1)證明：直線I過定點；

⑵已知點P(-1,-2),當市■方最小時，求實數m的值.

【變式4-7](2022?全國?高二期末)已知直線1：fcx-y+2+4fc=0(fc6R).

(1)若直線/不經過第三象限，求k的取值范圍；

(2)若直線/交x軸的負半軸于點4，交y軸的正半軸于點B,。為坐標原點，設AaOB的面積為S,

求S的最小值及此時直線/的方程.

題型5直線的位置關系

【例題5](2023秋?山東濟南?高二山東省濟南市萊蕪第一中學校考期末)已知直線中百乂+

y-l=0,若直線%與乙垂直，則"的傾斜角為()

A.30°B,60°C.120°D.150°

【變式5-1](2023春?貴州安順?高二統考期末)已知直線％：ax+(a+2)y+1=032：

ay+3=0,其中aeR,則"a=-1"是%1l2"的()

A.充要條件B.必要不充分條件

C.充分不必要條件D.既不充分也不必要條件

【變式5-2]（2023秋?山東德州?高二統考期末）已知直線始久+（a—4）y+1=0跖3+

5y+5=。且IJ/]2,則實數a的值為（）

A.5B.1C.5或-1D.-1

【變式5-3]（2023秋?河南平頂山?高二統考期末）已知血GR，”直線中加比+y=0與

2平行”是的（）

l2.9x+my—m—1-0"m=±3"

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【變式5-4]（2023秋?北京西城?高二統考期末）設4（-3,2）,B（1,-4）,則過線段4B的中點，

且與4B垂直的直線方程為.

【變式5-5]（2023春?上海寶山?高二統考期末）已知直線Zi：mx+3y+l=0,"：x+

（m+2）y+2m—1=0.

（1）若k〃，2，求實數小的值；

（2）若直線"在兩個坐標軸上的截距相等，求實數m的值.

題型6距離問題

【例題6】（2023春?湖北咸寧?高二統考期末）已知O為坐標原點,直線"：x+my-2=0

與G：mx-y+2m-0交于點P,則|OP|的值為.

【變式（秋?廣西河池高二統考期末）已知直線

6-1]2023?4：x+ay+2^0,l2:2x+4y+

3=。相互平行，則小"之間的距離為（）

【變式6-2]（多選）（2022秋?黑龍江哈爾濱?高二哈九中校考期末）已知

力（3,4）,8（—6,-3）（48〃）兩點到直線/皿+、+1=0的距離相等，貝必的值可能為（）

A.--B.-C.-1D.1

97

【變式6-3］（2022秋?廣東廣州?高二廣州市從化區從化中學校考期末）過點P（l,2）引直線,

使力（2,3）,B（4,-5）兩點到直線的距離相等，則這條直線的方程是（）

A.3%+2y—7=0B.%+2y—5=0

C.3%+2y—7=。或4%+y—6=0D.3%+2y—7=0或％+2y-5=0

【變式6-4］（2023春?北京海淀?高二清華附中校考期末）設日為動點尸（cos。,sin。）到直線％-

y—2=0的距離，貝虱的最大值為（）

A.V2-1B.9C.1+V2D.3

【變式6-5］（2023春?遼寧?高二校聯考期末）已知函數y=-%+爪的圖象與函數y=2*+1

和函數y=2*-2+1的圖象分別交于4B兩點，若=V2,則6=

【變式6-6］（2022秋?上海金山?高二上海市金山中學校考期末）已知。為坐標原點，在直

線y=k（x-4）上存在點P,使得|OP|=2,則k的取值范圍為_.

題型7與直線有關的對稱問題

【例題7］（2023秋?四川廣安?高二統考期末）已知點A與點B（2,l）關于直線x+y+2=0對

稱，則點A的坐標為（）

A.（-1,4）B.（4,5）

C.（—3,—4）D.（—4,—3）

【變式7-1］（2023秋?湖北武漢?高二統考期末）如果直線y=ax+2與直線y=3*-b關于

直線y=%對稱，那么（）

11

.a=-,b=6B.a=-,b=—6C.a=3,b=-2D.a=3,b=6

【變式7-2］（2021秋?湖北武漢?高二武漢外國語學校（武漢實驗外國語學校）期中）已知

直線：Zt:y=ax+3與I?關于直線y=%對稱，%與，3：%+2y-1=。平行，貝！JQ=()

A--lB-1C「2D.2

【變式7-3](2023秋?江西吉安?高二吉安三中校考期末)已知直線l:3x-y+3=0,求：

(1)點P(4,5)關于I的對稱點；

⑵直線x-y-2=0關于直線I對稱的直線方程；

⑶直線I關于(L2)的對稱直線.

【變式7-4](2023秋?新疆省直轄縣級單位?高二校考期末)已知點4(0,2),直線中刀-y-

1=0,直線%：比—2y+2—0.

⑴求點A關于直線11的對稱點B的坐標；

(2)求直線"關于直線。的對稱直線方程.

【變式7-5](2021春?浙江?高二期末)若直線=依+1與直線%關于點(2,3)對稱，則

直線G恒過定點的坐標為,直線4與L的距離的最大值是.

【變式7-6](2022秋?山東青島?高二山東省青島第五十八中學校考期中)已知直線4過點

4(-3,0)和B(3,4),直線/：X-y-1=0.

(1)若直線。關于直線珀勺對稱直線為1，求直線%的方程.

(2)已知直線機是過點B的直線,點C(5,0)到直線租的距離為2,求直線a的方程.

題型8與直線有關的最值問題

【例題8](2023秋?遼寧鞍山?高二鞍山一中校聯考期末)我國著名數學家華羅庚曾說"數

缺形時少直觀，形少數時難入微；數形結合百般好，隔離分家萬事休事實上，很多代數

問題可以都轉化為幾何問題加以解決，列如，與收-a)2+(y-6尸相關的代數問題,可

以轉化為點(居V)與點(a,b)之間的距離的幾何問題.已知點在直線=比+2,點

N(%2，y2)在直線，2：y=X上，旦MN14，結合上述觀點+(為一4)2+J=2—5)2+%2

的最小值為()

A誓B.芋C.V41-V2D.5

【變式8-1](2023秋?浙江紹興?高二統考期末)已知0<x<1,0<y<1,則尸可+

yjx2+(1-y)2+J(1―久尸+y2+Jq-4)2+(1-丫尸的最小值為()

A.2B.2V2C.2+V2D.3

【變式8-2](2023秋?浙江舟山?高二統考期末)已知點P在直線y=比+3上/(l,0),B(3,0),

則|P川+|PB|的最小值為()

A.V10B.5C.V42D.2V13

【變式8-3X2023秋?山東荷澤?高二統考期末片面直角坐標系中，已知兩點力(1,0)3(5,0),

直線珀勺方程為y=jx，直線Lt有兩動點P,Q(P在Q的左下側)且IPQI=有，則MP|+\QB\

的最小值為()

A.3B.2V3C.4D.2V5

【變式8-4X2019秋?安徽蕪湖?高二蕪湖一中校考期末)已知八yeR，則衣=1聲可+

yjx2+(y-l)2+J(x-1)2+(y-2尸+-2尸+(y-的最小值為.

【變式8-5](2022秋?吉林長春?高二東北師大附中校考期末)已知點M(a,b)在直線3x-

4y+25=。上,則Va2+爐的最小值為.

【變式8-6](2023秋?上海浦東新?高二校考期末)已知正實數a,b滿足3a+2b=6,貝心+

Va2+斗-2b+1的取最小值.

【變式8-7](2022秋?北京?高二人大附中校考期末)已知P、Q分別在直線*-y+1=。與

直線12：%—y—1=0±,且PQ1I]，點4(—4,4),8(4,0),則|4P|+\PQ\+|QB|的最小值

為_________：

題型9圓的方程

【例題9](2023春?陜西榆林?高二校聯考期末)若圓C經過點4(2,5),5(4,3),且圓心在直

線Z：3x—y—3=0上，則圓C的方程為()

A.(%—2/+(y—3)2=4B.(x—2)2+(y—37=8

C.(%—3)2+(y—6)2=2D.(x—3)2+(y—6)2—10

【變式9-H2023春?內蒙古?高二校聯考期末)"a<1"是"方程2/+2y2+2ax+6y+

5a=0表示圓"的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【變式9-2](多選X2022秋?全國?高二期中)設有一組圓盤:(x-k)2+(y-k)2=4(ke

R),下列命題正確的是()

A.不論k如何變化，圓心C始終在一條直線上

B.所有圓嬴均不經過點(3,0)

C.經過點(2,2)的圓氤有且只有一個

D.所有圓的面積均為4ir

【變式9-3](多選)(2022秋?全國?高二期末)已知方程/+/一敘+8y+2a=0,則下

列說法正確的是()

A.當。=10時，表示圓心為(2,-4)的圓B.當口<10時，表示圓心為(2,-4)的圓

C.當a=0時，表示的圓的半徑為2遮D.當a=8時，表示的圓與y軸相切

【變式9-4](2022秋江蘇連云港?高二統考期中)瑞士數學家歐拉(Euler)1765年在所

著的《三角形的幾何學》一書中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一條直線上，后人

稱這條直線為歐拉線.已知AaBC的三個頂點為4(4,3),8(5,2),C(l,0).

⑴求△ABC外接圓的方程；

(2)求448c歐拉線的方程.

【變式9-5】(2023秋?新疆烏魯木齊?高二校考期末)已知點4(1,-2),B(-1,4),求

Q)過點A,B且周長最小的圓的標準方程；

⑵過點A,B且圓心在直線2x-y-4=0上的圓的標準方程.

題型10點與圓的位置關系

【例題101(2023秋?四川巴中?高二統考期末)點(sin30°,cos30°)與圓/+y2=茅勺位置關

系是().

A.點在圓上B.點在圓內C.點在圓外D.不能確定

【變式10-1](2022秋?全國?高二期末)若點(3a+1,4a-2)在圓(x-l)2+(y+2)2=1的

內部，則實數a的取值范圍是()

-1-1

Cz-.--1<a<-1Dc.——l<a<—1

551313

【變式10-2](2022秋?四川南充?高二統考期末)已知點P(m,n)在圓GM+y2=1內部,

則直線mx+ny-1與圓。的公共點有()

A.0個B.l個C.2個D.l或2個

【變式10-312023春?安徽滁州?高二安徽省定遠中學校考期末)"點(a,b)在圓產+丫2=1

外"是"直線ax+by+2=。與圓/+y2-1相交”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【變式10-4](2023秋?重慶?高二校聯考期末)已知圓心為C的圓經過點4(1,1)和8(2,-2),

且圓心C在直線/：x—y+1=0上.

Q)求圓心為C的圓的一般方程；

⑵已知P(2,l),Q為圓C上的點，求|PQ|的最大值和最小值.

【變式10-5](2022?浙江紹興?高二統考期末)設點M(3,4)在圓/+*=產&>0)外，若

圓。上存在點N，使得NOMN=；,則實數r的取值范圍是()

A.[|,+8)B.[第,+8)C.[第,5)D.[|,5)

【變式10-6](2021春?湖南衡陽?高二統考期末)已知圓C的方程/+*—2x+4y-爪=0.

(1)若點以科-2)在圓C的內部，求機的取值范圍；

(2)若當m=4時，

①設P(x,y)為圓C上的一個動點,求0-4尸+(y-4)2的最值；

②問是否存在斜率是1的直線Z,使[被圓C截得的弦4B,以4B為直徑的圓經過原點，若存

在，寫出直線珀勺方程；若不存在，說明理由.

題型11直線與圓的位置關系

【例題11】2023春?貴州?高二校聯考期末x2+y2+4x-2y+l=0與直線Z：>”

0的位置關系為()

A.相切B.相離C.相交D.無法確定

【變式11-1](多選)(2023秋?河南三門峽?高二統考期末)已知點P在圓C：(尤-3)2+

(y-3)2=4±，點4(2,0),B(0,2),則()

A.直線2B與圓C相交B.直線4B與圓C相離

C.點P到直線A8距離大于0.5D.點P到直率IB距離小于5

【變式11-2](多選)(2023春?安徽黃山?高二統考期末)已知點P在圓0：/+*=4上，

點M(5,0),N(0,§,則()

A.直線MN與圓。相離

B.點P到直線MN的距離可能大于5

C.當NPMN最大時，|PM|=vn

D.滿足PM1PN的點尸有且僅有1個

2

【變式11-3]（多選I2023秋?江蘇南通?高二統考期末）已知圓C:（x-3）+（y-4）2=4,

則（）

A?點（5,5）在圓C內B.直線y=V3（x-3）與圓C相切

C.圓/+『=9與圓C相切D.圓/+=49與圓C相切

【變式11-4]（多選）（2023秋?重慶巫山?高二校考期末）已知圓M:一+V—4尤+3=0,

則下列說法正確的是（）

A.點（4,0）在圓內

B.圓M關于x+3y—2=。對稱

C.直線x-V3y=。與圓M相切

D.若圓M與圓萬2+y2-4x-6y+a=。恰有三條公切線，貝！ja=9

題型12位置關系與參數問題

【例題12]（2023春?黑龍江牡丹江?高二牡丹江市第二高級中學校考期末）"4-同<a<

4+730"是"直線，:2x-y=1與圓C:x2+y2+2ax-2y+3=0相離”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【變式12-1]（2023秋?上海嘉定?高二上海市育才中學校考期末）若直線y=尤+b與曲線

x=彳二正恰有一個公共點，則實數b的取值范圍為.

【變式12-2】（2023秋?四川資陽?高二校考期末）若直線2=0與曲線

C-.71-（y-I）2=%-1有兩個不同的交點，則實數k的取值范圍是（）

A.（Q]B.&4）C.[-2,-|）ug,2]D.g.+oo）

【變式12-3](2023春?江蘇鎮江?高二江蘇省鎮江中學校考期末)若直線3*-4y+爪=。與

圓/+y2=r2(r>0)相切，則()

A.\m\<5rB.\m\>5r

C.\m\=5rD.\mr\=5

【變式12-4X2023春?四川成都?高二期末)已知直線1：mx+y-m=0(meR)和圓C:x2+

y2—2乂+4y+1=0,貝=0"是"直線Z與圓C相切”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【變式12-5](2023春?山西長治?高二統考期末)已知直線久-y-a=。與圓C：(x-l)2+

y2=2存在公共點，則a的取值范圍為—.

題型13弦長問題

【例題13](2023秋?甘肅臨夏?高二校考期末)已知圓C：(x-I)2+(y-2)2=25,直線

/:(2m+l)x+(m+l)y—7m—4=0(mGR).

(1)求證：直線I恒過定點；

(2)當m=0時，求直線I被圓C截得的弦長.

【變式13-1】(2022秋?黑龍江齊齊哈爾?高二齊齊哈爾市恒昌中學校校考期末)已知AB是

x2+y2-6x+2y=1圓內過點E(2,l)的最短弦，則|40=()

A.2B.2V6C.4D.2V5

【變式13-2】(2023春?云南楚雄?高二校考期末)已知圓的方程為/+y2-6x-8y=0,

設該圓過點(6,2)的最長弦和最短弦分別為AC和BD,則四邊形4BCD的面積為()

A.40V3B.30V3C.20V3D.10V3

【變式13-3](2023春?甘肅白銀?高二校考期末)已知圓C：/+*—6x+4y-4=。，

則過點”(4,-1)的最短弦所在直線泊勺方程為()

A.%+2y-2=0B.x—y—5=0

C.x+y—3=0D.x—2y—6=0

【變式13-4](2023春?山西朔州?高二懷仁市第一中學校校聯考期末)已知直線3K+4y+

a=。與圓C:(久-2)2+y2=9相交于A,B兩點，且“CB=120°,則實數a=()

A.|B.j或或

【變式13-5](2023春廣西南寧?高二南寧三中校考期末)已知圓C:(%-1尸+。-2尸=

25,直線/：(2m+l)x+(m+l)y-7m-4=0,直線/與圓。交于4、B,貝UsinNACB的最

大值為()

A.1B.-C.延D.-

555

【變式13-6](2023秋?四川眉山?高二仁壽一中校考期末)圓。:比2+y2=4內有一點Po(l,l),

過Po的直線交圓于A、B兩點.

(1)當弦AB被P。平分時,求直線AB的方程；

(2)若圓。與圓C:(x+I/+(y+I)2=10相交于E,F兩點,求|EF|.

【變式13-7](2022秋?全國?高二期末)已知圓C經過火0,2),B(0,8)兩點,且與x軸的正

半軸相切.

(1)求圓C的標準方程；

(2)若直線I:x-y+3=0與圓C交于M,N,求|MN|.

題型14圓的切線與切線長問題

【例題14](2023秋?四川資陽?高二統考期末)已知。。的圓心為坐標原點，。。上的點到

直線I:無+y-2應=。的距離的最小值為1.

(1)求O。的方程；

⑵過點P(4,2)作O。的兩條切線，切點分別為A,B.求四邊形OAPB的面積.

【變式14-1](2023春福建福州?高二福建省福州第八中學校考期末)已知點M(1，百)在

圓。：/+*=山上，過M作圓C的切線/,則/的傾斜角為()

A.30°B,60°C.120°D.150°

【變式14-2](2023春河南南陽?高二統考期末)過坐標原點。作圓C：合+產一4%+3=0

的兩條切線,切點分別為M,N,則|MN|=()

A.更B.-C.V3D.2

22

【變式14-3】(2023春?陜西咸陽?高二統考期末)設。為原點，點P在圓C：(x-2產+

(y-I)2=1上,若直線OP與圓C相切，則|OP|=()

A.2B.2V3C.V13D.V14

【變式14-4](2023秋河南三門峽?高二統考期末)過P(x,y)作圓Ci：/+y2-2乂=o與圓

22的切線，切點分別為,若則/外的最

C2-.x+y-6x-6y+14=04,B|P4|=PB\,+

小值為.

【變式14-5](2023秋廣西河池?高二統考期末)已知點P是圓G：(%+2)2+(y+10)2=4

上的一點，過點P作圓。2：(%-3>+(y-2)2=1的切線，則切線長的最小值為()

A.2V30-IB.2V30C.2聞+1D.2同+2

【變式14-6】(2022秋?黑龍江大慶?高二鐵人中學校考期末)已知直線1：久+沖-1=

0(aeR)是圓C:一+*一4%一2>+1=0的對稱軸，過點4(一4,a)作圓C的一條切線，

切點為B，則[4引=()

A.2B.4V2C.6D.7

【變式14-7](2022秋?廣東深圳?高二統考期末世點P(-2,3)作圓E：x2+y2-4x+2y=0

的兩條切線，切點分別為M,N,則直線MN的方程為.

題型15圓與圓的位置關系

【例題15】（2022秋?吉林松原?高二校考期末）圓。1:產+y2—2尤=0與圓。2:/+/+

4y=0的位置關系是（）

A.外離B.外切C.相交D.內切

【變式15-1J2023秋?新疆?高二校聯考期末）5知圓Q：（x-f=1圓。2：（x-4產+

*=4,則圓G與圓C2的位置關系為（）

A.相離B.相交C.外切D.內切

【變式15-2]（2023秋?浙江麗水?高二統考期末）若圓G：/+*=4與圓。2：/+于一

2mx+m2—m=。外切，則實數m-（）

A.-1B.1C.l或4D.4

【變式15-3]（2023秋?浙江嘉興?高二統考期末）已知圓Ci：（%-+（y+2）2=r2（r>0）

與圓C2：（%-4尸+（y—2/=16有公共點，則r的取值范圍為（）

A.（0,1]B.[1,5]C.[1,9]D.[5,9]

【變式15-4]（2022秋?廣東深圳?高二統考期末）已知圓品:7+f=3與圓C2：（x+2）2+

（y+2產=6,則圓G與圓C2的位置關系為（）

A.相交B.外切C.外離D.內含

題型16與圓有關的對稱問題

【例題16]（2020秋?山西?高二統考期末）若圓：C：（尤+V2）2+y2=1關于直線I:x-y+

m=。對稱，。:x—y+4&=。，貝也與。間的距離是（）

A.1B.2

C.V2D.3

【變式16-1]（2023秋云南臨滄?高二校考期末）已知半徑為3的圓C的圓心與點P（-2,l）關

于直線x-y+l=。對稱，則圓C的標準方程為（）

A.(x+I)2+(y—l)2=9B.(%—l)2+(y—l)2=81

C.x2+(y+l)2=9D./+y2=9

【變式16-2】(2023春?河南駐馬店?高二統考期末)直線比-2y-3=。平分圓/+-

2ax+2y—l=0(aGR),貝!]a=()

A.1B.-1C.3D.-3

【變式16-3X2023春?河南開封?高二統考期末)已知圓G：/+*=4與圓。2關于直線2%+

y+5=。對稱，則圓的標準方程為()

A.(久+4尸+(y+2)2=4B.(x-4)2+(y—27=4

C.(%+2尸+(y+4/=4D.(x—2)2+(y—4)2=4

題型17圓的公共弦問題

【例題17](2023秋?內蒙古包頭?高二統考期末)已知圓0：/+f+2y=2與圓0]：/+

y2-2%-6=0交于4、B兩點，則|4B|=()

A.2V10B.V10C.2V5D.V5

【變式17-1](2023秋?甘肅天水?高二統考期末)圓/+*=8與圓/+必一2刀=4的公

共弦長為()

A.1B.2C.4D.8

【變式17-2](多選)(2023春?甘肅慶陽?高二校考期末)點P在圓Q：/+必=1上，點

<3在圓。2：7+*一6%+8、+24=0上，則()

A.|PQ|的最小值為2

B.|PQ|的最大值為7

C.兩個圓心所在的直線斜率為-1

D.兩個圓相交弦所在直線的方程為6%-8y-25=0

【變式17-3]（2023秋?云南大理?高二統考期末）點。在圓G：/+y2=1上，點Q在圓C2:

x2+y2—6x+4y+9—0_t，貝!I（）

A.|PQ|的最小值為舊-3

B.|PQ|的最大值為vn

C.兩個圓心所在的直線斜率為-1

D.兩個圓公共弦所在直線的方程為6x-4y-10=0

【變式17-4】（2023秋?新疆烏魯木齊?高二烏魯木齊101中學校考期末）已知圓G：%2+

y2=10與圓C2:久2+丫2+2%+2y—14=0.

⑴求證：圓G與圓。2相交；

（2）求兩圓公共弦所在直線的方程.

題型18圓的公切線問題

【例題18]（2023春?福建福州?高二校聯考期末）已知圓M：（x一2尸+⑶—1）2=1,圓

N:（%+2產+（y+1尸=1,則下列不是M,N兩圓公切線的直線方程為（）

A.y=0B.4x—3y=0

C.x—2y+V5-0D.x+2y—V5=0

【變式18-1]（2023春?江蘇鹽城?高二統考期末）在坐標平面內，與點4（1,2）距離為3,且

與點B（3,2）距離為1的直線共有（）

A.1條B.2條C.3條D.4條

【變式18-2]（2023秋?陜西西安?高二長安一中校考期末）已知兩圓/+*+6ax+9a2-

4=0和/+y2_2by+_9=。恰有三條公切線，若aeR,bGR,且ab豐0,則*+專

的最小值為（）

A.-B.-C.-D.-

252599

【變式18-3］（2022秋?貴州遵義?高二習水縣第五中學校聯考期末）圓G：（x+2）2+

（y+4）2=25與圓C2：（x+I）2+y2=9的公切線的條數為（）

A.1B.2C.3D.4

【變式18-4］（多選）（2023春?湖南?高二校聯考期末）已知圓。:=4和圓

C:（X-3）2+（y-3）2=4,P,Q分別是圓。，圓C上的動點，則下列說法正確的是（）

A.圓。與圓C有四條公切線

B.|PQ|的取值范圍是［3近—4,3a+4］

C.x-y=2是圓。與圓C的一條公切線

D.過點Q作圓。的兩條切線，切點分別為MN,則存在點Q，使得NMQN=90°

題型19與圓有關的最值問題

【例題19］（2023春?山東濰坊?高二校聯考期末）圓（x-1）2+（y+I）2=4上的點到直線

3x+4y-14=。的距離的最大值為（）.

A.3B.5C.|D.|

【變式19-1］（2023秋?安徽蚌埠?高二統考期末）已知動直線Z：kx-y-2k+2=0恒過定

點4B為圓C:（x-I/+（y-3）2=8上一動點,0為坐標原點，則△40B面積的最大值為（）

A.|B.4C.6D.24

【變式19-2］（2022秋?浙江溫州?高二校聯考期中）"白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河"

是唐代詩人李斤頁《古從軍行》這首詩的開頭兩句.詩中隱含著一個數學問題——“將軍飲

馬"：即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發，先到河邊飲馬后再回軍營，怎樣走才能使

總路程最短?在平面直角坐標系中,設軍營所在區域為/+y234,若將軍從點火3,1）處出

發，河岸線所在直線方程為y=-x-5,并假定將軍只要到達軍營所在區域即回到軍營，那

么"將軍飲馬”的最短總路程為（）

A.10B.9C.8D.7

【變式19-3】(2023春?湖南邵陽?高二統考期末)已知點P在直線y=-x-3上運動，M是

圓/+f=1上的動點，N是圓Q-9)2+(y-2)2=16上的動點，則|PM|+|PN|的最小值

為()

A.13B.11C.9D.8

【變式19-4](2023春?河南洛陽?高二統考期末)已知點P為直線y=%+1上的一點，M,

N分別為圓C1：(x-3)2+(y—I)2=1與圓的：0-4)2+(y—1)2=1上的點，則|PM|+

|PN|的最小值為()

A.5B.3C.2D.1

【變式19-5](2022秋?重慶長壽?高二重慶市長壽中學校校考期中)已知直線4：mx+y-

2

2m-1-0,l2x—my+m—2=0,點P是圓久？+y—4%—2y+1=0上的動點，記

點P到直線。和%的距離分別為八，d2,則did2的最大值為

【變式19-6](2023春?甘肅天水?高二統考期末)直線x+y+3=。分別與久軸,y軸交于4B

兩點，點P在圓(x-3尸+y2=2上，貝必2BP面積的取值范圍.

【變式19-7](2022秋?江蘇淮安?高二統考期中)在平面直角坐標系%Oy中，直線:-；=1

與坐標軸x、v分別交于A、B兩點，點P是圓/+2比+?2+郎=。上一動點，直線在x

和y軸上的截距之和為，三角形PAB面積的最小值為

題型20圓的軌跡問題

【例題20](2