；題型必刷?大題仿真卷

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大題仿真卷01(A組+B組+C組)

(模式：5道解答題滿分：78分限時(shí)：70分鐘)

?>-------A組.鞏固提升----------O

一、解答題

1.在直四棱柱-44G，中，底面/BCD是菱形，且4B=BD=AA>

⑴求證：直線22L/C；

⑵求二面角2-九-。的大小.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析；

(2)arccos^y^-

【分析】(1)根據(jù)底面/8C。是菱形可得出對(duì)角線垂直，結(jié)合直四棱柱的特點(diǎn)可得到。C,由線面垂

直的判定定理以及性質(zhì)定理可證明結(jié)果；

(2)建立空間直角坐標(biāo)系，由空間向量法計(jì)算可求出結(jié)果.

【解析】(1)解：；底面/BCD是菱形，；./C_L8_D,

又因?yàn)樗睦庵?BCD-48c2為直四棱柱，所以。2_L底面/BCD,

NCu底面A8CZ),DDX1AC,DDtr\BD=D,平面。。避

,所以NC,平面。"8,u平面。"8,.〔BAL/C.得證.

(2)取BC中點(diǎn)E,AB=BD,且底面488是菱形，則。EL8C,

以。為原點(diǎn)，為x軸，為了軸，為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖:

則不妨設(shè)力(1,0,0),叫￥，。］，cW，o],D,(0,0,1)

k22)

1x/31

^3=(1,0,-1),AB=-

50，設(shè)平面ZB，的法向量訪=則

7

x-z=0

<173,令V=l，得應(yīng)=(百,L0)，

~2X+~y~

平面/8C的法向量為k=(0,0,1),

所以二面角D.-AB-C的平面角的余弦值為：cos6=/&=叵,

V3+3+17

所以二面角2--C的大小為arccos叵.

7

x

⑴證明函數(shù)V=/(x)在(-叫0)上嚴(yán)格增；

(2)若函數(shù)夕=/(%)在定義域上為奇函數(shù)，求不等式“X)>0的解集.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析

(2)(—2,0)U(2,+8)

【分析】(1)利用函數(shù)的單調(diào)性定義證明即得；

(2)根據(jù)函數(shù)的奇偶性求出。值，再求出方程〃x)=0的解，分別利用函數(shù)在(-*0)和(。,+到上的單調(diào)性

即可求得不等式的解集.

4

【解析】(1)因/(x)=x-—+。，任取國(guó),工2e(-oo,0),且無(wú)a%,

X

44

x_x=x

由/(i)/(2)i---+a-(x2----+。)

演x2

/、4(x-x)/、/14

=(西一12)+-------2-=(西一、2)(1+----),

x｛x2XxX2

4

因演</<0,則巧―/<0，1+7^>0,故/(芯)一/(%2)<0，

即/(^)</(%2).

故函數(shù)歹=/(X)在(-8,0)上嚴(yán)格增；

(2)因?yàn)楹瘮?shù)〃x)在定義域｛X|XH0｝上為奇函數(shù)，則=

44

=

\以一XH--------\~Cl-XH---------U.

XX

所以2Q=0,即Q=0,

4

所以/(x)=x——，

X

由y(x)>0得：x-->0,即(“-2乂X+2)>0,

XX

Jx>0fx<0

所以[(X-2)0+2)>0或j(X-2)(x+2)<0'

解得x>2或-2<x<0,

所以不等式〃無(wú))>0的解集為(-2,0)U(2,+8).

3.潛伏期是指已經(jīng)感染了某毒株，但未出現(xiàn)臨床癥狀和體征的一段時(shí)期，某毒株潛伏期做核酸檢測(cè)可能為

陰性，建議可以多做幾次核酸檢測(cè)，有助于明確診斷，某研究機(jī)構(gòu)對(duì)某地1000名患者進(jìn)行了調(diào)查和統(tǒng)計(jì),

得到如下表:

潛伏期（天）[0,2](2,4](4,6]（6用(8,10](10,12](12,14]

人數(shù)80210310250130155

⑴求這1000名患者的潛伏期的樣本平均值元；（精確到0.01天）

（2）該傳染病的潛伏期受諸多因素的影響，為研究潛伏期與患者年齡的關(guān)系，以潛伏期是否超過(guò)6天為標(biāo)準(zhǔn)

進(jìn)行分層抽樣，從上述1000名患者中抽取300人，得到如下列聯(lián)表請(qǐng)將列聯(lián)表補(bǔ)充完整，并根據(jù)列聯(lián)表判

斷是否有95%的把握認(rèn)為潛伏期與患者年齡有關(guān).

潛伏期W6天潛伏期＞6天總計(jì)

50歲以上（含50）150

50歲以下85

總計(jì)300

2

2n(ad-be)

附??力=(0+b)(c+d)(“+c)(6+")'其中"i+6+c+d7

尸（力2次）0.150.100.050.0250.0100.005

k。2.0722.7063.8415.0246.6357.879

【答案】⑴5.41天

（2）列聯(lián)表見(jiàn)詳解，沒(méi)有95%的把握認(rèn)為潛伏期與患者年齡有關(guān)

【分析】(1)根據(jù)題意結(jié)合平均數(shù)的計(jì)算公式運(yùn)算求解；

(2)根據(jù)題意結(jié)合分層抽樣求各層人數(shù)，進(jìn)而補(bǔ)全列聯(lián)表，計(jì)算并與臨界值對(duì)比分析.

【解析】(1)由題意可得：

潛伏期(天)[0,2](2，可(4，句(6用(8,10](10,12](12,14]

人數(shù)80210310250130155

頻率0.080.210.310.250.130.0150.005

所以樣本平均值了=1x0.08+3x0.21+5x0.31+7x0.25+9x0.13+11x0.015+13x0.005=5.41(天),

(2)由(1)可知：潛伏期46天與潛伏期>6天的比例為600:400=3:2,

32

則抽取的潛伏期W6天的人數(shù)為］x300=180,潛伏期>6天的人數(shù)為yx300=120,

所以列聯(lián)表為

潛伏期46天潛伏期>6天總計(jì)

50歲以上(含50)9555150

50歲以下8565150

總計(jì)180120300

E汨2300(95x65-55x85)25

可得之2=——\-------------------Z_=_B1.389<3.841，

150x150x180x12018

所以沒(méi)有95%的把握認(rèn)為潛伏期與患者年齡有關(guān).

22

4.雙曲線「:「-斗=l(a>0,6>0)的左、右焦點(diǎn)分別為片(-C,。)、巴(c,0)(c>0),過(guò)點(diǎn)片的直線/與「

ab

右支在X軸上方交于點(diǎn)A.

(1)若4=6，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(3,4),求c的值；

(2)若/月，月且。,6,c是等比數(shù)列，求證：直線/的斜率為定值；

(3)設(shè)直線/與「左支的交點(diǎn)為B,c=3,當(dāng)且僅當(dāng)。滿足什么條件時(shí)，存在直線/,使得工I成立.

【答案】(1)5

(2)證明見(jiàn)解析

⑶ae(l,羋)

【分析】(1)將。值和點(diǎn)坐標(biāo)代入雙曲線方程求出6值，即可求得。值；

(2)設(shè)直線/：y=?x+c),與雙曲線方程聯(lián)立消元V,得關(guān)于x的方程，依題方程有解為c,代入整理方程

后，借助于可推得左即得證;

(3)利用雙曲線定義化簡(jiǎn)|/刃=|/與|得至?。荩?月|=2°"即"=4。，設(shè)48片g=6,利用余弦定理求出cos8

的值，結(jié)合圖形和題意，確定其范圍，即得關(guān)于。的不等式，解之即得.

22

【解析】(I)依題意，將0=店，X=3,y=4代入r：=一［=1中，

ab

解得〃=20,貝!Jc=>Ja2+b2=5；

依題意知，可設(shè)直線/：y"(x+c),代入「：巴一《=1中，

ab

整理得：3sxidk+dc1甘-02b2=Q(*),

如圖，因/月上片入，故點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為c恰是方程(*)的解，

則(b2-a2k2)c2-2a2c2k2-a2c2k2-a2b2=0,

整理得：b2c2-4a2c2k2-a2b2=0,即442c?左2=",

因。也c是等比數(shù)列，則/=的,代入此式，可得4/02左2=。2,2,即得左2=；,

因過(guò)點(diǎn)片的直線/與「右支在x軸上方交于點(diǎn)A,故得彳=；,即直線/的斜率為定值;

如圖,因點(diǎn)A在雙曲線右支上，則|/耳|一|/8|=2。,gpIAF2|=|AFX\-2a,

故由|/切=|4瑪1可得期|=2a,

又因點(diǎn)B直線/與r左支的交點(diǎn)，故I瓦管-18與1=2a,則IBF2|=4a,

在454匕中，謖NBFE=0,由余弦定理，cos6=4I+4〃T6/=20八36=2」,

2x2cx2a2ac2a2

E、r八b<八aa3aa

因?yàn)閠an6<一,l〉cos6>一=一,所以1>----->—,

ac32a23

所以l<a〈述，

5

故當(dāng)且僅當(dāng)。滿足ae(l,半)時(shí)，存在直線/,使得|/切=|/鳥(niǎo)|成立.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題主要考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的應(yīng)用，屬于難題.

解題的關(guān)鍵在于對(duì)雙曲線定義的理解掌握，在處理相關(guān)的焦半徑問(wèn)題時(shí)，要有轉(zhuǎn)化思想，結(jié)合

圖形和定義，將其化簡(jiǎn)為常量或最值問(wèn)題，即可解決.

5.設(shè)函數(shù)y=〃x)的定義域?yàn)殚_(kāi)區(qū)間/,若存在％",使得>=/(x)在x=x。處的切線/與y=〃x)的圖像

只有唯一的公共點(diǎn)，則稱V=/(x)為“上函數(shù)”，切線/為一條“Z切線”.

⑴判斷y=x-l是否是函數(shù)p=欣的一條建切線”，并說(shuō)明理由；

⑵設(shè)g(x)=eJ6x,求證:y=g(x)存在無(wú)窮多條“切線”；

⑶設(shè)/(可=/+4+1(0<*<3,求證：對(duì)任意實(shí)數(shù)。和正數(shù)c,y=/(x)都是函數(shù)”

【答案】(1)是，理由見(jiàn)解析

(2)證明見(jiàn)解析

(3)證明見(jiàn)解析

【分析】(1)記/(X)=向，設(shè)切點(diǎn)為(國(guó),In匹)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出多，再證明直線y=X_1與=hu

的圖象只有唯一的公共點(diǎn)，將y=x-l與函數(shù)>=向聯(lián)立，得hu-x+l=O,記〃(x)=lnx-x+l,利用導(dǎo)數(shù)

說(shuō)明函數(shù)的單調(diào)性，即可得到方程的解.

(2)將點(diǎn)(%這(％))處的切線/的方程與V=g(x)聯(lián)立得g(x)-g(X2)=g'(X2)(x-X2)，記

,

/z(x)=g(x)-g(x2)-g(x2)(x-x2),利用導(dǎo)數(shù)說(shuō)明函數(shù)九(x)存在唯一零點(diǎn)芍，即可得證；

(3)類似第(2)問(wèn)的思路得到(苫-%)2(工+2/+°)=0在(O,c)上有且僅有一解%,則％=-2%-。€(0,0)

或1e(O,c)再分。20、”0兩種情況說(shuō)明即可.

【解析】⑴記，(x)=lnx,則/(%)=：,設(shè)切點(diǎn)為(X1,lnxj,

由切線方程為P=xT知/(占)=1,則工=1,解得玉=1.

X1

所以切點(diǎn)為(1,0),下面證明直線尸％-1與/(力=底的圖象只有唯一的公共點(diǎn),

將歹二%一1與函數(shù)y=lnx聯(lián)立，得lnx—x+l=0.

t己"(x)=lnx-x+l,貝!]，(x)=1一l,

當(dāng)xe(0,1)時(shí)，(x)>0,當(dāng)xw(l,+oo)時(shí)"(x)<0,

故〃(x)在(0,1)上單調(diào)遞增,在(1，+8)上單調(diào)遞減,“⑺1Mx=41)=0,

故函數(shù)"(x)=lnx-尤+1只有一個(gè)零點(diǎn)X=1,故y=xT是一條“工切線”；

(2)因?yàn)間(x)=e2*-6x,所以g<x)=2e"-6,

則點(diǎn)(無(wú)2，g(Z))處的切線/方程為了-8(X2)=8'卜)(才-工2)，

,

將點(diǎn)七,g(%))處的切線/的方程與>=g⑺聯(lián)立得g(x)-g(x2)=g(x2)(x-x2),

記〃(x)=g(x)-g(尤zAg'H乂Xf),

則直線/為“切線函數(shù)“X)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)馬(此時(shí)，一個(gè)無(wú)2對(duì)應(yīng)一條“切線”)，顯然尤2是“X)的

零點(diǎn)，

故只要“X)沒(méi)其它零點(diǎn)，此時(shí)〃3=8'3-8心2)=262=262*,

當(dāng)?shù)?lt;毛時(shí)，*⑺<0,當(dāng)x>超時(shí)，/z,(x)>0,

則〃(X)在(-8,X?)上單調(diào)遞減，在(%+8)上單調(diào)遞增，

故此時(shí)尤2為〃(X)唯一的極小值點(diǎn)(也是最小值點(diǎn))，而〃(%)=0,

故“X)無(wú)其他零點(diǎn)，故直線/為“Z切線”，因?yàn)闊o(wú)2的任意性，

故函數(shù)y=g(x)存在無(wú)窮多條“Z切線”，

(3)因?yàn)椤▁)=d+—+l(xe(O,c)),則/''(x)=3x?+2ax,

設(shè)點(diǎn)0(%,%)在函數(shù)y=/(x)的圖象上，

則點(diǎn)。的切線為/：y-/(%)=/'(x°)(x—x。)，與y=〃x)聯(lián)立得：

f(x)-f(x0)=f(x0)(x-x0)

2

o+ax-x；-axl)=(3x；+2%)(x-x0)

2

<=>(x-x0)^x+xox++ax+ax0)=(3x：+2ar0)(x-x0)

o(x-x°乂無(wú)2+xox-2xg+ax-axg^=0(x-x0)~(x+2x0+a)=0(*),

由題意得直線/為“切線”，故方程(*)在(0?上有且僅有一解飛,

,\IXG(0,C)

貝I]%=-2%-°€(0,°)或｛n

I_2XQ—a電(0,c)

若a20,則/e(O,c)是方程(*)的唯一解(此時(shí)有無(wú)數(shù)條“工切線”，切點(diǎn)橫坐標(biāo)為(0,。)上的任意值).

若。<0,貝”3（此時(shí)只有一條切線”，切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-：）

a3

0<c<-—,、

或3（此時(shí)有無(wú)數(shù)條“Z切線”，切點(diǎn)橫坐標(biāo)為（O,c）上的任意值），

xo6（0,C）

綜上，aeR,即證.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：對(duì)于新定義問(wèn)題的關(guān)鍵是理解定義，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程有唯一解問(wèn)題.

O---------------B組?能力強(qiáng)化----------O

一、解答題

1.如圖，已知平面NCA,ABIIDE,A/CD為等邊三角形，AD=DE=2AB,點(diǎn)尸為CL1的中點(diǎn).

BE

CFD

⑴求證：4?//平面2虛；

（2）求直線BF和平面ABC所成角的正弦值.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析

⑵手

4

―.]—.——?

【分析】（1）設(shè)4。=OE=2AB=2a,建立空間直角坐標(biāo)系/-斗，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算得出/尸=彳（BE+BC）,

結(jié)合線面平行判定定理即可得結(jié)論；

（2）確定平面NBC的一個(gè)法向量行，利用而和力的夾角求解即可.

【解析】（1）因?yàn)?8,平面/C。，AB//DE,A/CD為等邊三角形，

設(shè)AD=DE=2AB=2a,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系4-xyz,

8,——士

D

則A(0,0,0),C(2a,0,0),5(0,0,a),D(a.0),E(a,43a,2a)，

?"為CD的中點(diǎn)，，尸(|見(jiàn)暫°,0),

:.AF=(^a,-a,0)BE=(Q,y/3a,Q),BC=(2。，0,-tz)，

:.^F=^(BE+BC),4F,平面BCE,

/尸//平面BCE.

(2)又3=(0,1,0)是了軸上的單位向量，則其是平面/8C的一個(gè)法向量,

因?yàn)?斤=g°,1視a,-a),設(shè)5F和平面2CE1所成的角為。，

則sm*U二生型,

\BF\-\n2axi4

???直線BF和平面ABC所成角的正弦值為也.

4

2.已知函數(shù)/(x)=sin(0x+0)(<y>0,0<夕<乃)的周期為萬(wàn)，圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為pOl,將函數(shù)

7T

/(%)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍(縱坐標(biāo)不變)，再將所得到的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后

得到函數(shù)g(x)的圖象.

(1)求函數(shù)/(x)與g(x)的解析式;

(2)求證：存在毛€仁，￡|，使得〃/),g(x0),/(xjg(x0)能按照某種順序成等差數(shù)列.

【答案】(1)/(x)=cos2x；g(x)=sinx；(2)證明見(jiàn)解析

【分析】(1)由周期公式可得。，。>0,再由對(duì)稱中心可得。值，可得/(x)解析式，由函數(shù)圖象變換和誘

導(dǎo)公式化簡(jiǎn)可得；

(2)當(dāng)生，三|時(shí)sinx>cos2x>sinx-cos2x，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程2cos2尤=sinx+sinx-cos2x

[64)164j

是否有解，由函數(shù)零點(diǎn)的存在性定理可得.

【解析】解:(1),函數(shù)〃x)=sin(0x+9)的周期為萬(wàn)，。>0,

2乃

a>=——=2,

T

又曲線》=/("的一個(gè)對(duì)稱中心為:0),夕€(0,"),

sin12x?+0J=0,可得"=］,.?./(%)=cos2x,

將函數(shù)〃x)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍(縱坐標(biāo)不變)后可得V=cosx的圖象,

再將昨COSX的圖象向右平移,個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)g(x)=cos［xC圖象，

由誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)可得g(X)=SinX；

(2)當(dāng)時(shí)，—<sinx<,0<cos2x<—,

164j222

sinx>cos2x>sinx?cos2x,

問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程2cos2x=sinx+sinx?cos2x在內(nèi)是否有解.

設(shè)G(x)=sinx+sinx?cos2x-2cos2x,

=G［()=￥>0,且函數(shù)G(x)的圖象連續(xù)不斷,

???函數(shù)G(x)在信內(nèi)存在零點(diǎn)%,

即存在無(wú)。弋，3,使得/(*,g(x°),能按照某種順序成等差數(shù)列.

【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)圖象變換,第二個(gè)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程2cos2x=sinx+sinx-cos2x在內(nèi)是否

有解是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，屬中檔題.

3.某芯片代工廠生產(chǎn)甲、乙兩種型號(hào)的芯片，為了解芯片的某項(xiàng)指標(biāo)，從這兩種芯片中各抽取100件進(jìn)行

檢測(cè)，獲得該項(xiàng)指標(biāo)的頻率分布直方圖，如圖所示：

頻率

頻率

乙型芯片

假設(shè)數(shù)據(jù)在組內(nèi)均勻分布，以樣本估計(jì)總體，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率.

(1)求頻率分布直方圖中x的值并估計(jì)乙型芯片該項(xiàng)指標(biāo)的平均值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為

代表)；

(2)已知甲型芯片指標(biāo)在［80,100)為航天級(jí)芯片，乙型芯片指標(biāo)在［60,70)為航天為航天級(jí)芯片.現(xiàn)分別采用

分層抽樣的方式，從甲型芯片指標(biāo)在［70,90)內(nèi)取2件，乙型芯片指標(biāo)在［50,70)內(nèi)取4件，再?gòu)倪@6件中任

取2件，求至少有一件為航天級(jí)芯片的概率.

【答案】（l）x=0.020,x=47.

（2）尸（E）=±

【分析】（1）由頻率和為1求出x得值，根據(jù)平均數(shù)公式求出平均值.

（2）根據(jù)條件列舉樣本容量和樣本點(diǎn)的方法，列式求解.

【解析】（1）由題意得10x（0.002+0.005+0.023+0.025+0.025+x）=l,解得x=0.020.

由頻率分布直方圖得乙型芯片該項(xiàng)指標(biāo)的平均值：

元=（25x0.002+35x0.026+45x0.032+55x0.030+65x0.010）x10=47.

（2）根據(jù)分層抽樣得，來(lái)自甲型芯片指標(biāo)在［70,80）和［80,90）的各1件，分別記為A和B,

來(lái)自甲型芯片指標(biāo)在［50,60）和［60,70）分別為3件和1件，分別記為G，G，G和。，

從中任取2件，樣本空間可記為八=｛（40，（4CJ,（4。2），（4G），（4。），（B，G），

（8。2），（8，G），（8,0,C，G）,（GC），（C”0,（G，G）,G，。），（。3，。）｝共15個(gè)，

記事件E：至少有一件為航天級(jí)芯片，則E=｛（48）,（4。），（及G）,（B,C2）,（B，G），

（5,D）,（C1；D）,（C2,Z>）,?,0｝共9個(gè)，

Q3

所以尸口）=石=不

4.如果一條雙曲線的實(shí)軸和虛軸分別是一個(gè)橢圓的長(zhǎng)軸和短軸，則稱它們?yōu)椤肮草S”曲線.若雙曲線G與橢

圓是“共軸”曲線，且橢圓g：:+5=1（0<6<3）,強(qiáng)=竽（e］、e2分別為曲線G、Q的離心率）.己

知點(diǎn)”（1,0）,點(diǎn)尸為雙曲線G上任意一點(diǎn).

⑴求雙曲線G的方程；

（2）延長(zhǎng)線段尸河到點(diǎn)。，且=若點(diǎn)0在橢圓G上，試求點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

⑶若點(diǎn)P在雙曲線Ci的右支上，點(diǎn)/、3分別為雙曲線C］的左、右頂點(diǎn)，直線尸M交雙曲線的左支于點(diǎn)R,

直線4P、族的斜率分別為七八kBR.是否存在實(shí)數(shù)X,使得的若存在，求出2的值；若不存在,

請(qǐng)說(shuō)明理由.

丫2

【答案】⑴/-/=1

⑵（6,一⑹或（6,司或（3,0）

（3）當(dāng)P、8重合時(shí)，AeR；當(dāng)P、8不重合時(shí)，存在實(shí)數(shù)2=g，使得儲(chǔ).=；的R,理由見(jiàn)解析

【分析】（1）根據(jù)“共軸”曲線定義，直接列式計(jì)算可得答案;

（2）設(shè)“西,%）,。（乙，%），由|PM=2|M0|,可得%=-3乂，代入C?方程與G方程聯(lián)立，即

可求得點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）討論當(dāng)尸、3重合時(shí)，AeR；尸、8不重合時(shí)，設(shè)出直線P&的方程為x=）+1,與雙曲線方程聯(lián)立，

消元后利用韋達(dá)定理進(jìn)行消參，進(jìn)而證明其比值為定值.

22

【解析】（1）根據(jù)題意雙曲線G：，｝=l（O<6<3）,

因?yàn)榈?=尬至x包—=逑，解得6=1,

339

雙曲線。的方程為572=1；

設(shè)尸（外筋），。（X2，%），

己知M（1,0）,又1PM=2Mo|,

所以X2=\^，%=一；乂，

丫2

又點(diǎn)尸為雙曲線G上任意一點(diǎn)，則/弁=1,

X]=6fx,——3

聯(lián)立，解得或?,

bi=±V3E=o

所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為（6,-碼或（6,百）或（3,0）；

（3）當(dāng)尸、2重合時(shí)，AeR；當(dāng)尸、8不重合時(shí)，存在實(shí)數(shù)2=；,使得七,=；原欠，理由如下,

當(dāng)P、5重合時(shí)，由題意左歐=0,則如=0,則4wR,

當(dāng)尸、2不重合時(shí)，kBR^0,設(shè)直線戶尺的方程為尤=7+1,尸（士,必）,尺（9,八）,

x=ty+l

由-2，得(d-9)/+20-8=0,

-----y=1

l9

因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為y=±?

又直線尸時(shí)交雙曲線的左支于點(diǎn)尺右支于點(diǎn)尸，所以左(-3,3),

由韋達(dá)定理得，%+%=74，%%=>之，

t—yt—y

所以3P3+39+4%,少3-2例為一2M

kBR%%%+4%Wi%+4%

/―3ty2—2

一2必一8一2必92-9)1

—8/.1「-16”4弘(“-9)1~2

--+4

r-91U2-9乙

所以存在實(shí)數(shù)2=g,使得3P=g凝Q

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題的解題思路是理解題目定義，求出雙曲線方程，根據(jù)定點(diǎn)位置合理設(shè)出直線的方

程形式，再利用直線與雙曲線的位置關(guān)系得到韋達(dá)定理，然后利用斜率公式代入消元，即可判斷是否為定

值.

5.函數(shù)y=〃x)的定義域?yàn)?。，在。上僅有一個(gè)極值點(diǎn)天,方程〃司=0在。上僅有兩解，分別為x「

%,且再</<%.若土產(chǎn)>%,則稱函數(shù)y=/(x)在。上的極值點(diǎn)左偏移；若乜了</，則稱函數(shù)

y=/(x)在。上的極值點(diǎn)右偏移.

⑴設(shè)/(同=--1,D=R,判斷函數(shù)>=/(X)在。上的極值點(diǎn)是否左偏移或右偏移？

⑵設(shè)機(jī)>0且"ZW1,/(x)=x3-mx2-x+m,Z)=(0,+oo),求證：函數(shù)>=/(x)在。上的極值點(diǎn)右偏移；

(3)設(shè)aeR,/(x)=lnx-ax,。=(0,+(?),求證：當(dāng)0<℃一1時(shí)，函數(shù)V=/(》)在。上的極值點(diǎn)左偏移.

【答案】(1)函數(shù)N=/(x)在。上的極值點(diǎn)不偏移

(2)證明見(jiàn)解析

(3)證明見(jiàn)解析

【分析】(1)先求/(司=0的根及/(x)=x2_l的極值點(diǎn)，再根據(jù)題設(shè)定義，即可求解；

(2)先求〃x)=0的根，對(duì)〃x)求導(dǎo)，得到/'(x)=3/-2叮-1,通過(guò)計(jì)算得到五產(chǎn)］<0,再利用

二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解；

(3)設(shè)〃司=0的兩個(gè)零點(diǎn)為匹,尤2,根據(jù)條件得到0<%<6<%=!<工2,再構(gòu)造函數(shù)

7???

g(x)=/(x)-/(—x)=lnx-ax-ln(—x)+?(—X),利用函數(shù)的單調(diào)性，得到了(一一再)>/(羽)，即可求

aaaa

解.

【解析】(1)由〃X)=Y-1=0,得到/=1,所以再=-1/2=1,

又/''(x)=2x,由/'(x)=2x=0,得至！］無(wú)=0,又當(dāng)x<0時(shí)，/'(x)=2x<0,當(dāng)x>0時(shí)，/'(x)=2x>0,

所以/(x)=x2-1只有一個(gè)極值點(diǎn)，且極值點(diǎn)為％=0,此時(shí)不=受產(chǎn)，

所以函數(shù)>=/(x)在。上的極值點(diǎn)不偏移.

(2)H^//(x)=x3-mx2-x+m=x2(x-m)-(x-m)=(x-m)(x-l)(x+1),加>0且加wl,D=(0,+oo),

由/(x)=。，得到玉=I,%=冽或石=加，x2=1，貝！J再+々=機(jī)+1>0,

又/'(%)=3%2-2加x—1,A=4加2+12>0,貝lJ/'(x)=3%2—2加工一1二0有兩根，

_2m1

不妨設(shè)為％，%2，且%1<%2,又。+/2>。,。才2=—］<0，所以％

又xc(0/2)時(shí)，r(x)<0,xe&,+s)時(shí)，/'(x)>0,所以函數(shù)歹=/(x)在。上只有一個(gè)極值點(diǎn)x。，且

%0二,2，

又詈一24*一」一"刎一1)2<0，

所以故函數(shù)P=/(X)在。上的極值點(diǎn)右偏移.

(3)由題知，/'(%)=—a，令/(%)=--。=0,得到％=—,

xxa

當(dāng)時(shí)，/,(x)>0,當(dāng)xj±+co］時(shí)，/'(x)<0,所以■是〃x)=lnx-ax的極值點(diǎn)，

Va)\aJa

且/?在區(qū)間(o,J上單調(diào)遞增，在區(qū)間■，+3上單調(diào)遞減，

X/(^o)=/(—)=ln--l>0,X.0時(shí)，f(x)-00,x->+8時(shí)，f(x)-00,/(e)=Ine-tze=l-tze>0,

aa

則/(x)=0有兩個(gè)零點(diǎn)，不妨設(shè)為再戶2，且王<工2，所以0<芭<e<Xo=1<%2，/(演)=/。2)，

a

2222

令g(x)=/(x)-/(x)=\nx-ax-ln(x)+Q(x)(0<x<—),

aaaa

112a［x--］(2、

貝Ug'(x)=――4+^----a=———^>0在］￡0,—恒成立，

x2(21Va)

——XX——X

aVJ

所以g(x)=/(x)--X)在區(qū)間(0,2］上單調(diào)遞增，

a<a)

所以g（：）>g（xj，即0>/（再）一/。一網(wǎng)）=〃％）-/。一再），

2211

X

故/（--玉）>/（%2），又---1>X=-X>XQ=-F

aaQa92a

故2-再<%，得到工〈三三，即迎〈三逗，

aa22

所以當(dāng)0<a<e一時(shí)，函數(shù)>=/（x）在。上的極值點(diǎn)左偏移.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題第三問(wèn)考查極值點(diǎn)偏移問(wèn)題，解決極值點(diǎn)偏移的主要方法有:

1.構(gòu)造對(duì)稱函數(shù)；

2.比值換元；

3.對(duì)數(shù)平均不等式.

0----------------C組?高分突破-----------*>

一、解答題

1.如圖，在圓柱中，底面直徑等于母線/。，點(diǎn)E在底面的圓周上，且尸是垂足.

（1）求證：AF1DB；

（2）若圓柱與三棱錐D-ABE的體積的比等于3萬(wàn)，求直線DE與平面ABD所成角的大小.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析

（2）arctan

【分析】（1）根據(jù)題意，證得E8_L平面得到尸，結(jié)合AF1DE,證得/P_L平面OE3,進(jìn)而

證得/尸_LDB；

（2）過(guò)點(diǎn)E作證得昉■，平面4BD,得到/磯）H是與平面48。所成的角，設(shè)圓柱的底面

半徑為A,求得M：%TBE=3兀，進(jìn)而求得乙EOH的值.

【解析】（1）證明：根據(jù)圓柱性質(zhì)，D4_L平面/8E,

因?yàn)镋2u平面4BE,所以ZU_L班，

又因?yàn)槭菆A柱底面的直徑，點(diǎn)E在圓周上，所以

因?yàn)镹￡cD4=/且AE,DAu平面DAE,所以￡81平面DAE,

又因?yàn)?Fu平面所以尸，

因?yàn)榧庸ぷ琒.EBHDE=E,且E8,DEu平面OE3,所以N尸，平面OE3,

又因?yàn)槠矫?。EB,所以/F_LDB.

(2)解：過(guò)點(diǎn)￡作￡〃_1/5,b是垂足，連接ZW,

根據(jù)圓柱性質(zhì)，平面48。_L平面ABE,且平面48Oc平面4BE=4B,

且￡〃u平面4BE,所以E〃_L平面

因?yàn)?。〃u平面N8。，所以?！ㄊ峭?在平面上的射影，

從而NEDH是DE與平面ABD所成的角，

設(shè)圓柱的底面半徑為R，貝!|D4=/B=2R,

1DE>2

所以圓柱的體積為廠=成且

23,VD_ABE=-AD-SAABE=--EH,

由修：%>-ABE=3無(wú)，可得EH=R,可知H是圓柱底面的圓心，且AH=R,

S.DH=y/DA2+AH2=45R，

在直角△￡/田中，可得tanNEDH=需=鼻,所以/瓦汨=arctang.

2.已知函數(shù)>=/(x),其中/(x)=sinx.

⑴求在xe[O,可上的解；

⑵己知8(》)=6/8/卜+鼻-〃耳〃》+兀)，若關(guān)于工的方程83-加=；在》€(wěn)時(shí)有解，求實(shí)數(shù)加

的取值范圍.

【答案】(1)，■或巖

~1/

(2)--4

【分析】(1)根據(jù)題意得方程，然后通過(guò)x的范圍解方程即可；

(2)代入/(x),然后利用三角公式化簡(jiǎn)，再將方程有解問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)值域問(wèn)題，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)

求值域即可.

【解析】(1)由已知了

又xe[O,兀],所以

所以x一；=|?或丫一:=等，

所以x=^?或x=巖，

即=g在xe[O,可上的解為行或等；

yT-JNIN

⑵由已知g"氐mxsm"斗sinxsm(…)3smxm+sm2x

A/3._l-cos2x.J兀11

——sin2xH-------------=sin2xH—,

22I6j2

[71ITT\T7T1

則g(x)-w=5在xe0,-時(shí)有解，即sin[2尤-=m在無(wú)e0,-時(shí)有解,

2

,_..?7LLLtI兀兀5兀

因?yàn)閄￡0,—,所以--,~―

_2J666

所以sin(2xqje--1

_2」

所以加e.

3.某保險(xiǎn)公司為了了解該公司某種保險(xiǎn)產(chǎn)品的索賠情況，從合同險(xiǎn)期限屆滿的保單中隨機(jī)抽取1000份,

記錄并整理這些保單的索賠情況，獲得數(shù)據(jù)如下表：

賠償次數(shù)01234

單數(shù)800100603010

假設(shè)：一份保單的保費(fèi)為0.4萬(wàn)元；前3次索賠時(shí)，保險(xiǎn)公司每次賠償0.8萬(wàn)元；第四次索賠時(shí)，保險(xiǎn)公司

賠償0.6萬(wàn)元.假設(shè)不同保單的索賠次數(shù)相互獨(dú)立.用頻率估計(jì)概率.

(1)估計(jì)一份保單索賠次數(shù)不少于2的概率；

(2)一份保單的毛利潤(rùn)定義為這份保單的保費(fèi)與賠償總金額之差.

(i)記X為一份保單的毛利潤(rùn)，估計(jì)X的數(shù)學(xué)期望E[X]；

(ii)如果無(wú)索賠的保單的保費(fèi)減少4%,有索賠的保單的保費(fèi)增加20%,試比較這種情況下一份保單毛利

潤(rùn)的數(shù)學(xué)期望估計(jì)值與(i)中E[X]估計(jì)值的大小.

【答案】(￡

(2)⑴0.122；(ii)答案見(jiàn)解析

【分析】(1)根據(jù)題設(shè)中的數(shù)據(jù)可求賠償次數(shù)不少2的概率；

(2)(i)設(shè)？為賠付金額，則，可取0,0.8,162.4,3,用頻率估計(jì)概率后可求，的分布列及數(shù)學(xué)期望，從而

可求題X]；

<ii)先算出下一期保費(fèi)的變化情況，結(jié)合(1)的結(jié)果可求Ep],從而即可比較大小得解.

【解析】(1)設(shè)A為“隨機(jī)抽取一單，賠償不少于2次”，由題設(shè)中的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)可得：

zX_60+30+10_J_

('~800+100+60+30+10-10'

(2)(i)設(shè)，為賠付金額，則可取0,0.8,1.624,3,由題設(shè)中的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)可得：尸(？=0)=黑=,

60_3

尸（？=1.6）=

1000-50

尸(7=24)=蓋1

高，尸=蒜

2W0

41331

故E（G=0X”.8x——+1.6x——+2.4x——+3x~=0.278

1050100100

故/X]=0.4-0.278=0.122（萬(wàn)元）.

（ii）由題設(shè)保費(fèi)的變化為E[y]=0.4xgx0.96+0.4xgxl.2=0.4032,故E[X]<E[y].

2

=4（機(jī)eR）.

⑴若曲線C為雙曲線，且漸近線方程為y=±1x,求曲線。的離心率;

(2)若曲線C為橢圓，且尸1,彳在曲線C上.過(guò)原點(diǎn)且斜率存在的直線4和直線4U與4不重合)與橢圓C

分別交于G,H兩點(diǎn)和。，E兩點(diǎn)，且點(diǎn)P滿足到直線4和4的距離都等于2區(qū)，求直線4和4的斜率之積;

5一

(3)若機(jī)=-1,過(guò)點(diǎn)4(0,—1)的直線與直線>=-2交于點(diǎn)與橢圓交于8,點(diǎn)8關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為C,

直線NC交直線了=-2交于點(diǎn)N,求|九火|的最小值.

【答案】⑴述或2

3

⑵I

（3）4

【分析】（1）分焦點(diǎn)在x軸、歹軸兩種情況討論，分別求出離心率；

（4

（2）將點(diǎn)尸1，+代入方程，求出加的值，即可求出曲線方程，設(shè)直線4的方程為V=直線人的方程

為y=k?x（k產(chǎn)為不失一般性設(shè)P（%,%）,利用點(diǎn)到直線的距離公式得到*僅是一元二次方程

2

（5考-4）k-lOxoyok+5"-4=0的兩實(shí)數(shù)根，利用韋達(dá)定理計(jì)算可得；

（3）首先得到橢圓方程，設(shè)出直線的方程，聯(lián)立方程，求得點(diǎn)B,M的坐標(biāo)，根據(jù)對(duì)稱性得到點(diǎn)C的

坐標(biāo)，從而得到直線NC的方程，令了=-2,求出點(diǎn)N的坐標(biāo)，得到|"N|的表達(dá)式，再根據(jù)均值不等式進(jìn)

行求解即可.

【解析】（1）因?yàn)榍€C：（3-2小卜2-4叼2=4（%eR）為雙曲線，

若焦點(diǎn)在x軸，則「T-1,又漸近線方程為了=±也X,

—3

37-2mm

]_

則—年—=7>§P6m2+4m-9=0,解得加=2+或加=二~立乎（舍去），

4366

3-2m2

此時(shí)曲線C的離心率0=JZ半=半；

22

-尤TH

若焦點(diǎn)在了軸，則FL,又漸近線方程為了=±9尤，

m3-2機(jī)23

_J___

貝!]---弓—=—,6m2+4m-9=0,解得m='+（舍去）JlKm=——,

4366

3-2/

此時(shí)曲線C的離心率e='+（百）=2,

綜上可得曲線C的離心率為氈或2.

3

/、（cY1

（2）依題意（3-2加2）xF一4機(jī)x=4,解得加=一1或冽=

丫2

當(dāng)加=-1時(shí)曲線C：—+/=1,符合題意;

4

1_2--i

當(dāng)加=—時(shí)曲線。：8+2一，符合題意；

2-

5

設(shè)直線4的方程為^=幻，直線，2的方程為歹=后2、（左。左2），為不失一般性設(shè)尸（%，%），

、.Ik.x-y\2V5

則根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式可得a。n

化簡(jiǎn)得（5%；-4）左;-10%丫0卜1+—4=0,

同理可得（5%o-4）%-10x0y0k2+5歹；—4=0,

所以左1，左2是一元二次方程（5*-左+5需-4=0的兩實(shí)數(shù)根，A>0,

不妨設(shè)直線43的方程為了=辰-1化WO）,

y=kx-l

聯(lián)立32，消去了并整理得(1+4-)%2一8履=0,

14,

8k8k214左2_i

=kx1