第07講實數(shù)及其簡單計算

-?模塊導(dǎo)航AT素養(yǎng)目標(biāo)A

模塊一思維導(dǎo)圖串知識1、了解無理數(shù)和實數(shù)的概念。

模塊二基礎(chǔ)知識全梳理(吃透教材)2、會對實數(shù)按照一定標(biāo)準(zhǔn)進行分類

模塊三核心考點舉一反三3、掌握實數(shù)的相關(guān)概念，增強學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識,

模塊四小試牛刀過關(guān)測提高學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力。

6模塊一思維導(dǎo)圖串知識-

分類

有理數(shù)的運算法則及性質(zhì)等同樣適用

先進行防和開方運算

運算

再算乘除

運算順

最后算加減

如果遇到括號，則先進行括號里的運算

實數(shù)

表現(xiàn)形式滔>0

Va>0(a>0)

*非負(fù)數(shù)的性質(zhì)

非負(fù)數(shù)有最小值零

非負(fù)數(shù)之和仍是非負(fù)數(shù)

幾個非負(fù)數(shù)之和等于0,則每個非負(fù)數(shù)都等于0

模塊二基礎(chǔ)知識全梳理

1.無理數(shù)

無理數(shù)：無限不循環(huán)小數(shù)叫做無理數(shù).

【補充】無限不循環(huán)小數(shù)不能化成分?jǐn)?shù)，因此無限不循環(huán)小數(shù)不是有理數(shù).

常見的無理數(shù)：

1）一般的無限不循環(huán)小數(shù)，如0.43241…,7.6385661…等

2）開方開不盡的數(shù)，如：V2、石等.

［易錯］帶根號的數(shù)并不都是無理數(shù)，而開方開不盡的數(shù)才是無理數(shù).

3）與圓周率口有關(guān)的數(shù)，如5口，3+n,"等.

4）看似有規(guī)律循環(huán)實際上是無限不循環(huán)的小數(shù)，如0.1010010001（兩個1之間依次增加1個0）…

5）某些三角函數(shù)，如sin60°、cos20".

【注意】無理數(shù)都是無限小數(shù)，但無限小數(shù)不一定是無理數(shù)，只有無限不循環(huán)小數(shù)才是無理數(shù).

利用數(shù)軸表示無理數(shù)的方法：要想在數(shù)軸上畫出表示無理數(shù)的點，需先得到長度為無理數(shù)的絕對值的線段,

一般地，根據(jù)勾股定理，通過構(gòu)造直角三角形來得到長度為無理數(shù)的絕對值的線段，以原點為圓心，以上

述線段長為半徑畫弧，弧與數(shù)軸的交點，便是表示無理數(shù)的點.

2.實數(shù)及其分類

實數(shù)的定義：有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實數(shù).

正整數(shù)

自然數(shù)

能夠?qū)懗煞謹(jǐn)?shù)的嬴）0

\有理數(shù)負(fù)整數(shù)

正分?jǐn)?shù)

按定義分類

正無理數(shù)

無理數(shù)

負(fù)無理數(shù)

實數(shù)的分類:

實數(shù)正整數(shù)

正有理數(shù)---------

正分?jǐn)?shù)

正實數(shù)

正無理數(shù)

0

按性質(zhì)分類

負(fù)有理數(shù)---------

負(fù)分?jǐn)?shù)

負(fù)實數(shù)

負(fù)無理數(shù)

實數(shù)與數(shù)軸上的點的關(guān)系：每一個實數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個點來表示，反之，數(shù)軸上的每一個點都表示

一個實數(shù)，實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應(yīng).

3.實數(shù)的運算

實數(shù)的四則運算：當(dāng)數(shù)從有理數(shù)擴充到實數(shù)以后，實數(shù)之間不僅可以進行加、減、乘、除（除數(shù)不為0）、乘

方運算，又增加了非負(fù)數(shù)的開平方運算，任意實數(shù)可以進行開立方運算.進行實數(shù)運算時，有理數(shù)的運算法

則及性質(zhì)等同樣適用.

運算順序：先進行乘方和開方運算，再算乘除，最后算加減，如果遇到括號，則先進行括號里的運算.

4.實數(shù)的非負(fù)性及性質(zhì)：

1）非負(fù)數(shù)有三種形式：①任何一個實數(shù)a的絕對值是非負(fù)數(shù)，即|a|》0；

②任何一個實數(shù)a的平方是非負(fù)數(shù)，即。2三0；

③任何非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根是非負(fù)數(shù)，即迎NO.

2）非負(fù)數(shù)具有以下性質(zhì)：①非負(fù)數(shù)有最小值零；②非負(fù)數(shù)之和仍是非負(fù)數(shù)；

③幾個非負(fù)數(shù)之和等于0,則每個非負(fù)數(shù)都等于0.

6模塊三核心考點舉一反三------------------------------

考點一：無理數(shù)的判斷

1.（24-25七年級上?浙江臺州?期末）在實數(shù)3.14159265,—逐，阿中，屬于無理數(shù)的是（）

A.3.14159265B.-V5C.1D.V64

2.（24-25七年級上?浙江杭州,階段練習(xí)）在實數(shù)3,1415926,p0,y,V100,-0.32,-V100,

0.1010010001…（兩個"1”之間依次多個"0"）中無理數(shù)的個數(shù)是（）

A.2個B.3個C.4個D.5個

3.（24-25七年級上?云南文山?期中）下列各數(shù)中方3.141141114...,瓜0.16,瓜0,V16,p無理數(shù)

的個數(shù)有（）

A.3個B.4個C.5個D.6個

考點二：無理數(shù)大小的估算

4.（24-25七年級上?浙江杭州?期中）若整數(shù)a滿足條件通＜a＜后，則a的值是—.

5.（24-25七年級上?浙江臺州?期末）已知a＜舊＜b,a和6為相鄰的整數(shù)，貝M+b的值為（）

A.8B.9C.10D.11

6.（24-25七年級上?山東泰安?階段練習(xí)）估計&T+1的值在（）

A.3到4之間B.4到5之間C.5到6之間D.6到7之間

7.（24-25七年級上?浙江金華?期中）如圖，長方形內(nèi)部有兩個相鄰的正方形，面積分別為10和4.

S=-1

⑴請計算陰影部分的面積.

（2）請計算陰影部分的周長，并估計該周長最接近哪個整數(shù).

考點三：無理數(shù)整數(shù)部分的有關(guān)計算

8.（24-25七年級上?浙江?期中）若爪=后一2,則與m最接近的整數(shù)是.

9.（23-24八年級下?河南安陽?階段練習(xí)）若遮的整數(shù)部分為x,小數(shù)部分為y,則y的值是（）

A.1B.V3C.V3-1D.2-V3

10.（24-25七年級上?山東淄博?階段練習(xí)）已知a,6分別是6—限的整數(shù)部分和小數(shù)部分，那么2a—b的

值是（）

A.3-V13B.4-V13C.V13D.5-V13

11.（24-25七年級上?浙江紹興?期中）閱讀理解：vV4<V7<V9,即2<V7<3.

???V7的整數(shù)部分為2,小數(shù)部分為V7—2.

1<77-1<2.

??.V7—1的整數(shù)部分為1.

V7-1的小數(shù)部分為夕-1-1=77-2.

解決問題：

⑴填空：建的整數(shù)部分是,同一3的小數(shù)部分是；

（2）如果V7+1的小數(shù)部分為a,3-V7的整數(shù)部分為6,求a+b—V7的值.

12.（24-25七年級上?浙江杭州?期中）若a,6互為相反數(shù)，c=‘苧，"是VI3的小數(shù)部分.

(1)填空：a+b=_；c=_；d—_.

(2)求竽+-d的值.

13.（2024七年級上?全國?專題練習(xí)）閱讀下面的文字，解答問題：大家知道魚是無理數(shù)，而無理數(shù)是無限

不循環(huán)小數(shù)，因此魚的小數(shù)部分我們不可能全部寫出來.將這個數(shù)減去其整數(shù)部分，得到的差就是小數(shù)部

分，因為魚的整數(shù)部分是1,于是用四一1來表示魚的小數(shù)部分.又例如：

?.?V4<V7<V9,即2<77<3,

??.V7的整數(shù)部分是2，小數(shù)部分為V7-2.

根據(jù)上述材料，回答下列問題：

⑴行的整數(shù)部分是二小數(shù)部分是」

（2）6+舊也是夾在相鄰兩個整數(shù)之間的，可以表示為a<6+K<b，求a+6的值；

（3）已知10+眄=x+y,其中x是整數(shù)，且0<y<l,求3x—y的值.

考點四：實數(shù)的分類

14.（24-25七年級上?浙江溫州?期中）聰聰在學(xué)完實數(shù)后，對數(shù)進行分類時，發(fā)現(xiàn)"實數(shù)"、"整數(shù)"、"正數(shù)"、

"無理數(shù)”有如圖所示的關(guān)系，請你在圖中的橫線上按對應(yīng)序號分別填上一個適合的數(shù).

①；②；③；④；⑤；⑥.

為

MW\

15.（24-25七年級上?浙江寧波?期中）把下列各數(shù)的序號填在相應(yīng)的大括號里：

①7；②—2.6；③苫；④2|；⑤而；⑥―今⑦（"）1?0.3030030003……（兩個"3"之間依次

多一個"0"）

整數(shù)集合：｛｝;

負(fù)分?jǐn)?shù)集合：｛｝:

無理數(shù)集合：｛｝:

16.（24-25七年級上?湖北十堰?期中）將下列各數(shù)填入相應(yīng)的括號內(nèi)：

-2.5,0,8,f,—1.121121112…，*-0.05

正數(shù)集合：｛…｝;

有理數(shù)集合：｛

負(fù)數(shù)集合：｛

無理數(shù)集合：｛

17.（2024七年級上?全國?專題練習(xí)）把下列各數(shù)填在相應(yīng)的表示集合的大括號內(nèi)（填序號）：

①一2,②兀，③一，④一|一3|,⑤弓，⑥一0.3,⑦一衣⑧心⑨0,⑩1.1010010001…（每兩

個1之間依次多一個0）.

正數(shù)：｛

整數(shù):｛

分?jǐn)?shù)：｛

非負(fù)有理數(shù)：

無理數(shù)：｛

負(fù)實數(shù)：｛

考點五：實數(shù)的性質(zhì)

18.（24-25七年級上?山東泰安?階段練習(xí)）一遍的相反數(shù)是—,絕對值等于或的數(shù)是—，|3—兀|=—

19.（23-24七年級下?四川廣元?期末）在數(shù)一0.1,0,3弘和4—IT中，絕對值等于它本身的共有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

20.（23-24七年級下,天津河西,期中）下列說法正確的是（）

A.遮一班的相反數(shù)為板一四B.兀一3.14的絕對值是3.14—兀

C.若久2=6,貝！|久=乃D.若久3=6,則乂=士四

考點六：實數(shù)與數(shù)軸

21.（24-25七年級上?浙江舟山?期中）如圖，2X2正方形方格的每一方格的邊長為1個單位，依次連結(jié)各邊

的中點4、B、C、D得正方形力BCD,則正方形4BCD的邊長是,以頂點C為圓心，CD長為半徑畫圓交

數(shù)軸的負(fù)半軸于點P,則數(shù)軸上點P對應(yīng)的無理數(shù)是.

22.（2024七年級上?全國?專題練習(xí)）如圖，半徑為1個單位長度的圓從原點沿數(shù)軸向右滾動一周，圓上的

一點4（滾動時與原點重合）由原點到達點B,貝的長度就等于圓的周長,所以數(shù)軸上點B代

23.（24-25七年級上?浙江杭州?期中）若a,b是實數(shù)，且|a|=a，網(wǎng)=一6,a>\b\,則用數(shù)軸上的點來表

示a,b,正確的是（）

_______I______________I_____I______________________________________I______________I_____I_____

A.a0bB.60a

_______i_____i_______________i_____>------------1——?-----------------------1---------->

C.60aD.aQb

24.（24-25七年級上?全國?期中）如圖，半徑為1個單位的圓片上有一點人與數(shù)軸上的原點重合，是圓片

的直徑.

B

⑴把圓片沿數(shù)軸向左滾動半周，點B到達數(shù)軸上點C的位置，點C表示的數(shù)是—數(shù)（填"無理"或"有理"）,

這個數(shù)是—；

（2）把圓片沿數(shù)軸滾動2周，點4到達數(shù)軸上點D的位置，點。表示的數(shù)是一；

⑶圓片在數(shù)軸上向右滾動的周數(shù)記為正數(shù)，圓片在數(shù)軸上向左滾動的周數(shù)記為負(fù)數(shù)，依次運動情況記錄如

下：+2,-1,+3,—4,-3.

①第幾次滾動后，a點距離原點最近？第幾次滾動后，a點距離原點最遠(yuǎn)？

②當(dāng)圓片結(jié)束運動時，a點運動的路程共有多少？此時點A所表示的數(shù)是多少？

考點七：與實數(shù)有關(guān)的化簡問題

25.（2024七年級上?浙江?專題練習(xí)）如圖，a,6,c是數(shù)軸上三個點/、B、C所對應(yīng)的實數(shù).試化簡:

必+|a+b|+V（a+b）3—什一c1

ill1A

BA0C

26.（23-24七年級下?湖北恩施?期中）實數(shù)a,b,c是數(shù)軸上三點4,B,C所對應(yīng)的數(shù)，如圖，

(1)比較大小Q_0；ci—b_0；CL+b_0；b—c_0

⑵化簡：+\a—b\+y(a+5)3—\b-c\

27.（23-24七年級下?湖北恩施?期中）已知實數(shù)訪6在數(shù)軸上的位置如圖所示：

L工LA

U（］h

⑴化簡：a+b—+2Vtt^；

⑵若1+2|可的平方根是±夜;2。+人一4的立方根是一2,求Q+2b的算術(shù)平方根.

28.（23-24七年級下?福建福州?階段練習(xí)）如圖，一只螞蟻從點/沿數(shù)軸向右爬了3個單位長度到達點S點

4表示一魚，設(shè)點8所表示的數(shù)為

-2-1012

⑴實數(shù)m的值是；

⑵在數(shù)軸上還有C、。兩點分別表示實數(shù)c和d,且12c+研與述d+4互為相反數(shù),求3c+d的值;

⑶在數(shù)軸上還有E點表示實數(shù)久，且1＜久＜根，化簡：|比一1|+J(x—2)2

考點八：實數(shù)的比較大小

29.(2024七年級上?全國?專題練習(xí))比較下列各數(shù)的大小:

(1)277和4四；

(2)近和今

30.(2024七年級上?全國?專題練習(xí))比較下列各組數(shù)的大小:

(l)V5-3,亨；

V3

')"F'-F'

31.(24-25七年級上?浙江?期中)已知下列各數(shù)：一4,-71,|—3|,V4,0.

⑴將上述各數(shù)表示在數(shù)軸上.

IIIIIIIIIII_____IIIIII

-8-7-6-5-4-3-2-1012345678

(2)將上述各數(shù)按從小到大的順序用"＜"連接.

考點九：實數(shù)的混合運算

32.(24-25七年級上?黑龍江哈爾濱?階段練習(xí))計算：

(1)(V3+V2)-(V3-V2)

(2)716++|1-V5|

33.(24-25七年級上?黑龍江哈爾濱?階段練習(xí))計算

(1)|V2-V3|+2V2

(2)(-l)2024+7(-4)2-V27

34.（2024七年級上?全國?專題練習(xí)）計算:

(1)|V^64|；

(3)(V7)2+7(^-2.

35.（23-24七年級下?云南曲靖?期中）計算：（—1）2024+V_27—|2—何+—3）2.

36.（24-25七年級上?浙江寧波?期中）初中階段，目前我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了多種計算技巧，例如裂項相消法、錯

位相減法等，請計算下列各式:

(1\___I______I______|_........_|-

\,1x22x33x42023x2024

⑵+++_-

I‘1x33x55x72021x2023

1111

'‘1x44x77x102020x2023

(4)|1-V2|+|V2-V3|+|V3-V4|+……+|V2023-V2024|=

考點十：實數(shù)運算的實際應(yīng)用

37.（20-21七年級下?湖北武漢?期中）某農(nóng)場有一塊用鐵柵欄圍墻圍成的面積為600平方米的長方形空地,

長方形長寬之比為3：2.

⑴求該長方形的長寬各為多少？

（2）農(nóng)場打算把長方形空地沿邊的方向改造出兩塊不相連的正方形試驗田，兩個小正方形的邊長比為4：3,

面積之和為500平方米，請問能改造出這樣的兩塊不相連的正方形試驗田嗎?并說明理由.

38.（23-24九年級上?河南周口?階段練習(xí)）座鐘的擺針擺動一個來回所需的時間稱為一個周期，其計算公式

為7=2*其中T表示周期（單位：C,/表示擺長（單位：m）.假如一臺座鐘的擺長為。2m.（兀取3,

g=9.8m/s2)

⑴求擺針擺動的周期.

（2）如果座鐘每擺動一個來回發(fā)出一次滴答聲，那么在6分鐘內(nèi)，該座鐘大約發(fā)出了多少次滴答聲？

39.（22-23七年級下?福建莆田?期中）虹勝廣場要建一個占地面積4000平方米的花園，現(xiàn)有兩種方案：一

種是建正方形花園，一種是建圓形花園，如果你是設(shè)計者，你能估算出兩種花園的圍墻有多長嗎（誤差小

于1米）？如果你是投資者，你會選擇哪種方案，為什么？

40.（21-22七年級下?北京?期中）"說不完的魚”探究活動，根據(jù)各探究小組的匯報，完成下列問題.

（1）近到底有多大？

下面是小欣探索魚的近似值的過程，請補充完整：

我們知道面積是2的正方形邊長是VL且魚>1.4.設(shè)魚=1.4+x,畫出如下示意圖.

由面積公式，可得N+=2.

因為x值很小，所以好更小，略去得方程,解得x=（保留到0.001）,即魚?.

（2）怎樣畫出魚？請一起參與小敏探索畫魚過程.

現(xiàn)有2個邊長為1的正方形，排列形式如圖（1）,請把它們分割后拼接成一個新的正方形.要求：畫出分

割線并在正方形網(wǎng)格圖（圖中每個小正方形的邊長均為1）中用實線畫出拼接成的新正方形.

小敏同學(xué)的做法是：設(shè)新正方形的邊長為x（x>0）.依題意，割補前后圖形的面積相等，有爐=2,解得

%=V2.把圖（1）如圖所示進行分割，請在圖（2）中用實線畫出拼接成的新正方形.

n-----r

n------1

n------1

-i------11------r

圖⑵圖(3)圖(4)

請參考小敏做法，現(xiàn)有5個邊長為1的正方形，排列形式如圖（3）,請把它們分割后拼接成一個新的正方

形.要求：畫出分割線并在正方形網(wǎng)格圖（4）中用實線畫出拼接成的新正方形.說明：直接畫出圖形，不

要求寫分析過程.

考點十一：與實數(shù)運算有關(guān)的新定義問題

41.（24-25七年級上?河南濮陽?期中）對于有理數(shù)a,b,定義一種新運算：途6=1篝”旗絳），例

如：3X1=3—1=2,5※4=5+4—6=3.根據(jù)上面的材料，請完成下列問題：

⑴7派3；

（2）（-3）※（一5

42.（24-25七年級上?遼寧錦州?期中）材料一：對任意有理數(shù)a,6定義運算"因"，a（g）b=a+6—等，

如1⑤2=1+2—等=—竿，10203=1+2-^+3^=-2017.

材料二：規(guī)定回表示不超過a的最大整數(shù)，$n[3.1]=3,[-2]=-2,[-1,3]=-2.

（1）206=,=；

（2）a是有理數(shù)，[a]+[—a]=；

⑶求10203040???（8）202202023的值.

43.（24-25七年級上,浙江溫州?期中）定義一種新運算"0"：當(dāng)a26時，a0b^ab-b2；當(dāng)a<6時，

a0b=ab—a2.

（1）根據(jù)定義計算：

①（一1）國2,2G）（—1）；

②（一3）（8）（-2）,（-2）0（-3）.

（2）根據(jù)（1）中的計算結(jié)果，請直接判斷該運算是否滿足交換律.

⑶己知［(a—2)2+1］名)1=9,求a的值.

44.(24-25七年級上?黑龍江哈爾濱?期中)【數(shù)學(xué)中的閱讀理解】對于實數(shù)a,我們規(guī)定：用符號［加表示不

大于的最大整數(shù)，稱［VH］為a的根整數(shù)，例如：［眄］=3,［”團=3.

⑴仿照以上方法計算：-［V39］=;

(2)若［①］=1,寫出滿足題意的％的整數(shù)值________:

⑶如果我們對a連續(xù)求根整數(shù)，直到結(jié)果是1為止.例如：對10連續(xù)求根整數(shù)2次N葩=3+［方］=1,這

時候結(jié)果為L則對有理數(shù)137連續(xù)求根整數(shù)，之后結(jié)果是1;

⑷只需進行3次連續(xù)求根整數(shù)運算后結(jié)果是1的所有正整數(shù)中，最大的是.

45.(23-24七年級下?吉林?期末)在平面直角坐標(biāo)系中，已知任意兩點4(a,b),B(m,n),規(guī)定2區(qū)B=

(—mVa.Vbn),若P(9,—1),且P<8>Q=(—6,3),求點。的坐標(biāo).

46.(23-24七年級下?廣東陽江,期末)【閱讀新知】

定義：如果一個數(shù)的平方等于一1,記為i2=—1,這個數(shù)i叫做虛數(shù)單位，我們把形如a+6i(a,6為實數(shù))

的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，。叫做這個復(fù)數(shù)的實部，6叫做這個復(fù)數(shù)的虛部，它的加、減、乘運算與整式的加、減、乘

運算類似.例如：i3=ii-i=(-l).i=-i.復(fù)數(shù)的加法運算法則：將兩個復(fù)數(shù)的實部和虛部分別相加.例

如：(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.

【應(yīng)用新知】

⑴填空：i4=;i5=.

(2)計算：(4-2i)+(-5+6i).

考點十二：程序設(shè)計與實數(shù)運算

47.(24-25七年級上?浙江杭州?期中)每個程序段由若干條指令組成，老師設(shè)計了一段運算程序如圖:

例如：當(dāng)輸入x的值為一1時，計算結(jié)果g<4；將輸入值變?yōu)?一1)+1=0,計算結(jié)果為遍<4；再將輸入

值變?yōu)榱?+1=1,繼續(xù)運算，直到計算結(jié)果不小于4,才輸出該結(jié)果.

請思考下列問題.

⑴當(dāng)輸入x的值為5,則輸出y的值是多少？請列式計算.

(2)當(dāng)起始輸入x的值為1,請通過計算說明經(jīng)過幾次程序運行后才能輸出八

48.(24-25七年級上?浙江舟山?期中)如圖所示為一個數(shù)值轉(zhuǎn)換器.

|輸入x|金算術(shù)平方根性?輸曲|

是有理故

⑴當(dāng)輸入的X的值為49時，輸出的y的值是；

(2)若輸入有效的R直后，始終無法輸出y的值，請寫出所有滿足要求的X的值：

⑶若輸出的y值是遮，請寫出兩個滿足要求的x的值：.

49.(23-24七年級下?廣東陽江,期中)如圖是一個數(shù)值轉(zhuǎn)換器，請根據(jù)其原理解決問題：當(dāng)x為12時，求y

的值，并寫出詳細(xì)過程.

輸Axl

輸出y

50.(23-24七年級上?浙江?期末)有一個數(shù)值轉(zhuǎn)換器，運算流程如下:

⑴在一1,2,4,16中選擇3個合適的數(shù)分別輸入久，求對應(yīng)輸出y的值.

(2)若輸出y的值為—V3,求輸入x的值.

考點十三：與實數(shù)運算有關(guān)的規(guī)律探究問題

51.(24-25八年級上?湖南衡陽?階段練習(xí))先觀察等式，再解答問題:

①Si==1+A擊=等②S2=J1+/+1=1+A擊=4

⑴請你根據(jù)以上三個等式提供的信息，猜想h+±+之=_____；

?M4Z5Z

(2)請你按照以上各等式反映的規(guī)律，寫出用含n的式子表示的等式：―("為正整數(shù));

⑶應(yīng)用上述結(jié)論，請計算S1+$2+S3+$44----+S100的值.

52.（24-25八年級上?山西臨汾?階段練習(xí)）先閱讀材料，再回答問題:

V13=V12=1

J13+23==3

J13+23+33——=6

,13+23+33+43=V1Q2=10

⑴請根據(jù)以上規(guī)律寫出第七個等式；

⑵根據(jù)以上規(guī)律，若一個等式的最右邊的值是55,請寫出這個等式；

⑶根據(jù)以上規(guī)律，寫出第"個等式.(用含有〃的式子表示，〃為整數(shù)，且n21)

53.(22-23七年級上?廣東潮州?期中)我們來看下面的兩個例子：

(V9x4)2=9x4,(V9xV4)2=(呵2x(VI)2=9x4,

和眄x迎都是9x4的算術(shù)平方根，而9x4的算術(shù)平方根只有一個，

所以人9x4=V^xV?.

(V5x7)*2=5x7,(V5xV7)2=(V5)2x(V7)2=5x7

V5x7和通xV7都是5x7的算術(shù)平方根，

而5x7的算術(shù)平方根只有一個，所以_(填空)

(1)猜想：一般地，當(dāng)a20,620時，而與V^xVF之間的大小關(guān)系是怎樣的？

(2)運用以上結(jié)論，計算：V64X225的值.

54.（23-24七年級下?廣東江門?期中）先觀察下列各式VT=1,VTTI=V4=2；Vl+3+5=V9=3；

Vl+3+5+7=V16=4；

⑴計算：Vl+3+5+7+9+ll=_

⑵已知〃為正整數(shù)，通過觀察并歸納，請寫出：（1+3+5+7+9+11+...+（2n-1）=_

⑶應(yīng)用上述結(jié)論，請計算A/4+12+20+28+36+44+…+204的值.

考點十四：與實數(shù)運算有關(guān)的閱讀理解類問題

55.(23-24七年級下?重慶江津?期中)閱讀下面文字，解答問題：

大家知道：魚是無理數(shù)，而無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，因此近的小數(shù)部分我們不能全部寫出來，于

是小明用魚一1來表示魚的小數(shù)部分，你同意小明的表示方法嗎？事實上小明的表示方法有道理的，因為魚

的整數(shù)部分是L將這個數(shù)減去整數(shù)部分，差就是小數(shù)部分.又例如：:V4<V7<V9,即2<b<3,

V7的整數(shù)部分為2,小數(shù)部分為(V7—2).請解答：

⑴市的整數(shù)部分為—，小數(shù)部分為

(2)已知：x是7—逐的整數(shù)部分，y是7—傷的小數(shù)部分，求2x—y的值.

(3)已知x,y是有理數(shù)，并且滿足等式%2—2〉一&7=17—4魚，求x+y的值.

56.(21-22七年級下?山西陽泉,期中)閱讀材料，完成下列任務(wù)：

因為無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，因此無理數(shù)的小數(shù)部分我們不可能全部地寫出來比如：小魚等，而常用的

"…"或者的表示方法都不夠百分百準(zhǔn)確.

材料一：???V4<V7<V9,即2<77<3,1<V7-1<2.

.?.V7—1的整數(shù)部分為1,小數(shù)部分為V7—2.

材料二：我們還可以用以下方法求一個無理數(shù)的近似值.

我們知道面積是2的正方形的邊長是VL易知a>1,因此可設(shè)&=1+*可畫出如圖示意圖.

解：由圖中面積計算，S正方形=/+2x1,x+1,

'''S正方形=2,

?1?x2+2X1-x+1=2.

???X是魚的小數(shù)部分，小數(shù)部分的平方很小，直接省略好,

得方程2x+1=2,解得x=0.5,即魚=1.5.

解決問題：

⑴利用材料一中的方法，求俄的小數(shù)部分；

(2)利用材料二中的方法，借助面積為5的正方形探究傷的近似值.(畫出示意圖，標(biāo)明數(shù)據(jù)，并寫出求解過

程)

57.(24-25七年級上?浙江杭州?期中)閱讀下面的文字，解答問題.

如果無理數(shù)x滿足機＜x＜機+1(其中機是整數(shù))，那么稱(m,ni+l)為無理數(shù)萬的"相鄰區(qū)間”.例如，因為

I2＜(V3)＜22,所以1＜遮＜2,所以稱(1,2)為VI的"相鄰區(qū)間

請解答下列問題：

⑴求無理數(shù)屈的"相鄰區(qū)間

⑵已知(1+遮)的"相鄰區(qū)間"是(m,zn+l),且m+a=l-遮,求a的值.

(3)已知y是正整數(shù)，若4＜y+近＜5,求y的值.

58.(23-24七年級下?山西陽泉,期末)閱讀與思考

下面是小敏同學(xué)學(xué)習(xí)實數(shù)之后整理的一篇數(shù)學(xué)日記，請仔細(xì)閱讀，并完成相應(yīng)的任務(wù).

*年*月*日星期二晴

無理數(shù)與線段長今天我們學(xué)習(xí)了實數(shù)，在數(shù)軸上找到了一些特殊的無理數(shù)對應(yīng)的點，明白了"數(shù)軸上的點與

實數(shù)----對應(yīng)”這一事實.

回顧梳理：要在數(shù)軸上找到表示土企的點，關(guān)鍵是在數(shù)軸上構(gòu)造線段。4=。4=VL課本里有這樣一個探

究：如圖1,把兩個邊長為1的小正方形分別沿對角線剪開，將所得的4個直角三角形拼在一起，可以得到

一個面積為2的大正方形，面積為2的大正方形的邊長就是原邊長為1小正方形的對角線長，因此可得小

正方形的對角線長為魚；由此我們得到一種在數(shù)軸上找到無理數(shù)的方法：如圖2,正方形的邊長為1個單

位長度，以原點。為圓心，對角線長為半徑畫弧與數(shù)軸分別交于點/、4,貝IJ,點N對應(yīng)的數(shù)為近，點4

對應(yīng)的數(shù)為一夜.

一一一

LF_JlIM」-2-4-101423-2-IfloI2R3

圖I圖2圖3

類比思考：如圖3,改變圖2中正方形的位置，以數(shù)字1所在的點為圓心，用類似的方法作圖，可在數(shù)軸上

構(gòu)造出線段。B與。/，其中O仍在原點，，點、B,用分別在原點的右側(cè)、左側(cè)，可由線段。8與。夕的長得到

點、B,所表示的無理數(shù)！

按照這樣的思路，只要構(gòu)造出特定長度的線段，就能在數(shù)軸上找到無理數(shù)對應(yīng)的點！

任務(wù)：

（1）上述材料中說明問題的方式主要體現(xiàn)了下列哪種數(shù)學(xué)思想.

A.方程思想B.數(shù)形結(jié)合思想C.化歸思想

（2）"類比思考"中，線段08的長為,。⑶的長為；則點8表示的數(shù)為

，點用表示的數(shù)為.

（3）拓展思考：通過動手操作，小敏同學(xué)把長為5,寬為1的長方形進行裁剪，拼成如圖4所示的正方

形.則請借鑒材料中的方法在數(shù)軸上找到表示傷一1的點P（保留作圖痕跡并標(biāo)出必要線段長）

6模塊四小試牛刀過關(guān)測-------------------------------

1.（24-25七年級上?浙江杭州?階段練習(xí)）在實數(shù)3,14,V4,0.23,0.1010010001,JV^27,看，班中,

無理數(shù)有（）

A.2個B.3個C.4個D.5個

2.（24-25七年級上?山東威海?階段練習(xí)）關(guān)于無理數(shù)，下列說法正確的有（）

①無理數(shù)都是無限小數(shù)；②無限小數(shù)都是無理數(shù)；③無理數(shù)也能用數(shù)軸上的點表示；④無理數(shù)與有理數(shù)

的和是無理數(shù)；⑤無理數(shù)與無理數(shù)的和是無理數(shù);

A,①②③B.①③④C.②③④D.①②⑤

3.（24-25七年級上?山東威海?階段練習(xí)）計算y(—2)3+1(—2)2的結(jié)果為()

A.0B.4C.-4D.0或一4

4.（22-23七年級下?廣西崇左?階段練習(xí)）下列計算正確的是()

A.V36=±6B.V64=±4

C.一5D.|1-V2|=1+V2

5.（24-25七年級上?浙江溫州?期末）已知根=歷一遮，則實數(shù)加在（）

A.5和6之間B.4和5之間C.3和4之間D.2和3之間

6.（24-25七年級上?浙江嘉興?期中）若x為實數(shù)，在"機□久"的"口"中添上一種運算符號（在"+,X,

+"中選擇）后，其運算的結(jié)果為有理數(shù)，則x不可能是（）

A.4B.V3C.2-V3D.-V3

7.（24-25八年級上?山西?階段練習(xí)）實數(shù)a,b在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡—a|—小的結(jié)果為（）

__IIIII>

-1601a

A.aB.—aC.a—2bD.a+2b

8.（20-21七年級下?北京西城?期中）有一個數(shù)值轉(zhuǎn)換器，原理如下：當(dāng)輸入的x為64時，輸出的》是（）

輸入X>取立方觸才取書術(shù)中方根——V

是有理教

A.2V2B.2C.V2D.±V2

9.（23-24七年級下?重慶酉陽?期末）計算：V9-|V3-2|=.

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