專題06幾何圖形的初步

T模塊導航—

考點聚焦：核心考點+中考考點，有的放矢

重點專攻：知識點和關鍵點梳理，查漏補缺

難點強化：難點內容標注與講解，能力提升

提升專練：真題感知+精選專練，全面突破

考點聚焦

平面圖形各腳在同一平面

----------------------------------

概念-------圖形各髓叼在同一平面

聯系圖形某蜩分是平面圖形

兩個端點

特點:可跑

融無方向

基本性質點之間，線段最短

有一^^^

特點;不可以度量

線附可以向一個方向無限延伸

詞錯射線BAO寸線AB是不同的射線

幾何圖形初步有端點

特點「高以向兩端無限延伸

直線不可

公理兩點確定，直線

兩鈿線組成

定義有公？墉點

線飆端點旋轉形成

工具量角器

單位度分秒

角

雙兩個角的和等于90°

互余

的同角（等角）的余角相等

關系

我兩個角的和等于90°

互補

的同角（等角）的補角相等

平分線的射線二等分角

重點專攻

知識點1:認識幾何圖形

1.立體圖形

立體圖形的概念：有些幾何圖形的各個部分不都在同一平面內，這個圖形叫做立體圖形.

【補充】

1）同一個立體圖形按不同的方式展開得到的平面展開圖是不一樣的.

2）不是所有的立體圖形都有平面展開圖，比如：球.

3）常見的立體圖形的種類：棱柱、棱錐、圓柱、圓錐、球等.

4）常見立方體圖形平面展開圖：

2.平面圖形

平面圖形的概念：有些幾何圖形的各個部分在同一平面內的圖形，這個圖形叫做平面圖形.

幾何圖形的概念：我們把實物中抽象出來的各種圖形叫做幾何圖形，幾何圖形分為平面圖形和立體圖形.

【補充】幾何圖形不研究物體的顏色、質量、質地等性質，只關注物體的形狀、大小和位置.

【常見的平面圖形的種類】線段、角、三角形、長方形、圓等.

3.點、線、面、體

知識點2:直線，射線，線段

直線射線線段

定義直線是幾何圖形基礎，是一個直線上一點和它一旁的部分叫做射直線上兩點和它們之間的部分

不做定義的原始概念.線.叫做線段.

圖形??m

AB0A”----------------

表示方法直線AB或直線BA射線0A線段AB、線段BA

直線m射線n線段1

端點個數無1個2個

度量情況不可度量不可度量可以度量

延伸情況可向兩方無限延伸只能以一方無限延伸不能延伸

作法敘述作直線AB作射線0A作線段AB作線段m

作直線m連接AB

延伸敘述反向延伸射線0A延長線段AB

反向延伸線段BA

射線和線段都是直線的一部分，線段向一方無限延伸就成為射線，向兩方無限延伸就成為了直線，射

聯系

線向反方向無限延伸就成為直線.

2、有關直線的基本事實

經過兩點有一條直線，并且只有一條直線，簡述為兩點確定一條直線.

3、線段的性質

兩點的距離：連接兩點間的線段的長度，叫做這兩點的距離.它是線段的長度，是數量.

線段基本性質：兩點的所有連線中，線段最短.簡記為：兩點之間，線段最短.

4、線段的中點

線段的中點：如圖，點C把線段AB分成兩條相等的線段AC和CB,點C就叫做線段AB的中點.

ACB

幾何描述：：點C為線段AB的中點.?.AC=BCgAB或AB=2AC=2BC

【補充說明】

1）線段的中點只有一個；

2）某一個點要成為一條線段的中點必須同時滿足兩個條件：

①點必須在這條直線上.②它把這條線段分為兩條相等的兩條線段.

[易錯點]若AM=BM,則點M不一定是線段AB的中點（點M可能在線段AB外）.

3）線段的三等分點有兩個，四等分點有三個，且這些點都在線段上.

知識點3：角

1、角的定義

角的定義（靜態）：由公共端點的兩條射線所組成的圖形叫做角，這個公共端點是角的頂點，這兩條射線是

角的兩條邊.

角的定義（動態）：由一條射線繞著它的端點旋轉一定角度而形成的圖形，射線旋轉時經過的平面部分是角

的內部.

2、角的表示方法

角的幾何符號為"N",表示方法有以下四種:

角的表示圖例記法適用范圍

用三個大寫AZABC或任何情況都適用，但表示頂點的字母一定要寫在中間，

字母表示ZCBA邊上的字母寫在兩側.

用一個大寫Z0當以某一字母表示的點為頂點的角只有一個時，可用這

字母表示個頂點的字母來表示.

用一個數字Z1在靠近頂點處畫上弧線，表示出角的范圍，并注上數字

表示上或小寫的希臘字母.

注意：數字或小寫的希臘字母不能表示超過一個以上的

用一個希臘Za

角.

字母表示

注意：在初中階段，若沒有特殊說明，默認的角都是小于平角的角.

3、角的換算方法：

1）由度化為分、秒的形式（即由高位向低位化）：10=60,，1'=60〃；

2）由分、秒化為度的形式（即由低位向高位化）：1'=1'-]°,1"=1二-]'.

4、角平分線

角平分線的定義：從一個角的頂點出發，把這個角分成相等的兩個角的射線，叫做這個角的平分線.

角平分線的性質：若0C是NA0B的角平分線，則

ZAOC=ZBOC=-ZAOB,ZAOB=2ZAOC=2ZBOC；反之，若

2.......

ZAOC=ZBOC=^ZAOB(^ZAOB=2ZAOC=2NB0C),貝|OC是/AOB的角平分線.

。》提升專練------------------------------------

?考點剖析

【考點11幾何圖形的初步

1.（24-25七年級上?全國?期中）（1）如圖是一些基本立體圖形，在括號里寫出它們的名稱.

（）（）（）（）（）

（2）將這些幾何體分類，并寫出分類的理由.

【答案】（1）球、圓柱、圓錐、長方體、三棱柱；（2）見解析

【分析】本題考查的是幾何體的分類；

（1）根據各個幾何體的特征即可得到結果；

（2）可按面分，也可按柱體分，方法不一.

【詳解】解：（1）（從左至右）球、圓柱、圓錐、長方體、三棱柱；

（2）按面分：曲面：球、圓柱、圓錐；平面：長方體、三棱柱.

2.（24-25七年級上?全國,單元測試）將下列幾何體按名稱分類：

0@0?A

①正方體②圓柱③長方體④球⑤圓錐

柱體有:

錐體有;

球體有.（請填寫序號）

【答案】（1）（2）（3）,（5）,（4）

【分析】本題主要了立體圖形的分類，理解立體圖形的分類是解答關鍵.根據柱體、錐體、球體進行分類

求解.

【詳解】解：根據圖形可知

柱體分為圓柱和棱柱，所以柱體有（1）（2）（3）；

錐體包括棱錐與圓錐，所以錐體有（5）

球體屬于單獨的一類，球有（4）.

故答案為：（1）（2）（3）,（5）,（4）.

3.（2022七年級上?浙江,專題練習）例題：圖（a）、（b）、（c）、（d）都稱作平面圖.

（1）數一數每個圖各有多少個頂點，多少條邊，這些邊圍出了多少區域，將結果填入表中（其中Q）已填

好）.

圖頂點數邊數區域數

(a)463

(b)

(c)

(d)

(b)(d)

（2）觀察表，推斷一個平面圖的頂點數、邊數、區域數之間有什么關系？

⑶現已知某一平面圖有999個頂點和999個區域，試根據（2）中推斷出的關系，確定這個圖有多少條邊?

【答案】⑴見解析

⑵頂點數+區域數—邊數=1

⑶邊數為1997條

【分析】（1）根據圖示分析即可解;

（2）根據表格的分析結果可解；

（3）根據（2）中所得出的關系即可得出答案.

【詳解】（1）解：所填表如下所示：

圖頂點數邊數區域數

(a)463

(b)8125

(c)694

(d)10156

(2)解：由(1)中的結論得：設頂點數為n,

則邊數=n+5=竽；區域數=]+1,即頂點數+區域數一邊數=1；

(3)解：某一平面圖有999個頂點和999個區域，根據(2)中推斷出的關系有999+999—邊數=1,

解得：邊數為1997條.

【點睛】本題考查了平面圖形的知識，注意從特殊情況入手，仔細觀察、分析、試驗和歸納，從而發現其

中的共同規律，這是解本題的關鍵.

4.(2024七年級上?全國?專題練習)觀察下列幾何體：①正方體；②長方體；③圓柱；④圓錐；⑤三棱

錐；⑥球.回答下面的問題：(用序號填空)

⑴表面都是平面的是表面沒有平面的是表面既有平面又有曲面的是「

(2)只有一個表面的是二有兩個表面的是有三個表面的是有四個表面的是有六個表面的是一

⑶面與面相交都是直線的是面與面相交都是曲線的是一

【答案】⑴①②⑤，⑥，③④

⑵⑥，④，③，⑤，①②

⑶①②⑤，③④

【分析】本題主要考查了常見的立體圖形的特征，

(1)通過對每個幾何體的面的特征進行觀察和分析，即可確定它們的分類和交線情況；

(2)通過對每個幾何體的面的特征進行觀察和分析，即可確定它們的分類和交線情況；

(3)通過對每個幾何體的面的特征進行觀察和分析，即可確定它們的分類和交線情況；

熟練掌握它們的特征是解決此題的關鍵.

【詳解】(1)解：???正方體①由六個完全相同的正方形平面組成，長方體②由六個矩形平面組成，三棱錐⑤

由多個三角形平面組成，

表面都是平面的是①②⑤，

球體⑥的表面是完全彎曲的，沒有平的面，

???表面沒有平面的是⑥，

圓柱③由兩個圓形平面和一個彎曲的側面組成，圓錐④由一個圓形平面和一個彎曲的側面組成，

???表面既有平面又有曲面的是③④，

故答案為：①②⑤，⑥，③④；

(2)?.,球體⑥整個外表面是一個連續的曲面，只有一個表面，

???只有一個表面的是⑥，

???圓錐④由一個底面圓形平面和一個彎曲的側面組成，共兩個面，

???有兩個表面的是④，

???圓柱③由兩個圓形底面和一個彎曲的側面組成，共三個面，

有三個表面的是③，

???三棱錐⑤由三個三角形側面和一個三角形底面組成，共四個面，

有四個表面的是⑤，

???正方體①由六個正方形平面組成，長方體②由六個矩形平面組成，

.??有六個表面的是①②；

故答案為：⑥，④，③，⑤，①②；

（3）???正方體①、長方體②、三棱錐⑤的面與面相交的線都是直線，

???面與面相交都是直線的是①②⑤，

???圓柱③和圓錐④的面與面相交的線都是曲線，

???面與面相交都是曲線的是③④，

故答案為：①②⑤，③④.

【考點21識別正方體的展開圖

5.（24-25七年級上?陜西寶雞?期中）請在下圖中①②③的方格紙上分別用陰影補畫一個正方形，使它與

原有的陰影正方形拼在一起折疊后可以圍成一個正方體.（每圖畫一種）

【分析】本題主要考查了作圖應用與設計作圖，正方體的展開圖，熟記正方體展開圖的常見的11種形式是

解題的關鍵.根據正方體"種展開圖進行求解即可.

【詳解】解：如圖，（畫出一種即可）

①①①①

6.（2024七年級上?全國?專題練習）如圖①，正方形網格中是一個正方體的部分展開圖.

L—L———J——1———1—J廠———J———J———I———1———J卜———J———U?——1———1———）

圖①圖②圖③

（1）請你在圖②、圖③中各畫1個正方形，使這6個正方形能折疊成一個正方體；

（2）若這個正方體相對面上的兩個數相等，求x、y的值.

【答案】①見解析

（2）x=1,y=—1

【分析】本題主要考查了正方體相對兩個面上的文字，注意正方體的空間圖形，從相對面入手，分析及解

答問題.

（1）根據正方體的展開與折疊解答即可；

（2）正方體的表面展開圖，相對的面之間一定相隔一個正方形，根據這一特點確定相對面，再根據相反數

的定義求出x、y的值.

【詳解】（1）解：如圖所示.（答案不唯一，任選兩種即可）

（2）解：根據題意，得x+l=2,即x=l,

因為一％=y,

所以y=-1.

7.（24-25七年級上?遼寧沈陽?階段練習）問題情景:2024年6月5日是第53個世界環境日，某校七（5）

班綜合實踐小組進行廢物再利用的環保小達人行動,他們準備用廢棄的宣傳單制作裝垃圾用的無蓋紙盒.

—LL_UU|人

BD

BlM2

操作探究：

(1)若準備制作一個無蓋的正方體紙盒，圖1中的圖形經過折疊能圍成無蓋正方體紙盒；(填字母)

(2)圖2是小明的設計圖，把它折成無蓋正方體紙盒后，與"達"字相對的是;

⑶在活動中發現，有一張邊長為20cm的正方形廢棄宣傳單，小剛準備將其四角各剪去一個小正方形，折成

無蓋長方體紙盒.若四角各剪去了一個邊長為xcm(x<10)的小正方形，請求出這個紙盒的底面周長.(用含

比的代數式表示)

【答案】(1)C

⑵保

(3)(80-8x)cm

【分析】本題考查正方體的表面展開圖，列代數式

(1)根據正方體的折疊，可得有5個面，依據正方體的展開圖可得答案；

(2)根據正方體的表面展開圖的特征，得出答案；

(3)根據題意，紙盒的底面是邊長為(20—2x)cm的正方形，根據周長公式，列出代數式即可求解.

【詳解】(1)解：根據題意可得，圖1中的C圖形經過折疊能圍成無蓋正方體紙盒，

故答案為：C；

(2)解：根據題意可得，與"達"字相對的字是"保"，

故答案為：保；

(3)解：依題意，這個紙盒的底面周長為4x(20-2%)=(80—8x)cm

答：這個紙盒的底面周長為(80—8x)cm.

8.(24-25七年級上?河北張家口?期中)如圖1,一個不透明小立方體的六個面上分別標有數字1,2,3,4,

5,6.

圖1圖2圖3

⑴若其展開圖如圖2所示，貝與數字"1”相對的面上的數字是,與數字"2"相對的面上的數字是

，與數字"3"相對的面上的數字是；

(2)將三個同樣的小立方體搭成圖3所示的幾何體，請確定該幾何體能看得到的面上數字之和最小為多少？

【答案】⑴4,6,5

(2)32

【分析】本題考查了正方體相對兩個面上的文字，掌握正方體表面展開圖的“相間、Z端是對面”是解題的

關鍵.

(1)根據正方體表面展開圖的“相間、Z端是對面”可得答案；

(2)分別求出最右邊的正方體、最上邊的正方體、左下角的正方體所能看到的數字之和最小的情況即可.

【詳解】（1）解：根據正方體表面展開圖的“相間、Z端是對面”可知,

“1”與“4"，“2”與“6”，“3”與“5”是對面，

故答案為：4,6,5；

（2）由（1）知"1"與"4","2"與"6","3"與"5"相對，要使圖3中的幾何體能看得到的面上數字之和最小，

最右邊的那個正方體所能看到的4個面的數字為1、4、2、3,

最上邊的那個正方體所能看到的5個面的數字為1、2、3、4、5,

左下角的那個正方體所能看到的3個面的數字為1、4、2,

所以該幾何體能看得到的面上數字之和最小為10+15+7=32.

【考點3】與幾何體展開圖有關的計算

9.（24-25七年級上?廣東佛山?期中）如圖是一個用硬紙板制作的長方體包裝盒展開圖，已知它的底面形狀

是正方形，高為12cm.

12cm

⑴正方形底面的邊長是一厘米，

（2）制作這樣的包裝盒需要多少平方厘米的硬紙板？

⑶若1平方米硬紙板價格為5元.則制作12個這樣包裝盒需花費多少錢？（不考慮邊角損耗）

【答案】（1）5

（2）290

（3）1.74%

【分析】（1）由長方體包裝盒的展開圖即可直接求出正方形底面的邊長；

（2）根據"表面積=2個底面面積+4個側面面積"計算即可得出答案；

（3）根據題意列式計算即可.

【詳解】（1）解：由長方體包裝盒的展開圖可知，其正方形底面的邊長是：

17cm—12cm=5cm,

故答案為：5；

（2）解：根據題意，制作一個這樣的包裝盒需要的硬紙板的面積為：

5x5x2+12x5x4=290cm2,

答：制作一個這樣的包裝盒需要290平方厘米的硬紙板；

（3）解:12X2904-10000x5=1.74（元），

答：制作12個這樣的包裝盒需花費1.74元.

【點睛】本題主要考查了幾何體展開圖的認識，有理數的減法運算，由展開圖計算幾何體的表面積，有理

數四則混合運算，有理數乘除混合運算等知識點，正確地計算出長方體的表面積是解題的關鍵.

10.（24-25七年級上?江西撫州?期中）如圖所示是一個幾何體的表面展開圖.

⑴該幾何體的名稱是，其底面半徑為;

⑵根據圖中所給信息，求該幾何體的表面積和體積（結果保留力）.

【答案】（1）圓柱；1

⑵表面積為8m體積為3P.

【分析】本題主要考查了幾何體的展開圖；

（1）依據展開圖中有長方形和兩個全等的圓，即可得出結論；

（2）依據圓柱的表面積和體積計算公式，即可得到該幾何體的側面積和體積.

【詳解】（1）解：該幾何體的名稱是圓柱，其底面半徑為1,

故答案為：圓柱；1；

（2）該幾何體的表面積為2nx1x3+2nxI2-8TT

該幾何體的體積=TTXI2X3=3Tt.

11.（24-25七年級上,陜西西安,期中）一個無蓋的長方體包裝盒展開后如圖所示.

⑴折疊后與長方體的頂點A重合的點是；

（2）如圖：EB=10cm,FM=14cm,NM=16cm,求這個長方體包裝盒的體積.

【答案】⑴J

（2）240（cm3）

【分析】本題主要考查長方體的展開圖和體積計算，

（1）根據長方體的展開和折疊圖可知線段力B和線段/B重合，即可知重合點；

（2）利用已知求得長方體對應的長、寬和高，結合體積公式即可求得體積.

【詳解】（1）解：折疊后線段4B和線段/B重合，則點/和點/重合，

故答案為：J;

(2)解：,?EB=10cm,FM=14cm,

.-.CM=FM-EB=4,

由題意得CM=FD=EA=BK=4,貝=JB=EB—EA=6,

,:NM=16cm,

：.BC=MK=MN—NK=MN-JB=10,

則長方體包裝盒的體積BCxZBxCM=10x6x4=240（cm3）.

12.（24-25七年級上?江西吉安?期中）問題情景：某綜合實踐小組開展了'‘長方體紙盒的制作〃實踐活動.

⑴下列圖形中，是無蓋正方體的表面展開圖的是.（填序號）

二皿口口

①②③④

（2）綜合實踐小組利用邊長為a（cm）的正方形紙板制作出兩種不同方案的長方體盒子（圖1為無蓋的長方體紙

盒，圖2為有蓋的長方體紙盒）.其中a=30cm,b=5cm.

a—<—q—>

—k:多

1

____I_______I_______III

圖1圖2

①根據圖1方式制作一個無蓋的長方體盒子.方法：先在紙板四角剪去四個同樣大小邊長為6（cm）的小正

方形，再沿虛線折合起來.則長方體紙盒的底面積為cm2；

②根據圖2方式制作一個有蓋的長方體紙盒.方法：先在紙板四角剪去兩個同樣大小邊長為6（cm）的小正

方形和兩個同樣大小在的小長方形，再沿虛線折合起來.則該長方體紙盒的體積為cm3；

③制作成的無蓋盒子的體積是有蓋盒子體積的倍.

⑶若有蓋長方體的長、寬、高分別為6、4、3,將它的表面沿某些棱剪開，展開一個平面圖形，則該長方體

表面展開圖的最大外圍周長為cm.

【答案】⑴①③④

⑵①400；②1000；③2

⑶7。

【分析】（1）根據無蓋正方體紙盒的面數和構成求解；

（2）①根據長方形面積公式即可得解；

②根據長方體的體積公式即可得解；

③分別求出無蓋盒子的體積和有蓋盒子體積，即可求解；

（3）根據邊長最長的都剪，邊長最短的剪得最少，可得答案.

【詳解】（［）解：根據構成，②只能折成4個面，①③④才能折成一個無蓋正方體紙盒，

故選：①③④；

(2)①長方體紙盒的底面面積為(a—2bA=(30—2x5)2=400(cm2),

.?.長方體紙盒的底面積為400cm2,

故答案為：400；

②長方體紙盒的底面積為(3°-廣5)2=200(cm2),

二該長方體紙盒的體積為5X200=1000(cm3),

故答案為：1000；

③無蓋盒子的體積：5x400—2000(cm3),

有蓋盒子的體積：1000cm3,

???2000+1000=2,

??.制作成的無蓋盒子的體積是有蓋盒子體積的2倍，

故答案為：2；

(3)如圖所示，

該長方體表面展開圖的最大外圍周長為6x8+4x4+3x2=70(cm),

故答案為：70；

【點睛】本題考查簡單幾何體的展開圖，熟練根據簡單幾何的展開圖得出長方體的長寬高是解題的關鍵.

【考點4】平面幾何體旋轉后得到的立體圖形

13.(24-25七年級卜.?江西九江?階段練習)課本重現：如圖，已知長方形的長為a、寬為b,將這個長方形分

別繞它的長和寬所在直線旋轉一周，得到兩個圓柱甲、乙

甲

(1)甲乙圓柱體形成的過程可以解釋為

A.點動成線B.線動成面C.面動成體

(2)當a=5,b=2時

①通過計算比較甲、乙圓柱體的側面積的大小關系

②求甲圓柱體與乙圓柱體的體積比

⑶請直接寫出甲、乙圓柱體的側面積有什么關系，體積比有什么關系？（用字母a和b表示）

【答案】⑴C

⑵①側面積相等②體積比為:

⑶側面積相等；體積比為5

【分析】此題考查了點、線、面、體之間的關系以及圓柱的側面積和體積公式，掌握以上知識點是解答本

題的關鍵.

（1）根據平面旋轉后得到圓柱體即可知道是面動成體；

（2）①分別計算出甲、乙圓柱體的側面積，然后比較大小即可；

②分別計算出甲、乙圓柱體的體積，求出其比值即可；

（3）根據（2）計算的結果得出甲、乙圓柱體側面積的關系以及體積比的關系.

【詳解】（1）解：根據題意得：甲乙圓柱體形成的過程可以解釋為面動成體，

故選：C；

（2）解：①甲圓柱的側面積為：2nX2X5=20n,

乙圓柱的側面積為：2nx5x2=20m

所以甲乙兩圓柱的側面積相等；

②甲圓柱的體積為：TTX22x5=20n,

乙圓柱的體積為：TTx52x2=50TT,

所以甲乙兩圓柱的體積比為：=

□On5

⑶解：由⑵知甲、乙圓柱體的側面積相等，體積比=需.

14.（24-25七年級上?全國?期中）如圖，第一行的圖形繞虛線轉一周，能形成第二行的哪個幾何體？用線

連起來.

【答案】見解析

【分析】本題考查了點、線、面、體，根據面動成體：梯形繞底邊旋轉得中間圓柱、上下圓錐，半圓繞直

徑旋轉得球，矩形繞邊旋轉得圓柱，直角三角形繞直角邊旋轉得圓錐，可得答案.

【詳解】解：第一行的圖形繞虛線轉一周，能形成第二行的某個幾何體，用線連起來為:

15.(24-25七年級上?甘肅蘭州?期中)小軍和小紅分別以直角梯形的上底和下底為軸，將梯形旋轉一周，得

到的兩個立體圖形.我們旋轉的平面圖形是完全一樣的，所以旋轉后得到的兩個立體圖形的體積相等.

小軍小紅

甲4白乙

(1)小紅得到的立體圖形可以看成是由.和.構成的，這個現象用數學知識解釋為.

(2)你認為誰的說法正確？請通過計算說明理由.

【答案】⑴圓錐；圓柱；面動成體

(2)小紅的說法正確，理由見解析

【分析】本題主要考查了圓柱和圓錐的體積計算，面動成體:

(1)由題意得，小紅得到的立體圖形可以看成是由圓錐和圓柱構成的，這個現象用數學知識解釋為面動成

體;

(2)根據圓柱和圓錐的體積計算公式分別計算出甲、乙兩個立體圖形的體積即可得到答案.

【詳解】。)解：由題意得，小紅得到的立體圖形可以看成是由圓錐和圓柱構成的，這個現象用數學知識

解釋為面動成體,

故答案為：圓錐；圓柱；面動成體;

(2)解：小紅的說法正確，理由如下:

-1

甲的體積為3X3XTTX6--X3X3XTTX(6-3)=45zrcm3,

乙的體積為3x3x7rx3+-x3x3x7rx(6—3)=367rcm3,

.??甲、乙兩個立體圖形的體積不相等，

二小紅的說法正確.

16.（24-25七年級上?全國?單元測試）小明學習了"面動成體"之后，他用一個邊長分別為6cm,8cm和10cm

的直角三角形，繞不同的邊所在的直線旋轉一周，得到了如圖所示的幾何體.

⑴繞6cm的邊所在的直線旋轉一周，可以得到圖；繞8cm的邊所在的直線旋轉一周，可以得到圖

繞10cm的邊所在的直線旋轉一周，可以得到圖；（請填寫序號）

（2）請計算圖①和圖②中幾何體的體積.（結果保留m圓錐體積=9x底面積X高）

【答案】⑴①，②，③

⑵題圖①中幾何體的體積為128ircm3；題圖②中幾何體的體積為96Ttem3.

【分析】本題考查了點、線、面、體，熟練掌握三角形旋轉得到圓錐，是解題關鍵.

（1）根據三角形旋轉是圓錐，可得幾何體；

（2）根據圓錐的體積公式計算可得答案.

【詳解】（1）解：繞6cm的邊所在的直線旋轉一周，可以得到圖①；繞8cm的邊所在的直線旋轉一周，可

以得到圖②；繞10cm的邊所在的直線旋轉一周③，

故答案為：①，②，③

（2）解：題圖①中幾何體的體積為：|xTrx82x6=128n（cm3）；

題圖②中幾何體的體積為：|XTTX62X8=96Tt（cm3）.

圖①的截面形狀是圖②的截面形狀是

圖③的截面形狀是圖④的截面形狀是

圖⑤的截面形狀是圖⑥的截面形狀是

（2）結合上圖中圖⑤、圖⑥，想一想，如果用一個平面截一個正方體，截面的形狀還可能是幾邊形？

【答案】（1）圓，長方形，三角形，圓，長方形，三角形；（2）五邊形，六邊形

【分析】此題考查判斷幾何體的名稱以及截面形狀.

（1）首先觀察圖形，先判斷出各個幾何體的名稱，然后根據平面截幾何體的方向和角度，判斷出截面的形

狀；

（2）正方體共有六個面，故用平面截一個正方體時，最多與六個面都相交，此時截面為六邊形，最少與三

個面相交，此時為三角形，因此，截面圖形的形狀可能是三角形、四邊形、五邊形、六邊形.

【詳解】解：（1）圖①的截面形狀是圓，圖②的截面形狀是長方形，

圖③的截面形狀是三角形，圖④的截面形狀是圓，

圖⑤的截面形狀是長方形，圖⑥的截面形狀是三角形.

故答案為：圓，長方形，三角形，圓，長方形，三角形；

（2）正方體共有六個面，故用平面截一個正方體時，最多與六個面都相交，此時截面為六邊形，最少與三

個面相交，此時為三角形，因此，截面圖形的形狀可能為三角形、四邊形、五邊形、六邊形.

,如果用一個平面截一個正方體，截面的形狀還可能是五邊形、六邊形.

【考點5】截一個立體圖形可能出現的圖形

18.（22-23七年級上?河南平頂山?期中）用一個平面去截一個正方體，請你畫出三種不同的截面情況.

【答案】見解析（答案不唯一）

【分析】此題主要考查了正方體的特點，分別畫出截面為三角形、四邊形、五邊形，理解題意，分別準確

地畫出圖形是解決問題的關鍵.

根據正方體的特點，及截面的形狀為三角形、四邊形、五邊形分別畫出圖形即可.

【詳解】解：沿上底的對角線斜切至棱EF的中點，得到的截面三角形；如圖所示（答案不唯一）；

解：沿上底的對角線直切至下底的對角線，得到的截面為四邊形；如圖所示（答案不唯一）;

A

C

解：沿上底相鄰兩邊上的點尸、G至下底頂點D,得到的截面DEFG/為五邊形；如圖所示（答案不唯一）;

A

----------------z

【考點6】畫直線、射線、線段

19.(20-21七年級上?廣西玉林?期末)如圖，已知4,B,C,。四點，根據下列語句畫圖:

①畫直線4B；

⑵連接AC,BD,交于點O；

⑶畫射線SO,BC,交于點尸.

【答案】⑴見解析

⑵見解析

⑶見解析

【分析】本題考查畫直線，射線和線段，掌握直線，射線和線段的定義，是解題的關鍵:

(1)根據直線的定義，畫圖即可；

(2)畫出線段AC,BD,交于點O即可；

(3)根據射線的定義，畫圖即可.

【詳解】(1)解：如圖，直線4B即為所求；

(2)如圖，AC,BO,點。即為所求

(3)如圖，射線ZD,BC,點P即為所求.

B

4

20.（2024七年級上?全國?專題練習）如下圖，在平面內有4B,C三點.

A?C?

/??

（1）畫直線ac,線段BC和射線4B；

（2）在線段BC上任取一點。（不同于點B,C）,連接線段4D；

⑶此時圖中有幾條線段？

【答案】⑴見解析

⑵見解析

⑶有6條線段

【分析】此題考查了直線、線段、射線，解題的關鍵熟知概念并會畫圖.

（1）根據條件畫圖即可.

（2）根據已知條件畫圖即可.

（3）根據圖，數出線段條數即可.

【詳解】（1）解：如圖，直線4C,線段BC和射線AB即為所求.

（2）解：如圖，線段即為所求.

（3）解：由題可得，圖中有線段一共6條.所以圖中線段的條數為6.

【考點7】計算直線、射線與線段的數量

21.（2024七年級上?全國?專題練習）閱讀：在直線上有〃個不同的點，則共有多少條線段？通過分析、畫

圖得如下表格:

直線上點的個共有線段的條

圖形兩者關系

數數

1_____12X(2-1)

4力2210+1=—、~-=1

]_____1________]3X(3-1)

A\A24330+1+2=————-=3

4X(4-1)

]______1______1______]0+1+2+3=——\——-

力2434446

=6

]________|________|________|________I

44434…4n

問題：

（1）把表格補充完整；

（2）根據上述得到的信息解決下列問題：

①某學校七年級共有6個班進行辯論賽，規定進行單循環賽（每兩班賽一場），那么該校七年級的辯論賽共

要進行多少場？

②乘火車從/站出發，沿途經過10個車站方可到達3站，那么在8兩站之間需要安排多少種不同的車

票？

【答案】0+1+2+3+…+O—1）=^^

（2）①15場；②132元

【分析】本題考查圖形類規律探究.解題的關鍵是得到一條線段上有幾個點，可以得到*2條線段.

（1）根據表格中的等式，得到以這些點為端點的線段總數共有0+1+2+3+…+（n—1）=辿盧條；

（2）①根據（1）中的結論，進行求解即可；②根據（1）中的結論進行求解即可.

【詳解】（［）解：從左到右依次為田展0+1+2+3+…+（n—1）=硬盧.

故答案為：若也，0+1+2+3+…+（九—1）="盧；

（2）①把每一個班級看作一個點，則該校七年級的辯論賽共要進行絲羅2=15（場）.

②由題意可得一共有12個車站，將其看作12個點，則線段的條數為曾=66.

因為有起點站和終點站之分，

所以需要安排2x66=132種車票.

22.（24-25七年級上?吉林長春?階段練習）如圖：

①②③

⑴試驗觀察：如果經過兩點畫直線，那么圖①中最多可以畫一條直線；圖②中最多可以畫一條直線；圖③

中最多可以畫一條直線.

（2）探索歸納：如果平面上有"nN3）個點，且任意3個點均不在一條直線上，那么經過兩點最多可以畫條直

線.（用含”的式子表示）

⑶解決問題：某班54名同學在畢業后的一次聚會中，若每兩人握1次手問好，那么共握一次手.

【答案】⑴3,6,10

⑵產

⑶1431

【分析】（1）根據圖形畫出直線即可；

（2）根據上面得到的規律用代數式表示即可；

（3）將幾=54代入公式即可求解.

本題考查了規律型：圖形的變化類，解題的關鍵是仔細地觀察圖形并找到其中的規律.

【詳解】（1）解：根據圖形得:

如果經過兩點畫直線，那么圖①中最多可以畫3條直線；圖②中最多可以畫6條直線；圖③中最多可以

畫10條直線;

故答案為：3,6,10；

（2）解：如果平面上有n（n23）個點，且任意3個點均不在一條直線上,

.??1+2+3+......+兀-1=也盧（條）

那么經過兩點最多可以畫區展2條直線;

故答案為：月?

（3）解：某班名同學在畢業后的一次聚會中，若每兩人握1次手問好，那么共握嗎史次,

把n=54代入色蘆，得54x（；4-i）=1431（次）.

故答案為：1431.

23.（23-24七年級下?河南南陽?開學考試）我們知道，兩條直線相交，最多有1個交點（如圖①）；三條直

線兩兩相交，最多有3個交點（如圖②）；四條直線兩兩相交，最多有6個交點（如圖③）；五條直線兩兩相

交，最多有多少個交點（如圖④）；六條直線兩兩相交，最多有多少個交點......n條直線兩兩相交，最多有多

少個交點呢（用含n的代數式表示）:

X???

①②③④

⑴完成下表

直線數23456n

交點數136

⑵在實際生活中同樣存在數學規律型問題，請你類比上述規律探究，計算：某校七年級舉辦籃球比賽，第

一輪要求每兩班之間比賽一場，若七年級共有12個班，則這一輪共要進行多少場比賽？

【答案】⑴10；15；—1)

(2)這一輪要進行66場比賽

【分析】本題主要考查圖形的變化規律，解決本題的關鍵是要找出圖形哪些部分發生了變化，是按照什么

規律變化的，通過分析找到各部分的變化規律后直接利用規律求解.

根據題意，結合圖形，發現：3條直線相交最多有3個交點，4條直線相交最多有6個交點，5條直線相交最多

有10個交點.6條直線相交最多有15個交點，而3=1+2,6=1+2+3,10=1+2+3+4,

15=1+2+3+4+5,故可猜想，n條直線相交，最多有1+2+3+…+(n-1)="九—1)個交點；

把每個班作為一個點，進行一場比賽就是用線把兩個點連接，用此方法即可.

【詳解】(1)解：①兩條直線相交最多有1個交點：1=在押；

②三條直線相交最多有3個交點：3=小尹；

③四條直線相交最多有6個交點：6=士亭2

④五條直線相交最多有10個交點：10=咨匚2,

⑤六條直線相交最多有15個交點：15=絲戶

n條直線相交最多有*212個交點；

故答案為：10；15；1n(n-1)

(2)解：該類問題符合上述規律，所以可將71=12代入》(九—1),

即—1)=|X12X11=66；

故這一輪要進行66場比賽

【考點8】與線段中點有關的計算

24.(22-23七年級上,安徽合肥?階段練習)如圖，已知8,C兩點把線段4。分成2:5:3三部分，M為4D的中

點，BM=6cm,求CM的長.

ABMCD

【答案】4cm

【分析】本題主要考查了線段的和差，中點的定義，

先根據題意設可設28=2xcm,BC=5xcm,CD=3%cm,即可表示AD,再根據中點的定義表示出AM,進

而表示出8M=4M—48,再結合的長列出方程，求出解，最后根據CM=M。-得出答案.

【詳解】解：由2,C兩點把線段4D分成2:5:3三部分，可設4B=2xcm,BC=5xcm,CD=3xcm,

所以ZD=AB+BC+CD=10%cm.

因為A/■是2。的中點，所以AM=MD=5久cm,

所以BM=4M-AB=3xcm.

因為BM=6cm,

所以3x=6,

解得x=2,

所以CM=MD—CD—Sx—3x—2x—2x2—4(cm).

25.(23-24七年級上?四川自貢?期末)如圖，A,B,C,。是直線/上的四個點，M,N分別是AB,CD的中點.

MN

[_____________I_______]1___________________I11________

ABCD

⑴如果MB=2cm,NC=1.8cm,BC=5cm,貝1]力。的長為cm；

(2)如果MN=10cm,8c=6cm,貝的長為cm；

⑶如果MN=a,BC=b,求4。的長，并說明理由.

【答案】⑴12.6；

(2)14；

(3)2a—b,