第12講二元一次方程與實(shí)際問題

-?模塊導(dǎo)航A素養(yǎng)目標(biāo)

模塊一思維導(dǎo)圖串知識1.理解二元一次方程組的含義及在現(xiàn)實(shí)生活中的廣泛

模塊二基礎(chǔ)知識全梳理（吃透教材）應(yīng)用.

模塊三核心考點(diǎn)舉一反三2.學(xué)會從實(shí)際問題中抽象出二元一次方程組.

模塊四小試牛刀過關(guān)測3.掌握解二元一次方程組的基本方法，并能夠正確運(yùn)用.

4.培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力和解決實(shí)際問題的能力。

模塊一思維導(dǎo)圖串知識

?審審題找出等量關(guān)系

?設(shè)設(shè)出兩個未知數(shù)

?列列出方程組方程數(shù)=未知數(shù)的個數(shù)

步驟?解解方程組

方程組的解

?驗檢驗

解是否符合題意

元

一

次配套問題加工的總量成比例

方工作總量=工作時間X工作效率

程工程問題

與工作總量為“1二

實(shí)售價=進(jìn)價X（1+利潤率）

際

售價=標(biāo)價X折扣

問

商品銷售

題那=售價迦1

利潤=郵行」?jié)櫬?/p>

速度X時間=路程

類型

行程問題順?biāo)俣?靜水速度+水流速度

逆水速度=靜水速度-水流速度

增長量=原有量X增長率

和差倍分問題較大量=較小量+多余量

總量二倍數(shù)X倍量

方案選擇問題從幾種方案中，選擇最佳方案

利息=本金X利率X期數(shù)

本息和（本利和）=本金+利息=本金+

存貸款問題

本金X利率X期數(shù)=本金X（1+利率X期數(shù)）

年利率=月利率X12

3模塊二基礎(chǔ)知識全梳理--------------------------

列二元一次方程組解應(yīng)用題的一般步驟：

設(shè)：用兩個字母表示問題中的兩個未知數(shù)；

列：列出方程組（分析題意，找出兩個等量關(guān)系，根據(jù)等量關(guān)系列出方程組）;

解：解方程組，求出未知數(shù)的值；

驗：檢驗求得的值是否正確和符合實(shí)際情形；

答：寫出答案.

【擴(kuò)展說明】

1）解實(shí)際應(yīng)用問題必須寫“答。而且在寫答案前要根據(jù)應(yīng)用題的實(shí)際意義，檢查求得的結(jié)果是否合理,

不符合題意的解應(yīng)該舍去；

2）“設(shè)”、“答”兩步，都要寫清單位名稱；

3）一般來說，設(shè)幾個未知數(shù)就應(yīng)該列出幾個方程并組成方程組.

0＞模塊三核心考點(diǎn)舉一反三------------------------------

考點(diǎn)一：根據(jù)實(shí)際問題列二元一次方程組

1.（24-25七年級上?安徽淮北?階段練習(xí)）為獎勵在“繽紛節(jié)”匯演中表現(xiàn)突出的同學(xué)，班主任派小王到文具店

為獲獎同學(xué)購買獎品.小王發(fā)現(xiàn)，購買15個文具盒和12支鋼筆價格一樣；如果在上述基礎(chǔ)上少購買2個

文具盒，多購買2支鋼筆，則購買文具盒比鋼筆少花36元.設(shè)文具盒單價為無元，鋼筆單價為y元，則符

合題意的方程組為（）

.（15%=12yRf15x=12y

A-I15x—2x=12y+2y—36&115%-2x=12y+2y+36

（12x=15y（15x=12y

c-tl5x+2x=12y-2y-36D-115%+2x=12y-2y+36

2.（23-24七年級下?全國?期末）某班有49名學(xué)生，一天，該班一男生因事請假，當(dāng)天的男生人數(shù)恰好

為女生人數(shù)的一半.設(shè)該班有男生X人，女生y人，則可列方程組為（）

[%—y=491%+y=49

ty=2（%+1）ly=2（%+1）

fx—y=49fx+y=49

ly=2（%—1）D?\y=2（x—1）

3.（23-24七年級下?全國?期末）一個兩位數(shù)的十位數(shù)字與個位數(shù)字之和等于5,十位數(shù)字與個位數(shù)字之差為

1,設(shè)十位數(shù)字為x,個位數(shù)字為y,則列方程組為（）

A口+y=5口（x+y=5（x-y=5fx+y=5

lx—y=lly—x=l°，lx+y=llx+y=l

4.（23-24七年級下?全國■期末）甲、乙兩人練習(xí)跑步，如果乙先跑10米，則甲跑5秒就可追上乙；如果乙

先跑2秒，則甲跑4秒就可追上乙，若設(shè)甲的速度為x米/秒，乙的速度為了米/秒，則下列方程組中正確的

是（）

5.（23-24七年級下?云南大理?期末）現(xiàn)用95張紙板制作一批盒子，每張紙板可做4個盒身或做11個盒底,

而一個盒身和兩個盒底配成一個完整的盒子.問用多少張紙板制盒身、多少張紙板制盒底，可以使盒身和

盒底正好配套？設(shè)用x張紙板做盒身，＞張紙板做盒底，可以使盒身與盒底正好配套，則可列方程是（）

1%+2y=95C%+y=95

A?I4x=llyB.l4x=2xUy

[%+2y=95C%+y=95

L-I2x4x=llyu-12x4x=lly

考點(diǎn)二：根據(jù)幾何圖形列二元一次方程組

6.（23-24七年級下?浙江杭州?期末）如圖所示，8塊相同的小長方形地磚拼成一個大長方形，若其中每一個

小長方形的長為久，寬為％則依據(jù)題意可得二元一次方程組為（）

.fx+y=20、（X+y=20_x—y=20f2x—y=20

A-Ix=3yB-I2x=3yC-2x=3yD-12久=x+3y

7.（23-24七年級下?云南昆明?期末）如圖，在長為20,寬為15的長方形中，有形狀、大小完全相同的5個小

長方形，若求陰影部分的面積，應(yīng)先求一個小長方形的面積，設(shè)小長方形的長為久，寬為y,根據(jù)題意，下

列方程組正確的是（）

pc+2y=20pc+2y=20（x+2y=20（x+2y=20

A-I4%=15I4y=15c-I3y=xD-lx+y=15

8.（23-24七年級下?四川資陽?期末）幻方是古老的數(shù)學(xué)問題，我國古代的《洛書》中記載了最早的幻方一一

九宮格，將9個數(shù)填入幻方的空格中，要求每一橫行、每一豎列以及兩條對角線上的3個數(shù)之和均相等，

圖是一個未完成的幻方，貝收一y的值是（)

B.-4C.-10D.32

9.（23-24七年級下?湖南益陽?期末）如圖,規(guī)定：上方相鄰兩數(shù)之和等于這兩數(shù)下方箭頭共同指向的數(shù)、

對于x,y,m,ri的取值，三人的說法如下.

甲；若x=l,則71=5；乙：若?n=5,貝！|y=3；丙：x+y的值一定是2.

下列判斷正確的是（）

X2y3x

A.只有甲、乙對B.只有乙、丙對C.只有甲、丙對D.甲、乙、丙都對

10.（23-24七年級下?全國?期末）在長方形2BCD中放入六個完全相同的小長方形，所標(biāo)尺寸如圖所示，則

小長方形的寬CE為__cm.

n

考點(diǎn)三：二元一次方程組的應(yīng)用一方案問題

11.（24-25七年級上?寧夏中衛(wèi)?期末）中衛(wèi)七中組織七年級學(xué)生研學(xué)，原計劃租用45座客車若干輛，但有15

人沒有座位；如果租用同樣數(shù)量的60座客車，則多出一輛，且其余客車恰好坐滿.試問：

⑴七年級學(xué)生人數(shù)是多少？

⑵已知45座客車的日租金為每輛1000元，60座客車的日租金為每輛1200元，要使每位同學(xué)都有座位，該校

單獨(dú)租用哪種車更合算？

12.（2024?貴州?模擬預(yù)測）北京時間2024年4月26日5時04分，神舟十八號航天員乘組順利進(jìn)駐中國空

間站與神舟十七號航天員乘組太空會師，載人飛船發(fā)射取得了圓滿成功！小星和小紅都是航天愛好者，他

們計劃購買甲、乙兩種飛船模型收藏.下面是兩位同學(xué)的對話：

「八至莪京亍兩串布飛'露（小紅:我買了2件甲種飛船I

4模型和1件乙種飛船模型，I模型和3件乙種飛船模型，,

MI共花了40元.［共花了95元.I

⑴求甲、乙兩種飛船模型每件的售價分別為多少元？

（2）若小星計劃正好用200元零花錢購買以上兩種飛船模型，且每種都有購買，請通過計算說明有多少種購

買方案.

13.（23-24七年級下?天津南開?期末）用3輛/型車和2輛2型車載滿貨物一次可運(yùn)貨17噸；用2輛/型

車和3輛8型車載滿貨物一次可運(yùn)貨18噸，某物流公司現(xiàn)有34噸貨物，計劃同時租用N型車a輛，8型

車6輛，一次運(yùn)完，且恰好每輛車都載滿貨物.根據(jù)以上信息，解答下列問題：

（1）1輛A型車和1輛B型車都載滿貨物一次可分別運(yùn)貨多少噸？

（2）若/型車每輛需租金200元/次，8型車每輛需租金220元/次，那么/型車租一輛最省錢，并且此時租車

費(fèi)為—元.

考點(diǎn)四：二元一次方程組的應(yīng)用一行程問題

14.（23-24七年級下?全國?期中）已知/、3兩碼頭之間的距離為180km,一艘船航行于工、3兩碼頭之間,

順流航行需3小時；逆流航行時需6小時，求船在靜水中的速度及水流的速度？

15.（23-24七年級下?重慶黔江?期中）今年“五一黃金周"，長江三峽沿途旅游再一次風(fēng)靡全國，其中忠縣石

寶寨風(fēng)景區(qū)更是人山人海."聯(lián)盟號豪華旅游客輪"在相距約270千米的重慶、石寶寨兩地之間勻速航行，從

重慶到石寶寨順流航行需9小時，石寶寨到重慶逆流航行比順流航行多用4.5小時.

⑴求該客輪在靜水中的速度和水流速度；

（2）重慶某廠接到一筆1500盒旅游紀(jì)念品訂單，需要在15天內(nèi)完成并送與游客，已知該種紀(jì)念品禮盒里有4

個正方形紀(jì)念幣和4個半圓形紀(jì)念幣.工廠現(xiàn)在有100名工人，每人每天能加工9個正方形紀(jì)念幣或6個

半圓形紀(jì)念幣，但每人一天只能加工一種紀(jì)念幣，工廠每天加工的正方形紀(jì)念幣和半圓形紀(jì)念幣數(shù)量正好

全部配套.工廠每天能生產(chǎn)多少盒紀(jì)念品禮盒？

16.（23-24七年級下?四川資陽?期中）從甲地到乙地，先下山再走平路，某人騎自行車以每小時12千米的

速度下山，以每小時9千米的速度走平路，到達(dá)乙地共用55分鐘；他返回時，以每小時8千米的速度通過

平路，以每小時4千米的速度上山，共用1.5小時，求甲、乙兩地的距離.

考點(diǎn)五：二元一次方程組的應(yīng)用一工程問題

17.（23-24七年級下?吉林?期末）為完善吉林市城市路網(wǎng)結(jié)構(gòu)，營造便捷通暢的城市道路系統(tǒng)，提升城市面

貌惠及民生，2024年5月起，吉林市各道路維修改造工程有序進(jìn)行.已知甲工程隊1天，乙工程隊2天共修路

400米；甲工程隊2天，乙工程隊3天共修路700米，求甲乙兩工程隊每天分別修路多少米？

18.（23-24七年級下?山東聊城?期末）一家商店進(jìn)行裝修，若請甲、乙兩個裝修組同時施工，8天可以完成,

需付兩組費(fèi)用共3520元；若先請甲組單獨(dú)做6天，再請乙組單獨(dú)做12天可以完成，需付費(fèi)用3480元.

⑴求甲、乙裝修組工作一天，商店各需支付多少元費(fèi)用？

（2）若裝修完后，商店每天可盈利200元，現(xiàn)有如下三種方式裝修：①甲單獨(dú)做；②乙單獨(dú)做；③甲乙合

做，你認(rèn)為如何安排施工更有利于商店經(jīng)營？說明理由.

19.（23-24七年級下?內(nèi)蒙古鄂爾多斯?期中）古運(yùn)河是揚(yáng)州的母親河.為打造古運(yùn)河風(fēng)光帶，現(xiàn)有一段長為

180米的河道整治任務(wù)由/、2兩工程隊先后接力完成./工程隊每天整治12米，2工程隊每天整治8米,

共用時20天.

⑴根據(jù)題意，甲、乙兩名同學(xué)分別列出尚不完整的方程組如下：

出（x+y=（）7+y=（）

甲：112x+8y=（）;乙：1適+（=（）

根據(jù)甲、乙兩名同學(xué)所列的方程組，請你分別指出未知數(shù)x、y表示的意義，然后在括號內(nèi)補(bǔ)全甲、乙兩名

同學(xué)所列的方程組：

甲：x表示，y表小：

乙：x表示，y表示.

⑵求/、8兩工程隊分別整治河道多少米.（寫出完整的解答過程）

20.（22-23八年級上?廣東深圳?期末）玲玲家準(zhǔn)備裝修一套新住房，若甲、乙兩個裝飾公司合作，需6周完

成，共需裝修費(fèi)為52萬元；若甲公司單獨(dú)做4周后，剩下的由乙公司來做，還需9周才能完成，共需裝修

費(fèi)4.8萬元，玲玲的爸爸媽媽商量后決定只選一個公司單獨(dú)完成.

⑴設(shè)甲公司的每周工作效率為小，乙公司每周的工作效率為小則可列出方程為_.

（2）如果從節(jié)約時間的角度考慮應(yīng)選哪家公司？

⑶如果從節(jié)的開支的角度考慮呢？請說明理由.

考點(diǎn)六：二元一次方程組的應(yīng)用一數(shù)字問題

2L（23-24七年級下,全國?期中）一個兩位數(shù)，個位上的數(shù)字與十位上的數(shù)字之和為9,把這個兩位數(shù)加上

16后，比十位數(shù)字大49,求這個兩位數(shù)？

22.（24-25七年級上?天津?期中）"九宮圖"傳說是遠(yuǎn)古時代洛河中的一個神龜背上的圖案，故又稱“龜背圖",

中國古代數(shù)學(xué)史上經(jīng)常研究這一神話.數(shù)學(xué)上的"九宮圖”所體現(xiàn)的是一個3X3表格，每一行的三個數(shù)，列

的三個數(shù),斜對角的三個數(shù)之和都相等,也稱為三階幻方,如圖是一個滿足條件的三階幻方的一部分,貝此+y

的值為（）

23.（2021?內(nèi)蒙古呼倫貝爾?中考真題）《九章算術(shù)》是我國東漢初年編訂的一部數(shù)學(xué)經(jīng)典著作，其中一次方

程組是用算籌布置而成，如圖（1）所示的算籌圖用我們現(xiàn)在所熟悉的方程組表示出來，就是

3x+ly=23'類似的，圖（2）所示的算籌圖用方程組表示出來，就是

IIIII-HIII-II

I川1二WWIW二T

圖(1)圖(2)

24.（23-24七年級下?浙江寧波?期末）我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝在其所著《續(xù)古摘奇算法》中的攢九圖一節(jié)中提

出了"幻圓"的概念.如圖是一個二階幻圓模型，其內(nèi)外兩個圓周上四個數(shù)字之和以及外圓兩直徑上的四個數(shù)

字之和都相等，貝必—a=.

考點(diǎn)七：二元一次方程組的應(yīng)用一年齡問題

25.（23-24七年級下?河南洛陽?期中）某學(xué)生想知道李老師的年齡，李老師說："我像你這么大時，你才2

歲，你長到我這么大時，我就35歲了."請你算一算，今年李老師、該學(xué)生各多少歲.

26.（23-24七年級下?山西臨汾?期中）根據(jù)圖中的對話，請聰明的你算出小亮今年的年齡.

27.（23-24七年級上?福建三明?期中）在我國傳統(tǒng)文化中,"喜壽"、"米壽"、"白壽"分別是77歲、88歲、99

歲的雅稱.小花在她年齡是她媽媽年齡的拊，曾為奶奶賀喜壽，她在年齡為媽媽年齡的:時，又為奶奶賀米

壽，則小花在歲時，將為奶奶賀白壽.

28.（21-22七年級下?云南?期中）今年（2022年）4月20日，是云大附中建校95周年暨云大附中恢復(fù)辦學(xué)

40周年校慶日，我校初一年級數(shù)學(xué)興趣小組的小明同學(xué)發(fā)現(xiàn)這樣一個有趣的巧合；小明的爸爸和爺爺都是

云附的老校友，且爸爸和妹妹的年齡差恰好與爺爺和小明的年齡差的和為95,而爸爸的年齡恰好比爺爺?shù)?/p>

年齡小40.已知小明今年13歲，妹妹今年4歲.

（1）求今年小明的爸爸和爺爺?shù)哪挲g分別是多少歲？（要求用二元一次方程組解答）

（2）假如小明的爸爸和爺爺都是15歲初中華業(yè)的，請問小明的爸爸和爺爺分別是哪一年畢業(yè)的云附學(xué)子？

考點(diǎn)八：二元一次方程組的應(yīng)用一分配問題

29.（23-24七年級下?遼寧大連?期末）為了響應(yīng)國家“脫貧致富”的號召，某煤炭銷售公司租用了甲、乙兩種

類型的貨車若干輛為貧困地區(qū)運(yùn)輸了880噸的煤炭，已知每輛甲類型貨車運(yùn)輸煤炭40噸，每輛乙類型貨車

運(yùn)輸煤炭50噸，所有甲類型貨車運(yùn)輸?shù)拿禾勘人幸翌愋拓涇囘\(yùn)輸?shù)拿禾慷?0噸，求煤炭銷售公司租用

甲乙兩種類型貨車各多少輛？

30.（23-24七年級下?湖北襄陽?期末）據(jù)資料統(tǒng)計，甲、乙兩種作物的單位面積產(chǎn)量的比是1：2,現(xiàn)要把一

塊長200m、寬100m的長方形土地，分成兩塊小長方形土地，分別種植這兩種作物，怎樣劃分這塊土地，

使甲、乙兩種作物的總產(chǎn)量的比是2：1?請你設(shè)計兩種不同的種植方案.

圖1圖2

31.（23-24七年級下?山東淄博?期中）用白鐵皮做罐頭盒，每張白鐵皮可制作盒身16個，或盒底48個，一

個盒身與兩個盒底配成一套罐頭盒.現(xiàn)有15張白鐵皮用于制作盒身和盒底，問可以恰好配成多少套罐頭

盒？

32.（23-24七年級下?江蘇南通?期中）列方程組解應(yīng)用題

（1）根據(jù)市場調(diào)查，某種消毒液的大瓶裝（600g）和小瓶裝（200g）兩種產(chǎn)品的銷售數(shù)量（按瓶計算）比為3:5.某

廠每天生產(chǎn)這種消毒液28t,這些消毒液應(yīng)該分裝大、小瓶兩種產(chǎn)品各多少瓶？

（2H地至8地的航線長9750km,一架飛機(jī)從/地順風(fēng)飛往8地需12.5h,它逆風(fēng)飛行同樣的航線需13h、

求飛機(jī)無風(fēng)時的平均速度與風(fēng)速.

考點(diǎn)九：二元一次方程組的應(yīng)用一銷售、利潤問題

33.（24-25七年級上,湖南邵陽?期末）春節(jié)前夕，某商場用18000元購進(jìn)/、8兩種飲料共400箱，兩種飲

料的成本價與銷售價如表所示：

類別成本價（元/箱）銷售價（元/箱）

A3045

B5080

求：

⑴購進(jìn)/、8兩種飲料各多少箱？

（2）該商場售完這400箱飲料，可獲利多少元？

34.（24-25七年級上,全國?期末）某電器商場銷售進(jìn)價分別為120元、190元的/,8兩種型號的電風(fēng)扇,

如下表所示是近兩周的銷售情況（進(jìn)價、售價均保持不變，利潤=銷售收入-進(jìn)貨成本）：

銷售數(shù)量

銷售時段銷售收入

A種型號B種型號

第一周562310

第二周893540

（1）求H8兩種型號的電風(fēng)扇的銷」售單價.

（2）若商場再購進(jìn)這兩種型號的電風(fēng)扇共120臺，并且全部銷售完，該商場能否實(shí)現(xiàn)這批電風(fēng)扇的總利潤恰

好為8040元的目標(biāo)？若能，請給出相應(yīng)的采購方案；若不能，請說明理由.

35.（24-25八年級上?廣東深圳?期中）根據(jù)如表素材，探索完成任務(wù).

背景深圳某學(xué)校在組織開展知識競賽活動，去奶茶店購買A、B兩種款式的奶茶作為獎品.

素材若買10杯A款奶茶，5杯B款奶茶，共需160元：若買15杯A型奶茶，10杯

1B型奶茶，共需270元.

學(xué)

素材為了滿足市場的需求，奶茶店推出每杯2元的加料服務(wù)，顧客在選完款式后可

以自主選擇加料一份或者不加料.

2A款B款

問題解決

任務(wù)

問A款奶茶和B款奶茶的銷售單價各是多少元？

1

任務(wù)在不加料的情況下，購買A、B兩種款式的奶茶（兩種都要），剛好花220元，請問有幾種購買方

2案？

任務(wù)根據(jù)素材2,小華恰好用了380元購買A、B兩款奶茶，其中A款不加料的杯數(shù)是總杯數(shù)的（則其

3中B型加料的奶茶買了多少杯？

考點(diǎn)十：二元一次方程組的應(yīng)用一和差倍分問題

36.（23-24七年級下?全國?期末）為鼓勵居民節(jié)約用電，廣州市自2012年以來對家庭用電收費(fèi)實(shí)行階梯電

價，即每月對每戶居民的用電量分為三個檔級收費(fèi)，第一檔為用電量在180千瓦時（含180千瓦時）以內(nèi)

的部分，執(zhí)行基本價格；第二檔為用電量在180千瓦時到450千瓦時（含450千瓦時）的部分，實(shí)行提高

電價；第三檔為用電量超出450千瓦時的部分，比第二檔的單價每千瓦時提高0.05元.海珠區(qū)的李白同

學(xué)家今年2月份用電330千瓦時，電費(fèi)為213元，3月份用電240千瓦時，電費(fèi)為150元.己知我市的另一

位居民杜甫家今年4、5月份的家庭用電量分別為200和490千瓦時，請你依據(jù)題目條件，計算杜甫家4、

5月份的電費(fèi)分別為多少元？

37.（23-24七年級下?浙江寧波?期中）甲、乙兩人各有書若干本，如果甲從乙處拿10本，那么甲所有的書

就比乙所有的書多5倍；如果乙從甲處拿10本，那么兩人所有的書相等.問：甲、乙兩人原來各有書多少

本？

38.（23-24七年級下,吉林四平,期末）"體育承載著國家強(qiáng)盛、民族振興的夢想，體育強(qiáng)則中國強(qiáng)，國運(yùn)興

則體育興".為引導(dǎo)學(xué)生在體育鍛煉中享受樂趣、增強(qiáng)體質(zhì)，某校開展了大課間活動，七年級一班擬組織學(xué)

生參加跳繩活動，最初男生報名人數(shù)比女生多3人，后來又有15名女生報名參加了跳繩活動，這時女生人

數(shù)恰好是男生人數(shù)的2倍，求最初報名時女生與男生各有多少人？

39.（23-24七年級下?湖北荊門?期中）用1塊/型鋼板可制成2塊C型鋼板、1塊。型鋼板；用1塊3型

鋼板可制成1塊C型鋼板、2塊。型鋼板.現(xiàn)需15塊C型鋼板、18塊。型鋼板，可恰好用/型鋼板、B

型鋼板各多少塊？

考點(diǎn)十一：二元一次方程組的應(yīng)用一幾何問題

40.（23-24七年級下?河南南陽?期中）如圖是由截面為同一種長方形的墻磚粘貼的部分墻面，其中三塊橫放

的墻磚比一塊豎放的墻磚高10cm,兩塊橫放的墻磚比兩塊豎放的墻磚低40cm,則每塊墻磚的長是.

41.（23-24七年級下?全國?期中）如圖，射線。C的端點(diǎn)。在直線上，N1的度數(shù)X。比N2的度數(shù)y。的2倍多

10°,則列出關(guān)于x,y的方程組是

42.（23-24七年級下?浙江杭州?期中）把一副三角板按如圖方式擺放，且N1的度數(shù)比N2的度數(shù)大48。，則

43.（24-25七年級上?全國?期末）如圖，長方形4BCD含有3個正方形，①號和②號一樣大，若長方形的長

為14cm,寬為10cm,則③號正方形的邊長為.

44.（24-25七年級上?黑龍江哈爾濱?期中）如果41的兩條邊所在直線與42的兩條邊互相垂直，且N1是N2的

2倍少30度，則N1的度數(shù)為°,

考點(diǎn)十二：二元一次方程組的應(yīng)用一圖表信息題

45.（23-24七年級下?湖北黃石?期末）每年5月的第二個星期日為母親節(jié).母親節(jié)那天，很多同學(xué)給媽媽準(zhǔn)

備了鮮花和2禮盒號，從圖金中信￡息可知一束鮮花的價格是元;

共55元共90元

46.（23-24七年級下?北京石景山?期末）八達(dá)嶺長城是北京市著名的旅游景點(diǎn)，史稱天下九塞之一，是萬里

長城的精華.五一假期期間，某校七年級歷史興趣小組游覽八達(dá)嶺長城，乘坐纜車的費(fèi)用如下表所示:

乘坐纜車方式乘坐纜車費(fèi)用（單位：元/人）

往返140

單程100

已知小組成員每個人都至少乘坐一次纜車，去程時有18人乘坐纜車，返程時有20人乘坐纜車，他們乘坐

纜車的總費(fèi)用是3320元，則該小組共有人.

47.（23-24七年級下?浙江金華?期末）某校計劃購置籃球、鋼筆、筆記本作為期末獎品，采購員小慧在某文

體用品店購買完畢，回到學(xué)校后發(fā)現(xiàn)發(fā)票被弄花了，有幾個數(shù)據(jù)變得不消楚，如圖所示：

貨物或應(yīng)稅勞務(wù)、服務(wù)名稱規(guī)格型號單位數(shù)量單位金額稅率稅額

籃球6100.00600.00

鋼筆15.00

筆記本5.00

合計46900.00

價稅合計（大寫）0玖佰元整（小寫）900.00

請根據(jù)發(fā)票中現(xiàn)有的信息，幫助小慧復(fù)原弄花的數(shù)據(jù)，即分別求出購置鋼筆、筆記本的數(shù)量及對應(yīng)的金額.

考點(diǎn)十三：二元一次方程組的應(yīng)用一古代問題

48.（23-24七年級上?江蘇淮安?期末）我國古代數(shù)學(xué)著作《增刪算法統(tǒng)宗》有關(guān)于“繩量井"的記載："一口井

一條繩，繩比井長一度.折回繩卻量井，卻比井短一度"其大意為：現(xiàn)有一口井和一條繩，用繩去量井，繩

比井長5尺;如果將繩對折后再去量井，就比井短5尺.設(shè)繩長尤尺，井深y尺，則符合題意的方程組是.

49.（23-24七年級下?山東煙臺?期末）《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)的經(jīng)典著作，書中有一個問題："今有黃

金九枚，白銀一十一枚，稱之重適等，交易其一，金輕十三兩.問金、銀一枚各重幾何？"，意思是：甲袋

中裝有黃金9枚（每枚黃金重量相同），乙袋中裝有白銀11枚（每枚白銀重量相同），稱重兩袋相等，兩袋

互相交換1枚后，甲袋比乙袋輕了13兩（袋子重量忽略不計），問黃金、白銀每枚各重多少兩？設(shè)每枚黃

金重x兩，每枚白銀重y兩，根據(jù)題意得：（）

[11%=9yClOy+%=8%+y

A,l（10y+x）-（10y+%）=13I9x+13=lly

（9x=llyf9x=lly

,1（8%+y）—（10y+x）=13't（10y+x）—（8x+y）=13

50.（23-24七年級下?湖南邵陽?期末）明代數(shù)學(xué)家程大位所著的《算法統(tǒng)宗》全稱《直指算法統(tǒng)宗》，是中

國古代數(shù)學(xué)名著，某數(shù)學(xué)興趣小組發(fā)現(xiàn)《算法統(tǒng)宗》里有這樣一首詩：我問開店李三公，眾客都來到店中,

一房七客多九客，一房九客少七客.詩中后兩句的意思是：如果每一間客房住7人，那么有9人無房可住；

如果每一間客房住9人，那么就有一間房少7人.

⑴請列方程組，求出該店有客房多少間？房客多少人？

（2）假設(shè)店主李三公將客房進(jìn)行改造后，共有50間客房，每間客房收費(fèi)50錢，且每間客房最多入住3人，一次

性定客房25間以上（含25間），房費(fèi)按八折優(yōu)惠，若詩中"眾客"再次一起入住，他們?nèi)绾斡喎扛纤悖?/p>

51.（23-24七年級下?吉林松原?期中）我國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》記載：“今有牛五、羊二，直金十九

兩；牛二、羊五，直金十六兩.問牛、羊各直金幾何？"譯文："假設(shè)有5頭牛、2只羊，值19兩銀子；2頭

牛、5只羊，值16兩銀子，問每頭牛、每只羊分別值銀子多少兩？"

根據(jù)以上譯文，提出以下兩個問題：

（1）求每頭牛、每只羊各值多少兩銀子？

（2）若某商人準(zhǔn)備用11兩銀子買牛和羊（要求既有牛也有羊，且銀兩須全部用完），請你為商人列出所有可

能的購買方法.

52.（2024?海南省直轄縣級單位?二模）《孫子算經(jīng)》中有一道題，原文是：今有三人共車，一車空：二人共

車，九人步，問人與車各幾何？譯文為：今有若干人乘車，每3人共乘一車，最終剩余1輛車：若每2人共乘

一車，最終剩余9個人無車可乘，問共有多少人，多少輛車？

考點(diǎn)十四：二元一次方程組的應(yīng)用一其它問題

53.（24-25七年級上?江蘇鎮(zhèn)江?期中）已知|a—+|b+5|=6+5,且|2a—6—1|=0,那么ab=.

54.（24-25八年級上?黑龍江大慶?階段練習(xí)）如圖，在數(shù)軸上，點(diǎn)/、8分別表示數(shù)°、b,且a+b=2.若

48=4,則點(diǎn)/表示的數(shù)為.

-------1-----------------1——>

AB

55.（23-24七年級上?重慶沙坪壩?期末）對于一個三位正整數(shù)n,如果律滿足：它的百位數(shù)字、十位數(shù)字之和

與個位數(shù)字的差等于7,那稱這個數(shù)為“七巧數(shù)".例如：的=452,：4+5—2=7,452是"七巧數(shù)"；

n2=724,???7+2-4=5片7,???724不是"七巧數(shù)".若"七巧數(shù)滿足:所有數(shù)位的數(shù)字之和是9的倍數(shù),

且它的百位數(shù)字大于十位數(shù)字，則小的最大值是.

56.（23-24七年級下?吉林?期末）【閱讀感悟】

有些關(guān)于方程組的問題，欲求的結(jié)果不是每一個未知數(shù)的值，而是關(guān)于未知數(shù)的代數(shù)式的值，如以下問題:

已知實(shí)數(shù)%,y滿足5x-y=6①，4x+2y=7②，求x-3y和13x+3y的值.

本題常規(guī)思路是將①②兩式聯(lián)立組成方程組，解得久、y的值再代入欲求值的代數(shù)式得到答案，常規(guī)思路運(yùn)

算量比較大.其實(shí)，仔細(xì)觀察兩個方程未知數(shù)系數(shù)之間的關(guān)系，本題還可以通過適當(dāng)變形，整體求得代數(shù)

式的值，如由①一②可得x—3y=—1,由①+②X2可得13x+3y=20.這樣的解題思想就是通常所說

的"整體思想

【解決問題】

（1）已知二元一次方程組后W-5,則X—y=，x+y=；

（2）某旅行團(tuán)組織游客乘船夜游松花江，要購買一些船票，若買4張過江船票，2張觀光船票共需72元；買

7張過江船票，3張觀光船票共需111元，則購買15張過江船票，7張觀光船票共需多少元？

⑶對于實(shí)數(shù)x,y,定義新運(yùn)算：x*y-ax+by+c,其中a、b、c是常數(shù)，等式右邊是通常的加法和乘法運(yùn)

算.已知1*2=5,1*3=12,求1*1=

57.（24-25七年級上?河南南陽?期中）【概念學(xué)習(xí)】在數(shù)軸上，若將表示數(shù)1的點(diǎn)記為。，我們把到。點(diǎn)距離

相等的兩個不同點(diǎn)M和N,稱為基準(zhǔn)1的對稱點(diǎn).例如，下圖中，點(diǎn)M表示數(shù)一1,點(diǎn)N表示數(shù)3,它們與表

示數(shù)1的點(diǎn)。的距離都是2個單位長度，點(diǎn)M與點(diǎn)N互為基準(zhǔn)1的對稱點(diǎn).

MON

<------>1<------>1

]___I_______?_______?__I?

-3-2-1023

⑴己知點(diǎn)4表示數(shù)a,點(diǎn)B表示數(shù)上點(diǎn)4與點(diǎn)B互為基準(zhǔn)1的對稱點(diǎn).

①如果a=4,則6=_

②如果點(diǎn)4與點(diǎn)B之間有8個單位長度，求a和b的值，

（2）若點(diǎn)P與點(diǎn)Q互為基準(zhǔn)1的對稱點(diǎn)，點(diǎn)P表示數(shù)p,點(diǎn)Q表示數(shù)q,對點(diǎn)P進(jìn)行如下操作：現(xiàn)將點(diǎn)P沿著數(shù)軸向

右移動5個單位長度，再向左移動2個單位長度可得到點(diǎn)Q,求點(diǎn)P表示的數(shù).

考點(diǎn)十五：三元一次方程組的應(yīng)用

58.（23-24七年級下?全國?期末）某班級組織活動購買小獎品，買20支鉛筆、3塊橡皮、2本日記本共需32元，

買39支鉛筆、5塊橡皮、3本日記本共需58元，則購買5支鉛筆、5塊橡皮、5本日記本共需元.

59.（23-24七年級下?湖南邵陽,期末）"六一兒童節(jié)"當(dāng)天，商場推出鉛筆，練習(xí)本、圓珠筆三種特價學(xué)習(xí)用

品，若購鉛筆2支，練習(xí)本1本、圓珠筆3支共需6元；若購鉛筆3支、練習(xí)本4本、圓珠筆2支共需9

元.現(xiàn)購鉛筆1支，練習(xí)本1本，圓珠筆1支，共需元.

60.（23-24七年級下?天津和平?期末）在等式y(tǒng)=ax?+bx+c中，當(dāng)x=l時，y=—2；當(dāng)x=—1.時，

y=20；當(dāng)％=2時，y=5.則。=,b=,c=.

61.（23-24七年級下?四川內(nèi)江?期中）/、B、C三輛車在同一條直路上同向行駛，某一時刻，4在前，C在后，

B在4C正中間.10分鐘后，C追上B；又過了5分鐘，C追上力.問再過分鐘，B追上4

6模塊四小試牛刀過關(guān)測-------------------1.（24-25八年級

上?全國?期末）中國古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中記錄了這樣一個題目：九百九十九文錢，甜果苦果買一千，

四文錢買苦果七，十一文錢九個甜，甜苦兩果各幾個？其大意是：用九百九十九文錢共買了一千個苦果和

甜果，其中四文錢可以買苦果七個，十一文錢可以買甜果九個.問：苦果、甜果各有幾個？設(shè)苦果有x個,

甜果有y個，則可列方程組為（）

（x+y=1000（%+y=1000

A，\-x+—y=999B.|Z%+—y=99

【79l411z

（x+y=1000（x+y=1000

（7%+9y=999>l4x+lly=99

2.（23-24七年級下?廣東湛江?期末）用8塊相同的小長方形地俳拼成一個大長方形，則每塊小長方形地磚

的面積是（）

40

v

A.600B.500C.300D.200

3.（23-24七年級下?廣東湛江?期末）如圖，在△4BC中，AD是邊BC上的中線，△4BD的周長比△4DC的

周長多3,4B與4C的和為13,貝口B的長為（）

B.6C.7D.8

4.（22-23八年級上?廣東深圳?期末）《九章算術(shù)》中有這樣一道題："今有善行者一百步，不善行者六十

步.今不善行者先行一百步，善行者追之，問幾何步及之？"意思是：走路快的人走100步時，走路慢的人

只走60步，走路慢的人先走100步，走路快的人要走多少步才能追上？設(shè)走路快的人走x步才能追上走路

慢的人，此時走路慢的人走了y步，則可列方程組為（）

x=y+100%=y+100

A.x_yB.x_y

-100-60-60-100

x=y—100x=y—100

C.x_yD.x_y

■Too-6060-100

5.（24-25七年級上?全國?期末）甲、乙兩列火車分別在兩條平行的車軌上行駛，甲車長。米，乙車長6米

（a>b）.若兩車相向而行，從車頭相遇到車尾離開共需要10s；若甲車從后面追趕乙車，從車頭追上乙車

的車尾并完全超過乙車共需要100s.下列結(jié)論正確的是（）

9a+9b

A.快車速度-B.慢車速度

―200100

9a-9b.9a—9b

C.快車速度D.慢車速度

100.200

6.（21-22九年級下?上海咱主招生）甲是乙現(xiàn)在的年齡時，乙15歲；乙是甲現(xiàn)在的年齡時，甲30歲，那

么()

A.甲比乙大5歲B.甲比乙大10歲

C.乙比甲大10歲D.乙比甲大5歲

7.（23-24七年級下?山東青島?期末）為防控新冠狀病毒，小航同學(xué)在超市幫媽媽買回一袋紙杯，他把紙杯

整齊地疊放在一起（如圖），如果把這袋60個紙杯整齊疊放在一起，它的高度為（）

15cm

10cm

A.200cmB.112.5cmC.106cmD.57.5cm

8.（23-24七年級下?全國?期末）為了改善住房條件，小亮的父母考察了某小區(qū)的/、8兩套樓房，/套樓房

在第3層樓，3套樓房在第5層樓，2套樓房的面積比/套樓房的面積大24平方米，兩套樓房的房價相同,

第3層樓和第5層樓的房價分別是平均價的L1倍和0.9倍.為了計算兩套樓房的面積，小亮設(shè)/套樓房的

面積為x平方米，8套樓房的面積為y平方米，根據(jù)以