:重難題型?解題技巧攻略

J_________________________________________________________

專題01新增統(tǒng)計概率(根據(jù)教材精編)

?>----------題型歸納?定方向------------<>

題型01伯努利分布、分布的表示.....................................

題型02等可能分布或均勻分布.......................................

題型03隨機(jī)變量及其分布.......................................................................2

題型04隨機(jī)變量的期望與方差...................................................................3

題型05二項分布....................................................

題型06超幾何分布.............................................................................4

題型07正態(tài)分布....................................................

題型08成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析..........................................

題型09條件概率與全概率公式+獨立事件、互斥事件....................

題型10判斷事件的類型概率公式綜合辨析.......................................................8

-----------題型探析?明規(guī)律-----------o

【解題規(guī)律?提分快招】

i「高散冠施機(jī)變量分希利的隹質(zhì)而應(yīng)甬一……一………...........…

(1)利用“概率之和為1”可以求相關(guān)參數(shù)的值.

(2)利用“在某個范圍內(nèi)的概率等于它取這個范圍內(nèi)各個值的概率之和”求某些特定事件的概率.

(3)可以根據(jù)性質(zhì)判斷所得分布列結(jié)果是否正確.

2、求離散型隨機(jī)變量占的期望與方差的步驟

⑴理解自的意義，寫出自可能的全部值.

(2)求自取每個值的概率.

(3)寫出自的分布列.

(4)由期望、方差的定義求E化)，D?.

3、判斷某隨機(jī)變量是否服從二項分布的關(guān)鍵點

(1)在每一次試驗中，事件發(fā)生的概率相同.

(2)各次試驗中的事件是相互獨立的.

(3)在每一次試驗中，試驗的結(jié)果只有兩個，即發(fā)生與不發(fā)生.

4、(1)超幾何分布描述的是不放回抽樣問題，隨機(jī)變量為抽到的某類個體的個數(shù).超幾何分布的特征是：①

考察對象分兩類；②已知各類對象的個數(shù)；③從中抽取若干個個體，考查某類個體數(shù)X的概率分布.

(2)超幾何分布主要用于抽檢產(chǎn)品、摸不同類別的小球等概率模型，其本質(zhì)是古典概型.

5、解決正態(tài)分布問題有三個關(guān)鍵點：(1)對稱軸x=〃；(2)標(biāo)準(zhǔn)差c；(3)分布區(qū)間.利用對稱性可求指定范

圍內(nèi)的概率值；由“，分布區(qū)間的特征進(jìn)行轉(zhuǎn)化，使分布區(qū)間轉(zhuǎn)化為3f7特殊區(qū)間，從而求出所求概

率.注意只有在標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布下對稱軸才為x=0.

題型01伯努利分布、分布的表示

【典例1-1】.拋擲1枚硬幣，正面朝上的次數(shù)為X,則X的期望是.

【典例1-2].以下分布中是伯努利分布的是().

A.擲一枚硬幣正面次數(shù)X的分布

B.擲兩枚硬幣正面次數(shù)X的分布

C.拋一顆骰子點數(shù)X的分布

D.從一個放有2個白球，和2個黑球的袋子中摸出兩個球，用x表示白球個數(shù)的分布

【變式1-1].己知隨機(jī)變量X服從兩點分布，且P（X=0）=2°2,尸（X=l）=a,那么.

【變式1-2].已知隨機(jī)變量X服從兩點分布，P（X=l）=0.34,則P（X=O）=,E（X）=.

【變式1-3].己知X服從參數(shù)為0.3的兩點分布，則尸（X=0）=；若丫=3丫-2,則尸位=1）=.

【變式1-6】.以下各項中是分布的為（）

（2.457.1]1.21.123.4]

。10.20,380.4）D?（0.]-0.10.40.6）

題型02等可能分布或均勻分布

【典例2-1].已知隨機(jī)變量X分布如下：/%…它是均勻分布，則"為______.

（PiPiP,P,J

（Mx.x.

【變式2-11.已知某個隨機(jī)變量的分布3,該分布是等可能分布，則n的值為_______.

1APlP3）

題型03隨機(jī)變量及其分布

01、

【典例3-11.已知隨機(jī)變量的分布1貝°加+〃=

m-n

I2J

’0123、

【典例3-2】.分別拋擲3枚硬幣，正面次數(shù)X的分布如下131其中。的值為

——c—

【888J

一o

【變式3-1】?設(shè)J是一個隨機(jī)變量，其分布為1則實數(shù)g

l-2qq2

4

【變式3-2】.一袋中裝5個大小與質(zhì)地相同的球,編號為1、2、3、4、5,從袋中同時取出3個，以X表

示取出的三個球中的最大號碼，則隨機(jī)變量X的分布為（）

’345、'2345'

A.J_J_￡B.22_1J_

533>J105io?

5、（3

c.j_3D.331

<ToTo5JI?ToTo?

「123456、/、

【變式3?3】.若隨機(jī)變量〃的分布為g，貝口=，尸(八3)=

IU.1XU.JDv.1U.l>U./I

題型04隨機(jī)變量的期望與方差

(135、

【典例4-1】.已知隨機(jī)變量X的分布為八/,則X的方差為_____.

10.4n0.i1m]

10

1，且￡[X]=：,則〃6=

【典例4-2】.已知一個隨機(jī)變量X的分布為“b

一3

2J

’123、

【變式4-11.已知隨機(jī)變量X的分布是11,則E[2X+“]等于（）

-a

J3）

ro1

【變式4-2].已知隨機(jī)變量X的分布列為:11,若磯x）=w，且y=3X-2,貝|D（Y）=

——p3

【23

，-212、

【變式4-31.隨機(jī)變量X的分布為1，若￡[3X+3]=6,則。[X]=

abL

2；

’012、

【變式4-41.已知一個隨機(jī)變量X的分布為1b,且現(xiàn)X]=1,則"1=

—a

15

【變式4-5】.隨機(jī)變量X的分布是(，1方23j、,其中a,6,c成等差數(shù)歹U.若仇刈=5屋則「因的值為

<-ior

【變式4-6】?已知0<”卜隨機(jī)變量X的分布為12,當(dāng)。增大時().

I33J

A.E(X)增大，O(X)增大B.E(X)減小，O(X)增大

C.E(X)增大,O(X)減小D.E(X)減小,D(X)減小

題型05二項分布

【典例5-11.已知隨機(jī)變量J服從二項分布則尸(J=2)=.

【典例5-21.若隨機(jī)變量X服從二項分布8(20,0,當(dāng)p=；且尸(X=左)取得最大值時，貝心=.

【變式5-1】?下列說法中正確的是

①設(shè)隨機(jī)變量服X從二項分布《6,：,則P(x=3)=(；

②已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(2,a?)且P(X<4)=0.9,則尸(0<X<2)=0.4；

③小趙、小錢、小孫、小李到4個景點旅游，每人只去一個景點，設(shè)事件N="4個人去的景點互不相同”，

事件8="小趙獨自去一個景點”，則P{A\B]=-.

④E(2X+3)=2E(X)+3,DQX+3)=2Z)(X)+3.

【變式5-2],如果隨機(jī)變量X?42024,j,Y?42024,j,那么當(dāng)X、y變化時，使P(X=幻=尸(丫=心)

成立的(左,右)的個數(shù)為.

【變式5-3】?設(shè)隨機(jī)變量X服從二項分布8(2,0,隨機(jī)變量Y服從二項分布8(4,0,若尸(X21)=j,

則尸(丫22)=.

【變式5-4】?已知隨機(jī)變量X?8(2,p),丫?0-1,若尸(XNl)=0.64,p(y=i)=。，則2丫=0)的值等

于.

【變式5-5】.在一次新兵射擊能力檢測中，每人都可打5槍，只要擊中靶標(biāo)就停止射擊，合格通過；5次

全不中，則不合格.新兵/參加射擊能力檢測，假設(shè)他每次射擊相互獨立，且擊中靶標(biāo)的概率均為M。<P<1)，

若當(dāng)。=為時，他至少射擊4次合格通過的概率最大，則p°=.

題型06超幾何分布

【典例6-1】.某醫(yī)院派出16名護(hù)士、4名內(nèi)科醫(yī)生組成支援隊伍，現(xiàn)在需要從這20人中任意選取3人去A

城市支援，設(shè)X表示其中內(nèi)科醫(yī)生的人數(shù)，則P(X=2)=

【典例6-21.某袋中裝有大小相同質(zhì)地均勻的黑球和白球共5個.從袋中隨機(jī)取出3個球，已知恰全為黑

球的概率為《，若記取出3個球中黑球的個數(shù)為X,則仇X]=_.

【變式6-1】.在箱子中有10個小球，其中有4個紅球，6個白球.從這10個球中任取3個，記X表示白球的

個數(shù)，則尸(X=2)=.

【變式6-2】.學(xué)校要從5名男教師和2名女教師中隨機(jī)選出3人去支教，設(shè)抽取的人中女教師的人數(shù)為

X,求P(X41)=.

【變式6-3】.盒中有2個白球，3個黑球，從中任取3個球，以X表示取到白球的個數(shù)，”表示取到黑球

的個數(shù).給出下列各項：

①￡（X）=gE⑶=|；②E（X?￡⑺；③￡（叫=磯X）；④刀⑶”⑶

其中正確的是.（填上所有正確項的序號）

題型07正態(tài)分布

【典例7-1］.已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布若P（X<-1）2尸（XN3）,則實數(shù)〃的取值范圍

是.

【典例7-2】.隨機(jī)變量X的概率分布密度函數(shù)/（x）（尤eR）其圖象如圖所示，設(shè)

P（XN2）=0.15,則圖中陰影部分的面積為

【變式7-2】.某地區(qū)高三年級2000名學(xué)生參加了地區(qū)教學(xué)質(zhì)量調(diào)研測試，已知數(shù)學(xué)測試成績X服從正態(tài)

分布N（100,/）（試卷滿分150分），統(tǒng)計結(jié)果顯示，有320名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績低于80分，則數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)屬于

閉區(qū)間［80,120］的學(xué)生人數(shù)約為.

【變式7-3】.若隨機(jī)變量X~N（6,1）,且P（5<XW7）=a,P（4<XW8）=6,則P（4<XV7）等于（）

b-ab+a—一\-a

A.------B.------C.-----D.

222-I-

題型08成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析

【典例8-11.在研究線性回歸模型時，樣本數(shù)據(jù)（如其）（i=l,2,3,…，力）所對應(yīng)的點均在直線y=-gx+3

上，用「表示解釋變量對于反應(yīng)變量變化的線性相關(guān)度，則，”.

【典例8-2】.從某大學(xué)中隨機(jī)選取8名女大學(xué)生，其身高x（單位：cm）與體重V（單位：kg）的數(shù)據(jù)如

下表:

X165165157170175165155170

y4857505464614359

若已知了與X的線性回歸方程為方=0.85X-85.71,那么選取的女大學(xué)生身高為175cm時，相應(yīng)的殘差

為.

【變式8-1].已知一組成對數(shù)據(jù)（18,24）,（13,34）,（10,38）,（-1,加）的回歸方程為%-2》+59.5,則該組數(shù)據(jù)的

相關(guān)系數(shù)廠=（精確到0.001）.

【變式8-2】?下列說法中，正確的有（填序號）.

①回歸直線$=&+'恒過點（元,歹），且至少過一個樣本點；

②根據(jù)2x2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)計算得出Z2>6.635,而P（/26.635b0.01,則有99%的把握認(rèn)為兩個分類

變量有關(guān)系，即有1%的可能性使得“兩個分類變量有關(guān)系”的推斷出現(xiàn)錯誤；

③％2是用來判斷兩個分類變量是否相關(guān)的隨機(jī)變量，當(dāng)/的值很小時可以推斷兩類變量不相關(guān)；

④某項測量結(jié)果4服從正態(tài)分布則尸偌<5）=0.81,貝"（"-3）=0.19.

【變式8-3].近五年來某草原羊只數(shù)量與草地植被指數(shù)兩變量間的關(guān)系如表所示，繪制相應(yīng)的散點圖，如

圖所示：

年份12345

羊只數(shù)量/萬只1.40.90.750.60.3

草地植被指數(shù)1.14.315.631.349.7

卜草地植被指數(shù)

1

60

50?

40

30?

20*

10

?|■?

O0.5L5羊只數(shù)量/萬只

若利用這五組數(shù)據(jù)得到的兩變量間的相關(guān)系數(shù)為4,去掉第一年數(shù)據(jù)（L4,1.1）后得到的相關(guān)系數(shù)為2,則外

r2（填2,<,<,>）

【變式8-4】.為了考察某種藥物預(yù)防疾病的效果，進(jìn)行動物試驗，得到如下圖所示列聯(lián)表:

疾病

藥物合計

未患病患病

服用m50-m50

未服用80-mm-3050

合計8020100

取顯著性水平a=0.05,若本次考察結(jié)果支持“藥物對疾病預(yù)防有顯著效果”，則%（加240,加eN）的最小值

為.

n{ad-6cy

（參考公式：/=;參考值:PU2>3.841)?0.05)

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

題型09條件概率與全概率公式+獨立事件、互斥事件

【典例9-11.甲、乙兩氣象站同時作天氣預(yù)報，如果甲站、乙站各自預(yù)報的準(zhǔn)確率分別為0.8和0.7,且假定

甲、乙兩氣象站預(yù)報是否準(zhǔn)確相互之間沒有影響，那么在一次預(yù)報中，甲站、乙站預(yù)報都錯誤的概率

為.

【變式9-1】.某科研型農(nóng)場試驗了生態(tài)柳丁的種植，在種植基地從收獲的果實中隨機(jī)抽取100個，得到其

質(zhì)量（單位：g）的頻率分布直方圖及商品果率的頻率分布表如圖.已知基地所有采摘的柳丁都混放在一起，

用頻率估計概率，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取1個柳丁，則該柳丁為商品果的概率為.

頻率

0.015-........

0.010-........

0.005—1-

o100120140160180200質(zhì)量/g

質(zhì)量/g[100,120)[120,140)[140,160)[160,180)[180,200]

商品果率0.70.80.80.90.7

【變式9-2】.長時間玩手機(jī)可能影響視力，據(jù)調(diào)查，某校學(xué)生大約30%的人近視，而該校大約有40%的學(xué)

生每天玩手機(jī)超過2h,這些人的近視率約為60%,現(xiàn)從該校近視的學(xué)生中任意調(diào)查一名學(xué)生，則他每天玩

手機(jī)超過2h的概率為.

【變式9-3】.研究人員開展甲、乙兩種藥物的臨床抗藥性研究實驗，事件A為"對藥物甲產(chǎn)生抗藥性”，事

49

件8為"對藥物乙產(chǎn)生抗藥性”，事件C為"對甲、乙兩種藥物均不產(chǎn)生抗藥性若尸（/”忑，P（5）=—,

P(C)=￡，則尸3/)=一.

題型10判斷事件的類型概率公式綜合辨析

【典例10-1】.事件/與8獨立，力、豆分別是/、8的對立事件，則下列命題中成立的是()

A.PG4U3)=P(4)P(3)B.PQDB)=P(A)+P(B)

C.P(AB)=P(A)P(B)D.P(AUB)=P(A)+i-P(B)

【典例10-2].已知事件A與3相互獨立，且0〈尸(/)尸(8)<1,則下列選項不一定成立的是()

A.尸(而勾=(1一尸⑷)尸⑻;B.尸(/U8)=尸⑷+尸⑻；

C.P(IUS)=Pp)P(S)；D.尸(4⑻尸(叫/)=尸("cB).

【變式10-1].已知7、月分別為隨機(jī)事件43的對立事件，P(⑷>o,p(B)>0,則下列等式錯誤的

是()

A.尸(3⑷+尸(方⑷=尸(/)B.P[B\A)+P[B\A)=\

C.若/、8獨立，則P(/忸)=p(/)D.若/、B互斥,則尸(4忸)=「(引/)

【變式10-21.拋擲一紅一綠兩顆質(zhì)地均勻的骰子，記錄骰子朝上面的點數(shù)，若用x表示紅色骰子的點數(shù),

用了表示綠色骰子的點數(shù)，用(三力表示一次試驗結(jié)果，設(shè)事件E：x+y=8；事件尸：至少有一顆點數(shù)為6；

事件G:x>4；事件.則下列說法正確的是()

A.事件E與事件尸為互斥事件B.事件廠與事件G為互斥事件

C.事件￡與事件G相互獨立D.事件G與事件//相互獨立

【變式10-31.現(xiàn)有4個禮品盒，前三個禮品盒中分別裝了一支鋼筆，一本書以及一個筆袋，第4個禮品

盒中三樣均有.現(xiàn)隨機(jī)抽取一個禮盒，事件/為抽中的盒子里面有鋼筆，事件8為抽中的盒子里面有書，事

件C為抽中的盒子里面有筆袋，則下面選項正確的是()

A./與2互斥B./與2相互獨立

C.4與BuC互斥D./與ScC相互獨立

【變式10-4】.設(shè)A,&為兩個隨機(jī)事件，以下命題正確的為()

A.若A,B是對立事件，則尸(48)=1

B.若A,8是互斥事件，P(/)=：,P(2)=:，則P(N+8)=J

326

—1—11

C.若尸(/)=§,尸(3)=5,且尸(0)=§,則A,8是獨立事件

D.若A,5是獨立事件，P(A)=-,P(B)=~,貝|P(NB)=[

【變式10-5】?設(shè)4,2為兩個隨機(jī)事件，

①若/,8是互斥事件「(/)=:，尸(8)=：，貝”(/U8)=J；

326

②若48是對立事件，則尸（2口8）=1；

12_1

③若/,8是獨立事件，P（A）=-,P（B）=q,則P（/n與）=A；

339

_i_i_i

④若尸（/）=『P（5）=-,且尸（Nn8）=a，則/,8是獨立事件.

以上4個命題，正確的序號選項為（）.

A.①③B.②③C.②④D.②③④

【變式10-6】?甲箱中有5個紅球，2個白球和3個黑球；乙箱中有4個紅球，3個白球和3個黑球.先從甲

箱中隨機(jī)取出一球放入乙箱中，分別以4、4、4表示由甲箱中取出的是紅球、白球和黑球的事件；再從

乙箱中隨機(jī)取出一球，以8表示由乙箱中取出的球是紅球的事件，則下列結(jié)論錯誤的是（）

A-P⑻B.尸（叫4）=五

c.事件8與事件4不相互獨立D.4、4、4兩兩互斥

【變式10-71.假定生男生女是等可能的，設(shè)事件A：一個家庭中既有男孩又有女孩；