高級中學名校試卷PAGEPAGE1上海市浦東新區2024-2025學年高一上學期期末教學質量檢測數學試卷一、填空題(本大題共有12題，滿分36分)選對得3分，否則一律得零分.1.集合的子集的個數為_________.【答案】4【解析】集合有個元素，集合的子集的個數為.2.函數的定義域為_______________.【答案】【解析】由得，所以函數的定義域為.3.已知陳述句或x>2，則的否定形式為__________.【答案】【解析】由或x>2，則的否定形式為.4.已知函數y=fx的表達式為，則_________.【答案】【解析】因為，且，則.5.已知，用有理數指數冪的形式表示________.【答案】【解析】.6.已知，，且，則的最大值為_________.【答案】【解析】∵，，∴，即，當且僅當，即時等號成立．7.若關于的不等式的解集是，則實數的取值范圍是____________．【答案】【解析】因為不等式的解集是，在上恒成立，，即．8.若冪函數（為整數）的定義域為，則的值為________．【答案】1【解析】若冪函數（為整數）的定義域為R，則，解得，而是整數，則只能，經檢驗符合題意.9.已知，，則_________.（結果用a，b表示）【答案】【解析】.10.如果函數在區間2，+∞上是嚴格增函數，那么實數的取值范圍為_________【答案】【解析】由二次函數的性質，可知函數在區間上是嚴格增函數，所以，即.11.若關于的不等式恒成立，則實數的取值范圍為___________.【答案】【解析】令，由題意可知，對任意的恒成立，當時，，則函數在上為減函數，則；當時，，則；當時，，則函數在上為增函數，.綜上所述，函數在上的最小值為，故.因此，實數的取值范圍是.12.已知集合，其中.若存在正數，使得對任意，都有，則的值是_________.【答案】【解析】因為，則只需考慮下列三種情況：因為，，則，又因為，則，因為，則且，可得，所以，解得.二、選擇題(本大題共有4題，滿分12分)每小題都給出四個選項，其中有且只有一個選項是正確的，選對得3分，否則一律得零分.13.如果，那么下列不等式中成立的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因為，故由不等式的性質得，故C選項正確；對于A選項，當時滿足，但不成立，故A選項錯誤；對于B選項，由于，但，故B選項錯誤；對于D選項，由于，但，故D選項錯誤.故選：C.14.已知，，若是的充分不必要條件，則實數的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】已知，，若是的充分不必要條件，則，所以.故選：B.15.如圖，等腰直角三角形ABC中，AB=AC=，在AB邊上任取一點P，過P作斜邊BC的垂線交BC于Q，則當P點按B→A→C的方向移動時，圖中陰影部分的面積S隨BQ的長度h變化的函數關系S（h）的圖象是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】當點P在線段AB上時（如下圖所示），在等腰直角三角形ABC中，，所以陰影部分的面積，當點P在線段AC上時（如下圖所示），在等腰直角三角形ABC中，，所以陰影部分的面積，根據二次函數的圖像得：面積增加的速度：先慢后快，當P過A點后面積增加的速度：先快后慢.故選：D.16.已知，則下列結論錯誤的是（）A.不等式的解集為B.函數的圖象關于點對稱C.若、為實數，且，則D.若、為實數，且，則【答案】D【解析】任取、且，則，且，，所以，，則函數在上為增函數，對于A選項，由可得，所以，不等式的解集為，A對；對于B選項，，所以，函數的圖象關于點對稱，B對；對于C選項，若、為實數，且，則，所以，，則，C對；對于D選項，取，，則，D錯.故選：D.三、解答題(本大題共有5題，滿分52分)解答下列各題必須寫出必要的步驟.17.已知集合，集合，求.解：因為，所以或，即，因為，所以，所以，.18.已知是常數，設是二次方程的兩個實根.（1）求的值；（2）當取到最小值時，求的值.解：（1）因為有兩個根，所以，，即，解得或，由韋達定理，得，，.（2），設拋物線方程，定義域為或，開口向上，拋物線對稱軸，當時，函數嚴格減函數，即在上是嚴格減函數，時，函數為嚴格增函數，即在上是嚴格增函數，當時，取最小值32即取最小值.19.已知函數y=fx的表達式為.（1）判斷函數y=fx（2）用定義證明：函數y=fx在區間上是嚴格減函數.解：（1）函數的定義域為不關于原點對稱，所以y=fx既不是奇函數也不是偶函數（2）任取則，因為所以，所以，即，所以函數y=fx在區間上是嚴格減函數.20.某校為了鼓勵學生利用業余時間閱讀名著，預備制定一個每日閱讀考核評分制度，建立一個每日得分(單位：分)與當日閱讀時間(單位：分鐘)的函數關系.要求如下：(i)函數的部分圖象接近圖示；(ii)每日閱讀時間為0分鐘時，當日得分為0分；(iii)每日閱讀時間為30分鐘時，當日得分為3分；(iiii)每日閱讀時間設置上限，最多得分不超過6分.現有以下三個函數模型供選擇:①；②；③.（1）請你根據函數圖象性質，從中選擇一個合適函數模型，不需要說明理由；（2）根據你對(1)的判斷以及所給信息，寫出合適函數模型的解析式；（3）若該校要求每日的得分不少于5分，問每日至少閱讀名著多少分鐘？(結果精確到整數).解：（1）根據題意可得應選擇增加速度為先快后慢的增長模型，所以選對數型模型，故選.（2）由題意及（1）可知，在上，所以，解得3，，所以，令6，可得，解得，所以函數的解析式為.（3）令，可得，即，解得，所以每天得分不少于5分，至少需要閱讀66分鐘.21.若函數y=fx滿足：在定義域內存在，使得成立，則稱函數y=fx為“函數”.（1）若，問y=fx是否為“函數”，請說明理由；（2）若，問y=fx是否為“函數”，請說明理由:（3）若，且y=fx是“函數”，則求實數的取值范圍.解：（1）若函數為“函數”，則，得，明顯不成立，所以不為“函數”.（2）若存在滿足條件，即，則，整理可得，設，則函數在上為增函數，因為，，所以，，由零點存在定理可知，存在，使得，故函數為“函數”.（3）由條件得，令，可得，整理可得，所以關于的方程有正根，則，可得，解得或，設方程的兩根分別為、，則，且，解得，綜上所述，實數的取值范圍是.上海市浦東新區2024-2025學年高一上學期期末教學質量檢測數學試卷一、填空題(本大題共有12題，滿分36分)選對得3分，否則一律得零分.1.集合的子集的個數為_________.【答案】4【解析】集合有個元素，集合的子集的個數為.2.函數的定義域為_______________.【答案】【解析】由得，所以函數的定義域為.3.已知陳述句或x>2，則的否定形式為__________.【答案】【解析】由或x>2，則的否定形式為.4.已知函數y=fx的表達式為，則_________.【答案】【解析】因為，且，則.5.已知，用有理數指數冪的形式表示________.【答案】【解析】.6.已知，，且，則的最大值為_________.【答案】【解析】∵，，∴，即，當且僅當，即時等號成立．7.若關于的不等式的解集是，則實數的取值范圍是____________．【答案】【解析】因為不等式的解集是，在上恒成立，，即．8.若冪函數（為整數）的定義域為，則的值為________．【答案】1【解析】若冪函數（為整數）的定義域為R，則，解得，而是整數，則只能，經檢驗符合題意.9.已知，，則_________.（結果用a，b表示）【答案】【解析】.10.如果函數在區間2，+∞上是嚴格增函數，那么實數的取值范圍為_________【答案】【解析】由二次函數的性質，可知函數在區間上是嚴格增函數，所以，即.11.若關于的不等式恒成立，則實數的取值范圍為___________.【答案】【解析】令，由題意可知，對任意的恒成立，當時，，則函數在上為減函數，則；當時，，則；當時，，則函數在上為增函數，.綜上所述，函數在上的最小值為，故.因此，實數的取值范圍是.12.已知集合，其中.若存在正數，使得對任意，都有，則的值是_________.【答案】【解析】因為，則只需考慮下列三種情況：因為，，則，又因為，則，因為，則且，可得，所以，解得.二、選擇題(本大題共有4題，滿分12分)每小題都給出四個選項，其中有且只有一個選項是正確的，選對得3分，否則一律得零分.13.如果，那么下列不等式中成立的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因為，故由不等式的性質得，故C選項正確；對于A選項，當時滿足，但不成立，故A選項錯誤；對于B選項，由于，但，故B選項錯誤；對于D選項，由于，但，故D選項錯誤.故選：C.14.已知，，若是的充分不必要條件，則實數的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】已知，，若是的充分不必要條件，則，所以.故選：B.15.如圖，等腰直角三角形ABC中，AB=AC=，在AB邊上任取一點P，過P作斜邊BC的垂線交BC于Q，則當P點按B→A→C的方向移動時，圖中陰影部分的面積S隨BQ的長度h變化的函數關系S（h）的圖象是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】當點P在線段AB上時（如下圖所示），在等腰直角三角形ABC中，，所以陰影部分的面積，當點P在線段AC上時（如下圖所示），在等腰直角三角形ABC中，，所以陰影部分的面積，根據二次函數的圖像得：面積增加的速度：先慢后快，當P過A點后面積增加的速度：先快后慢.故選：D.16.已知，則下列結論錯誤的是（）A.不等式的解集為B.函數的圖象關于點對稱C.若、為實數，且，則D.若、為實數，且，則【答案】D【解析】任取、且，則，且，，所以，，則函數在上為增函數，對于A選項，由可得，所以，不等式的解集為，A對；對于B選項，，所以，函數的圖象關于點對稱，B對；對于C選項，若、為實數，且，則，所以，，則，C對；對于D選項，取，，則，D錯.故選：D.三、解答題(本大題共有5題，滿分52分)解答下列各題必須寫出必要的步驟.17.已知集合，集合，求.解：因為，所以或，即，因為，所以，所以，.18.已知是常數，設是二次方程的兩個實根.（1）求的值；（2）當取到最小值時，求的值.解：（1）因為有兩個根，所以，，即，解得或，由韋達定理，得，，.（2），設拋物線方程，定義域為或，開口向上，拋物線對稱軸，當時，函數嚴格減函數，即在上是嚴格減函數，時，函數為嚴格增函數，即在上是嚴格增函數，當時，取最小值32即取最小值.19.已知函數y=fx的表達式為.（1）判斷函數y=fx（2）用定義證明：函數y=fx在區間上是嚴格減函數.解：（1）函數的定義域為不關于原點對稱，所以y=fx既不是奇函數也不是偶函數（2）任取則，因為所以，所以，即，所以函數y=fx在區間上是嚴格減函數.20.某校為了鼓勵學生利用業余時間閱讀名著，預備制定一個每日閱讀考核評分制度，建立一個每日得分(單位：分)與當日閱讀時間(單位：分鐘)的函數關系.要求如下：(i)函數的部分圖象接近圖示；(ii)每日閱讀時間為0分鐘時，當日得分為0分；(iii)每日閱讀時間為30分鐘時，當日得分為3分；(iiii)每日閱讀時間設置上限，最多得分不超過6分.現有以下三個函數模型供選擇:①；②；③.（1）請你根據函數圖象性質，從中選擇一個合適函數模型，不需要說明理由；（2）根據你對(1)的判斷以及所給信息，寫出合適函數模型的解析式；（3）若該校要求每日的得分不少于5分，問每日至少閱讀名著多少分鐘？(結果精確到整數).解：（1）根據題意可得應選擇增加速度為先快后慢的增長模型，所以選對數型模型，故選.（2）由題意及（1）可知，在上，所以，解得3，，所以，令6，可得，解得，所以函數的解析式為.（3）令，可得，即，解得，所以每天得分不少于5分，至少需要閱讀66分鐘.21.若函數y=fx滿足：在定義域內