高級中學名校試卷PAGEPAGE1江蘇省淮安市2024-2025學年高一上學期期末調研測試數學試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若集合，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】或，所以．故選：D.2.已知冪函數的圖象經過點，則函數的圖象大致為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】設冪函數的解析式為：，因其圖象經過點，則得，解得，于是，則該函數的定義域為，關于原點對稱，因，故函數為偶函數，圖象關于y軸對稱.故選：B.3.已知α的終邊經過點，且，則＝（）A. B.C. D.2【答案】A【解析】因為α的終邊經過點，且，所以，再由，解得，由正切函數定義得：，故選：A.4.已知扇形OAB的周長為8cm，圓心角，則該扇形中弦長（）A.2cm B.4cmC.2sin1cm D.4sin1cm【答案】D【解析】設扇形的弧長為l，半徑為r，圓心角為α，由已知得，解得，則弦長（cm）．故選：D.5.如果是實數，那么“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】當時，不妨設，則.而當時，可能，此時，而.綜上所述“”是“”的充分不必要條件.6.已知關于x的一元二次方程的兩根為sinα，cosα，則m的值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】關于x的一元二次方程的兩根為，可得m，又由韋達定理可得所以解得即m．故選：C.7.已知函數，，若，則的最小值為（）A.9 B. C.3 D.【答案】B【解析】由題設，又，得，整理得，且，則，u所以，當且僅當，即時取等號，所以的最小值為．故選：B.8.已知函數，若關于x的方程至少有兩個不等的實根，則實數a的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因為，作出函數的圖象，如圖所示：關于x的方程至少有兩個不等的實根，即關于x的方程至少有兩個不同的交點，所以，當時，令，解得，當時，令，解得，所以，解得．故選：A.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.下列說法正確的有（）A.若，則B.若，則C.若，則D.若，則【答案】AC【解析】A中，因為，可得，所以，所以A正確；B中，若，也可以，所以不正確，所以B不正確；C中，，因為，，而，所以，即，所以C正確；D中，若，當時，則，則錯誤，所以D不正確．故選：AC.10.筒車是我國古代發明的一種水利灌溉工具，因其經濟又環保，至今還在農業生產中使用（圖1），明朝科學家徐光啟在《農政全書》中用圖畫描繪了筒車的工作原理（圖2）．若一半徑為2米的筒車水輪圓心O距離水面1米（圖3），已知水輪按逆時針轉動，每分鐘轉動4圈，當水輪上點P從水中浮現時（圖3中點）開始計時，點P距水面的高度可以用函數（）表示．下列結論正確的有（）A.點P所滿足的函數表達式為B.點P第一次到達最高點需用時5秒C.P再次接觸水面需用時10秒D.當點P運動2.5秒時，距水面的高度為1.5米【答案】BC【解析】函數中，所以，時，，解得，因為，所以，所以，A錯誤；令得，則，解得，所以x的最小值為5，即點P第一次到達最高點需用時5秒，B正確；由題意知，點P再次接觸水面需用時（秒），C正確；當時，，點P距水面的高度為2米，D錯誤．故選：BC.11.已知函數，下列說法正確的有（）A.函數為奇函數B.函數的周期為πC.函數在區間上為增函數D.當時，函數的圖象恒在直線的下方【答案】ACD【解析】對于A，函數的定義域為R，有，則為奇函數，故A正確；對于B，因，故π不是函數的周期，故B錯誤；對于C，因，當時，為增函數且，由復合函數的單調性知，也是增函數，故在上遞增，，又由為奇函數，則在區間上為增函數，故C正確；對于D，，當時，由函數與的圖象（如圖）可知：，因，則有恒成立，故，即函數的圖象恒在直線的下方，故D正確．故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12._______．【答案】【解析】故答案為：.13.已知定義在R上的奇函數關于對稱，當時，，則_________．【答案】【解析】因函數為奇函數，，函數關于x＝1對稱，則有，則有，變形可得，則有，即4是函數的一個周期，則，又由當時，，則，則.故答案為：.14.已知函數．若對，均有或，且使得成立，則實數a的取值范圍為_______．【答案】【解析】對，均有或，令，解得，故當時需要，易得二次函數的對稱軸為，故需確保且右邊根，,解得，，解得，綜上，①；再分析存在當時，，故存在，，故左邊根，解得②，綜合①②取交集，可得，故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知集合，．（1）當時，求；（2）若“”是“”的充分不必要條件，求實數a的取值范圍．解：（1）集合，當時，，所以.（2）由“”是“”的充分不必要條件，得集合B是A的真子集，而，則或，解得或，所以實數a的取值范圍是.16.已知第三象限角，且．（1）求的值；（2）求的值．解：（1）因為為第三象限角，且，所以，解得（正值舍去），所以；（2）17.已知函數的圖象過點.（1）求實數的值；（2）證明：函數為偶函數；（3）求關于的不等式的解集．（1）解：函數的圖象過點，所以，即，，則，則，所以；（2）證明：函數，故為偶函數；（3）解：不等式可化為，即，解得，所以，故不等式的解集為．18.如圖，函數的部分圖象與直線交于A，B兩點，點，在函數的圖象上，且的面積為．（1）求函數的解析式；（2）設在上的兩個零點為，求的值；（3）將函數的圖象向右平移個單位，再向上平移1個單位，得到函數的圖象，若在[0,b]（）上至少有10個零點，求最小正整數b．解：（1）因為，得到，所以的一條對稱軸為，此時，則，從而解得，又，且，得．從而；（2）由題意得，令，得到，因為，，所以，解得，從而；（3）根據圖象平移得，令，則或，由在[0,b]（）上至少有10個零點，易知，則，所以，又b為正整數，故最小正整數b為10．19.已知函數，．（1）若方程有4解，求a的取值范圍；（2）對恒成立，求a的取值范圍；（3）對，恒成立，求λ的取值范圍．解：（1）令，且函數最小值，則在上存在兩個不等的實數解，所以且，解得，即a的取值范圍是．（2）因為，設，且在是單調遞增，，即解得，滿足題設；，即，解得，滿足題設；若，則在上恒有，而，顯然不滿足題設；若，，解得，綜上所述，實數a的取值范圍是．（3）因為，在是單調遞增，所以，設，則，，不妨設，而，，當，，即時，取得等號，從而，所以，綜上所述，實數λ的取值范圍是.江蘇省淮安市2024-2025學年高一上學期期末調研測試數學試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若集合，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】或，所以．故選：D.2.已知冪函數的圖象經過點，則函數的圖象大致為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】設冪函數的解析式為：，因其圖象經過點，則得，解得，于是，則該函數的定義域為，關于原點對稱，因，故函數為偶函數，圖象關于y軸對稱.故選：B.3.已知α的終邊經過點，且，則＝（）A. B.C. D.2【答案】A【解析】因為α的終邊經過點，且，所以，再由，解得，由正切函數定義得：，故選：A.4.已知扇形OAB的周長為8cm，圓心角，則該扇形中弦長（）A.2cm B.4cmC.2sin1cm D.4sin1cm【答案】D【解析】設扇形的弧長為l，半徑為r，圓心角為α，由已知得，解得，則弦長（cm）．故選：D.5.如果是實數，那么“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】當時，不妨設，則.而當時，可能，此時，而.綜上所述“”是“”的充分不必要條件.6.已知關于x的一元二次方程的兩根為sinα，cosα，則m的值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】關于x的一元二次方程的兩根為，可得m，又由韋達定理可得所以解得即m．故選：C.7.已知函數，，若，則的最小值為（）A.9 B. C.3 D.【答案】B【解析】由題設，又，得，整理得，且，則，u所以，當且僅當，即時取等號，所以的最小值為．故選：B.8.已知函數，若關于x的方程至少有兩個不等的實根，則實數a的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因為，作出函數的圖象，如圖所示：關于x的方程至少有兩個不等的實根，即關于x的方程至少有兩個不同的交點，所以，當時，令，解得，當時，令，解得，所以，解得．故選：A.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.下列說法正確的有（）A.若，則B.若，則C.若，則D.若，則【答案】AC【解析】A中，因為，可得，所以，所以A正確；B中，若，也可以，所以不正確，所以B不正確；C中，，因為，，而，所以，即，所以C正確；D中，若，當時，則，則錯誤，所以D不正確．故選：AC.10.筒車是我國古代發明的一種水利灌溉工具，因其經濟又環保，至今還在農業生產中使用（圖1），明朝科學家徐光啟在《農政全書》中用圖畫描繪了筒車的工作原理（圖2）．若一半徑為2米的筒車水輪圓心O距離水面1米（圖3），已知水輪按逆時針轉動，每分鐘轉動4圈，當水輪上點P從水中浮現時（圖3中點）開始計時，點P距水面的高度可以用函數（）表示．下列結論正確的有（）A.點P所滿足的函數表達式為B.點P第一次到達最高點需用時5秒C.P再次接觸水面需用時10秒D.當點P運動2.5秒時，距水面的高度為1.5米【答案】BC【解析】函數中，所以，時，，解得，因為，所以，所以，A錯誤；令得，則，解得，所以x的最小值為5，即點P第一次到達最高點需用時5秒，B正確；由題意知，點P再次接觸水面需用時（秒），C正確；當時，，點P距水面的高度為2米，D錯誤．故選：BC.11.已知函數，下列說法正確的有（）A.函數為奇函數B.函數的周期為πC.函數在區間上為增函數D.當時，函數的圖象恒在直線的下方【答案】ACD【解析】對于A，函數的定義域為R，有，則為奇函數，故A正確；對于B，因，故π不是函數的周期，故B錯誤；對于C，因，當時，為增函數且，由復合函數的單調性知，也是增函數，故在上遞增，，又由為奇函數，則在區間上為增函數，故C正確；對于D，，當時，由函數與的圖象（如圖）可知：，因，則有恒成立，故，即函數的圖象恒在直線的下方，故D正確．故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12._______．【答案】【解析】故答案為：.13.已知定義在R上的奇函數關于對稱，當時，，則_________．【答案】【解析】因函數為奇函數，，函數關于x＝1對稱，則有，則有，變形可得，則有，即4是函數的一個周期，則，又由當時，，則，則.故答案為：.14.已知函數．若對，均有或，且使得成立，則實數a的取值范圍為_______．【答案】【解析】對，均有或，令，解得，故當時需要，易得二次函數的對稱軸為，故需確保且右邊根，,解得，，解得，綜上，①；再分析存在當時，，故存在，，故左邊根，解得②，綜合①②取交集，可得，故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知集合，．（1）當時，求；（2）若“”是“”的充分不必要條件，求實數a的取值范圍．解：（1）集合，當時，，所以.（2）由“”是“”的充分不必要條件，得集合B是A的真子集，而，則或，解得或，所以實數a的取值范圍是.16.已知第三象限角，且．（1）求的值；（2）求的值．解：（1）因為為第三象限角，且，所以，解得（正值舍去），所以；（2）17.已知函數的圖象過點.（1）求實數的值；（2）證明：函數為偶函數；（3）求關于的不等式的解集．（1）解：函數的圖象過點，所以，即，，則，則，所以；（2）證明：函數，故為偶函數；（3）解：不等式可化為，即，解得，所以，故不等式的解集為．18.如圖，函數的部分圖象與直線交于A，B兩點，點，在函數的圖象上，且的面積為．（1）求函數的解析式；（2）設在上的兩個零點為，求的值；（3）將函數的圖象向右平移個單位，再向上平移1個單位，得到函數的圖象，若在[0,b]（）上至少有10個零點，求最小正整數b．解：（1）因為，得到，所以的一條對稱軸為，此時，則，從而解得，又，且，得．從而；（2）由題意得，令，得到，因為，，所以，解得，從而；（3）根據圖象平移得，令，則