湖南省湖湘教育三新探索協作體2023-2024學年高二下學期期中聯考數學試題姓名：__________班級：__________考號：__________題號一二三四總分評分一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出得四個選項中，只有一項是符合題目要求得．1．已知集合A={x|x2?4≤0}A．{x|?2<x<?1} B．{x|?2≤x<3}C．{x|?2≤x≤2} D．{x|?1<x≤2}2．已知i為虛數單位，若2?aii+1為純虛數，則實數a=A．1 B．2 C．3 D．43．根據x與y之間的一組數據求得兩個變量之間的經驗回歸方程為y=1.5x+0.8A．2.6 B．2.3 C．1.8 D．1.54．已知a,b為正實數，且滿足a+2b=1，則A．42 B．4+22 C．85．P是圓C:(x+1)2+A．2 B．22 C．2+2 6．井字棋起源于古希臘，是一種在3×3格子上進行的連珠游戲，其玩法與五子棋類似．兩名玩家分別持不同棋子輪流在九個格子中落子，直到某位玩家的三顆棋子在同一條直線上后游戲結束，該玩家獲勝．小明與小紅進行井字棋游戲，小明執黑棋先下，小紅執白棋．若當棋盤上剛好下滿5個棋子時游戲結束，則棋盤上的棋子的分布情況共有幾種（）A．144 B．120 C．96 D．907．雙曲線C:x2a2?y2b2=1的左、右焦點分別為FA．2 B．7 C．3 D．28．已知P(t,t2)，過點P可作曲線f(x)=x?lnx的兩條切線，切點為(xA．(?1,0) B．[?1,0) C．二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯的得0分．9．已知數列{an}的前nA．等差數列{an}，若m+n=p+q，則B．等比數列{an}，若amC．若{an}D．若{an}10．已知f(x)=(A．a1+a2C．a0,a1,11．正方體ABCD?A1B1C1D1，棱長為2，點A．當λ+μ=1時，|AP|的最小值為6B．當D1P與面BCC1B1C．當λ=μ時，|CP|+|D1D．當λ=12時，過B三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．已知隨機變量X～N(2,σ2)，且P13．長期用嗓所致的慢性咽喉炎，一直是困擾教師們的職業病．據調查，某校大約有40%的教師患有慢性咽喉炎，而該校大約有40%的教師平均每天沒有超過兩節課，這些人當中只有10%的教師患有慢性咽喉炎．現從平均每天超過了兩節課的教師中任意調查一名教師，則他患有慢性咽喉炎的概率為．14．已知{an}是正項數列，其前n項的和為Sn，且滿足2Sn=an四、解答題：本題共5小題，共77分．解答過程應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15．如圖，已知BC為圓柱底面圓的直徑，A為下圓周上的動點，AD,（1）證明：平面BDE⊥平面ABD；（2）若點D到平面BCE的距離為3,AC=3AB，四棱錐B?ACDE的體積為16316．已知a=(2cosωx,f(x)?sin2ωx),b=(3（1）求函數f(x)的解析式與單調遞增區間；（2）在銳角△ABC中，內角A,B,C對邊分別是a,b,c,f(A)=3，點17．如圖，點P在圓x2+y2=9上運動且滿足DP⊥x軸，垂足為點D，點M在線段DP上，且|DM|（1）求曲線τ的方程；（2）已知A(?3,0),B(3,0)，過C(1,0)的動直線L交曲線τ于E,F兩點（點E在x軸上方）18．二項分布是離散型隨機變量重要的概率模型，在生活中被廣泛應用．現在我們來研究二項分布的簡單性質，若隨機變量X～B(n,（1）證明：（ⅰ）kCnk=nCn?1k?1（ⅱ）隨機變量X的數學期望E(X)=np；（2）一盒中有形狀大小相同的4個白球和3個黑球，每次從中摸出一個球且不放回，直到摸到黑球為止，記事件A表示第二次摸球時首次摸到黑球，若將上述試驗重復進行10次，記隨機變量Y表示事件A發生的次數，試探求E(Y)的值與隨機變量Y最有可能發生次數的大小關系．19．英國數學家泰勒發現的泰勒公式有如下特殊形式：當f(x)在x=0處的n(n∈N*)階導數都存在時，f(x)=f(0)+f'(0)x+f″(0)2!x2+f(3)(0)3!x3+?+f（1）利用泰勒公式求e0（2）設x∈(0,+∞)，證明：（3）證明：g'(1

答案解析部分1．【答案】D【解析】【解答】解：A={B={所以A∩B={x|?1<x≤2}．故答案為：D.【分析】分別求出A,2．【答案】B【解析】【解答】解：2?aii+1=(2?ai)(1?i)(i+1)(1?i)=故答案為·：B.【分析】由復數除法計算2?aii+13．【答案】A【解析】【解答】解：將x=1.2代入回歸直線方程y故答案為：A.【分析】直接根據回歸直線過樣本中心點即可求y.4．【答案】C【解析】【解答】解：2當且僅當ab=4b故答案為：C.【分析】利用“1”的妙用即可得解．5．【答案】D【解析】【解答】解：C:(x+1)2+(y+1由3y?kx?3+k=0，可得3(y?1所以圓心到直線的最大距離為|CA|=22，圓上的動點P到直線的最大距離為2故答案為：D.【分析】求出圓心和半徑，直線l恒過定點A(1,1)，圓心到直線的最大距離為6．【答案】B【解析】【解答】解：當棋盤中恰好有5顆棋子時游戲結束，則說明贏方的三顆棋子連成了一條直線，共有8種情況．（橫三種，縱三種，斜兩種），棋盤上剩余6個空格，其中兩個空格要放輸方的白棋，共有C6所以棋盤上的棋子的分布情況共有8×C故答案為：B.【分析】根據分步計數原理，確定贏方的棋子分布情況，再確定輸方的棋子分布情況即可.7．【答案】B【解析】【解答】解：如圖，|PF所以|QF1|=2a，又有|QF2|=2a+|QF1|=4a，

因為S△P由余弦定理知12=|P故答案為：B.【分析】由雙曲線的定義和三角形面積公式，可得|QF1|，|QF2|，8．【答案】A【解析】【解答】解：f'(x)=1?1x，設切點坐標為因為P(t,t2則方程t+1?t2=令g(x)=t易知t≤0時，g(x)單調遞增不合理，所以t>0．當t>0時，g'(t)=0，當x∈(0,t)時，g(x)單調遞減，x∈(t,要使t+1?t2=tx令h(t)=t2?t+lnt又因為h(1)=0，所以0<t<1易知x1又因為x1,x2為代入得x1x2故答案為：A.【分析】求導，設切點坐標，確定切線方程，參變分離得方程t+1?t2=tx+lnx有兩個不同解x1,x2，構造函數9．【答案】A,C【解析】【解答】解：A、這是等差數列下標和的性質，故A正確；B、當{aC、設d為公差，((所以SD、當an=(?1)故答案為：AC.【分析】根據等差數列和等比數列的性質逐項分析即可.10．【答案】B,C【解析】【解答】解：A、當x=1時，a0當x=0時，可得a0=1，故B、f(?1)=3除最后一項外，其余項都可以被5整除，故余數為1，故B正確；C、二項式系數an=C8nD、f'(x)=?16(故答案為：BC.【分析】賦值可求得a1+a2+?+a811．【答案】A,B,D【解析】【解答】解：A、如圖1所示，當λ+μ=1時，P點在CB1上運動，正|AP|的最小值為B1C邊上的高，故最小值為B、如圖2所示，當D1P與平面BCC1B故∠D1PC1為D故P的軌跡為CB1，長度為C、如圖3，當λ=μ時，P在線段BC1上運動，將平面AD1C如圖4，此時|CP|+|D1P|在三點共線時取最小值，P為D過點C作AD1的垂線，垂足為|CP|+|DD、如圖5，P點在正方形BCC1B1的邊將截面補充完整，截面為面BMD1NS=2S△BND1=|BD1當N在C或C1處時，N到BD1當N在CC1中點或B1故截面面積的范圍是[26故答案為：ABD.【分析】A、P在CB1上運動，最小值為B1C邊上的高，；B、易知D1C1⊥C1P，可得P的軌跡為CB1，求解即可；C、將平面AD1C112．【答案】0.4【解析】【解答】解：由隨機變量X~N(2,σP故答案為：0.4.【分析】由正態分布的性質計算即可.13．【答案】0.6【解析】【解答】解：設所求的概率為x，由全概率公式得，0.4=0.故答案為：0.【分析】利用全概率公式得0.14．【答案】[【解析】【解答】解：當n=1時，2S1當n≥2時，2S變形得Sn2=Sn?1所以Sn2=12①當n=k2,k為正整數時，②當n=(k+1)2?a當a=1時，(k+1)2?ak有最大值，此時t≥綜上所述，t的范圍為[3故答案為：[3【分析】當n≥2時，可得Sn2=Sn?115．【答案】（1）因為BC為直徑，所以AB⊥AC，因為AD,即AD⊥平面ABC，AC?平面ABC，所以AC⊥AD，又AB∩AD=A，AB,AD?平面所以AC⊥平面ABD，又AD//CE且AD=CE，所以ACED為平行四邊形，所以DE//AC，所以DE⊥平面ABD，而DE?平面BDE，所以平面BDE⊥平面ABD.（2）過點A作AF⊥BC，交BC于點F，因為AD//EC，AD?平面BCE，EC?平面BCE，所以AD//平面BCE，因為D點到平面BCE的距離為3，所以A點到平面BCE的距離為3，又CE⊥平面ABC，AF?平面ABC，所以CE⊥AF，BC∩EC=C，BC,EC?平面BCE，所以AF⊥平面所以A到BC的距離為3，即AF=3因為AC=3AB，所以在Rt△ABC中，tan∠ABC=ACAB在Rt△ABC中，AF=ABsin∠ABC=3，所以AB=2，則AC=2設圓柱的母線長為h，則四棱錐體積VB?ACDE=16在底面內以A為原點，AB,AC,則D(0,0,4)，C(0,則DE=(0設平面BDE的法向量為n1則n1?DE=0n設平面BCE的法向量為n2則n2?CE=0n因此cosn所以平面BDE與平面BCE夾角的余弦值為155【解析】【分析】（1）易得AB⊥AC，AC⊥AD，可得AC⊥平面ABD，因為DE//AC，所以DE⊥平面ABD，即可得面面垂直；（2）過點A作AF⊥BC，交BC于點F，即可得到AF=3，從而求出AB、AC16．【答案】（1）因為a⊥b，所以即23所以f(x)=3因為f(x)的周期為π,故ω=1，所以f(x)=2sin(2x+π由?π2故單調遞增區間為：[?5π（2）因為f(A)=3且A即f(A)=2sin(2A+π故A=π3或又因為三角形為銳角三角形，故A=π因為S△ABC=S所以12即3bc=2(b+c)由余弦定理可得cosA=b即b2代入3bc=2(b+c)可得(b+c解得b+c=33或?故△ABC的周長為a+b+c=3+33【解析】【分析】（1）由向量數量積運算以及三角恒等變換化簡f(（2）由f(A)=3結合（1）可求出A，利用角平分線得S△ABC=17．【答案】（1）設點M的坐標為(x,y)，點P(x則由題可得x=x0y=∵點P在圓x2+y即τ的軌跡方程為x（2）易知直線L的斜率不為0，設L方程為x=my+1，由x=my+1x29設E(x1,直線AE的方程y=y1x直線BF的方程y=y2x由此得，|OG||OH|又因為y1y2所以|OG||OH|所以存在實數λ=12，使得【解析】【分析】（1）設出點M坐標，由|DM||DP|=53寫出點（2）設直線L的方程為x=my+1并與曲線τ的方程聯立，化簡寫出根與系數的關系，計算出|OG||OH|18．【答案】（1）（ⅰ）因為kC且nC所以kC（ⅱ）因為X～B(n,p)，可得E=k=1令k?1=m，則E(（2）由題意可知：P(A)=4又因為隨機變量Y～B(10,27因為P(Y=k)=C假設Y=k時，其概率最大，則C10k×可知k=3，所以其數學期望小于最有可能發生的次數．【解析】【分析