專題04萬有引力定律及其應用

目錄

01模擬基礎練..................................................................2

題型一開普勒定律的綜合應用..................................................2

題型二萬有引力定律的綜合應用................................................5

題型三天體質量、密度的計算................................................13

題型四軌道行星、衛星運行參數的計算與比較..................................18

題型五衛星、近地衛星與赤道上物體的比較.....................................26

02重難創新練.................................................................27

題型六衛星變軌.............................................................27

題型七追及相遇問題........................................................30

題型八雙星及多星問題......................................................36

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題型一開普勒定律的綜合應用

1.（2024?山東?高考真題）“鵲橋二號”中繼星環繞月球運行，其24小時橢圓軌道的半長軸為心已知地球同

步衛星的軌道半徑為r,則月球與地球質量之比可表示為（）

r

a

【答案】D

【詳解】“鵲橋二號”中繼星在24小時橢圓軌道運行時，根據開普勒第三定律條=左，同理，對地球的同

尸3M月k

步衛星根據開普勒第三定律J=又開普勒常量與中心天體的質量成正比，所以工產=77,聯立可得

T'2M地k

故選D。

2.（2022?浙江?高考真題）“天問一號”從地球發射后，在如圖甲所示的尸點沿地火轉移軌道到。點，再依次

進入如圖乙所示的調相軌道和停泊軌道，則天問一號（）

A.發射速度介于7.9km/s與11.2km/s之間

B.從尸點轉移到。點的時間小于6個月

C.在環繞火星的停泊軌道運行的周期比在調相軌道上小

D.在地火轉移軌道運動時的速度均大于地球繞太陽的速度

【答案】C

【詳解】A.因發射的衛星要能變軌到繞太陽轉動，則發射速度要大于第二宇宙速度，即發射速度介于

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11.2km/s與16.7km/s之間，故A錯誤;

B.因尸點轉移到0點的轉移軌道的半長軸大于地球公轉軌道半徑，則其周期大于地球公轉周期（1年

共12個月），則從尸點轉移到0點的時間為軌道周期的一半時間應大于6個月，故B錯誤；

C.因在環繞火星的停泊軌道的半長軸小于調相軌道的半長軸，則由開普勒第三定律可知在環繞火星的

停泊軌道運行的周期比在調相軌道上小，故c正確；

D.衛星從。點變軌時，要加速增大速度，即在地火轉移軌道Q點的速度小于火星軌道的速度，而由

空”=機匕，可得y理，可知火星軌道速度小于地球軌道速度，因此可知衛星在Q點速度小于地

球軌道速度，故D錯誤；

故選C。

3.（2024?吉林長春?一模）（多選）衛星P、Q繞某行星運動的軌道均為橢圓，只考慮P、Q受到該行星的引

A.P、Q繞行星公轉的周期之比為1：2后

B.P、Q到行星中心距離的最小值之比為3:2

C.P、Q的質量之比為32:81

D.Q的軌道長軸與短軸之比為2:6

【答案】ACD

【詳解】A.由圖可知7；2f2=1:20,故A正確:

B.當P離行星最近時8b=G華，當p離行星最遠時2F=G贊，當Q離行星最近時9尸=G聆，

21

當Q離行星最遠時P=G警，由開普勒第三定律可知］當J=/一,聯立解得4,=2:3,故B

2I）

錯誤;

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G跖一

8尸d2

C.由B可知工三=一應1一，解得加1:加2=32:81,故C正確;

9F「Mm2

222

D.設衛星Q的軌跡半長軸為a,半短軸為b,焦距為c,則有。=空，c=a-lt,c=a-b,聯立

解得0:6=2:石，所以Q的軌道長軸與短軸之比為2:百，故D正確。

故選ACDo

4.（2024?河北邯鄲?一模）（多選）如圖為北半球二十四個節氣時地球在公轉軌道上的示意圖，其中冬至時

地球離太陽最近。僅考慮太陽對地球的引力，關于地球繞太陽公轉過程，下列說法正確的是（）

A.在冬至位置地球所受萬有引力最大

B.在立春位置，根據萬有引力定律可得G^=冽2

rr

C.地球自轉周期的平方與軌道半長軸三次方的比值是一個僅與太陽質量有關的常數

D.經過近日點、遠日點兩位置的瞬時速度大小之比約為1.03

【答案】AD

GMm

【詳解】A.根據萬有引力表達式尸=絲絲，由圖可知，在冬至位置地球離太陽最近，所受萬有引力

r

最大，故A正確；

B.由于地球繞太陽做橢圓運動，不是勻速圓周運動，所以在立春位置G牛2機巨，故B錯誤；

rr

C.根據開普勒第三定律可知，地球公轉周期的平方與軌道半長軸三次方的比值是一個僅與太陽質量有

關的常數，故C錯誤；

D.根據開普勒第二定律可知，經過近日點、遠日點兩位置的瞬時速度大小之比為—=—=監察-1.03,

v遠生14710

故D正確。

故選AD?

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題型二萬有引力定律的綜合應用

5.（2024?甘肅?高考真題）小杰想在離地表一定高度的天宮實驗室內，通過測量以下物理量得到天宮實驗室

軌道處的重力加速度，可行的是（）

A.用彈簧秤測出已知質量的祛碼所受的重力

B.測量單擺擺線長度、擺球半徑以及擺動周期

C.從高處釋放一個重物、測量其下落高度和時間

D.測量天宮實驗室繞地球做勻速圓周運動的周期和軌道半徑

【答案】D

【詳解】在天宮實驗室內，物體處于完全失重狀態，重力提供了物體繞地球勻速圓周運動的向心力，故

ABC中的實驗均無法得到天宮實驗室軌道處的重力加速度。由重力提供繞地球做勻速圓周運動的向心力

得mg=G^=mj,整理得軌道重力加速度為g=^r,故通過測量天宮實驗室繞地球做勻速圓

周運動的周期和軌道半徑可行，D正確。

故選D。

6.（2023?北京?高考真題）2022年10月9日，我國綜合性太陽探測衛星“夸父一號”成功發射，實現了對太

陽探測的跨越式突破。“夸父一號”衛星繞地球做勻速圓周運動，距地面高度約為720km,運行一圈所用時

間約為100分鐘。如圖所示，為了隨時跟蹤和觀測太陽的活動，“夸父一號”在隨地球繞太陽公轉的過程中，

需要其軌道平面始終與太陽保持固定的取向，使太陽光能照射到“夸父一號”，下列說法正確的是（）

A.“夸父一號”的運行軌道平面平均每天轉動的角度約為1。

B.“夸父一號”繞地球做圓周運動的速度大于7.9km/s

C.“夸父一號”繞地球做圓周運動的向心加速度大于地球表面的重力加速度

D.由題干信息，根據開普勒第三定律，可求出日地間平均距離

【答案】A

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【詳解】A.因為“夸父一號”軌道要始終保持要太陽光照射到，則在一年之內轉動360。角，即軌道平面

平均每天約轉動1。，故A正確；

B.第一宇宙速度是所有繞地球做圓周運動的衛星的最大環繞速度，則“夸父一號”的速度小于7.9km/s,

故B錯誤；

C.根據=可知“夸父一號”繞地球做圓周運動的向心加速度小于地球表面的重力加速度，故

C錯誤；

D.“夸父一號，，繞地球轉動，地球繞太陽轉動，中心天體不同，則根據題中信息不能求解地球與太陽的

距離，故D錯誤。

故選Ao

7.（2024?浙江?高考真題）如圖所示，2023年12月9日“朱雀二號”運載火箭順利將“鴻鵠衛星”等三顆衛星

送入距離地面約500km的軌道。取地球質量6.0x1024kg,地球半徑6,4乂101111,引力常量

6.67xlO-llN-m2/kg2?下列說法正確的是（）

A.火箭的推力是空氣施加的B.衛星的向心加速度大小約8.4m/s2

C.衛星運行的周期約12hD.發射升空初始階段，裝在火箭上部的衛星處于失重狀態

【答案】B

【詳解】A.根據反沖現象的原理可知，火箭向后噴射燃氣的同時，燃氣會給火箭施加反作用力，即推

力，故A錯誤；

B.根據萬有引力定律可知衛星的向心加速度大小為=,故B正確；

C.衛星運行的周期為7=2%史士互引.6h，故C錯誤；

VGM

D.發射升空初始階段，火箭加速度方向向上，裝在火箭上部的衛星處于超重狀態，故D錯誤。

故選Bo

8.（2024?寧夏四川?高考真題）2024年5月，嫦娥六號探測器發射成功，開啟了人類首次從月球背面采樣

返回之旅。將采得的樣品帶回地球，飛行器需經過月面起飛、環月飛行、月地轉移等過程。月球表面自由

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落體加速度約為地球表面自由落體加速度的J。下列說法正確的是（）

A.在環月飛行時，樣品所受合力為零

B.若將樣品放置在月球正面，它對月球表面壓力等于零

C.樣品在不同過程中受到的引力不同，所以質量也不同

D.樣品放置在月球背面時對月球的壓力，比放置在地球表面時對地球的壓力小

【答案】D

【詳解】A.在環月飛行時，樣品所受合力提供所需的向心力，不為零，故A錯誤；

BD.若將樣品放置在月球正面，它對月球表面壓力大小等于它在月球表面的重力大小；由于月球表面自

由落體加速度約為地球表面自由落體加速度的），則樣品在地球表面的重力大于在月球表面的重力，所

以樣品放置在月球背面時對月球的壓力，比放置在地球表面時對地球的壓力小，故B錯誤，D正確；

C.樣品在不同過程中受到的引力不同，但樣品的質量相同，故C錯誤。

故選D。

9.（2023?全國?高考真題）2023年5月，世界現役運輸能力最大的貨運飛船天舟六號，攜帶約5800kg的物

資進入距離地面約400km（小于地球同步衛星與地面的距離）的軌道，順利對接中國空間站后近似做勻速

圓周運動。對接后，這批物資（）

A.質量比靜止在地面上時小B.所受合力比靜止在地面上時小

C.所受地球引力比靜止在地面上時大D.做圓周運動的角速度大小比地球自轉角速度大

【答案】D

【詳解】A.物體在低速（速度遠小于光速）宏觀條件下質量保持不變，即在空間站和地面質量相同，

故A錯誤；

BC.設空間站離地面的高度為兒這批物資在地面上靜止，跟地球一起自轉，合力很小近似為零，在空

?GMmGMm

間站所受合力為萬有引力即廠=右行，在地面受地球引力為耳=歲，因此有耳〉尸，故BC錯誤;

D.物體繞地球做勻速圓周運動萬有引力提供向心力華”=加療廠，解得。這批物質在空間站

內的軌道半徑小于同步衛星的軌道半徑，因此這批物質的角速度大于同步衛星的角速度，同步衛星的角

速度等于地球自轉的角速度，即這批物質的角速度大于地球自轉的角速度，故D正確。

故選D。

10.（2022?福建?高考真題）2021年美國“星鏈”衛星曾近距離接近我國運行在距地390km近圓軌道上的天宮

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空間站。為避免發生危險，天宮空間站實施了發動機點火變軌的緊急避碰措施。已知質量為優的物體從距

A/fvn

地心，處運動到無窮遠處克服地球引力所做的功為G也，式中M為地球質量，G為引力常量；現將空間

r

站的質量記為既，變軌前后穩定運行的軌道半徑分別記為外、馬，如圖所示。空間站緊急避碰過程發動機

做的功至少為（）

C.-GMmA--^-\D.---

25r2）Mr2）

【答案】A

【詳解】空間站緊急避碰的過程可簡化為加速、變軌、再加速的三個階段；空間站從軌道4變軌到馬過

程，根據動能定理有沙+%|力=4或，依題意可得引力做功％0=G”國，萬有引力提供在圓

r2\

形軌道上做勻速圓周運動的向心力，由牛頓第二定律有G絲9=%匕，求得空間站在軌道上運動的動能

rr

為EG?,動能的變化A^k=G3&-G半1,解得少=誓①［工-_1］。

2r2“242"r2J

故選Ao

11.（2022?山東?高考真題）“羲和號”是我國首顆太陽探測科學技術試驗衛星。如圖所示，該衛星圍繞地球

的運動視為勻速圓周運動，軌道平面與赤道平面接近垂直。衛星每天在相同時刻，沿相同方向經過地球表

面/點正上方，恰好繞地球運行〃圈。已知地球半徑為地軸R,自轉周期為7,地球表面重力加速度為g,

則“羲和號”衛星軌道距地面高度為（）

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地軸;

【答案】c

【詳解】地球表面的重力加速度為g,根據牛頓第二定律得竿=mg,解得GM=gR2,根據題意可知,

衛星的運行周期為廠=人T，根據牛頓第二定律，萬有引力提供衛星運動的向心力，則有

n

GMm=機器（R+力），聯立解得=j史二—R

(R+h)2TV4/病

故選C。

12.（2024?廣東?高考真題）（多選）如圖所示，探測器及其保護背罩通過彈性輕繩連接降落傘。在接近某行

星表面時以60m/s的速度豎直勻速下落。此時啟動“背罩分離”，探測器與背罩斷開連接，背罩與降落傘保持

連接。已知探測器質量為1000kg,背罩質量為50kg,該行星的質量和半徑分別為地球的々和;。地球表面

重力加速度大小取g=10m/s2。忽略大氣對探測器和背罩的阻力。下列說法正確的有（）

A.該行星表面的重力加速度大小為4m/s2

B.該行星的第一宇宙速度為7.9km/s

C.“背罩分離”后瞬間，背罩的加速度大小為80m/s2

D.“背罩分離”后瞬間，探測器所受重力對其做功的功率為30kW

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【答案】AC

【詳解】A.在星球表面，根據6察=加g,可得g=暮，行星的質量和半徑分別為地球的］和;。

RR1。，

地球表面重力加速度大小取g=10m/s2,可得該行星表面的重力加速度大小g'=4m/s2,故A正確；

B.在星球表面上空，根據萬有引力提供向心力G”;=加匕，可得星球的第一宇宙速度V、理，行

R2RVR

星的質量和半徑分別為地球的［和女，可得該行星的第一宇宙速度稀=gv地，地球的第一宇宙速度為

7.9km/s,所以該行星的第一宇宙速度唏=（x7.9km/s，故B錯誤；

C.“背罩分離”前，探測器及其保護背罩和降落傘整體做勻速直線運動，對探測器受力分析，可知探測器

與保護背罩之間的作用力尸=%g'=4000N,“背罩分離”后，背罩所受的合力大小為4000N,對背罩，根

據牛頓第二定律萬="。，解得a=80m/s2,故C正確；

D.“背罩分離”后瞬間探測器所受重力對其做功的功率P=Mg'v=1000x4x60W=240kW,故D錯誤。

故選ACo

13.（2024?河北?高考真題）（多選）2024年3月20日，鵲橋二號中繼星成功發射升空，為嫦娥六號在月球

背面的探月任務提供地月間中繼通訊。鵲橋二號采用周期為24h的環月橢圓凍結軌道（如圖），近月點/距

月心約為2.0xKPkm,遠月點3距月心約為1.8x104km,CD為橢圓軌道的短軸，下列說法正確的是（）

A.鵲橋二號從C經8到。的運動時間為12h

B.鵲橋二號在4、8兩點的加速度大小之比約為81：1

C.鵲橋二號在C、。兩點的速度方向垂直于其與月心的連線

D.鵲橋二號在地球表面附近的發射速度大于7.9km/s且小于11.2km/s

【答案】BD

【詳解】A.鵲橋二號圍繞月球做橢圓運動，根據開普勒第二定律可知，從/一C-8做減速運動，從

8一。一/做加速運動，則從C—的運動時間大于半個周期，即大于12h,故A錯誤；

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MmMm

B.鵲橋二號在N點根據牛頓第二定律有G］「=機％,同理在2點有6：二=冽4,帶入題中數據聯立

解得a/：aS=81：1,故B正確；

C.由于鵲橋二號做曲線運動，則可知鵲橋二號速度方向應為軌跡的切線方向，則可知鵲橋二號在C、。

兩點的速度方向不可能垂直于其與月心的連線，故C錯誤；

D.由于鵲橋二號環繞月球運動，而月球為地球的“衛星”，則鵲橋二號未脫離地球的束縛，故鵲橋二號

的發射速度應大于地球的第一宇宙速度7.9km/s,小于地球的第二宇宙速度11.2km/s,故D正確。

故選BDo

14.（2024?湖南?高考真題）（多選）2024年5月3日，“嫦娥六號”探測器順利進入地月轉移軌道，正式開啟

月球之旅。相較于“嫦娥四號”和“嫦娥五號”，本次的主要任務是登陸月球背面進行月壤采集并通過升空器將

月壤轉移至繞月運行的返回艙，返回艙再通過返回軌道返回地球。設返回艙繞月運行的軌道為圓軌道，半

徑近似為月球半徑。已知月球表面重力加速度約為地球表面的）月球半徑約為地球半徑的關于返回艙

64

在該繞月軌道上的運動，下列說法正確的是（）

A.其相對于月球的速度大于地球第一宇宙速度

B.其相對于月球的速度小于地球第一宇宙速度

c.其繞月飛行周期約為地球上近地圓軌道衛星周期的《倍

D.其繞月飛行周期約為地球上近地圓軌道衛星周期的祗倍

【答案】BD

【詳解】AB.返回艙在該繞月軌道上運動時萬有引力提供向心力，且返回艙繞月運行的軌道為圓軌道，

半徑近似為月球半徑，則有G—=加上，其中在月球表面萬有引力和重力的關系有G—=mg月，

聯立解得蚱=廊由于第一宇宙速度為近地衛星的環繞速度，同理可得丫地=瓦瓦，代入題中數據

可得丫月=告丑地，故A錯誤、B正確；

CD.根據線速度和周期的關系有T=根據以上分析可得為=卷工也，故C錯誤、D正確；

故選BDo

15.（2023?北京?高考真題）螺旋星系中有大量的恒星和星際物質，主要分布在半徑為R的球體內，球體外

僅有極少的恒星。球體內物質總質量為M,可認為均勻分布，球體內外的所有恒星都繞星系中心做勻速圓

周運動，恒星到星系中心的距離為r,引力常量為G。

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（1）求r＞火區域的恒星做勻速圓周運動的速度大小v與r的關系;

（2）根據電荷均勻分布的球殼內試探電荷所受庫侖力的合力為零，利用庫侖力與萬有引力的表達式的相似

性和相關力學知識，求YR區域的恒星做勻速圓周運動的速度大小v與r的關系;

（3）科學家根據實測數據，得到此螺旋星系中不同位置的恒星做勻速圓周運動的速度大小v隨r的變化關

系圖像，如圖所示，根據在r＞7?范圍內的恒星速度大小幾乎不變，科學家預言螺旋星系周圍（廠＞火）存在

一種特殊物質，稱之為暗物質。暗物質與通常的物質有引力相互作用，并遵循萬有引力定律，求廠=7山內

暗物質的質量=

【答案】（1）(3)

【詳解】（1）由萬有引力定律和向心力公式有G與=機匚

rr

解得v=

7W4_Mr3

(2)在rWR內部，星體質量"。=4a/3=不

—71K

3

由萬有引力定律和向心力公式有

rr

解得』愕

（3）對處于R球體邊緣的恒星，由萬有引力定律和向心力公式有G^=%且

R2R

對處于尸力R處的恒星，由萬有引力定律和向心力公式有G=△

(的2nR

解得

16.（2022?北京?高考真題）利用物理模型對問題進行分析，是重要的科學思維方法。

（1）某質量為機的行星繞太陽運動的軌跡為橢圓，在近日點速度為V/,在遠日點速度為V2。求從近日點到

遠日點過程中太陽對行星所做的功名

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尸3

（2）設行星與恒星的距離為心請根據開普勒第三定律（［=左）及向心力相關知識，證明恒星對行星的

作用力/與廠的平方成反比；

（3）宇宙中某恒星質量是太陽質量的2倍，單位時間內向外輻射的能量是太陽的16倍。設想地球“流浪”

后繞此恒星公轉，且在新公轉軌道上的溫度與“流浪”前一樣。地球繞太陽公轉的周期為刀，繞此恒星公轉

的周期為不，求土

【答案】（1）少二〃心（叫；（2）見解析；⑶看=4及

【詳解】11）根據動能定理有少=冽V；

（2）設行星繞恒星做勻速圓周運動，行星的質量為機，運動半徑為r,運動速度大小為丫。恒星對行星

的作用力尸提供向心力，則尸=加匕

r

運動周期7=里

V

根據開普勒第三定律==左，斤為常量，得尸=它也

T2r2

即恒星對行星的作用力尸與r的平方成反比。

（3）假定恒星的能量輻射各向均勻，地球繞恒星做半徑為r的圓周運動，恒星單位時間內向外輻射的能

量為尸.。以恒星為球心，以/"為半徑的球面上，單位面積單位時間接受到的輻射能量尸=旦

44

設地球繞太陽公轉半徑為〃在新軌道上公轉半徑為廠2。地球在新公轉軌道上的溫度與“流浪”前一樣，必

須滿足P不變，由于恒星單位時間內向外輻射的能量是太陽的16倍，得『2=4〃

設恒星質量為地球在軌道上運行周期為7,萬有引力提供向心力，有曾=機廠匯

r2T2

解得7=gZ

VGM

由于恒星質量是太陽質量的2倍，得B=

題型三天體質量、密度的計算

17.（2024?新疆河南?高考真題）天文學家發現，在太陽系外的一顆紅矮星有兩顆行星繞其運行，其中行星

GJ1002c的軌道近似為圓，軌道半徑約為日地距離的0.07倍，周期約為0.06年，則這顆紅矮星的質量約為

太陽質量的（)

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A.0.001倍B.0.1倍C.10倍D.1000倍

【答案】B

【詳解】設紅矮星質量為跖，行星質量為//,半徑為門，周期為乃；太陽的質量為跖，地球質量為

m：,到太陽距離為2周期為八；根據萬有引力定律有6—/，=色亳-八，G一亍2=嗎f-弓，聯立

可得4"=（口］（馬］,由于軌道半徑約為日地距離的0.07倍，周期約為0.06年，可得粵*0」

故選B。

18.（2024?遼寧?高考真題）如圖（a）,將一彈簧振子豎直懸掛，以小球的平衡位置為坐標原點。，豎直向

上為正方向建立x軸。若將小球從彈簧原長處由靜止釋放，其在地球與某球狀天體表面做簡諧運動的圖像

如（b）所示（不考慮自轉影響）,設地球、該天體的平均密度分別為8和夕2,地球半徑是該天體半徑的幾

倍。包的值為（）

P1

圖（a）圖（b）

21

A.2〃B.—nC.—D.—

2〃2刀

【答案】C

【詳解】設地球表面的重力加速度為g,某球體天體表面的重力加速度為g',彈簧的勁度系數為h根

9k4kAcr

據簡諧運動的對稱性有人44-“陪=〃陪，k-2A-mg'=mg',可得g=也，g，="，可得菖=2,設某

mmg

3

球體天體的半徑為R,在星球表面，有人3%（〃.）加=加P2-^R-m聯立可得4=2

（成/8G—我一小處〃

故選Co

19.（2023?遼寧?高考真題）在地球上觀察，月球和太陽的角直徑（直徑對應的張角）近似相等，如圖所示。

若月球繞地球運動的周期為北，地球繞太陽運動的周期為地球半徑是月球半徑的左倍，則地球與太陽

的平均密度之比約為（）

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A?唱2

【答案】D

【詳解】設月球繞地球運動的軌道半徑為九，地球繞太陽運動的軌道半徑為m根據G^=加芳，

m

可得心嚶…斗小牛…率/其中會宗=今,夕=4—，聯立可得維=4

3

rrl—7rR

\22G八日從八日3Pak

故選D。

20.（2022?重慶?高考真題）（多選）我國載人航天事業已邁入“空間站時代”。若中國空間站繞地球近似做勻

速圓周運動，運行周期為T,軌道半徑約為地球半徑的J17倍，已知地球半徑為對引力常量為G,忽略地

16

球自轉的影響，則（）

A.漂浮在空間站中的宇航員不受地球的引力

B.空間站繞地球運動的線速度大小約為粵■

C.地球的平均密度約為

D.空間站繞地球運動的向心加速度大小約為地面重力加速度的倍

【答案】BD

【詳解】A.漂浮在空間站中的宇航員依然受地球的引力，所受引力提供向心力做勻速圓周運動而處于

完全失重，視重為零，故A錯誤;

B.根據勻速圓周運動的規律，可知空間站繞地球運動的線速度大小約為_2"詁氏兀R,故B正確;

V——

T87

C.設空間站的質量為"?，其所受萬有引力提供向心力，有,則地球的平均密

度約為0=盤=（1）3券，故C錯誤;

丁

15/38

「MmGM

G—r=------=ma,則空間站繞地球運動的向心加速度大小為“

D.根據萬有引力提供向心力，有(UR)2(即,

16

地表的重力加速度為g=零'可得W即空間站繞地球運動的向心加速度大小約為地面重力加

速度的倍，故D正確。

故選BD。

21.（2024?北京?高考真題）科學家根據天文觀測提出宇宙膨脹模型：在宇宙大尺度上，所有的宇宙物質（星

體等）在做彼此遠離運動，且質量始終均勻分布，在宇宙中所有位置觀測的結果都一樣。以某一點。為觀

測點，以質量為m的小星體（記為P）為觀測對象。當前尸到。點的距離為為,宇宙的密度為熱。

（1）求小星體P遠離到2ro處時宇宙的密度"；

（2）以。點為球心，以小星體P到。點的距離為半徑建立球面。P受到的萬有引力相當于球內質量集中于

。點對尸的引力。已知質量為町和%、距離為夫的兩個質點間的引力勢能耳=-G華，G為引力常量。

僅考慮萬有引力和P遠離。點的徑向運動。

a.求小星體P從力處遠離到%。處的過程中動能的變化量世；

b.宇宙中各星體遠離觀測點的速率v滿足哈勃定律v=小，其中，為星體到觀測點的距離，X為哈勃系數。

“與時間t有關但與r無關，分析說明〃隨/增大還是減小。

12

【答案】（1）〃=石00；⑵a.A￡k=--Gnpomij；b.〃隨/增大而減小

83

【詳解】（1）在宇宙中所有位置觀測的結果都一樣，則小星體P運動前后距離。點半徑為4和4的球

44

內質量相同，即兀嬉=金§兀（2%）

解得小星體P遠離到24處時宇宙的密度p=

8

（2）a.此球內的質量M=兀葉

P從%處遠離到九處，由能量守恒定律得，動能的變化量A^=-G"絲/一半

b.由a知星體的速度隨為增大而減小，星體到觀測點距離越大，運動時間/越長，由"=可?知，H減

小，故”隨，增大而減小。

22.（2024?河南新鄉?一模）隨著中國航天科技的飛躍發展，中國宇航員將登上月球。假設宇航員登月后，

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在月面做了一個自由落體運動的實驗，將一小球由靜止釋放，經過一小段時間:，小球的速度大小為V。，己

知月球的第一宇宙速度大小為"V0,引力常量為G,一探測器在離月面的高度為月球半徑3倍的軌道上繞月

4

球做勻速圓周運動，下列說法正確的是（）

A.月面的重力加速度大小為空

t

B.探測器的線速度大小為普

C.月球的半徑為2"2卬

D.月球的密度為，二22

3兀G/t1

【答案】B

【詳解】A.小球由靜止釋放，經過一小段時間3小球的速度大小為V。，則有%=g〃，解得g0=子，

故A錯誤；

C.月球的第一宇宙速度大小為網°,則有G^=加包/，G^=mg0,結合上述解得尺=〃2%小故

R2RR

c錯誤；

B.探測器在離月面的高度為月球半徑。倍的軌道上繞月球做勻速圓周運動，則有

4

Mmv2

"五；一號,解得昨牛，故B正確；

=M

D.月球的密度°一彳/；，結合上述解得。=獲言/，故D錯誤。

故選B。

23.（2024?遼寧沈陽?三模）2024年我國將加速穩步推進載人登月，未來中國航天員將登上月球。試想航天

員用同一裝置對同一單擺分別在地球和月球上做受迫振動實驗，得到如圖所示的共振曲線，共振頻率為

工、力。將月球視為密度均勻、半徑為『的球體，引力常量為G,地球表面的重力加速度為g,不考慮星球

自轉的影響。下列說法正確的是（）

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A.該單擺在月球上的共振頻率為力B.月球表面的重力加速度8月=￡8

71

C.月球的密度外=浮"D.月球的質量州月=名羞

4兀G%Gf、

【答案】C

【詳解】AB.根據單擺周期公式可得T=2否曰，可得了=,=_1國，由于月球的重力加速度小于地

\gT2TT\L

球的重力加速度，所以該單擺在月球上的共振頻率為力；設月球表面的重力加速度為g月，則有

士杵'可得月球表面的重力加速度為5=fg'故AB錯誤；

Cr][/f111f2y2gA

CD.物體在月球表面上，有一Jmg月,解得月球質量為〃月/，根據M月二p月可得

r0/23

3M2

月球的密度為「月=冷上，故D錯誤，C正確。

4兀G%

故選Co

題型四軌道行星、衛星運行參數的計算與比較

24.（2024?江西?高考真題）兩個質量相同的衛星繞月球做勻速圓周運動，半徑分別為小%,則動能和周期

的比值為（）

【答案】A

【詳解】兩個質量相同的衛星繞月球做勻速圓周運動，則月球對衛星的萬有引力提供向心力，設月球的

Mm4冗2

質量為衛星的質量為加，則半徑為〃的衛星有G--=加-L=加三-斗，半徑為尸2的衛星有

G^-=m^=m^r2,再根據動能線=:加商，可得兩衛星動能和周期的比值分別為各=支，

丫2丫2A22k26

故選Ao

25.（2022?湖北?高考真題）2022年5月，我國成功完成了天舟四號貨運飛船與空間站的對接，形成的組合

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體在地球引力作用下繞地球做圓周運動，周期約90分鐘。下列說法正確的是（）

A.組合體中的貨物處于超重狀態

B.組合體的速度大小略大于第一宇宙速度

C.組合體的角速度大小比地球同步衛星的大

D.組合體的加速度大小比地球同步衛星的小

【答案】C

【詳解】A.組合體在天上只受萬有引力的作用，則組合體中的貨物處于失重狀態，A錯誤；

B.由題知組合體在地球引力作用下繞地球做圓周運動，而第一宇宙速度為最大的環繞速度，則組合體

的速度大小不可能大于第一宇宙速度，B錯誤；

C.已知同步衛星的周期為24h,則根據角速度和周期的關系有。=干，由于T?>7”第，則組合體的

角速度大小比地球同步衛星的大，C正確；

D.由題知組合體在地球引力作用下繞地球做圓周運動，有=加號r,整理有7=2萬J/、，由于

r1T2VGM

Mm

T同）T組杳體，貝！Jr屁〉廠空冷體，且同步衛星和組合體在天上有利?=G-，則有。同<a”6.D錯誤。

r

故選Co

26.（2022?廣東?高考真題）“祝融號”火星車需要“休眠”以度過火星寒冷的冬季。假設火星和地球的冬季是

各自公轉周期的四分之一，且火星的冬季時長約為地球的1.88倍。火星和地球繞太陽的公轉均可視為勻速

圓周運動。下列關于火星、地球公轉的說法正確的是（）

A.火星公轉的線速度比地球的大B.火星公轉的角速度比地球的大

C.火星公轉的半徑比地球的小D.火星公轉的加速度比地球的小

【答案】D

【詳解】由題意可知，火星的公轉周期大于地球的公轉周期

C.根據G^=加號/可得7=2右衛，可知火星的公轉半徑大于地球的公轉半徑，故C錯誤；

r2T2VGM

A.根據G”=皿匚可得丫=、理，結合C選項，可知火星的公轉線速度小于地球的公轉線速度，故

rrVr

A錯誤；

B.根據。=牛可知火星公轉的角速度小于地球公轉的角速度，故B錯誤；

MmGM

D.根據6丁=加。可得可知火星公轉的加速度小于地球公轉的加速度，故D正確。

rr

故選D。