第01講導數的概念及其意義

T模塊導航—T素養目標—

模塊一思維導圖串知識1.通過對實例的分析，經歷由平均變化率過渡到瞬

模塊二基礎知識全梳理（吃透教材）時變化率的過程，了解導數概念的實際背景.

模塊三核心考點舉一反三2理解函數的平均變化率、瞬時變化率，會求函數

模塊四小試牛刀過關測在某一點附近的平均變化率.

3.理解導數的概念，會利用導數的定義求函數在某

點處的導數.

4.理解導數的幾何意義，會求曲線上某點處的切線

方程.

模塊一思維導圖串知識

在曲線一點和過一點的切線方程

6模塊二基礎知識全梳理-----------------------------

一、物體的平均速度與瞬時速度

1、平均速度

設物體的運動規律是s=s⑺，則物體在t0到t0+M這段時間內的平均速度為—=~/~皿

2、瞬時速度

（1）物體在某一時刻的速度稱為瞬時速度；

AcAv

（2）一般地，當無限趨近于0時，絲無限趨近于某一個常數"，我們就說當趨近于。時，竺的極

A?A?

限就是v,這時v就是物體在/="時的瞬時速度，

即瞬時速度v=lim—=hm-----------——

"->0NAI°Ar

二、拋物線切線的斜率

1、拋物線割線的斜率

設二次函數y=/（x）,則拋物線上過點尸°（x°J（x。））、尸0。+—,/（工。+&））的割線的斜率為

Ay=/（沏+A%）—/（尤o）

AxAx*

2、拋物線切線的斜率

一般地，在二次函數y=/（x）中，當Ax無限趨近于。時，孚無限趨近于某個常數％,我們就說當Ax趨

近于。時，卓的極限是左，這時發就是拋物線在點尸。（x°,/（x。））處切線的斜率，即切線的斜率

上由笑=lim小。+乎—。）.

Ax->0AxAx->0Ax

三、平均變化率

函數y=/（x）從到x2的平均變化率

1、定義式：包=/但）-卬

Axx2-xr

2、實質：函數值的改變量與自變量的改變量之比.

3、意義：刻畫函數值在區間［玉,％］上變化的快慢.

4、平均變化率的幾何意義：

設小西,/（X1）），B（X2"（%））是曲線y=/（x）上任意不同的兩點，

函數y=/（尤）的平均變化率包=/（々）-/（石）=/（＞+&）-1區）為割線AB的斜率，如圖.

△%九2一七Ax

5、求平均變化率的步驟：

第一步：先計算函數值的改變量Ay=/（%）—/（%）；

第二步：再計算自變量的改變量Ax=%-不，

第三步：求平均變化率包=/（々）/（為）；

Ax-x

四、函數y=，(x)在x=xo處的瞬時變化率

1、定義:函數/(X)在X=X。處瞬時變化率是lim包=lim，我們稱它為函數y=/(x)

-)Ax-Ax

在X=X0處的導數，記作/'(%)或y'L即/'(Xo)=lim包=lim"±A正生J

°以.oAx醺?0△%

2、定義法求導數步驟：

①求函數的增量：Ay=f(x0+Ax)-f(x0)；

②求平均變化率：包=/(/+■)——不).

AxAx

x

③求極限，得導數：f\x0)=lim=lim/(o+Ax)-/(xo)

以.。Ax以-°Ax

3、導數的幾何意義

如圖，在曲線y=/(%)上任取一點尸(蒼/(幻)P(x"(x))，如果當點P(x,/(x))沿著曲線y=/(x)無限趨

近于點/(X。))時，割線P0P無限趨近于一個確定的位置，這個確定位置的直線P0T稱為曲線y=/(x)

,y(x)-/(x0)

在點Po處的切線.則割線P°P的斜率k=八°，

【注意】

函數y=/(x)在X。處的導數，是曲線y=/(x)在點(m7(X0))處的切線的斜率.

曲線的切線并不一定與曲線只有一個交點，可以有多個，甚至可以無窮多.

與曲線只有一個公共點的直線也不一定是曲線的切線.

五、求曲線“在”與“過”某點的切線

1、求曲線“在”某點處的切線方程步驟

第一步(求斜率)：求出曲線在點(%,/(七))處切線的斜率((X。)

第二步(寫方程)：用點斜式y—/(%)=/(％)(%—5)

第三步(變形式)：將點斜式變成一般式。

2、求曲線“過”某點處的切線方程步驟

第一步：設切點為Q(九0,/(%))；

第二步：求出函數y=/(x)在點/處的導數/'(5)；

第三步：利用。在曲線上和/'(%)=即°，解出/及/'(%)；

第四步：根據直線的點斜式方程，得切線方程為y-/(xo)=/'(xo)(x-%).

O>模塊三核心考點舉一反三------------------------------

【考點一：平均、瞬時變化率】

一、單選題

1.(23-24高二下?陜西渭南?期中)某質點沿直線運動，其位移>(單位：m)與時間f(單位：s)之間的

關系為y?)=產+2乙則該質點在1VY3這段時間內的平均速度為()

A.6m/sB.7m/sC.8m/sD.9m/s

【答案】A

【分析】根據平均速度的計算方法，列式計算，即可得答案.

【詳解】由題意知位移y(單位：m)與時間f(單位：s)之間的關系為y?)=r+2f,

則該質點在IVY3這段時間內的平均速度為電⑴=32+2x3-1-2=6(m/s).

At3-12

故選：A

2.(24-25高二下?全國?課后作業)汽車行駛的路程s和時間/之間的函數圖象如圖所示，在時間段[%,切，

[A],囚，口上的平均速度分別為斗，弓，弓,則三者的大小關系為()

A.B.V3>V2>VXC.D.

【答案】B

【分析】根據題意，由平均速度的定義可得汽車在時間段上的平均速度即為該段直線的斜率，結合圖像即

可得出答案.

【詳解】設直線O'A，AB,BC的斜率分別為后么，kAB,kBC,

由題中圖象知心c>心B>壇4，即

故選：B.

3.（22-23高二下?全國?課后作業）質點M按規律s=2F+3"故直線運動（位移單位：m,時間單位：s）,

則質點M在f=2s時的瞬時速度是（）

A.2m/sB.6m/s

C.4m/sD.11m/s

【答案】D

【分析】本題首先分析題意，運用物理知識，進行數學結合.

【詳解】質點M在t=2s時位移的平均變化率為3=（（），At,

22+一。+32+/-2x2-3><2=11+2

14t

當At無限趨近于0時，式無限趨近于11m/s.

J

故選：D.

4.（23-24高二下.江西萍鄉?期中）已知甲、乙兩個小區在［0月這段時間內的家庭廚余垃圾的分出量。與時

間/的關系如圖所示.給出下列四個結論，其中正確結論的個數為（）

①在［（由］這段時間內，甲小區比乙小區的分出量增長得慢；

②在［t2,可這段時間內，乙小區比甲小區的分出量增長得快；

③在時刻，甲小區的分出量比乙小區的分出量增長得慢；

④乙小區在L時刻的分出量比與時刻的分出量增長得快.

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【分析】根據圖象的性質，結合圖象的變化快慢，即可判斷選項.

【詳解】①在［冉］這段時間內，甲小區比乙小區的分出量增長得慢，故①正確;

②在也，目這段時間內，乙小區比甲小區的分出量增長得快，故②正確；

③在L時刻，乙的圖象比甲的圖象陡，所以乙的瞬時增長快，故③正確;

④乙小區在％時刻比在％時刻陡，所以在芍時刻的分出量比才3時刻的分出量增長得快，故④正確.

故選：D

5.（23-24高二下.安徽合肥.期末）若質點A運動的位移S（單位：m）與時間f（單位：s）之間的函數關

2

系是S⑺=--（91）,那么該質點在，=3s時的瞬時速度和從"1s到"3s這兩秒內的平均速度分別為（）

22-22_22-22

A.——B.—C.—,——D.—

39399393

【答案】D

【分析】利用瞬時速度v=lim包=lim'&+t"）公式即可求得t=3s時的瞬時速度,利用物體在小到

4->oA/A—oAZ

%+》這段時間內的平均速度為—=s&+、）T&）公式即可求得從f=1S至！k=3s這兩秒內的平均速度.

AtNt

22

【詳解】"：S（3+A『S（3）_3+A/+12,

ArArAt3（3+A。

所以機詈=業&y=I?即該質點在t=3s時的瞬時速度為晟；

_2

從r=ls至卜=3s這兩秒內的平均速度為S⑶7⑴］）+:2；

3-1-2一§

故選：D.

【考點二：導數的概念】

一、單選題

1.（24-25高二上?全國?課后作業）已知函數"x）=3,則-（2）=（）

A.—2B.-4C.—

2

【答案】D

【分析】根據導數的定義可求r（2）.

【詳解】由導數的定義得：

1____1

/（2+Ax）-/（2）_1；m（2+W-4_l：mAr+4

2

—Ax-AxAX->O4（2+Ax）4

故選：D.

2.（23-24高二下.江西萍鄉?期中）設在R上的導函數為/（%）,若媽""黑一"j,則/?）=

（）

A.—2B.2C.-6D.6

【答案】C

【分析】由已知結合導數定義即可求解.

【詳解】由于lim"3弋一（⑶-Wlim"3T）_f⑶__,，（3）=2,則/⑶=-6.

故選：C.

3.（2024高二下?全國?專題練習）已知尸（%）=。，則lim+/）二"/-3〃）的（）

202Ax

A.~2aB.2a

C.aD.-

2

【答案】B

【分析】由導數的定義變形即可求解.

/（/+?f（二3二之/（%+心）一”無。-二）伉）=

【詳解】limlim3=2/2a.

一。2Ax-f。4Arv）

故選：B.

二、填空題

4.（22-23高二下?湖北期末）已知函數的導函數為/'（x）,且尸⑵=/,1血〃2+斕一〃2）=3_/,

?f。Ax

則實數/的值為.

【答案】|/1.5

【分析】根據導數的知識列方程，化簡求得f的值.

【詳解】依題意/（2）=蜘"2+f）,

即r=3-r,解得.

3

故答案為：?

5.（2024高二下?全國?專題練習）已知函數>=依2+bx+c,其中a,b,c為常數，則函數在x=l處的導數

為.

【答案】2a+b

【分析】利用導數的定義求出導函數，從而可求的答案.

【詳解】竺=。（尤+&）2+可"+-）+。一（辦2+公+。）=26+6+〃垓,

AxAx

lim（2ax+Z?+6iAx）=2ax+b,

當尤=1時，瞬時變化率為2a+b,即函數在x=l處的導數為2〃十6

故答案為：2〃+0.

【考點三：求曲線切線的斜率(傾斜角)】

一、單選題

1.(23-24高二下.貴州.期中)若曲線y=f(x)在x=l處的切線方程為y=2x-3,貝。-⑴=()

A.-3B.-1C.1D.2

【答案】D

【分析】運用導數幾何意義得答案.

【詳解】曲線y=/Q)在x=l處的切線方程為y=2x—3,

則運用導數幾何意義，知道/''⑴=人=2.

故選：D.

2.(23-24高二下.河北承德?階段練習)曲線〃x)=x2+7在點處的切線的傾斜角為()

A.30°B,45°C.120°D.135°

【答案】D

【分析】根據導數的幾何意義求斜率，再求傾斜角.

333

【詳解】因為/(無)=爐+二，則/(X)=2X-F，所以左=2乂1-*=-1=1血135,

XX1

所以曲線“X)=f+：在點(1，”1))處的切線的傾斜角為135.

故選：D.

3.(23-24高二下?浙江?期中)已知函數/■(*)在R上可導，且滿足如J。*紫/⑴=g,則曲線y=f("

在點(U)處的切線方程為()

A.'=%B.y=--x+—

22

C.y=-x+2D.y=-x+-

22

【答案】A

【分析】根據導數的定義和幾何意義就可以求出切線斜率，然后即可得切線方程.

-1軻得：蛔川+?⑴」,/(1+Ax)-/(1)

【詳解】由2%=1,

2AxAx2Ax->0Ax

/(l+Ax)-f(l)

根據導數的定義可知：/，(D=lim=1,

Ax-?0Ax

又根據導數的幾何意義可知：在點(1,1)處的切線斜率左=尸⑴=1,

所以過點(1,1)處的切線方程為：y-l=l-(x-l),即kx,

故選:A.

4.（23-24高二下?新疆烏魯木齊?期中）函數/（x）的圖象如圖所示，下列數值排序正確的是（）

A.o<r（i）</（2）</（2）-/（i）B.o<r（2）</（2）-/（i）<r（i）

c.o<r（2）<r（i）</（2）-/（i）D.o</（2）-/（i）<r（i）<r（2）

【答案】B

【分析】結合圖形，利用曲線上兩點所在直線的斜率和過兩點的切線斜率的比較即可得到.

【詳解】

如圖，設函數/（X）的圖象上有兩點A（l"⑴）,3（21（2））,經過點A8的切線分別為人,3

則直線的斜率依次為心8=隼二9=/■⑵一〃1），丸=廣（1），3=廣（2），

2—1

兀

由圖知直線AB，乙，。的傾斜角%8，%.，%,滿足，0<a,B<aAB<a,A<-,

因函數。=tan尤在（0,萬）上遞增,故。<tan4<tan%<tan氣，

即。〈廣⑵〈*2）-〃1）<廣（1）.

故選：B.

5.（23-24高二下.北京.期中）某物流公司為了完成一項運輸任務，提出了四種運輸方案，這四種方案均能

在規定時間T內完成預期的運輸任務。。，各種方案的運輸總量。與時間f的函數關系如圖所示.在這四種

方案中，運輸效率（單位時間內的運輸量）逐步提高的是（）

【分析】由導數的幾何意義結合題意可判斷.

【詳解】由運輸效率（單位時間內的運輸量）逐步提高，即為。'⑺逐漸變大,

結合導數的幾何意義可得曲線上的點的切線斜率應該逐漸增大，

結合圖象可知，故B正確，

故選:B.

【考點四：導數的幾何意義】

一、單選題

c.o＜r（i）＜r（2）＜/（3）D.r（i）＞r（2）＞o＞r（3）

【答案】A

【分析】由導數的幾何意義分析可得廣⑴，r⑵和r⑶的幾何意義，結合圖像可得解.

【詳解】由函數“X）的圖像可知，

當xNO時，單調遞增，

r（2）＞o,r（3）＞o.

隨著X的增大，曲線在每個點處的斜率在逐漸減小，即導函數是單調遞減的，

.?，r（i）＞r（2）＞r（3）＞o.

故選：A.

2.（23-24高二下.安徽合肥.期中）已知函數y=〃x）（xeR）的圖象如圖所示，且尸⑺為的導函數,

則（）

B.=

D.r（i）＜rf1）＜r（2）

【答案】B

【分析】分別作出函數/（x）在尤=-5=＜"=1"=2的切線，進而得到（（-l）j'g：（（1），尸⑵的大小

關系.

【詳解】分別作出函數“X）在x=-l,尤=}x=l,x=2的切線,

則:（一1）＞0=/[[=廣（2）＞廣⑴，

3.（22-23高二下?上海浦東新?階段練習）定義在（0,+8）上的函數“X）的導函數為了'⑺，如圖是〃x）的

A.0＜〃2）＜/⑶＜〃3）-〃2）

B.0＜/'（3）＜〃3）—〃2）＜八2）

C.0＜r（3）＜r（2）＜/（3）-/（2）

D.0＜/（3）-/（2）＜/（2）＜/（3）

【答案】B

【分析】根據斜率關系得到0</"）<廣⑵，"3）-"2）可看作過（2,42））和（3,〃3））的割線的斜率，根

據圖像得到答案.

【詳解】“制圖象可知，"尤）在無=2處的切線斜率大于在x=3處的切線斜率，且斜率為正，

故。"⑶<八2）,

“3）一-;⑶,

/（3）-/（2）可看作過（2,/（2））和（3,〃3））的割線的斜率，

由圖象可知廣⑶<〃3）-〃2）</⑵，故0</（3）<〃3）-〃2）〈廣（2）,

故選：B.

【考點五：求在曲線上一點和過一點的切線方程】

一、單選題

1.（24-25高二上?全國?課后作業）曲線y=V-3無在點（2,2）處的切線斜率為（）

A.9B.6C.3D.1

【答案】A

【分析】求出?，從而求出lim?,根據導數的幾何意義計算可得.

Ax心―。Ax

【詳解】因為Ay=（2+Ax）3—3（2+Ax）—23+6=（Ax）3+6（Ax）2+9Ax,

所以—=（Ax）2+6Ax+9,lim—=lim「（+6Ax+9-1=9.

AxV7AXFOL'7」

由導數的幾何意義可知，曲線y=V-3x在點（2,2）處的切線斜率是9.

故選：A

V）

2.（24-25高二下?全國?課后作業）已知函數y=/（x）=a/+b在點（1,3）處的切線斜率為2,則一的值為（）

a

A.1B.2C.3D.1

【答案】B

h

【分析】由題意得/⑴=2,可求出。，再將（1,3）代入函數解析式中可求出6,從而可求得士的值.

a

【詳解】由題意得/⑴=2,

r-r-plf（1+d）—f（1）.（1（1+d）2+b—Cl—b.J

所以lrim-------------------=lim--------------------------=hm（2a+ad）=2a=2,

d—>odd—>odd—>o

解得4=1,

又/⑴=a+b=3,貝!]6=2,

所以9b=2.

故選：B

3.（24-25高二上?全國?課后作業）設曲線〃x）=而^與，軸的交點為A,曲線y=在點A處的切線

與x軸交于點B,則3點的橫坐標為（）

A.1B.2C.-1D.-2

【答案】D

【分析】利用導數的定義求得函數在x=0處的導數，求得切線方程，可求結論.

【詳解】易知人（。,1"處切線的斜率為強個=機汽洸殳產=極忌

則A2:y=gx+1,令產0,貝!|x=-2,故8點的橫坐標為-2.

故選：D.

二、填空題

4.（22-23高二下?全國?課后作業）若曲線y=〃x）=f+2x在點尸處的切線垂直于直線x+2y=0,則點尸

的坐標是.

【答案】（0,0）

【分析】利用導數定義求出/設「（/，%），根據垂直得出切線斜率為2,則可得2%+2=2,進而求

出點尸坐標.

【詳解】設尸（%,%）,則"（%）=lim（/+?”+2（%+--（1+2%）

-Ax

=lim（2x0+2+Ax）=2x0+2

Ax->0

因為點尸處的切線垂直于直線尤+2y=0,

所以點尸處的切線的斜率為2,

所以2%+2=2,解得%=0,則%=。，

即點P的坐標是（0,0）.

故答案為：（0,0）

三、解答題

5.（24-25高二上?全國?課后作業）已知函數/（力=%2-4x+3.

⑴求曲線y=〃x）上任意一點&，〃%））處的切線斜率；

（2）求曲線y=〃”在點（3,43））處的切線方程.

【答案】⑴2%-4

（2）2%-y-6=0

【分析】(1)根據導數的定義得出導數的幾何意義得出切點的斜率；

(2)先求導函數的函數值得出斜率再點斜式求出切線方程.

【詳解】(D由導數的幾何意義可知曲線y=/(久)上任意一點(比/Oo))處的切線斜率為r(x0),

則由導數的定義，可得

r5)=lim仆㈤一小。)=lim1+㈤2T5+尤)+3-(片Tx+3)=^()_4

即曲線y=f(%)上任意一點(尤04(q))處的切線斜率為2尤。-4.

(2)/(3)=0,由(1)知，曲線y=/(x)在點(3"(3))處的切線斜率為廣⑶=2,

所以切線方程為3-0=2(%-3),即2x-y-6=0.

6.(23-24高二下?重慶?階段練習)若函數=x--,

X

⑴用定義求((X);

(2)求其圖象在與無軸交點處的切線方程.

【答案】(1)/(6=1++

(2)y=2%-2和y=2x+2

【分析】(D根據函數的導數的定義求出r(x)；

(2)由導數的幾何意義可求出切線的斜率，從而可得切線方程.

【詳解】(D由導數定義可得，

f(x+Ar)-/(x)〔尤+&一卜［尤一J盤+

f(x)=lim-------------------=lim--------------------------------=lim-----------八十八人

'7-Ax-Ax-Ax

=lim1H---------=1H——

?叫x(x+Ax)Jx

(2)函數〃司=尤-1的圖象與x軸有兩個交點,

交點坐標分別為AQ0),?(-1,0),

"'(1)=2,

...在A(l,0)處的切線方程為y=2(x-l)=2x-2；

同理，在3(-1,。)處的切線方程為y=2x+2.

。》模塊四小試牛刀過關測

一、單選題

1.(24-25高二下?全國?課后作業)設地鐵在某段時間內進行調試，由始點起經過/秒后的距離為

S⑺=[/_4/+16產（單位：米），則列車運行10秒的平均速度為（）

4

A.10米/秒B,8米/秒C.4米/秒D,0米/秒

【答案】A

【分析】根據平均變化率的定義求解.

11八4

【詳解】6（力=1〃-4/+16產，貝!|s（10）=7-4X1CP+16X102=100,

即列車運行10秒的平均速度為爺=10米/秒.

故選：A

2.（2024高三?全國?專題練習）設〃x）是定義在R上的可導函數，若煦=Q為常數），

則（（%）=（）

A.—2aB.2aC.-。D.。

【答案】A

【分析】根據導數的定義計算即可求解.

【詳解】尸（%）=一=-lim"——"-=-2a.

—h2。h

故選:A

3.（2024高三?全國?專題練習）已知函數y=f（%）的部分圖象如圖所示，其中B（X2,/（X2））,

C（W"（W））為圖上三個不同的點，則下列結論正確的是（）

A./&)>/B.r(w)>r(々)>r(xj

C.尸㈤>/'(%)>/'(%)D./'(%)>/'(毛)>/'(%)

【答案】B

【分析】利用導數的幾何意義判斷斜率大小即可.

【詳解】由圖可知函數在點A處的切線斜率小于o,即r（石）＜0；

在點8處的切線斜率等于0,即/'（々）=0,

在點C處的切線斜率大于0,即/'（七）＞0,

所以/'（W）>/'（%）>/'&）.

故選：B.

4.（24-25高三上?北京海淀?期中）大面積綠化可以增加地表的綠植覆蓋，可以調節小環境的氣溫，好的綠

化有助于降低氣溫日較差（一天氣溫的最高值與最低值之差）.下圖是甲、乙兩地某一天的氣溫曲線圖.假設

B.當日6時到12時，甲地氣溫的平均變化率小于乙地氣溫的平均變化率

C.當日12時到18時，甲地氣溫的平均變化率小于乙地氣溫的平均變化率

D.當日必存在一個時刻，甲、乙兩地氣溫的瞬時變化率相同

【答案】C

【分析】結合圖中數據分析一一判斷各選項即可.

【詳解】對于A,由圖可知，甲地的氣溫日較差明顯小于乙地氣溫日較差，

所以甲地的綠化好于乙地，故A正確；

對于B,由圖可知，甲乙兩地的平均變化率為正數，且乙地的變化趨勢更大，

所以甲地氣溫的平均變化率小于乙地氣溫的平均變化率，故B正確；

對于C,由圖可知，甲乙兩地的平均變化率為負數，且乙地的變化趨勢更大，

所以甲地氣溫的平均變化率大于乙地氣溫的平均變化率，故C錯誤；

對于D,由圖可知，存在一個時刻，使得甲、乙兩地氣溫的瞬時變化率相同，故D正確.

故選：C.

5.（24-25高二上?全國裸后作業）已知lim為蟲=0,一質點做簡諧運動，其位移彳⑺=sin[2m+；],則

13

f=s時該質點的瞬時速度為（）

o

A.0B.1C.兀D.2兀

【答案】A

【分析】利用導數的定義求解即可.

13

【詳解】由題可知f=時該質點的瞬時速度為

O

△T。Z4f0A/△TOAr

故選：A.

二、多選題

6.（23-24高二下?四川廣元?期中）一球沿某一斜面自由滾下，測得滾下的垂直距離6（單位：m）與時間/

（單位：s）之間的函數關系為6（力=2產+2/,則下列說法正確的是（）

A.前3s內球滾下的垂直距離的增量A/z=20mB.在時間［2,3］內球滾下的垂直距離的增量A/?=12m

C.前3s內球在垂直方向上的平均速度為8m/sD.第2s時刻在垂直方向上的瞬時速度為10m/s

【答案】BCD

【分析】利用函數關系式計算可判定A、B,由平均速度、瞬時速度的求法可判定C、D選項.

【詳解】前3s內，加=3s,M="3）-〃（0）=24m,

h24

此時球在垂直方向上的平均速度為J=W=8m/s,A錯誤；C正確；

在時間［2,3］內，Ar=ls,/?=/z（3）-/i（2）=12m,B正確；

H（t）=4,+2,〃（2）=4x2+2=10,則第2s時刻在垂直方向上的瞬時速度為10m/s,

D正確.

故選：BCD.

7.（23-24高二下?遼寧.階段練習）午飯時間；2同學從教室到食堂的路程S與時間f的函數關系如圖，記f時

刻的瞬時速度為v（r）,區間上的平均速度分別為九匕,匕，則下列判斷正確的有（）

C.對于=1,2,3）,存在〃4?0,幻，使得叭=M

D.整個過程小明行走的速度一直在加快

【答案】AC

【分析】可通過題意，分別表示出乂，匕，匕，再根據選項A,B進行比大小，即可確定；選項C可根據

圖像，由線與直線的交點，即可判斷，選項D,可以觀察曲線在各點處的切線方程的斜率，即可判斷.

［詳解］由題意可知；'，丫_及一4_風，

「『0一24丁。曉匕-一2（LJ

由圖像可知4＜G，即2%＞馬，因此匕=言■＜匕=},i2-2（r2-r1）=2r1-r2＞0,

所以芍＞2仁-4），因此匕=，＜匕=廣大，此時匕＜匕＜匕，故A正確；

“2’1/

由匕+-s°（，1二）,可化為—匕-------2=/2._4.《2一口二S一八）-＞0故

02（Dt2」吟2八（-22格（GF）2柱仁-G

巧及＞%,故B不正確；

由圖像可知，直線與曲線的交點為&,爭，故存在%e（04）,使得V（叫）=匕，即當％=%時，丫（匕）=乂，

故C正確；

/時刻的瞬時速度為丫（）判斷平均速度的快慢，可以看整個曲線在各點處的切線方程的斜率,

由圖象可知，當"6時，切線方程的斜率最大,

故而在此時，速度最快，故D不正確.

故選：AC.

三、填空題

8.（24-25高三上?上海?期中）函數y=Y+l在區間［1,2］上的平均變化率為.

【答案】3

【分析】根據平均變化率的定義，函數的平均變化率為孚，分別計算出與,板的值代入計算即可.

Ax

【詳解】由題意得，函數y=Y+i在區間［1,2］上的平均變化率為?=&?且=?=3,

/XX2-11

故答案為：3.

9.（22-23高二下?安徽馬鞍山?期中）設〃尤）為可導函數，且lin/⑴一/J-2"＞=_1,則曲線y=f（x）在

點(L7(1))處的切線斜率為.

【答案】-J/-05

【詳解】因為/(1)=lim/⑴—"J⑼=llim"『"J詞=_1(

所以曲線y=〃力在點(h/(i))處的切線斜率為.

故答案為：-萬.

10.(22-23高二下?陜西寶雞?期中)設lim叢出正處以=一6,貝1］/")=__________.

Ax^OA%

【答案】-3

【分析】由導數的定義計算即可.

［詳解］由lim+=_6,

-Ax

iim/(l+Ax)-/(l-Ax)〃1+Ax)-/(IF)

=2lim=2/'(l)

——oAxAx->02Ax

所以2r(l)=-6,即(⑴=一3.

故答案為：-3

11.(24-25高三?上海?課堂例題)曲線，=一-在點處的切線方程是.

【答案】4x-y-4=0

【分析】求出函數＞=--在點［g「2］處的切線斜率，根據導數的幾何意義，即可求得答案.

【詳解】由題意得＞=-5在\，-21處的切線斜率為

=lim^^=4

20l+2/z

故切線方程是V+2=4￡|,即4x-y-4=0,

故答案為：4%-y-4=0

12.(2024高二下?全國?專題練習)已知曲線y=2Y-7,則曲線過點尸(3,9)的切線方程為

【答案】8x-y-15=0或16x-y-39=0

【分析】由題意首先根據定義得導函數，進一步求出切點即可得解.

【詳解】點PQ9)不在曲線＞=2/一7上.

設所求切線的切點為

則切線的斜率心fM=典［2伉+一2;卜(2片-7)二理(乜+2祠=4%，

故所求的切線方程為y-%=4%"-%),

將尸(3,9)及%=2%-7代入上式,得9-(2%-7)=4為(3-%),

解得為=2或無。=4,所以切點為(2,1)或(4,25).

從而所求切線方程為8x-y-15=。或16x-y-39=0.

故答案為：8x-y-15=0或16尤->-39=0.

四、解答題

13.(23-24高二上.江蘇徐州?階段練習)已知函數〃x)=10x+x2

⑴寫出△y=〃x+Ar)-〃x)；

(2)求出￡

Ax

⑶求出lim—；

-Ax

(4)寫出廣⑺，r(5),r(o)

【答案】(1)Ay=1。(尤+Ax)+(x+Ax)?-10兀一元2

(2)——■=10+2%+Ax

Ax

(3)lim包=10+2%

—Ax

(4)/'(尤)=10+2無,"5)=20,/(0)=10

【分析】(D代入直接計算即可；

(2)直接作商即可求解；

(3)直接進行簡單極限運算；

(4)利用導函數概念求解導函數，代