重難點04指、對、幕數(shù)比較大小問題【八大題型】

【新高考專用】

從近幾年的高考情況來看，指、對、幕數(shù)的大小比較是高考重點考查的內(nèi)容之一，是高考的熱點問題,

往往將暴函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)等混在一起，進行排序比較大小，主要涉及指數(shù)與對數(shù)的

互化、運算性質(zhì)，以及指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和嘉函數(shù)的圖象與性質(zhì)等知識，一般以選擇題或填空題的形式

考查.這類問題的主要解法是利用函數(shù)的性質(zhì)與圖象來求解，解題時要學(xué)會靈活的構(gòu)造函數(shù).

?知識梳理

【知識點1指、對、塞數(shù)比較大小的常用方法】

1.單調(diào)性法：當(dāng)兩個數(shù)都是指數(shù)幕或?qū)?shù)式時，可將其看成某個指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)或幕函數(shù)的函數(shù)

值，然后利用該函數(shù)的單調(diào)性比較，具體情況如下：

①底數(shù)相同，指數(shù)不同時，如優(yōu)1和利用指數(shù)函數(shù)了=優(yōu)的單調(diào)性；

②指數(shù)相同，底數(shù)不同時，如無:和石，利用幕函數(shù)y=x"單調(diào)性比較大小；

③底數(shù)相同，真數(shù)不同時，如log.X]和log”馬，利用指數(shù)函數(shù)log”X單調(diào)性比較大小.

2.中間值法：當(dāng)?shù)讛?shù)、指數(shù)、真數(shù)都不同時，要比較多個數(shù)的大小，就需要尋找中間變量0、1或者

其它能判斷大小關(guān)系的中間量，然后再各部分內(nèi)再利用函數(shù)的性質(zhì)比較大小，借助中間量進行大小關(guān)系的

判定.

3.作差法、作商法：

(1)一般情況下，作差或者作商，可處理底數(shù)不一樣的對數(shù)比大小；

(2)作差或作商的難點在于后續(xù)變形處理，注意此處的常見技巧與方法.

4.估算法:

(1)估算要比較大小的兩個值所在的大致區(qū)間；

(2)可以對區(qū)間使用二分法(或利用指對轉(zhuǎn)化)尋找合適的中間值，借助中間值比較大小.

5.構(gòu)造函數(shù)法：

構(gòu)造函數(shù)，觀察總結(jié)“同構(gòu)”規(guī)律，很多時候三個數(shù)比較大小，可能某一個數(shù)會被可以的隱藏了“同構(gòu)”規(guī)

律，所以可能優(yōu)先從結(jié)構(gòu)最接近的的兩個數(shù)來尋找規(guī)律，靈活的構(gòu)造函數(shù)來比較大小.

6.放縮法：

(1)對數(shù)，利用單調(diào)性，放縮底數(shù)，或者放縮真數(shù)；

(2)指數(shù)和嘉函數(shù)結(jié)合來放縮；

(3)利用均值不等式的不等關(guān)系進行放縮.

?舉一反三

【題型1利用函數(shù)的性質(zhì)比較大小】

【例1】(2024?四川資陽?二模)已知。=4。汽b=30-4,c=ln2,則()

A.c<a<bB.c<b<a

C.a<c<bD.a<b<c

【解題思路】由對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)以及幕函數(shù)的單調(diào)性即可比較大小.

【解答過程】因為涼°=43=64,bio=34=81,所以

又c=ln2<1,所以c<a<b,

故選：A.

i

【變式1-1](2024?天津河西?三模)若a=logne,b=(Vn)3,c=Q)3,則Q,b,c的大小關(guān)系為()

A.b<a<cB.a<c<bC.c<a<bD.a<b<c

【解題思路】利用指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)，募函數(shù)的單調(diào)性，來判斷值的大小.

【解答過程】由函數(shù)y=logjr%是增函數(shù)，則aulognevlog117r=1以=108號>10gli1=0,所以0<avL

2

由函數(shù)y=(近尸是增函數(shù)，貝必=(質(zhì))§>(訴)。=1,所以力>1,

由函數(shù)y=(。是減函數(shù)，貝1Jc=G)3>g)=1,所以c>L

i

由力=(7^”=市，c=(3)3=es,

111

由函數(shù)y=%§是增函數(shù)，則市>e§,即b>c,

故選：B.

【變式1?2】(2024?寧夏石嘴山?模擬預(yù)測)已知a=log56,b=log2V8,c=Ve,則a,b,c大小關(guān)系為

()

A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.b<c<a

【解題思路】由已知結(jié)合幕函數(shù)及對數(shù)函數(shù)單調(diào)性判斷a,b,c的范圍，即可比較a,b,c的大小.

【解答過程】因為c=V^>J|=|,b=log2V8=log225=|,

a=log56=log5V36<log5V125=|,

所以a<b<c.

故選：A.

105

【變式1-31(2024?全國?模擬預(yù)測)已知a=221h=log215,c=5,則a,b,c的大小關(guān)系為()

A.b<a<cB.b<c<aC.a<b<cD.c<b<a

【解題思路】利用指數(shù)函數(shù)y=2久與對數(shù)函數(shù)y=log2》的單調(diào)性比較。力與中間值4的大小關(guān)系進而得到。與

匕的大小關(guān)系；利用幕函數(shù)y=%2」的單調(diào)性得到a與c的大小關(guān)系，最終得到見仇c的大小關(guān)系.

【解答過程】,」y=2%是R上的增函數(shù)，2.1>2,a=221>22=4.

?.?y=log2%在(0,+8)上單調(diào)遞增，15<24,

4

??.b=log215<log22=4,???b<a,

10521

vc=5=(V5),y=7.I在(0,+8)上單調(diào)遞增，2<V5,

???a=22,1<(V5)21=c,h<a<c,

故選：A.

【題型2中間值法比較大小】

i

【例2】(2024?遼寧?模擬預(yù)測)設(shè)a=0.5§力=log23,c=logell,則()

A.a<b<cB.a<c<bC.b<a<cD.c<a<b

【解題思路】根據(jù)指數(shù)函數(shù)、對數(shù)的單調(diào)性結(jié)合中間值力"、即可比較大小.

【解答過程】a=0.53<0.5°=1,b=log23=1log29>|log28=

1=log66<c=log6ll<log66V6=|.

綜上，a<c<b.

故選：B.

_1

【變式2-1](2024?陜西銅川?模擬預(yù)測)已知a=G)z/=]og65,c=log56,貝I]()

A.a<b<cB.c<b<aC.b<c<aD.a<c<b

【解題思路】取兩個中間值1和右由a=h<log66=l,1=1唯5Vcv|即可比較三者大小.

=1O

【解答過程】a=G)2=正>J|=l，§65<log66=1,1=log55<log56=c<log5V125=

因此b<c<a.

故選：C.

【變式2?2】(2024?山東濰坊?二模)已知a=eT,b=Iga,c=e°,則()

A.b<a<cB.b<c<a

C.a<b<cD.c<b<a

【解題思路】根據(jù)對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)單調(diào)性并結(jié)合中間量0和1即可比較大小.

【解答過程】CL=e-1G(0,1),b=Iga=Ige-1=—Ige<0,c=e0=1,

所以b<a<c,

故選：A.

【變式2-3](2024?天津北辰?三模)已知a=0.531,=log0,90.3,c=logi1,則a,b,c的大小關(guān)系為

()

A.c<b<aB.c<a<bC.b<a<cD.a<c<b

【解題思路】根據(jù)指、對數(shù)函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合中間值分析大小即可.

【解答過程】因為y=0.5，在R上單調(diào)遞減，則0.53-1<0.51=也即a<[；

又因為y=log。9%在(0,+8)上單調(diào)遞減，則logogO.3>logogO.9=1,即匕>1;

可得c=logi|=log32,且y=log3%在(0,+8)上單調(diào)遞增，

則:=log3V3<log32<Iog33=1,即!<c<1；

綜上所述：a<c<b.

故選：D.

【題型3特殊值法比較大小】

【例3】(2024?陜西商洛?模擬預(yù)測)設(shè)a=logo.50.6,b=OA9-03,c=O.6-0-6,則a,b,c的大小關(guān)系是

()

A.c>b>aB.b>a>cC.b>c>aD.c>a>b

【解題思路】利用幕函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合特殊值判定即可.

【解答過程】因為y=logo.5%在(0,+8)上單調(diào)遞減,所以logosl<logo.50-6<logo.50.5,即0<a<l.

因為y=在(0,+oo)上單調(diào)遞增，又0.49-0,3=0.7-0-6=(岑)。：0.6-0(,=(|)°6,

又|>與>1,所以(|)°6>得)°.6>1。.6,故c>b>l,所以c>b>a.

故選：A.

1*3

【變式3-1](2024?江西上饒?模擬預(yù)測)設(shè)6)=2^=logi?c=(j),則有()

A.a<b<cB.a<c<b

C.b<c<aD.b<a<c

【解題思路】根據(jù)給定條件，利用指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，借助媒介數(shù)比較大小即得.

【解答過程】由(：)=2,=logi2<logil=0,b=logi|=log23>log22V2=

J332?4

11Q

c=23<22<-,且c>0,所以a<c<b.

故選：B.

【變式3-2](2024?天津和平一模)設(shè)(丁=2,6=1(^3—108歲,0=(9],則有()

A.a<b<cB.a<c<b

C.b<c<aD.b<a<c

【解題思路】根據(jù)指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，借助特殊值0,可得Q最小，再利用心>03得出仇C大小.

【解答過程】由0=2可得a=logNvlog"=0,

33

b=logi3—logi9=logi-^=log23>1,c=3=23=V2>0,

下面比較瓦c,

因為32>（2,2=8,所以3>2?,

32

所以b=log23>log222=

而c3=（3②3=2<d）=/故eV?,所以cVb,

綜上，b>c>a.

故選：B.

03

【變式3-3］（2024?天津和平?三模）設(shè)a=0.42,_iOg043,c=4,則a,b,c的大小關(guān)系為（）

A.a<b<cB.b<a<cC.c<b<aD.c<a<b

【解題思路】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合特殊值比較大小即可.

【解答過程】因為y=logo.4%在定義域上單調(diào)遞減，所以b=logo.43Vlogo.41=0，

又y=4%在定義域上單調(diào)遞增，所以。=40?3>4。=1,

y=04%在定義域上單調(diào)遞減，所以0<a=0.42<0.4°=1,

所以力<a<c.

故選：B.

【題型4作差法、作商法比較大小】

【例4】（2024?湖南岳陽?二模）設(shè)a=log23,b=log35,c=log58,則（）

A.a>b>cB.b>a>cC.b>c>aD.c>a>b

【解題思路】根據(jù)指數(shù)函數(shù)性質(zhì)得出a>|,6<|,c<l，然后利用作差法比較b與c的大小關(guān)系即可.

【解答過程】因為32>23,所以Iog232>log223,即210gz3>3,所以Iog23>|,即a>|；

因為52<33,所以log352<log333,即210g35<3,所以log35<|,即b<|；

因為82<53,所以10g582<10g553,即210g58<3,所以10g58<［即c<*

又因為b—C=Iog35—log58=康-1唯8=i窿：第8,

且2Jlog53-10858<log53+logs8=logs24<log525=2,

所以log53■logs8<1,所以b-c>0,所以b>c；

綜上所述，a>b>c.

故選：A.

【變式4-1］（2024?陜西西安?模擬預(yù)測）若。=0.31156=108312￡=10826/=R，則有（）

A.a>b>cB.b>a>d

C.c>a>bD.b>c>a

=3<

【解題思路】由題意首先得0<a<l,dJ~J0，進一步力=logsl2=1+log34>2,c=log26=1+log2

3>2,從而我們只需要比較Iog34,log23的大小關(guān)系即可求解，兩式作商結(jié)合基本不等式、換底公式即可比

較.

【解答過程】a=0.3115<0,31。=1,所以o<a<i,d=JZ1<。，

b=log312=1+log34>2,c=log26=1+log23>2,

▽ra%l°g34In41n2僅4t螞2（仙2煙？

又因為由=際<m=而^<1'

所以b<c,即d<a<b<c,

故選：B.

【變式4-2]（2024?貴州六盤水?模擬預(yù)測）若。=竽，6=竽，。=殍，貝|（）

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b

【解題思路】利用作差法，再結(jié)合對數(shù)函數(shù)y=lnx的單調(diào)性分別判斷a力和a,c的大小關(guān)系，即可判斷出a,6,c

的大小關(guān)系.

?益力e、riln3ln221n3—31n2ln9—ln8八rr-...T

【解答過程】因為b-a=^3---N-=-0--=^—0>0,所以b>a；

又DE因A為Lc-a=《ln5--ln-2=-21n5-—5-1n2=l-n25-—l-n32<0_,所以rua>c；

綜上所述：c<a<b.

故選：C.

【變式4-3]（2024?全國?模擬預(yù)測）若a=2a4,6=3a25,c=log（）,70.5,貝b,b,c的大小關(guān)系為（）

A.a<b<cB.b<a<cC.b<c<aD.c<a<b

【解題思路】利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性以及對數(shù)函數(shù)單調(diào)性可判斷a,c范圍，比較它們的大小；利用作商法比

較a力的大小，即可得答案.

【解答過程】因為函數(shù)y=2,在R上單調(diào)遞增，所以。=2。4<2。?5=a.

111

又合募=（舒曠=（二=（衰尸>1，所以

_______3

因為O.52=0.25<0.343,故0.5<V0343=0.7Q=log。？%在（0,+8）上單調(diào)遞減,

3o

所以logo.708>logo.7O.72=->V2,所以a<c,

所以實數(shù)a,b,c的大小關(guān)系為b<a<c,

故選:B.

【題型5構(gòu)造函數(shù)法比較大小】

【例5】(23-24高二下?云南玉溪?期中)已知實數(shù)a,6,c滿足2。+a=2,2b+6=遮，c=log163,貝|()

A.c<a<bB.a<b<cC.a<c<bD.b<c<a

【解題思路】由對數(shù)函數(shù)單調(diào)性得c<T，構(gòu)造函數(shù)f(x)=2x+%xeR,由函數(shù)的單調(diào)性得T<a<b及，即

可得出判斷.

【解答過程】由對數(shù)函數(shù)單調(diào)性得，c-log163<log164-log16162=i

構(gòu)造函數(shù)/(%)=2*+x,x€R,則/'(a)=2。+a=2,/(b)=2b+b=

因為y=2,和y=x單調(diào)遞增，所以/(久)單調(diào)遞增，

因為2〈遙，即/(a)</(b),所以a<b,

又展)=2，+巨空<2,所以八a)>/。，即a>《，

所以c<a<bf

故選：A.

【變式5-1](2024?全國?模擬預(yù)測)已知。=嗎，b=\n7xln2,c=^|,則()

A.b<c<aB.b<a<cC.a<b<cD.a<c<b

【解題思路】根據(jù)0<ln2<1得至!Jc的值最大，然后構(gòu)造函數(shù)/(%)=(l-ln2)lnx-ln2,根據(jù)/(%)的單調(diào)性和

/(8)<0得到a<b.

【解答過程】因為0<ln2Vl,所以Q=ln7—ln2<ln7,h<ln7,Oln7,故。的值最大.

下面比較a,b的大小.

構(gòu)造函數(shù)/(%)=Inx—ln2—In%-ln2=(1—ln2)lnx—ln2,

顯然/O)在(0,+8)上單調(diào)遞增.

2

因為/(8)=In8-ln2-ln8-ln2=In2(2-ln8)=In2(lne-ln8)<0,所以a-b=/(7)</(8)<0,所以a<bf

所以a<b<c.

故選：C.

1c_

【變式5-2](2024?全國?模擬預(yù)測)設(shè)a=5%,h=-,c=log45,貝!|a,b,。的大小關(guān)系為()

A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.b>c>a

【解題思路】利用常見函數(shù)的單調(diào)性比較大小即可.

【解答過程】先比較a和b,構(gòu)造函數(shù)y在上(o,+8)單調(diào)遞增，

；(5,4=5>m=({)4,.■/*,即a>b；

又?..4b=5,4c=41og45=log454,且=4x256>54=625,

45

.?.4c=log45<log44=5=4b,：.b>c,

：.a>b>c.

故選：A.

【變式5?3】(2024?河南?模擬預(yù)測)已知實數(shù)a,瓦c滿足砂+log?。=0,2023-6=log2023瓦c=1。876，則

()

A.a<b<cB.c<a<b

C.b<c<aD.c<b<a

【解題思路】利用構(gòu)造函數(shù)法，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性確定正確答案.

【解答過程】設(shè)/(%)=/+log2；v,/(%)在(0,+8)上單調(diào)遞增，

又/(?="1<0/⑴=1>0,所以?<a<l；

設(shè)=(/)Tog2023X，g(x)在(0,+8)上單調(diào)遞減，

又貝1)=痂>°，或2023)=(熊或-K0,所以1<b<2023,

因為C=10g7V^V10g7V^=T，所以C<:

綜上可知，c<a<b.

故選：B.

【題型6數(shù)形結(jié)合比較大小】

【例6】(2024?河南?模擬預(yù)測)已知。=Irur力=log3;r,c=V^ln2,貝ija,瓦c的大小關(guān)系是()

A.b<a<cB.a<b<cC.c<b<aD.b<c<a

【解題思路】利用對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)，幕函數(shù)的性質(zhì)求解.

【解答過程】,<,e<3<7T,a=loge7r>log37r=b>log33=1,即a>b>1,

a=In/r=ln(V^F)2,c=VSn2=In2b,

下面比較(、所)2與2份的大小，構(gòu)造函數(shù)y=%2與y=2X,

由指數(shù)函數(shù)y=2%與基函數(shù)y=/的圖像與單調(diào)性可知,

當(dāng)％6(0,2)時，x2<2X；當(dāng)無€(2,4)時，x2>2X

由％=SFE(0,2),故(后)2V2正，故ln7rVln2昕，即Q<C,

所以b<a<c,

故選：A.

【變式6-1](2024?江西贛州?二模)^log3x=log4y=log5z<-1,則()

A.3%<4y<5zB.4y<3%<5zC.4y<5z<3%D.5z<4y<3x

【解題思路】設(shè)log3%=log4y=log5Z=M<-l,得到％=3m,y=4Tz=5m,畫出圖象，數(shù)形結(jié)合得到答案.

[解答過程】令log3%=log4y=log5Z=m<-1,則第=3m,y=4m,z=5m,

3x=37n+i,4y=4m+1,5z=5m+1,其中m+1<0,

在同一坐標系內(nèi)畫出y=3x,y=4x,y=5比，

故5z<4y<3%

故選：D.

【變式6-2](2024?江西?模擬預(yù)測)若aea=blnb(q>0),則()

A.a<bB.a=bC.a>bD.無法確定

【解題思路】令ae。=blnb=k,k>0,構(gòu)造函數(shù)，作出函數(shù)圖象，即可比大小.

【解答過程】因為。>0,

所以ae°>a>0,

因為ae。=b\nb,

所以blnb>0,可得b>l,

令ae。=blnb=k,fc>0,

所以ea=/nb=5

設(shè)f(%)=e",g(%)=Inx,/i(x)=

作出它們的圖象如圖：

由圖可知a<b.故選項A正確.

故選：A.

【變式6-3](2024?全國?模擬預(yù)測)已知a=G)，G)=ioSab,ac=logic,則實數(shù)見瓦c的大小關(guān)系為()

A.a<b<cB.a<c<b

C.c<b<aD.c<a<b

【解題思路】由函數(shù)單調(diào)性，零點存在性定理及畫出函數(shù)圖象，得到a/,CE(0,1),得到logabvl=logaa,

求出b>a,根據(jù)單調(diào)性得到。=?)0<Q)a=a,從而得到答案.

【解答過程】令/0)=(9"-居其在R上單調(diào)遞減，

11

又/(0)=1>0/(1)=—1=—<0,

由零點存在性定理得ae(0,1),

則y=loga久在(0,+8)上單調(diào)遞減，

X

出)

0yi=G與y=loga%的函數(shù)圖象,

可以得到be（0,1）,

又丫2=談在R上單調(diào)遞減，畫出=a*與丫3=logy的函數(shù)圖象,

可以看出ce（0,1）,

因為G）<（1）=1，故log/<1=logaa,故b>a,

因為a,ce（0,1）,故a。>a1-a,

由ac=logj_c得，c=（9<Q）=a.

綜上，c<a<b.

故選：D.

【題型7利用基本不等式比較大小】

【例7】（23-24高一下?湖南長沙?開學(xué)考試）已知a=log32,h=log43,c=log54,則（）

A.a>b>cB.b>a>cC.c>b>aD.a>c>b

【解題思路】做差，利用換底公式，基本不等式，對數(shù)的性質(zhì)進行大小比較.

【解答過程】…唯2喟需=喂祥>耳等力嗤臂>。

ln4ln3ln24—In31n51/4-(i)In2V16—In2V15

c-b=log54-log43=-~~——~~~~=—■~~->-----------------=-------...------>0

ln5ln4In51n4In51n4In51n4

所以c>b>a.

故選：c.

【變式7-1]（2024?云南?模擬預(yù)測）已知a=logi69力=10g2516,c=e-2,則（）

A.b>a>cB.b>c>a

C.c>b>aD.c>a>b

【解題思路】a=log43,b=logs*作商￡==log43,log45,利用基本不等式可得1,得aVb,根

據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得Q>c.

22

【解答過程】a=10gl69=log423=log43>0,b=log2516=log524=log54>0,

Y=iS=10g43.10g45=（竽）2<（￥）2=（呼）2=1.

所以a<b,

-2

a=log43>log42=log222=->e=c,

所以b>a>c.

故選：A.

【變式7-2]（2024?湖南?模擬預(yù)測）已知Q=log32力=log53,c=log85,則下列結(jié)論正確的是（）

A.a<b<cB.b<a<c

C.a<c<bD.b<c<a

【解題思路】對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可比較a、6,再根據(jù)基本不等式及換底公式比較6與c的大小關(guān)系，由此

可得出結(jié)論.

【解答過程】因為log32=log3V8<log3V9=log333=-=logs53=log5V25<log5V27=log53,

所以a<b.

因為In31n8〈(號92=(lnV^)2<(In5)2,所以"〈需，所以log53<loggS,所以b<c,所以a<b<c.

故選：A.

i

4

【變式7-3](2024?河南鄭州?模擬預(yù)測)已知a=log35,b=2(|),c=31og72+log87,貝ij()

A.a>b>cB.c>b>aC.b>a>cD.c>a>b

【解題思路】根據(jù)指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及基本不等式判斷即可.

【解答過程】=Iog35=1log325<|log327=|,

1111

巨(篇<(丁=歐所以b=2(A|且b<2,

c=31og72+log87=log78+log87>2Jlog78?logs7=2,

所以c>b>a.

故選：B.

【題型8放縮法比較大小】

【例8】（2024?四川樂山?三模）若a=log32力=log43,c=e-2,則a,b,c的大小關(guān)系是（）

A.b<c<aB.a<c<b

C.c<b<aD.c<a<b

【解題思路】利用放縮法可得a>/>'<；,利用作商比較法可得年=需W-。g2,4）『,進而可得

a<b,可得結(jié)論.

2

【解答過程】a=log32>log3V3=/=log43>log4V4==e-<1,

所以則c,b>c,

10g321g2-lg4v[I（lg2+lg4）]2_上8/lg29=41g23=1

-1

乂了―log43lg23-的-41g23441g23—41g23-'

所以a<b,所以c<aVb.

故選：D.

【變式8-1]（23-24高二上?安徽?階段練習(xí)）已知a=g—舊力=6-笠=1唯3—1囑5,貝。（）

A.a<b<cB.b<c<a

C.b<a<cD.c<a<b

【解題思路】采用放縮法和中間值比較大小，得到a<b<c.

【解答過程】因為。=內(nèi)一后=高而＜痔而=?

,111111,,,fii\

b=64=湍>湍=而示y,故

c=log53-|log35=|log527-|log325>|log525-|log327=|-1=

所以。<b<c.

故選：A.

【變式8-2]（2024?全國?模擬預(yù)測）已知a=log2mb=ln4,c=0.6-1,5,則（）

A.a<b<cB.b<c<a

C.b<a<cD.c<a<b

【解題思路】應(yīng)用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及放縮法對a,b,c進行估值即可判斷.

【解答過程】a=log2n<log24=2,且a=logzir>log22近=1.5,G(1.5,2),

b=ln4=1+In：<1+In費=1+lnl.6=1+lnV2,56<1+InVe=1.5,即6<1.5.

由c=0.6-L5可得cZnOe—n^^>心又c>o,故c>2.則b<a<c.

U.Zlo

故選：c.

工

【變式8-3](2024?河南鄭州?模擬預(yù)測)已知a=log35,b=2(J,c=31og72+log87,則()

A.a>b>cB.c>b>aC.b>a>cD.c>a>b

【解題思路】根據(jù)指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及基本不等式判斷即可.

【解答過程】=log35=|log325<|log327=|,

iiii

口勖<(3M丁，所以42替>1且b<2,

C=31og72+log87=log78+log87>271og78-log87=2,

所以c>b>a.

故選：B.

?課后提升練（19題:

一、單選題

1.（2024?福建泉州?一模）若實數(shù)a>b>0,則下列不等式一定不成立的是（）

A.0.3°<0.3"B.Iga>1g/?C.D.VH>VK

【解題思路】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷A,根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷B,利用特殊值判斷C,根據(jù)事函數(shù)的

性質(zhì)判斷D.

【解答過程】因為y=0,3，在定義域R上單調(diào)遞減且a>6>0,所以0.3。<0.36,故A正確；

因為y=lgx在定義域（0,+8）上單調(diào)遞增且a>b>0,所以lga>lgb,故B正確；

當(dāng)a>l>6>0時，二彳〉。〉—彳，故C不正確；

因為y=正在定義域［0,+8）上單調(diào)遞增且a>6>0,所以故D正確.

故選：C.

0A0

2.（2024?四川眉山?一模）若a=log39ii,6=log0.50.2,c=4,則（）

A.a>b>cB.b>a>c

C.c>a>bD.a>c>b

【解題思路】結(jié)合指數(shù)函數(shù)和對數(shù)的運算性質(zhì)易得a=2.2,fo=log25,c<2,進而分析比較2?2與5的大小,

進而比較211與55的大小，進而判斷即可.

1

1104005

【解答過程】a=log39=l.l-log39=2.2,c=4-<4-==2,

b=log0,50.2=logij=log25>log24=2,

則a>c,b>c,下面比較a與力的大小，

即比較2.2=log????與log25的大小，

即比較2Z2與5的大小，

即比較211與55的大小，而211=2048<55=3125,

則avb,所以

故選：B.

3.（2024?寧夏吳忠?一模）已知a=0.23力=302解=logo??,則（）

A.a>c>bB.a>b>c

C.b>a>cD.c>b>a

【解題思路】借助指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性借助中間量比較即可得.

【解答過程】ct—0.23<0.2°=1,b=30,2>3°=1,c-logons<logo?1—0,

故b>l>a>0>c,故b>a>c.

故選：C.

4.（2024?四川宜賓?一模）已知a=|,b=如,。=筆蛇，貝|（）

A.a>b>cB.a>c>bC.b>c>aD.c>b>a

【解題思路】根據(jù)a2</得到a<b,根據(jù)1唯2>log3g=3得到c=號超>，由:〉遍得到c>b.

【解答過程】???。2=得<3=〃，a<b,

"log32>log3V3c=3+1產(chǎn)2

???c>b>a.

故選：D.

5.（2024?四川雅安?一模）下列不等式成立的是（）

23

3439

A.(|)<(|)B.log25<log412C.log73>^D.(V2)>3.9

【解題思路】根據(jù)指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可判斷出結(jié)果.

23

【解答過程】對于A,因為底數(shù)?<1,所以隨著指數(shù)的增大而減小，又所以故選項A

錯誤；

對于B,10g412=|log212=10g2V12=10g22V3,因為底數(shù)2>1,所以隨著真數(shù)位置的增大而增大，又

5>2V3,所以Iog25>log412,故選項B錯誤；

對于C,因為10g73>10g7V7=J,J=皚，所以10g73>咚故選項C正確；

乙z2V555

對于D,因為［(衣)胃2=23.9,(3.9)2,函數(shù)萬,久2有兩個交點，分別是當(dāng)X=2,X=4,

2工增長速度比/增長速度快，在(0,2)上2，>/,在(2,4)上2工<%2,

OQ

在(4,+8)上2工>%2,所以239<(3.9)2,即(&),<3.9,故選項D錯誤.

故選：C.

6.(2024?四川成都?模擬預(yù)測)已知a,6為實數(shù)，則使得“a>b>0”成立的一個必要不充分條件為()

A.—>~B.ln(a+1)>ln(Z)+1)

C.a3>b3>0D.4a=l>4b^i

【解題思路】利用不等式的性質(zhì)、結(jié)合對數(shù)函數(shù)、事函數(shù)單調(diào)性，充分條件、必要條件的定義判斷即得.

【解答過程】對于A,工>1,不能推出a>b>0,如白>2，反之a(chǎn)>b>0,則有工<1,

CLD—3—ZClD

即!>9是。>方>0的既不充分也不必要條件，A錯誤；

對于B,由ln(a+1)>ln(6+1),得a+l>b+l>0,即a>6>—l,

不能推出a>b>。，反之a(chǎn)>6>0,則a>6〉一1,

因此ln(a+1)>ln(Z?+1)是a>b>0的必要不充分條件，B正確；

對于C,a3>b3>0^a>b>0,a3>/>。是。>。>。的充分必要條件，c錯誤；

對于D,由迎一1>迎一1,得a>b21>0,反之a(chǎn)>b>0不能推出a>621,

因此近二T>GT是a>6>0的充分不必要條件，D錯誤.

故選：B.

7.(2024?全國?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/'(久)=e/-2x,ifla,=sy(iOg32),6=/(log53),c=：/(iog75),則()

A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.c<b<a

【解題思路】應(yīng)用介值法比較Iog32,log53,log75的大小，再應(yīng)用=e/-2x的單調(diào)性比較大小即可.

【解答過程】解：H^jlog32=|log38<|log39-|,log53=|log527>|log525-1,

所以log32<log53；

又因為log53=1log581<Jlog5125=Jlog75=^log7625>扣g7343=*

所以log32<log53<log75<1,

又因為/（x）=e/-2x=e（，T）2T在（—8,1）上單調(diào)遞減，

所以c<6<a,

故選：D.

8.（2024?江蘇徐州?模擬預(yù)測）己知偶函數(shù)/'（%）在（一8,0］上單調(diào)遞增，a=/（豆-2）乃=/（_］og25）,c=f

（log23,則（）

A.b>a>cB.c>b>a

C.a>c>bD.a>b>c

【解題思路】先根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較出Tt-2<log23<1哂5的大小關(guān)系，然后根據(jù)奇偶函數(shù)的單調(diào)性,

即可得到結(jié)果.

【解答過程】???偶函數(shù)在（—8,0］上遞增，

.??/（尤）在［0,+8）上遞減,

b—/（—log25）=/（log25）,c=f（log2J=/（log23）,

因為log22<log23<log24<log25,即1<log23<2<Iog25,而7r-2e（0,1）,

所以p-2<log23<］og25,貝療（豆-2）>f（［og23）>f（log25）,即a>c>6.

故選：c.

二、多選題

9.（2024?河南洛陽?模擬預(yù)測）下列正確的是（）

-001-0001

A.2>2B.log2V3>log2Tt—1

-001

C.logi,85<logicsD.log33.01>e

【解題思路】利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷A；由對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷B,C；由對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得log3

3.01>1,由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得e-ooi<l,即可判斷.

【解答過程】解：對于A,因為-0Q1<-0001,所以2-ooi<2-°ooi,所以A錯誤；

對于B,因為1082遍>log2、=log2n-l，所以B正確；

對于C,因為log】因>OJogi.>>0,所以1。81.85=盤<品=logi.75,所以C正確；

-001

對于D,因為log33.01>Iog33=I".。】<e。=1,J5frLUlog33.01>e,所以D正確.

故選：BCD.

10.(2024?貴州?模擬預(yù)測)已知0<a<b<l,m>l,則()

A.am<bmB.ma>mb

C.logma>logmbD.logam>logbm

【解題思路】根據(jù)指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)，事函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合不等式性質(zhì)逐項分析即可.

【解答過程】對于A,根據(jù)丫=%.在(0,+8)單調(diào)遞增，結(jié)合0<a<b<l,知(^〈。叫A正確.

對于B,根據(jù)y=在(0,+8)單調(diào)遞增，結(jié)合0<a<b<l,知小。(山tB錯誤.

對于C,根據(jù)y=logmX在(0,+8)單調(diào)遞增,結(jié)合0<a<b<l,知log、a<logmb,C錯誤.

11

對于D,根據(jù)logam=^^,logbm=蕨/，結(jié)合0<a<b<1,巾>1,

知logmaVlog^b<0,則BPlogma>logmb,D正確.

故選：AD.

11.(2024?吉林?模擬預(yù)測)若b>a>0,則下列不等式成立的是()

A.a<Vab<—^―<br11

Iog2a+log2b,ia+bba2

C.2<10g2—D.2->(b-d)

【解題思路】對于AC：利用作差法分析判斷即可；對于BD：舉反例說明即可.

【解答過程】因為b>a>0,則VF>份>0,

對于選項A：卜*號>0,即b>竽;

吟而=叵@:>0,即竽>疝；

222

Vab—a=VH(VK->0，即>a；

所以口<病<等<b,故A正確；

對于選項BD：例如a=2,b=4,滿足6>a>0,

111111

為

因

即

故

錯

--i--->-B誤

a力ab

2;

因為2b-a=22=4,(6-a)2=22=4,即2-a=(6—a)2,故D錯誤;

對于選項C：因為“咒1唯0=》og2a6=log2Vafo,

又由選項A知，0<V^〈巴”，

所以S咒1°年=1哨瘋<10g2與,故C正確；

故選：AC.

三、填空題

1

12.（2024?北京昌平?二模）3-2,2到0825三個數(shù)中最大的數(shù)是_卜唱25_.

【解題思路】利用特殊值1和2作為“橋梁”比較大小即可.

2

【解答過程】?；1<2石=好<2,3-=（|）=|<1,log25>log24=2,

-2

log25>23>3,

即三個數(shù)中最大的數(shù)是10g25.

故答案為：10g25.

13.（2024?北京通州?三模）已知a=2T\b=logi