專題十二二次函數綜合1

作為最能體現初中代數的綜合性和能力性的二次函數綜合大題在近年來中考試卷中已形

成必不可少的題型，以二次函數的性質和特征作為試題主體來考查，在此過程中會以周長、面

積、相似、等腰三角形、特殊四邊形以及新定義問題等為載體進行命題，其中包含了“數形結

合”“化歸”“分類討論”等重要數學思想,是初中數學學習中的重點、難點問題.

高頻考點?釋疑難

【類型一】二次函數與新定義問題

二次函數中的“新定義”問題,主要是指在問題中定義了中學數學中沒有學過的二次函數

類型或是圖形，其特點是源于初中的二次函數內容，但又是學生沒有遇到的新信息“它可以是

新的概念、新的圖形、新的定理或新的操作規則與程序、新的情境等等.要求學生讀懂題意并

結合已有知識、能力進行理解，根據新定義進行推理、遷移的一種題型.解題關鍵要把握兩點：

一是掌握二次函數原型的特點及其特征;二是根據新定義,合理進行思想方法、特點及其特征

的遷移從而解決問題.

[例1](2023?赤峰)定義:在平面直角坐標系xOy中，當點汗在圖形〃的內部,或在圖形〃上,

且點N的橫坐標和縱坐標相等時,則稱點N為圖形〃的“夢之點”.

⑴如圖①，矩形ABCD的頂點坐標分別是4(7,2),((7,-1),以3,-1),〃⑶2),在點

第(1,1),四(2,2),4⑶3)中，是矩形/““夢之點”的是；

(2)點G(2,2)是反比例函數分三圖象上的一個“夢之點”，則該函數圖象上的另一個“夢之點”

H的坐標是,直線GH的表達式是%=,%〉乃時,x的取值范圍是

⑶如圖②，已知點48是拋物線產-52+x號上的“夢之點”，點c是拋物線的頂點.連接

AC,AB,BC,判斷△力■的形狀,并說明理由.

圖①圖②

【解析】(1)???矩形ABCD的頂點坐標分別是4(-1,2),M-1,-1),C(3,-l),〃(3,2),

???矩形儂》的“夢之點”(x,力滿足-1/啟3,-14年2,

二點版(1,1),4(2,2)是矩形板9的“夢之點”，點篇(3,3)不是矩形儂》的“夢之點”；

答案:皈的

(2)?.?點G(2,2)是反比例函數%S圖象上的一個“夢之點”，

X

：?把G(2,2)代入%'得A=4,：?yi=-

XX9

???“夢之點”的橫坐標和縱坐標相等，

工“夢之點”都在產X的圖象上,聯立，/解得仁z;或z二:，

."(-2,-2),...直線掰的表達式為%=%

.，.%＞為時,x的取值范圍是水-2或0＜X2;

答案：(-2,-2)xK-2或0＜木2

(3)灰是直角三角形，

理由：?.?點48是拋物線產彳/+戶3上的“夢之點”，

北二4+F,解需二版

."(3,3),8(-3,-3),

■:片亨+*=q⑴1)2+5,

工頂點C(l,5),：.AC=(3-1)2+(3-5)2=8,

初=(-3-3)，(-3-3尸=72,

^=(-3-1)2+(-3-5)2=80,

.?.初="+曲△板是直角三角形.

【類型二】二次函數與一次函數、反比例函數綜合

二次函數與一次函數、反比例函數共同的特點是數形結合,通過點的坐標即數(或量)聯系

起來,運用數形結合的思想方法,通過構圖和圖形的性質分析問題.常用方程或不等式來解決

此類問題.

【例2】如圖,在平面直角坐標系xOy中，直線y=/x-3(NW0)與拋物線片-/相交于8兩點(點

A在點B的左側)，點6關于y軸的對稱點為B).

(1)當A=2時,求A,6兩點的坐標；

⑵連接0A,陽/皮,助'，若△夕四的面積與△物8的面積相等，求/的值；

⑶試探究直線/皮是否經過某一定點.若是,請求出該定點的坐標;若不是,請說明理由.

yy

oo

備用圖

【解析】(1)當心2時，直線為尸2『3,

y=2%-3,

得二'端

叫y=—x2:

⑵當A>0時,如圖，???△上仿的面積與△西的面積相等,

:.OB'/ZAB,±/B'BC,'：B,3'關于y軸對稱,

：.0月OB',NODF/ODB'=9。°,

：./OB'B=/OBB\：./OBB'=/B'BC,

?：NODB=90°=/CDB,BFBD,

：.△BOD^ABCD(除4,：.OD=CD,

在產&3中，令產0得產-3,<7(0,-3),。信3,

呵妗|,40,-|),

在y=~x中,令y=-|,得-|=-f,

解得尸母或肝-當

???好-1),

把6(李-|)代入尸33,得-|=亨上3,

解得心手；

當人0時，過皮作B'F"AB友y軸于公如圖,

在尸4尸3中，令JFO得y=-3,.*.^(0,-3),0E=?>,

VXB'AB的面積與△/B的面積相等，

妗第3,?.?旦)關于y軸對稱，，陷陽'，/FG*/FGB'=90°,

:.NFB'B=/FBB'J：B'F〃AB,:./EBB'=/FB'B,：.4EBB'=/FBB',

■:/加方90°=4BGF,BG^BG,：.△盟必ZkB曲(ASA),

止份沖去；.OG=O/G吟G(0,-|),

在y=~x中,令T=-|,得-|=-x；解得或尸一^^,

:.夙髻，-》，把B鴛，吟代入尸M3,得-尸曾妙3,解得k-子，

綜上所述,A的值為手或-小；

(3)直線疵經過定點(0,3),理由如下：由儼=}>得/+屆3=0,

設/+53=0的兩根分別為a,b,

a^b^-k,ab=~3,A(a,-a),B{b,~^2),

?.?瓦8'關于y軸對稱，

:.B'4b,-K),

設直線破的表達式為尸m汁n,將A(a,-尚,B'(-瓦⑹代入得,+n=-f

v-bm+n=-b乙

解得［；二二;樂-左ab=-3,

/.m=-(a-t))=b-aF^(a+b)2-4ab=Vfc2+12,rF-ab=-(-3)=3,

直線四'的表達式為產Vk2+12?x+3,

令尸0,得產3,二直線四'經過定點(0,3).

【類型三】二次函數中的線段問題

常見模型:1.求一條線段的長度并求最值,常根據點坐標表示線段長度(若該線段與坐標

軸平行,則用橫坐標或是縱坐標相加減確定,若該線段與坐標軸不平行,則用勾股定理、銳角三

角函數或是相似確定)得到一個新的二次函數，通過配方法求得線段的最值;2.求兩條線段和

的最小值，常用到“將軍飲馬”模型，當兩點在同一側時，作其中一點關于直線的對稱點，對稱

點與另一點的連線與直線的交點即為所求點；3.求兩點間線段長度,用兩點間距離公式或是轉

化為邊與坐標軸平行的三角形,利用勾股定理求出長度;4.線段數量關系，如線段相等或線段

倍數關系，結合題干列出滿足線段數量關系的方程,解方程求解即可.(注意檢驗,排除不符合

題意的解)

【例3】在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線y=-x+bx+c經過點/(T,0)和點B(0,3),頂點

為G點。在其對稱軸上,且位于點。下方,將線段DC繞點、。按順時針方向旋轉90°,點。落在

拋物線上的點P處.

⑴求拋物線的解析式；

⑵求點P的坐標；

⑶將拋物線平移，使其頂點落在原點0,這時點P落在點￡的位置,在y軸上是否存在點M,使

得嶼物的值最小,若存在,求出點〃的坐標;若不存在,請說明理由.

【解析】⑴把點4(T,0)和點夙0,3)代入尸-*+如c,

得｛；1"C=°,解得｛:=2

=3

二拋物線的解析式為產-父+2K3;

⑵’”（『1）2+4,

：?。(1,4),拋物線的對稱軸為直線后1,如圖，設切=t,則以1,4-1),

?.?線段加繞點〃按順時針方向旋轉90°,點。落在拋物線上的點尸處,

:./PDC=9G,DP=DC=t,：.P(l+1,4-1),

把P(l+1,4-1)代入尸-V+2x+3得:-(1+1)2+2(1+1)+3=4-1,

整理得&t=Q,解得：右=0(舍去)，Q1,.?.尸(2,3);

(3)存在.

理由：???點尸坐標為(2,3),頂點。坐標為(1,4),將拋物線平移,使其頂點落在原點0,這時點P

落在點￡的位置，.?.點E坐標為(1,-1),.,.點￡關于y軸的對稱點A-1,-1),

連接依交y軸于M,則取斗貸蛆及依的值最小，

設直線小的解析式為產9以,{";解得

???直線件的解析式為足嗎

...點〃的坐標為(0,2.

【類型四】二次函數中的周長與面積問題

二次函數中的周長與面積問題常從函數圖象上的關鍵點入手,設合適的未知數,并表示出

相關點的坐標或線段的長度,結合題干列出滿足題意的方程,解方程求解,從而求出滿足周長

或面積條件的點坐標,若是求周長或面積的最值,一般要建立關于周長或面積的函數解析式，

根據所設未知數的范圍，利用函數的性質，求其最值.注意:對于求不規則圖形的面積，常將所

求圖形分割成幾個可以直接利用面積公式計算的規則圖形，通過規則圖形的面積和或差計算

求解.

[例4](2023?重慶)如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax+bx+2過點(1,3),且交x軸于

點力(-1,0),8兩點，交y軸于點C.

⑴求拋物線的解析式；

⑵點P是直線W上方拋物線上的一動點，過點P作PDLBC千點、D,過點尸作y軸的平行線交

直線以于點E,求△〃應周長的最大值及此時點尸的坐標；

⑶在⑵中小PDE周長取得最大值的條件下，將該拋物線沿射線CB方向平移逐個單位長度,

點〃為平移后的拋物線的對稱軸上一點.在平面內確定一點N,使得以點4己必及為頂點的四

邊形是菱形,寫出所有符合條件的點N的坐標,并寫出求解點N的坐標的其中一種情況的過程.

【思路點撥】(1)由待定系數法即可求解；

(2)由△期'周長的最大值=/火(1+sin/PENcosN陶)，即可求解；

⑶當NP是對角線時，由中點坐標公式和A舊AN,列出方程組即可求解；當N〃或4V是對角線時,

同理可解.

【解析】⑴由題意得

解得32,則拋物線的解析式為產-"+|廣2；

吟22

(2)令產-#+|戶2=0,

解得JF4或T,即點8(4,0),

?依〃y軸,則/曲=/。紹

則tanN電決tanN0CS=2,

則sinN曲關,cosN核戈，

由點耳。的坐標得直線6C的解析式為:產-?+2,

則陷亨+*2+#2=_*2T+2W2,

即PE的最大值為2,此時點P的坐標為⑵3),

則△小周長的最大值=/^(l+sinN電燈cosN圓)

=(1十出+

即△核周長的最大值為誓與此時點夕的坐標為(2,3);

(3)拋物線沿射線”方向平移近個單位長度,相當于向右平移2個單位長度向下平移1個單

位長度，

則平移后拋物線的對稱軸為J

設點M1,ID）,點N{s,t）,

由點4尸的坐標得,Z尸=18,

當4月是對角線時，由中點坐標公式和小的得:

-l+2=s+|

3—m+t，解得/=[

(I+1)2+m2=(s+l)2+t2s=_三

I2

即點兒的坐標為（-1，》；

當初或的是對角線時，由中點坐標公式和冊冊或池―尸得:

s1=+2

f--l=s+2（'2

jtn=t+3或"t=m+3，

l（s+l）2+t2=18（（I+l）2+m2=18

i

（一

s=2

解得卜=±誓（不合題意的值已舍去），

m=3+竺

I—2

即點〃的坐標為6±U）；

綜上,點兒的坐標為?-亭）或G，乎）或（V》.

【類型五】二次函數中的角度問題

二次函數綜合中由于動點引起的動態角問題也是二次函數綜合考查的一個常見題型，常

用動態角與已知角相等則其三角函數也相等的性質列出方程求解；注意觀察動態角是否與特

殊角（30。，45。，60。）有關系，再利用三角函數表示動點坐標，代入解析式求解，或轉化為等

腰直角三角形、等邊三角形、全等三角形解決問題.

【例5】（2024?廣安）如圖,拋物線y=-lx+bx+c與x軸交于48兩點,與y軸交于點6；點力

坐標為（-1,0）,點6坐標為⑶0）.

⑴求此拋物線的函數表達式.

⑵點9是直線以上方拋物線上一個動點,過點夕作x軸的垂線交直線直于點D,過點夕作y

軸的垂線,垂足為點E,請探究29比是否有最大值,若有最大值,求出最大值及此時P點的坐

標;若沒有最大值，請說明理由.

⑶點〃為該拋物線上的點，當/機年45°時,請直接寫出所有滿足條件的點〃的坐標.

【思路點撥】(1)直接利用拋物線的交點式可得拋物線的表達式；

⑵先求解出點。的坐標,及直線員的表達式,再根據點P在二次函數上設出點P的坐標,進而

可得點。坐標,再建立二次函數求解即可；

(3)以"為對角線作正方形CTBK,可得N閱住/a”45°,CK,67與拋物線的另一個交點即為

M,過T作x軸的平行線交y軸于Q,過8作BGV7。于G,則陟G?3,設T牛G氏叫則CQ=T^3-ni,

求解TE,療1),進一步求解直線67和直線GT的表達式,再求解函數的交點坐標即可.

【解析】⑴???拋物線片-|/+加+c與x軸交于A,6兩點,與y軸交于點C,點4坐標為(T,0),

點5坐標為(3,0),

/.7=-|(^+1)(j^3)=-|y+^A+2.

⑵當尸0時，尸一|，+1戶2=2,

?"(0,2),

設直線BC為產公+2,

，3桿2=0,

解得k=-l，

工直線BC為產-%+2,

設P(x,-|/+^A+2),

，，(X,-|A+2),

:.2PIXP/2(_|3+療2+|尸2)+k*5x,

當小一毫中時，有最大值得

此時尸(抬)?

(3)如圖，以①為對角線作正方形CTBK,

:./BCa/Bd5°,

:.CK,67與拋物線的另一個交點即為M,

如圖,過T作x軸的平行線交y軸于。過