微專題20遇到角平分線如何添加輔助線

一階方法訓練

方法解讀

情形一過角平分線上的點作一邊的垂線

原理：1.角平分線上一點到角兩邊的距離相等；

2.兩角和其中一個角的對邊分別相等的兩個三角形全等.

作法：如圖，過點P作PB⊥ON于點B.

結論：AP＝BP；Rt△AOP≌Rt△BOP

情形二過角平分線上的點作角平分線的垂線

原理：1.兩角和它們的夾邊分別相等的兩個三角形全等；

2.等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合(簡寫成“三

線合一”)

作法：如圖，過點P作PB⊥OP，交ON于點B.

結論：△OAB是等腰三角形

情形三1.過角平分線上的點作邊的平行線；

2.過邊上的點作角平分線的平行線

原理：(1)兩直線平行，內錯角相等；

(2)兩直線平行，同位角相等；

(3)等角對等邊.

作法：(1)過點P作PQ∥ON，交OM于點Q；

第1頁共11頁

(2)過點P作PQ∥OB，交NO的延長線于點Q.

結論：△OPQ為等腰三角形

情形四1.在被平分的角的長邊上截取與短邊相等的線段；

2.延長被平分的角的短邊至與長邊相等

原理：兩邊和它們的夾角分別相等的兩個三角形全等.

作法一：截長法

在AC上截取AE＝AB，連接DE，

結論：△ABD≌△AED；

作法二：補短法

延長AB至點F，使AF＝AC，連接DF，

結論：△AFD≌△ACD

方法一遇角一邊的垂線，考慮運用角平分線定理

[6年3考：2024.17(3)，2021.7，2020.22]

例1(北師八下例題改編)如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，CD平分∠ACB交

AB于點D.若AD＝3，S△BCD＝15，則BC＝.

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例1題圖

例2(人教八上習題改編)如圖，∠AOB＝45°，OC平分∠AOB，點D是OC上

一點，過點D作OA的垂線，交OA于點E，交OB于點F，若DE＝1，則DF

的長為.

例2題圖

方法二遇角平分線的垂線，考慮構造等腰三角形

例3(人教八上習題改編)如圖，△ABC的面積為16，AD平分∠BAC，且AD⊥BD

于點D，則△ACD的面積為.

例3題圖

例4如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠BAC交BC于點E，

BD⊥AD，若BD＝2，則AE的長為.

例4題圖

方法三遇角平分線(或邊)上一點，考慮作平行線構造等腰三角形

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例5如圖，在△ABC中，AB＝3，BC＝6，點D在AC邊上，且BD平分∠ABC，

則的值為.

??

??

例5題圖

例6如圖，在△ABC中，∠ABC＝30°，BD平分∠ABC交AC于點D，過點D

作BC的垂線，垂足為點E，若DE＝2，則BE的長為.

例6題圖

方法四截長補短構造軸對稱圖形

例7如圖，在四邊形ABCD中，AD＝CD，∠A＝120°，BD平分∠ABC.

若AB＋AD＝8，則BC的長為.

例7題圖

例8(人教八上習題改編)如圖，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于點D，點

E是BD的中點，若AB＝2BC，AD＝5，求CE的長.

解法一(截長法)：

例8題圖

解法二(補短法)：

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二階綜合應用

1.如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于點D，若AD＝

4，∠CBD＝15°，則AB的長為.

第1題圖

2.如圖，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于點D，點E為AB上一點，∠AED

＝∠C，若AD＝4，AE＝5，DE＝6，則BC的長為.

第2題圖

3.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC于點D.

(1)如圖①，E為AC邊上一點，連接ED，已知∠AED＋∠B＝180°.求證：DB

＝DE；

(2)如圖②，△ABC的外角∠CBP的平分線BF與AD延長線交于點F，連接CF，

求∠BCF的度數.

第3題圖

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一階方法訓練

例110【解析】如解圖，過點D作DE⊥BC于點E.∵CD平分∠ACB，DE⊥BC，

∠A＝90°，∴DE＝AD＝3.∵S△BCD＝15，∴BC·DE＝15，即BC＝15，解得BC

13

＝10.22

例1題解圖

例2【解析】如解圖，過點D作DG⊥OB于點G，∴∠DGF＝

90°.∵2DE⊥OA，OC平分∠AOB，∴DG＝DE＝1，∵∠AOB＝45°，EF⊥OA，

∴△EOF是等腰直角三角形，∴∠EFO＝45°，∴△DGF是等腰直角三角形，

∴DF＝DG＝.

22

例2題解圖

例38【解析】如解圖，延長BD交AC于點E，∵AD平分∠BAE，AD⊥BD，

∴∠BAD＝∠EAD，∠BDA＝∠EDA＝90°，在△BAD和△EAD中，

＝

＝，∴△BAD≌△EAD(ASA)，∴BD＝ED，∴S△ABD＝S△AED，S△BDC

∠???∠???

＝

????

＝∠S?△?CD?E，∠∴?S?△?ABD＋S△BDC＝S△AED＋S△CDE＝S△ACD，∴S△ACD＝S△ABC＝×16＝8.

11

22

例3題解圖

例44【解析】如解圖，延長BD，AC交于點F，∵AD平分∠BAC，BD⊥AD，

∴△ABF為等腰三角形，∴BD＝FD，即BF＝2BD＝4.∵∠ACB＝90°，∴∠BCF

第6頁共11頁

＝90°，∠AEC＋∠EAC＝90°，∵AD⊥BD，∴∠BED＋∠FBC＝90°，∵∠AEC

＝∠BED，∴∠EAC＝∠FBC.又∵AC＝BC，∠ACE＝∠BCF，∴△ACE≌△

BCF(ASA)，∴AE＝BF＝4.

例4題解圖

例52【解析】如解圖①，過點D作DE∥AB交BC于點E，則∠ABD＝∠BDE，

∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC，∴∠BDE＝∠DBE，∴DE＝BE，設DE

－

＝BE＝x，則CE＝6－x，∵DE∥AB，∴△CDE∽△CAB，∴＝，即＝，

?????6?

解得x＝2，∴CE＝4，∴＝＝＝2.????36

????4

????2

例5題解圖①

一題多解法

如解圖②，過點D作DF∥BC交AB于點F，∵BD為∠ABC的平分線，∴∠ABD

＝∠CBD，∵DF∥BC，∴∠FDB＝∠DBC，∴∠FBD＝∠FDB，∴BF＝DF，

－

∵＝，即＝，解得AF＝1，∴BF＝2，∴＝＝＝2.

??????3??????2

????36????1

例5題解圖②

例64＋2【解析】如解圖，過點D作DF∥AB交BC于點F，∵BD平分

∠ABC，∴∠3ABD＝∠CBD，∵DF∥AB，∠ABC＝30°，∴∠ABD＝∠BDF，

∠DFC＝∠ABC＝30°，∴∠BDF＝∠ABD，∴∠BDF＝∠CBD，∴BF＝DF，

∵DE⊥BC，∴△DEF是直角三角形，∴DF＝2DE＝4，EF＝＝2，∴BF

??

＝DF＝4，∴BE＝BF＋EF＝4＋2.tan30°3

第37頁共11頁

例6題解圖

例78【解析】如解圖，延長BA至點F，使得BF＝BC，連接DF.∵BD是

＝

∠ABC的平分線，∴∠ABD＝∠CBD.在△FBD和△CBD中，＝，

????

＝

∠???∠???

∴△FBD≌△CBD(SAS)，∴FD＝CD，∵AD＝CD，∴AD＝FD，∵?∠?BA?D?＝120°，

∴∠DAF＝60°，∴△ADF是等邊三角形，∴AF＝AD，∴BC＝BF＝AB＋AD＝

8.

例7題解圖

例8解：如解圖①，在BA上截取BG＝BC，連接GE，

∵BD平分∠ABC，

∴∠CBE＝∠GBE，

∵BC＝BG，BE＝BE，

∴△CBE≌△GBE(SAS)，

∴CE＝GE，

∵AB＝2BC，

∴AB＝2BG，

∴點G是AB的中點，

∵點E是BD的中點，

∴GE是△ABD的中位線，

∴GE＝AD＝，

15

22

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∴CE＝.

5

2

例8題解圖①

一題多解法

如解圖②，延長BC至點F，使得CF＝BC，連接DF，

∵AB＝2BC，BF＝2BC，

∴BF＝BA，

∵BD平分∠ABC，

∴∠FBD＝∠ABD，

∵BD＝BD，

∴△BDF≌△BDA(SAS)，

∴DF＝DA＝5，

∵點E是BD的中點，

∴CE是△BDF的中位線，

∴CE＝DF＝.

15

22

例8題解圖②

二階綜合應用

1.8＋4【解析】∵BD平分∠ABC，∠CBD＝15°，∴∠ABC＝2∠CBD＝

30°，如解3圖①，過點D作DE∥BC交AB于點E，則∠ADE＝∠C＝90°，∠AED

＝∠ABC＝30°，∴AE＝2AD＝8，ED＝AD＝4，∵DE∥BC，∴∠EDB＝

∠CBD＝∠EBD，∴BE＝DE＝4，∴AB3＝AE＋BE3＝8＋4.

33

第9頁共11頁

第1題解圖①

一題多解法

如解圖②，過點D作DE⊥AB于點E，∵BD平分∠ABC，∠CBD＝15°，∴∠ABC

＝2∠CBD＝30°，∵∠C＝90°，∴∠DAE＝60°，∵AD＝4，∴AE＝2，DE＝

2，∴CD＝DE＝2，∴AC＝4＋2，∴AB＝8＋4.

3333

第1題解圖②

2.12【解析】如解圖，在BC上截取BF＝BE，連接DF，∵BD平分∠ABC，

∴∠ABD＝∠CBD，又∵BE＝BF，BD＝BD，∴△BED≌△BFD(SAS)，∴DE＝

DF，∠BED＝∠BFD，∴∠AED＝∠CFD，∵∠AED＝∠C，∴∠CFD＝∠C，

＋

∴DF＝CD＝DE＝6，∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABC，∴＝，即＝，

??????????

∴＝，解得BC＝12.