微專題19遇到中點(diǎn)如何添加輔助線

一階方法訓(xùn)練

方法解讀

情形一已知三角形一邊(兩邊)中點(diǎn)

原理：三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半

作法：1.如圖①，連接一邊中點(diǎn)與另一邊中點(diǎn)構(gòu)造中位線；

2.如圖②，倍長(zhǎng)另一邊構(gòu)造中位線

圖①

圖②

結(jié)論：DE∥BC，DE＝BC

1

情形二已知三角形一2邊中點(diǎn)

原理：1.等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合(簡(jiǎn)寫

成“三線合一”)；

2.直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；

3.三角形的中線把三角形分成面積相等的兩部分

作法：連接中點(diǎn)與頂點(diǎn)

(1)等腰三角形(2)直角三角形

第1頁(yè)共14頁(yè)

結(jié)論：AD⊥BC，AD平分∠BAC

結(jié)論：BD＝AD＝CD＝AC

1

(3)一般三角形2

結(jié)論：S△ABD＝S△ACD＝S△ABC

1

情形三已知三角形一邊上的中線或三角形一邊2上的中點(diǎn)與另一邊上一點(diǎn)的連

線

原理：當(dāng)三角形出現(xiàn)中線或與中線有關(guān)的線段，考慮倍長(zhǎng)中線或倍長(zhǎng)類中線構(gòu)造

全等三角形，利用全等三角形性質(zhì)進(jìn)行解題

作法一：構(gòu)造倍長(zhǎng)中線

延長(zhǎng)AD至點(diǎn)E，使得AD＝DE，連接BE；

結(jié)論：△BDE≌△CDA；

作法二：構(gòu)造倍長(zhǎng)類中線

延長(zhǎng)MD至點(diǎn)N，使MD＝DN，連接CN；

結(jié)論：△BDM≌△CDN

第2頁(yè)共14頁(yè)

方法一遇到中點(diǎn)，考慮構(gòu)造中位線

例1(北師九上習(xí)題改編)如圖，在△ABC中，D，E分別是AB，AC的中點(diǎn)，過(guò)

點(diǎn)E作EF⊥BC于點(diǎn)F，連接DF，若BC＝8，EF＝3，則DF的長(zhǎng)為()

例1題圖

A.4

B.5

C.6

D.8

例2如圖，在△ABC中，AD⊥BC于點(diǎn)D，且BD＝CD，F(xiàn)是AD的中點(diǎn)，若

1

BF＝2，則AC的長(zhǎng)為.2

例2題圖

例3如圖，在△ABC中，D為BC邊的中點(diǎn)，E為AC邊上一點(diǎn)，∠BAC＝2∠DEC，

若CE＝8，AE＝2，則AB的長(zhǎng)為.

例3題圖

方法二遇到中點(diǎn)，考慮構(gòu)造中線(2020.17)

例4如圖，在△ABC中，D是BC上的點(diǎn)，AD＝AB，E，F(xiàn)分別是AC，BD的

中點(diǎn)，AC＝6，則EF的長(zhǎng)為.

第3頁(yè)共14頁(yè)

例4題圖

例5(人教八上習(xí)題改編)如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝8，D為

AB邊的中點(diǎn)，E為BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接DE，∠B＝2∠E，則CE的長(zhǎng)

為.

例5題圖

例6如圖，在△ABC中，D是AB邊上任意一點(diǎn)，E是CD的中點(diǎn)，F(xiàn)是BE

的中點(diǎn)，若△ABF的面積為6，則△ABC的面積為.

例6題圖

方法三遇到中線(類中線)，考慮倍長(zhǎng)中線(類中線)構(gòu)造全等三角形(2024.15)

例7如圖，在△ABC中，BD是AC邊上的中線，∠ABD＝70°，∠DBC＝40°，

BD＝3，則BC的長(zhǎng)為.

例7題圖

例8如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的中線，E是AD上一點(diǎn)，連接BE并

延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)F，AF＝EF，求證：AC＝BE.

證法一(構(gòu)造倍長(zhǎng)中線)：

第4頁(yè)共14頁(yè)

例8題圖

證法二(構(gòu)造倍長(zhǎng)類中線)：

二階綜合應(yīng)用

1.(人教八上習(xí)題改編)如圖，在等腰△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于點(diǎn)D，E

為AC的中點(diǎn)，連接BE交AD于點(diǎn)F，若AF＝BC＝4，則△ABC的面積為()

第1題圖

A.12B.15C.16D.18

2.如圖，在菱形ABCD中，∠B＝60°，E，F(xiàn)分別是邊AB，BC的中點(diǎn)，連接

EF，DF，若EF＝2，則DF的長(zhǎng)為.

第2題圖

3.如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，D是AC的中點(diǎn)，點(diǎn)E

在邊BC上，連接ED，若∠A＝∠BED，則ED的長(zhǎng)為.

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第3題圖

4.如圖，在△ABC中，AB＝AC＝6，∠BAC＝60°，D，E分別為線段BC，AC

上的動(dòng)點(diǎn)，且BD＝EC，連接AD，BE交于點(diǎn)F，若點(diǎn)F為BE的中點(diǎn)，求線段

BD的長(zhǎng).

第4題圖

第6頁(yè)共14頁(yè)

一階方法訓(xùn)練

例1B【解析】如解圖，連接DE，∵D，E分別是AB，AC的中點(diǎn)，∴DE是

△ABC的中位線，∴DE∥BC，DE＝BC＝4，∵EF⊥BC，∴∠BFE＝90°，

1

2

∴∠DEF＝180°－∠BFE＝90°，∵EF＝3，∴由勾股定理得DF＝＋＝5.

22

34

例1題解圖

例24【解析】如解圖，延長(zhǎng)DB至點(diǎn)G，使GB＝BD，連接AG.∵點(diǎn)F是

AD的中點(diǎn)，∴BF是△ADG的中位線，∴AG＝2BF＝4，∵BD＝CD，∴DG＝

1

DC，∵AD⊥BC，∴AC＝AG＝4.2

例2題解圖

例36【解析】如解圖，過(guò)點(diǎn)D作DF∥AB交AC于點(diǎn)F，則∠DFC＝∠BAC，

∵∠BAC＝2∠DEC，∠DFC＝∠DEC＋∠EDF，∴∠DEC＝∠EDF，∴EF＝DF，

∵D為BC邊的中點(diǎn)，∴DF為△ABC的中位線，∴EF＝DF＝AB，CF＝AF，

1

∴CE＝CF＋EF＝AF＋EF＝AE＋EF＋EF＝2＋2EF＝2＋AB＝82，∴AB＝6.

例3題解圖

例43【解析】如解圖，連接AF，∵AD＝AB，F(xiàn)是BD的中點(diǎn)，∴AF⊥BD，

在Rt△AFC中，E是AC的中點(diǎn)，∴EF＝AC＝×6＝3.

11

22

第7頁(yè)共14頁(yè)

例4題解圖

例54【解析】如解圖，連接CD，∵∠ACB＝90°，點(diǎn)D是AB邊的中點(diǎn)，

∴CD＝BD＝AD＝AB＝4，∴∠B＝∠BCD，∵∠B＝2∠E，∠BCD＝∠E＋

1

∠CDE，∴∠E＝∠2CDE，∴CE＝CD＝4.

例5題解圖

例624【解析】如解圖，連接AE，∵點(diǎn)F是BE的中點(diǎn)，∴S△AEF＝S△ABF＝S

1

△ABE.∵點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，∴S△ADE＝S△ACE，S△BDE＝S△BCE，∴S△ABE＝S△BDE＋S2△

ADE＝S△ABC，∴S△ABC＝2S△ABE＝4S△ABF＝24.

1

2

例6題解圖

例76【解析】如解圖，延長(zhǎng)BD至點(diǎn)E，使DE＝BD，連接AE，∵BD是AC

邊上的中線，∴AD＝CD，∵∠BDC＝∠EDA，∴△BDC≌△EDA(SAS)，∴BC

＝EA，∠DBC＝∠DEA＝40°，∵∠ABD＝70°，∴∠BAE＝180°－∠ABD－

∠DEA＝180°－70°－40°＝70°，∴∠BAE＝∠ABE，∴AE＝BE＝2BD＝6，

∴BC＝6.

例7題解圖

例8證法一：證明：如解圖①，延長(zhǎng)AD至點(diǎn)G，使AD＝DG，連接BG，

∵AD是BC邊上的中線，

∴BD＝CD.

在△ACD和△GBD中，

第8頁(yè)共14頁(yè)

＝

＝，

????

＝

∠???∠???

∴?△?AC?D?≌△GBD(SAS)，

∴BG＝CA，∠CAD＝∠G.

∵AF＝EF，

∴∠EAF＝∠AEF，

∵∠AEF＝∠BED，

∴∠BED＝∠EAF，

∴∠BEG＝∠G，

∴BE＝BG，

∴AC＝BE.

例8題解圖①

證法二：證明：如解圖②，延長(zhǎng)ED至點(diǎn)H，使ED＝DH，連接CH，

∵AD是BC邊上的中線，

∴BD＝CD.

在△BDE和△CDH中，

＝

＝，

????

＝

∠???∠???

∴?△?BD?E?≌△CDH(SAS)，

∴∠BED＝∠CHD，BE＝CH，

∵AF＝EF，

第9頁(yè)共14頁(yè)

∴∠EAF＝∠AEF，

∵∠AEF＝∠BED，

∴∠BED＝∠EAF，

∴∠CHD＝∠EAF，

∴CH＝AC，

∴AC＝BE.

例8題解圖②

二階綜合應(yīng)用

1.A【解析】如解圖，連接DE，∵△ABC是等腰三角形，AB＝AC，AD⊥BC，

∴D是BC的中點(diǎn)，∵E是AC的中點(diǎn)，∴DE是△ABC的中位線，∴DE∥AB且

DE＝AB，∴△DEF∽△ABF，∴＝＝，∴DF＝AF＝2，∴AD＝AF＋DF

1????11

2????22

＝4＋2＝6，∴S△ABC＝×4×6＝12.

1

2

第1題解圖

2.2【解析】如解圖，連接AF，AC，∵四邊形ABCD為菱形，∴AD∥BC，

AB＝A7D＝BC.∵∠B＝60°，∴△ABC為等邊三角形.∵E，F(xiàn)分別是邊AB，BC

的中點(diǎn)，EF＝2，∴AC＝2EF＝4，AF⊥BC，∴AB＝AD＝AC＝4，∠AFB＝∠DAF

＝90°，在Rt△ABF中，AF＝AB·sin60°＝2，在Rt△AFD中，DF＝＋

22

＝2.3????

7

第10頁(yè)共14頁(yè)

第2題解圖

3.【解析】如解圖①，連接BD，在Rt△ABC中，∵∠B＝90°，AB＝6，

15

BC＝48，∴由勾股定理可得AC＝10.∵D是AC的中點(diǎn)，∴DB＝DC＝AC＝5，

1

∴∠C＝∠DBE.又∵∠A＝∠BED，∴△ABC∽△EDB，∴＝，即2＝，解

????68

得ED＝.??????5

15

4

第3題解圖①

一題多解法

如解圖②，過(guò)點(diǎn)D作DF∥AB交BC于點(diǎn)F，∴∠DFE＝∠B，在Rt△ABC中，

∵∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，∴由勾股定理可得AC＝10.∵點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，

∴DF為△ABC的中位線，∴FD＝AB＝3.又∵∠A＝∠BED，∴△ABC∽△EFD，

1

∴＝，即＝，解得ED＝.2

????81015

????3??4

第3題解圖②

4.解：如解圖①，過(guò)點(diǎn)F作FG∥AC交BC于點(diǎn)G，

∵AB＝AC，∠BAC＝60°，

∴△ABC為等邊三角形，

∴BC＝AB＝6.

∵點(diǎn)F為BE的中點(diǎn)，F(xiàn)G∥AC，

∴FG為△BCE的中位線，

第11頁(yè)共14頁(yè)

∴BG＝CG＝BC＝3.

1

設(shè)CE＝x(0＜2x＜6)，則FG＝x，AE＝AC－CE＝6－x，

1

∵BD＝CE＝x，2

∴DG＝3－x，CD＝6－x.

∵FG∥AC，

∴△DGF∽△DCA，

∴＝，即＝－，

?－

????23?

解得??x＝??－36＋96或?x＝3＋9(舍去)，

∴BD＝－35＋9.5

5

第4題解圖①

一題多解法

解法二：如解圖②，延長(zhǎng)AF至點(diǎn)H，使得FH＝AF，連接BH，

∵AB＝AC，∠BAC＝60°，

∴△ABC為等邊三角形，

∴BC＝AB＝6.

∵點(diǎn)F為BE的中點(diǎn)，

∴BF＝EF.

又∵∠BFH＝∠EFA，

∴△HFB≌△AFE，

∴∠H＝∠FAE，BH＝AE，

∴BH∥AE，

∴△BHD∽△CAD，