微專題21全等三角形

考點精講

構建知識體系

考點梳理

1.全等三角形的性質(6年9考)

概念能夠完全重合的兩個三角形叫做全等三角形

1.全等三角形的對應邊①，對應角②；

性質2.兩個全等三角形的周長③，面積④；

3.全等三角形對應的中線、高線、角平分線、中位線都⑤

2.全等三角形的判定(8年11考)

(1)方法

SSSSASASAAASHL

(邊邊邊)(邊角邊)(角邊角)(角角邊)(斜邊、直角邊)

兩邊和它們的兩角和它們的

三邊分別相等兩角和其中一斜邊和一條直角

夾角分別相等夾邊分別相等

的兩個三角形個角的對邊分邊分別相等的兩

的兩個三角形的兩個三角形

全等(基本事別相等的兩個個直角三角形全

全等(基本事全等(基本事

實)三角形全等等

實)實)

(2)思路

第1頁共16頁

找夾角相等→

①已知兩對等邊找直角→或

SAS

找第三邊相等→

??SAS

②已知一對等邊SSS

邊為角的對邊→找任意一對等角→

找等角的另一鄰邊相等→

和一對等角邊為角AAS

找等邊的另一鄰角相等→

的鄰邊SAS

找等邊的對角相等→

ASA

找夾邊相等→AAS

③已知兩對等角

找其中任意一對等角的對邊相等→

ASA

練考點AAS

1.如圖，已知△ABC≌△DEF，點B，E，C，F依次在同一條直線上.若BC＝8，

CE＝5則CF的長為.

第1題圖

2.如圖，兩個三角形全等的是()

第2題圖

A.③④B.②③

C.①②D.①④

高頻考點

考點全等三角形的性質與判定(6年9考)

第2頁共16頁

模型一平移型

模型分析

模型展示：

模型特點：沿同一直線(l)平移可得兩三角形重合(BE＝CF)

解題思路：證明三角形全等的關鍵：(1)加(減)共線部分CE，得BC＝EF；

(2)利用平行線性質找對應角相等

例1(人教八上習題改編)如圖，已知點B，C，E，F在同一條直線上，BE＝CF，

AB∥DE，∠A＝∠D，試判斷AC和DF的數量關系和位置關系，并說明理由.

例1題圖

變式1(2024內江)如圖，點A，D，B，E在同一條直線上，AD＝BE，AC＝DF，

BC＝EF.

(1)求證：△ABC≌△DEF；

(2)若∠A＝55°，∠E＝45°，求∠F的度數.

變式1題圖

模型二軸對稱(翻轉)型[2022.18，2021.23，2020.20，2020.22(2)]

模型分析

模型展示有公共邊

第3頁共16頁

有公共頂

點

所給圖形沿公共邊所在直線或者經過公共頂點的某條直線折疊，兩個

模型特點

三角形能完全重合

證明三角形全等的關鍵：

(1)找公共角、垂直、對頂角、等腰等條件得對應角相等；

解題思路

(2)找公共邊、中點、等底角、相等邊、線段的和差等條件得對應邊相

等

例2(2024香洲區二模)如圖，已知AB⊥AC，BD⊥CD，垂足分別為A，D，∠ACB

＝∠CBD.求證：AB＝CD.

例2題圖

變式2如圖，AB＝AC，DB＝DC，F是AD延長線上的一點.連接BF，CF，求

證：∠BFA＝∠CFA.

變式2題圖

變式3(人教八上習題改編)如圖，點D在AB邊上(不與點A，點B重合)，E在

AC邊上(不與點A，點C重合)，連接BE，CD，BE與CD相交于點O，AB＝AC，

∠B＝∠C.求證：BO＝CO.

變式3題圖

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模型三旋轉型[2023.22(2)①，2019，10①]

模型分析

共

頂

點

模型展

示

不

共

頂

點

模型特(1)共頂點，繞該頂點旋轉可得兩三角形重合；

點(2)不共頂點，繞某一點旋轉后，再平移可得兩三角形重合

證明三角形全等的關鍵：(1)共頂點：加(減)共頂點的角的共角部分得

解題思一組對應角相等；

路(2)不共頂點：①由BF＝CE→BF±CF＝CE±CF→BC＝EF；②利用平

行線性質找對應角相等

例3(2024珠海模擬)如圖，在△ABC和△EDC中，AB＝ED，∠1＝∠2，∠A

＝∠E.求證：BC＝DC.

例3題圖

變式4(2024吉林省卷)如圖，在?ABCD中，點O是AB的中點，連接CO并

延長，交DA的延長線于點E，求證：AE＝BC.

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變式4題圖

模型四一線三垂直型[2023.23(3)，2020.25(3)]

模型分析

基本圖形2已知：AB⊥BC，

基本圖形1已知：AB⊥BC，

AE⊥BD，CD⊥BD，AB＝BC

DE⊥CE，AC⊥CD，AB＝CE

模型展示

①∠A＝∠DCE，∠ACB＝∠D；

結論(針對②BE＝AB＋DE；①∠A＝∠DBC，∠ABE＝∠C；

基本圖形)③連接AD，△ACD是等腰直角三角②DE＝AE－CD

形

常用三個垂直作條件進行角度等量代換，即同(等)角的余角相等，相等

解題思路

的角就是對應角，證三角形全等時必須還有一組對應邊相等

例4如圖，在四邊形ABCD中，AB＝AD，AB⊥AD，AC⊥DC.過點B作

BE⊥CA，垂足為點E.若AC＝6，則△ABC的面積是()

例4題圖

A.6B.12C.18D.36

第6頁共16頁

變式5(人教八上習題改編)如圖，點D，C，E在直線l上，點A，B在l的同側，

AC⊥BC，若AD＝AC＝BC＝BE＝5，CD＝6，求CE的長.

變式5題圖

真題及變式

命題點全等三角形的性質與判定(6年9考)

1.(2022廣東18題8分)如圖，已知∠AOC＝∠BOC，點P在OC上，PD⊥OA，

PE⊥OB，垂足分別為D，E.

求證：△OPD≌△OPE.

第1題圖

1.1變圖形——增加線段

如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于點E，點F在AC

上，BD＝DF.求證：BE＝FC.

變式1.1題圖

1.2變設問——證角平分線

如圖，在△POE和△QOD中，∠E＝∠D，OP＝OQ，PE交QD于點C，CP＝

CQ，連接OC.求證：OC平分∠DOE.

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變式1.2題圖

拓展訓練

2.(2024佛山模擬)如圖，在四邊形ABCD中，∠D＝∠BCD＝90°.

(1)如圖①，若E為CD的中點，AB＝BC＋AD，求證：AE平分∠DAB；

(2)如圖②，若E為AB的中點，AB＝2AD，CA＝CB，試判斷三角形ABC的形狀，

并說明理由.

第2題圖

新考法

3.[真實問題情境](人教八上習題改編)小明同學沿一段筆直的人行道行走，在由

A步行到達B處的過程中，通過隔離帶的空隙O，剛好瀏覽完對面人行道宣傳墻

上的社會主義核心價值觀標語.其具體信息匯集如下，如圖，AB∥OH∥CD，相

鄰兩平行線間的距離相等.AC，BD相交于點O，BD⊥CD于點D.已知AB＝

20m.根據上述信息，標語CD的長度為m.

第3題圖

4.[條件開放]如圖，已知在等腰△ABC中，AB＝AC，分別以AB，AC為邊向外

作三角形，使BD＝AE.

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(1)添加條件，可以判定△ABD≌△CAE，請說明理由；

(2)在(1)的條件下，若∠ABC＝65°，∠D＝120°，求∠DAE的度數.

第4題圖

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考點精講

①相等②相等③相等④相等⑤相等

教材改編題練考點

1.3

2.C

高頻考點

例1解：AC＝DF，AC∥DF，理由如下：

∵BE＝CF，

∴BE－CE＝CF－CE，即BC＝EF，

∵AB∥DE，

∴∠B＝∠DEF，

在△ABC和△DEF中，

＝

＝，

∠?∠?

＝

∠?∠???

∴?△?AB?C?≌△DEF(AAS)，

∴AC＝DF，∠ACB＝∠F，∴AC∥DF.

變式1(1)證明：∵AD＝BE，

∴AD＋DB＝BE＋DB，即AB＝DE，

∵AC＝DF，BC＝EF，

∴△ABC≌△DEF(SSS)；

(2)解：∵△ABC≌△DEF，∠A＝55°，

∴∠FDE＝∠A＝55°，

∵∠E＝45°，

∴∠F＝180°－∠FDE－∠E＝80°.

例2證明：∵AB⊥AC，BD⊥CD，

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∴∠A＝∠D＝90°，

在△ABC與△DCB中，

＝

＝，

∠?∠?

＝

∠???∠???

∴?△?AB?C?≌△DCB(AAS)，

∴AB＝CD.

變式2證明：∵AB＝AC，DB＝DC，AD＝AD，

∴△ABD≌△ACD(SSS)，

∴∠BAF＝∠CAF，

又∵AB＝AC，AF＝AF，

∴△ABF≌△ACF(SAS)，

∴∠BFA＝∠CFA.

＝

變式3證明：在△ABE和△ACD中，＝，

∠?∠?

＝

????

∴△ABE≌△ACD(ASA)，∠?∠?

∴AD＝AE，

∵AB＝AC，

∴AB－AD＝AC－AE，即BD＝CE，

在△BOD和△COE中，

＝

＝，

∠?∠?

＝

∠???∠???

∴?△?BO?D?≌△COE(AAS)，

∴BO＝CO.

第11頁共16頁

例3證明：∵∠1＝∠2，

∴∠1＋∠ACD＝∠2＋∠ACD，即∠ACB＝∠ECD.

在△ABC和△EDC中，

＝

＝，

∠?∠?

＝

∠???∠???

∴?△?AB?C?≌△EDC(AAS)，

∴BC＝DC.

變式4證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD∥BC，

∴∠OAE＝∠B，∠OCB＝∠E，

∵點O是AB的中點，∴OA＝OB

在△AOE和△BOC中，

＝

＝，

∠???∠?

＝

∠???∠?

∴?△?AO?E?≌△BOC(AAS)，

∴AE＝BC.

例4C【解析】∵AB⊥AD，AC⊥DC，BE⊥CA，∴∠ACD＝∠BEA＝∠DAB

＝90°，∴∠D＋∠DAC＝90°，∠DAC＋∠EAB＝90°，∴∠D＝∠EAB，∵AD

＝AB，∴△ADC≌△BAE(AAS)，∴AC＝BE＝6，∴S△ABC＝AC·BE＝×6×6＝

11

18.22

變式5解：如解圖，過點A作AG⊥CD于點G，過點B作BH⊥CE于點H，

∵AD＝AC，AG⊥CD，

∴CG＝CD＝3，

1

2

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在Rt△ACG中，由勾股定理得，AG＝－＝－＝4，

2222

∵AC⊥BC，????53

∴∠CAG＋∠GCA＝∠GCA＋∠BCH＝90°，

∴∠CAG＝∠BCH.

在△ACG和△CBH中，

＝

＝，

∠???∠???

＝

∠???∠???

∴?△?AC?G?≌△CBH(AAS)，

∴CH＝AG＝4.

∵BC＝BE，BH⊥CE，

∴CE＝2CH＝8.

變式5題解圖

真題及變式

1.證明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D，E，

∴∠PDO＝∠PEO＝90°，(3分)

在△OPD和△OPE中，

＝

＝，

∠???∠???

＝

∠???∠???

∴?△?OP?D?≌△OPE(AAS).(8分)

一題多解法

∵∠AOC＝∠BOC，

∴OC為∠AOB的平分線，

第13頁共16頁

∵PD⊥OA，PE⊥OB，

∴PD＝PE，(3分)

在Rt△OPD和Rt△OPE中，

＝

，

＝

????

∴?R?t△?O?PD≌Rt△OPE(HL).(8分)

變式1.1證明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠C＝90°，

∴DC＝DE，∠C＝∠DEB＝90°，

在Rt△DCF和Rt△DEB中，

＝

，

＝

????

∴?R?t△?D?CF≌Rt△DEB(HL)，

∴BE＝FC.

變式1.2證明：在△POC和△QOC中，

＝

＝，

????

＝

????

∴?△?PO?C?≌△QOC(SSS)，

∴∠PCO＝∠QCO，

∵∠PCD＝∠QCE，

∴∠DCO＝∠ECO，

∵∠D＝∠E，

∴∠DOC＝∠EOC，

∴OC平分∠DOE.

2.(1)證明：如解圖，延長AE交BC的延長線于點H，

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