第20課時等腰三角形與直角三角形

1.(2024·云南)已知AF是等腰三角形ABC底邊BC上的高,若點F到直線AB的距離為3,則點F

到直線AC的距離為()

A.B.2C.3D.

37

2.(22024·陜西)如圖,在△ABC中,∠BAC=90°,AD是BC邊上的高,E是D2C的中點,連接AE,則圖中

的直角三角形共有()

A.2個B.3個C.4個D.5個

3.(2024·邯鄲峰峰礦區模擬)一張直徑為10cm的半圓形卡紙,過直徑的兩端點剪掉一個等腰三角

形,在兩種裁剪方案(如圖1和圖2,單位:cm)中,說法正確的是()

A.只有方案Ⅰ的數據合理B.只有方案Ⅱ的數據合理

C.方案Ⅰ、Ⅱ的數據都合理D.方案Ⅰ、Ⅱ的數據都不合理

4.如圖,在Rt△ABC中,D是AC的中點,∠BDC=60°,AC=6,則BC的長是()

A.3B.6C.D.3

5.(2024·泰安)如圖,直線l∥m,等邊三角形ABC的兩3個頂點B,C分別落在直3線l,m上,若∠ABE=21°,

則∠ACD的度數是()

A.45°B.39°C.29°D.21°

6.(2024·河北一模)如圖,△ABC為等邊三角形,△ACD為等腰直角三角形,AC=CD,則直線BC與直

線AD的夾角為()

A.10°B.15°C.20°D.30°

7.(2024·遷安二模)如圖,在等邊三角形ABC中,AB=4,BD∥AC,BD⊥CD,則BD=()

A.1B.2C.D.2

8.(2024·眉山)如圖,圖1是北京國際數學家大會的3會標,它取材于我國古代3數學家趙爽的“弦圖”,是

由四個全等的直角三角形拼成.若圖1中大正方形的面積為24,小正方形的面積為4,現將這四個直

角三角形拼成圖2,則圖2中大正方形的面積為()

圖1圖2

A.24B.36C.40D.44

9.(2024·自貢)如圖,等邊三角形ABC鋼架的立柱CD⊥AB于點D,AB長12m.現將鋼架立柱縮短成

DE,∠BED=60°.則新鋼架減少用鋼()

A.(24-12)mB.(24-8)m

C.(24-6)3mD.(24-43)m

10.(2024·3邯鄲廣平縣一模)在平面直角坐標系中,O為坐3標原點,若已知點P(x,x+2),則下列同學的

說法正確的是()

嘉嘉:OP的長不可能為1.

淇淇:OP的長可以為2.

嘉琪:OP的長與x的取值無關.

A.只有嘉嘉正確

B.只有淇淇正確

C.嘉嘉和淇淇兩人都正確

D.三人都正確

11.(2024·貴州)如圖,在△ABC中,以點A為圓心,線段AB的長為半徑畫弧,交BC于點D,連接AD.

若AB=5,則AD的長為.

12.(2024·湖南)若等腰三角形的一個底角的度數為40°,則它的頂角的度數為°.

13.(2024·綏化)如圖,AB∥CD,∠C=33°,OC=OE.則∠A=°.

1.(2024·秦皇島青龍縣模擬)如圖1所示,將長為8的矩形紙片沿虛線折成3個矩形,其中左右兩側

矩形的寬相等.若要將其圍成如圖2所示的三棱柱形物體,則圖中a的值可以是()

圖1圖2

A.1B.2C.3D.4

2.(2024·石家莊一模)對于題目:“在△ABC中,AB=AC,∠ABC=70°,分別以A,B為圓心,以AB長為半

徑的兩條弧相交于點P,求∠APC的度數”.嘉嘉求解的結果是∠APC=80°,淇淇說:“嘉嘉的解答正

確但不全面,∠APC還有另一個不同的值”則下列判斷正確的是()

A.淇淇說得對,∠APC的另一個值是40°

B.淇淇說得不對,∠APC只能等于80°

C.嘉嘉求的結果不對,∠APC應等于85°

D.兩人都不對,∠APC應有3個不同的值,

3.(2024·內江)如圖,在△ABC中,∠DCE=40°,AE=AC,BC=BD,則∠ACB的度數為.

4.(2024·新疆)如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,AB=8.若點D在直線AB上(不與點A,B重合),

且∠BCD=30°,則AD的長為.

5.(2024·臨夏州)如圖,等腰三角形ABC中,AB=AC=2,∠BAC=120°,將△ABC沿其底邊中線AD向

下平移,使A的對應點A'滿足AA'=AD,則平移前后兩三角形重疊部分的面積是.

1

3

6.(2024·重慶B卷)如圖,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,BD平分∠ABC交AC于點D.若BC=2,則

AD的長度為.

【詳解答案】

基礎夯實

1.C解析:∵AF是等腰三角形ABC底邊BC上的高,

∴AF是頂角∠BAC的平分線,

∵點F到直線AB的距離為3,

∴點F到直線AC的距離為3.故選C.

2.C解析:∵∠BAC=90°,

∴△ABC是直角三角形.

∵AD是BC邊上的高,

∴∠ADB=∠ADC=90°,

∴△ABD、△AED、△ACD都是直角三角形,

∴圖中的直角三角形共有4個.故選C.

3.A解析:∵半圓的直徑為10cm,若直徑所對的角的頂點在圓周上,則符合勾股定理,

方案Ⅰ和Ⅱ中的直徑所對的角的頂點在圓的內部,

∴圖中數據的平方和小于100,

∵62+62=72<100,82+82=128>100,

∴只有方案Ⅰ的數據合理.故選A.

4.A解析:∵點D是Rt△ABC斜邊AC的中點,AC=6,

∴BD=CD=AD=AC=3,

1

2

∵∠BDC=60°,

∴△BCD為等邊三角形,

∴BC=BD=3.故選A.

5.B解析:如圖,過點A作AF∥l,

∵直線l∥m,

∴AF∥m,

∵△ABC是等邊三角形,

∴∠BAC=60°,

∵AF∥l,

∴∠BAF=∠ABE,

∵∠ABE=21°,

∴∠BAF=21°,

∴∠CAF=∠BAC-∠BAF=60°-21°=39°,

∵AF∥m,

∴∠ACD=∠CAF=39°.故選B.

6.B解析:如圖,延長AD與BC交于點E,

∵△ABC為等邊三角形,

∴∠ABC=∠BAC=60°,

又∵△ACD為等腰直角三角形,AC=CD,

∴∠CAD=45°,

∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=60°+45°=105°,

∴∠E=180°-(∠ABC+∠BAD)=180°-(60°+105°)=15°.

即直線BC與直線AD的夾角為15°.故選B.

7.B解析:∵三角形ABC是等邊三角形,

∴AB=BC=4,∠ACB=60°,

∵BD∥AC,

∴∠DBC=∠ACB=60°,

∵BD⊥CD,

∴∠BDC=90°,

∴∠BCD=30°,

∴BD=BC=2.故選B.

1

2

8.D解析:如圖,設直角三角形的兩直角邊分別為a,b,斜邊為c,

圖1圖2

∵圖1中大正方形的面積是24,

∴a2+b2=c2=24,

∵小正方形的面積是4,

∴(b-a)2=a2+b2-2ab=4,

∴ab=10,

∴圖2中最大的正方形的面積為=c2+4×ab=24+2×10=44.故選D.

1

2

9.D解析:∵△ABC是等邊三角形,CD⊥AB,

∴∠ABC=60°,AB=BC=AC=12,BD=6,

∴CD=6,

∵∠BED=360°,

∴DE=2,BE=AE=4,

∴減少用鋼3為(AB+AC+3BC+CD)-(AE+BE+AB+DE)=AC+BC+CD-AE-BE-DE=(24-4)(m).故選D.

10.C解析:由點P(x,x+2),3

得P在直線AB:y=x+2上,

當OP⊥AB時,OP最短=,

故嘉嘉說OP的長不可能為21,是正確的;

當x=0時,P(0,2),

故淇淇說OP的長可以為2,是正確的;

嘉琪說OP的長與x的取值無關,是錯誤的.故選C.

11.5解析:由作圖可知:AD=AB,

∵AB=5,∴AD=5.

12.100解析:∵等腰三角形的一個底角的度數為40°,

∴這個等腰三角形的另一個底角的度數為40°,

∴等腰三角形的頂角的度數為:180°-2×40°=100°.

13.66解析:∵OC=OE,∠C=33°,

∴∠E=∠C=33°,

∴∠DOE=∠E+∠C=66°,

∵AB∥CD,

∴∠A=∠DOE=66°.

能力提升

1.C解析:長為8的線段圍成等腰三角形的腰長為a,則底邊長為8-2a.

-,

由題意得解得2<a<4.

-,

2?>82?

∴選項中只8有2?3>是0上面不等式組的解.故選C.

2.A解析:∵在△ABC中,AB=AC,∠ABC=70°,

∴∠ACB=∠ABC=70°,

∴∠BAC=180°-(∠ACB+∠ABC)=180°-(70°+70°)=40°,

依題意分別以A,B為圓心,以AB長為半徑的兩條弧相交于點P,P',

連接PB,P'B,如圖所示,

根據作圖可知:AB=AP=BP=AC=AP'=P'B,

∴△APB,△AP'B均為等邊三角形,

∴∠BAP=60°,∠BAP'=60°,

在△ACP中,AC=AP,∠CAP=∠BAP-∠BAC=20°,

∴∠APC=(180°-∠CAP)=(180°-20°)=80°,

11

22

在△AP'C中,AP'=AC,∠CAP'=∠BAP'+∠BAC=100°,

∴∠AP'C=(180°-∠CAP')=(180°-100°)=40°,

11

22

∴淇淇說得對,∠APC的另一個值是40°.故選A.

3.100°解析:∵AC=AE,BC=BD,

∴設∠AEC=∠ACE=x°,

∠BDC=∠BCD=y°,

∴∠A=180°-2x°,∠B=180°-2y°,

∵∠ACB+∠A+∠B=180°,∠BDC+∠AEC+∠DCE=180°,

∴∠ACB+(180°-2x)+(180°-2y)=180°,180°-(x+y)=∠DCE,

∴∠ACB+360°-2(x+y)=180°,

∴∠ACB+2∠DCE=180°,

∵∠DCE=40°,∴∠ACB=100°.

4.6或12解析:在Rt△ABC中,

sinA=,

??

??

∴BC=×8=4,

1

2

∴AC=-=4.

22

當點D在8點4B左上3方時,如圖1所示,

圖1

∵∠ACB=90°,∠A=30°,

∴∠ABC=60°.

又∵∠BCD=30°,

∴∠BDC=60°-30°=30°,

∴BD=BC=4,

∴AD=8+4=12.

當點D在點B的右下方時,如圖2所示,

圖2

∵∠ABC=60°,

∠BCD=30°,

∴∠CDA=90°.

在Rt△ACD中,

cosA=,

??

??

∴AD=×4=6.

3

綜上所述2,AD3的長為6或12.

5.解析:∵AB=AC,∠BAC=120°,

4