專題三變量與函數——2025屆中考數學突破熱點訓練營

1.由化學知識可知，用pH表示溶液酸堿性的強弱程度，當pH7時溶液呈堿性，當pH7時

溶液呈酸性.若將給定的NaOH溶液加水稀釋，那么在下列圖象中，能大致反映NaOH溶液的

pH與所加水的體積V之間對應關系的是()

A.B.

C.D.

2.如圖是蔬菜塑料大棚及其正面的示意圖.示意圖中曲線AGMD可近似看作一條拋物線，四邊

形ABCD為矩形且支架AB，CD，GH，MN均垂直于地面BC.已知BC6米，AB2米，

以BC所在的直線為x軸，線段BC的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標系xOy（規定一

個單位長度代表1米），若點M的坐標為1,3，則拋物線的表達式為()

125125

A.yx2B.yx2

8888

11061106

C.yx2D.yx2

35353535

3.在物理活動課上，某小組探究電壓一定時，電流I與電阻R之間的函數關系，通過實驗得到

如下表所示的數據：

I/A31.510.750.6…

R/Ω3691215…

根據表中數據，下列描述正確的是()

9

A.在一定范圍內，I隨R的增大而增大B.I與R之間的函數關系式為I

R

C.當R2時，I5AD.當R4.5時，I2A

4.如圖，在某次跑步練習中，甲、乙兩人同時起跑，從同一起點跑向同一終點，其路程sm

與時間ts之間的函數圖像分別為折線OABC和線段OD，下列說法中，正確的是()

A.乙比甲先到終點B.乙的速度隨時間增加而增大

C.全程甲的速度始終比乙的速度快D.進行到29.4s時，兩人出發后第一次相遇

5.一顆跳跳糖從A10,0開始按圖中箭頭所示方向作連續運動，第一次跳動至A21,1，第二次

跳動至A31,0，第三次跳動至A41,1，第四次跳動至A52,2，第五次跳動至

，，依照此規律跳動下去，跳跳糖第次跳動至的坐標是

A62,1…77A78()

A.8,5B.8,5C.7,5D.7,5

6.如圖是一款拋物線型落地燈筒示意圖，防滑螺母C為拋物線支架的最高點，燈罩D距離地

面1.5米，最高點C距燈柱的水平距離為1.6米，燈柱AB1.5米，若茶幾擺放在燈罩的正下

方，則茶幾到燈柱的距離AE()

A.3.2B.0.32C.2.5D.1.6

7.偉大的古希臘哲學家、數學家、物理學家阿基米德有句名言：“給我一個支點，我可以撬動

地球！”這句名言道出了“杠桿原理”的意義和價值.“杠桿原理”在實際生產和生活中，有著廣泛

的運用比如：小明用撬棍撬動一塊大石頭，運用的就是杠桿原理已知阻力和阻力臂

.“”.F1(N)

的函數圖象如圖，若小明想使動力不超過，則動力臂（單位：）需滿足

L1(m)F2150NL2m()

A.0L24B.L24C.L24D.L24

8.如圖，平面直角坐標系中，線段AB的兩端點坐標為A5,12，B3,4，某同學設計了一

個動畫：在函數ymxnm0,y0中，分別輸入m和n的值，便得到射線CD，其中

Cc,0；當c1時，會從C處彈出一個光點P，并沿CD飛行；當有光點P彈出，并擊中線

段AB上的整點（橫、縱坐標都是整數）時，線段AB就會發光，則此時整數m的個數為()

個

A.5B.6C.8D.9

9.我們把1，1，2，3，5，8，13，21這組數稱為斐波那契數列，為了進一步研究，依次以

這列數為半徑作90圓弧P1P2，P2P3，?P3P4，，得到斐波那契螺旋線，然后順次連接P1P2，

?

，，，得到螺旋折線（如圖），已知點，，，則該折線

P2P3P3P4P10,1P21,0P30,1

上的點P7的坐?標為()

A.2,8B.2,9C.3,8D.3,9

10.東東和爸爸一起出去運動，兩人同時從家出發，沿相同路線前行，途中爸爸有事返回，東

東繼續前行，5分鐘后也原路返回，兩人恰好同時到家.東東和爸爸在整個運動過程中離家的

路程（米），（米）與運動時間（分）之間的函數關系如圖所示，下列結論中錯誤的

y1y2x

是()

A.兩人前行過程中的速度為180米/分B.m的值是15，n的值是2700

C.爸爸返回時的速度為90米/分D.運動18分鐘或31分鐘時，兩人相距810米

11.如圖，某物理興趣小組在研究光的鏡面反射時，為了更加直觀的顯示光的反射規律，于是

把光的入射與反射路徑畫在了平面直角坐標系中，一束光線從點A1,4出發，經x軸上的點

B3,0反射，沿射線BC方向反射出去，則反射光線BC所在的直線的函數表達式是()

A.y2x6B.y2x6C.y2x6D.y6x2

12.為了讓甲、乙兩名運動員在自由式滑雪大跳臺比賽中取得優異成績，需要研究他們從起跳

至落在雪坡過程中的運動狀態，如圖，以起跳點O為原點，水平方向為x軸建立平面直角坐

標系.我們研究發現甲運動員跳躍時，空中飛行的高度y（米）與水平距離x（米）具有二次

函數關系，記點A為該二次函數圖象與x軸的交點，點B為該運動員的落地點，BCx軸于

點C.測得相關數據如下：OA12米，OC18米，拋物線最高點到x軸距離為4米.若乙運動

13

員跳躍時高度y（米）與水平距離x（米）滿足yx2x，則他們跳躍時起跳點與落地

82

點的水平距離()

A.甲>乙B.甲<乙C.甲=乙D.無法確定

13.定義：若一個函數圖象上存在橫、縱坐標相等的點，則稱該點為這個函數圖象的“等值點”.

已知二次函數yx24xm的圖象上有兩個“等值點”，則m的取值范圍為_____.

14.中國古人用十二根長短不同的竹子做成律管，用它們分別吹出十二個標準音，稱為十二律.

十二律的音高由低到高排列依次是：黃鐘、大呂、太簇、夾鐘、姑洗、中呂、蕤賓、林鐘、

夷則、南呂、無射、應鐘.律管越長，音高越低，古人采用“隔八相生法”、“三分損益法”確定

每根律管長度：黃鐘律管長九寸，減去三分之一，得到隔八音的林鐘律管長六寸；林鐘律管

長減去三分之一，得到隔八音的清太簇律管長四寸，將長度翻倍，得到降八度對應的太簇律

管長八寸，其余以此類推，可以得出每根律管長.這也對應了五音“宮生微、微生商、商生

羽、羽生角”的相生關系.律管頻率與律管長成反比關系，若黃鐘律管頻率為256Hz，則姑洗

律管頻率為______Hz.

15.如圖，某校師生要在空地上修建一個矩形勞動教育基地ABCD，該基地一邊靠墻（墻長a

米），另三邊用總長40米的柵欄圍成.

（1）當a25時，勞動教育基地的最大面積為_______m2；

（2）當勞動教育基地的最大面積為150平方米時，a的值為_______.

16.有若干張如圖①所示的拼圖卡，用3張這樣的拼圖卡按圖②的方式無縫隙拼接在一起，拼

成的圖案總長為10cm；如圖③，用8張這樣的拼圖卡按同樣的方式拼接，拼成的圖案總長為

25cm；若用x張這樣的拼圖卡按同樣的方式拼接，拼成的圖案總長為ycm，則y與x之間

的函數關系式為_________（x為正整數）.

17.如圖①，在正方形ABCD中，點P以每秒2cm的速度從點A出發，沿ABBC的路徑運

動，到點C停止.過點P作PQ∥BD，PQ與邊AD（或邊CD）交于點Q，PQ的長度ycm與

點P的運動時間x（秒）的函數圖象如圖②所示，當點P運動3．5秒時，PQ的長是______cm.

18.定義：函數圖象上到兩坐標軸的距離都不大于nn0的點叫做這個函數圖象的“n階方點”.

1112

例如，點,是函數yx圖象的“階方點”；點2,1是函數y圖象的“2階方點”.

332x

11

（1）在①2,；②1,1；③1,1三點中，是反比例函數y圖象的“1階方點”的有

2x

_________（填序號）；

（2）若y關于x的一次函數yax3a1圖象的“2階方點”有且只有一個，則

a_________；

2

（3）若y關于x的二次函數yxn2n1圖象的“n階方點”一定存在，則n的取值范圍

為_________.

19.為了去除衣物上的某種有害物質（記作“P”），某小組研究了衣物上P的含量（單位：

mg/kg）與浸泡時長（單位：h）的關系，該小組選取甲，乙兩類服裝樣品，將樣品分成多

份，進行浸泡處理，檢測處理后樣品中P的含量，所得數據如下：

衣物類別P含量

甲類乙類

浸泡時長

08079

23732

43125

62921

82818

102717

122716

（）設浸泡時長為，甲，乙類衣物中的含量分別為，，在平面角坐標系中，描

1xPy1y2xOy

出表中各組數值所對應的點，，并畫出函數，的圖象；

.x,y1x,y2y1y2

（2）結合實驗數據，利用所畫的函數圖象可以推斷，當浸泡時長為5h時，甲、乙兩類衣物

中P的含量的差約為______mg/kg（精確到0.1）；

（3）根據衣物中P的含量（單位：mg/kg）將衣物分為A級（含量20）、B級（20含量

75）和C類（75含量300）.若浸泡時長不超過12h，則經過浸泡處理后可能達到A級

標準的衣物為____（填“甲類”或“乙類”），該類衣物達到A級標準至少需要浸泡_____h（精

確到0.1）.

20.陽高縣是山西省的“杏果之鄉”，杏樹種植歷史悠久，當地的陽高大接杏暢銷全國.某水果商

店購進陽高大接杏的鮮果和果脯進行銷售.鮮果以5元/千克的成本價購進，并以7元/千克的

價格出售.果脯以30元/千克的成本價購進，并以36元/千克的價格出售.請結合題意解答下列

問題.

（1）該水果商店購進陽高大接杏的鮮果和果脯共100千克，花費2000元，則購進鮮果和果

脯各多少千克?

（2）該水果商店兩天售完所有陽高大接杏的鮮果和果脯后，決定再購進共200千克的鮮果和

果脯(所購進果脯不高于40千克)，則當該水果商店購進多少千克大接杏鮮果時，才能使利潤

w最大?最大利潤是多少?

21.春回大地，萬物復蘇，又是一年花季到.某花圃基地計劃將如圖所示的一塊長40m，寬20m

的矩形空地劃分成五塊小矩形區域.其中一塊正方形空地為育苗區，另一塊空地為活動區，其

余空地為種植區，分別種植A，B，C三種花卉.活動區一邊與育苗區等寬，另一邊長是

10m.A，B，C三種花卉每平方米的產值分別是2百元、3百元、4百元.

（1）設育苗區的邊長為xm，用含x的代數式表示下列各量：花卉A的種植面積是

_____m2，花卉B的種植面積是______m2，花卉C的種植面積是_______m2.

（2）育苗區的邊長為多少時，A，B兩種花卉的總產值相等？

（3）若花卉A與B的種植面積之和不超過560m2，求A，B，C三種花卉的總產值之和的最

大值.

22.科研人員為了研究彈射器的某項性能，利用無人機測量小鋼球豎直向上運動的相關數據.無

人機上升到距離地面20m處開始計時，此時，在地面用彈射器（高度不計）豎直向上彈射一

個小鋼球（忽略空氣阻力）.記無人機和小鋼球距離地面的高度分別為y1，y2（單位：m），

科研人員收集了y1，y2隨時間x（單位：s）變化的數據，并分別繪制在平面直角坐標系中，

如圖所示.

（）根據，隨的變化規律，從①；②2；③

1y1y2xymxn(m0)yaxbx(a0)

k

y(k0)中，選擇適當的函數模型，分別求出y，y滿足的函數關系式；

x12

（2）當0x5時，小鋼球和無人機的高度差最大是_____m.

答案以及解析

1.答案：B

解析：NaOH溶液呈堿性，則pH7，隨著加入水的體積的增加，溶液的濃度越來越低，

pH的值則接近7，

故選：B.

2.答案：A

解析：BC6米，AB2米，

OC3米，CDAB2米，

D3,2

設拋物線解析式為yax2c

將D3,2，M1,3代入得

9ac2

，

ac3

1

a

8

解得，

25

c

8

125

yx2.

88

故選：A.

3.答案：B

解析：根據表格數據：331.56190.75120.615…

9

I與R之間的函數關系式為I，在一定范圍內，I隨R的增大而減小，故A選項錯誤，

R

不符合題意；B選項正確，符合題意；

當R2時，I4.5，故C選項不正確，不符合題意；

當當R4.5時，I2A，故D選項不正確，不符合題意；

故選：B.

4.答案：D

解析：由題意和圖像可知，甲比乙先到終點，故A不符合要求；

乙勻速運動，故B不符合要求；

當0t15，33t145時，甲的速度比乙的速度快，故C不符合要求；

設直線AB的函數解析式為sktb，

50

k

15kb1009

將A15,100，B33,200代入得，解得，

33kb20050

b

3

5050

st，

93

5050

將s180代入得180t，解得t29.4，

93

故D符合要求；

故選：D.

5.答案：A

解析：由圖可知：A41,1,A92,2,A163,3

22

第n列的端點處的點為A2，當n1為偶數時：A2n,n，當n1為奇數時：

n1n1

A2n,n，

n1

A647,7，A818,8，

A788,83，即：A788,5

故選：A.

6.答案：A

解析：如圖所示，以AE所在直線為x軸、AB所在直線為y軸建立平面直角坐標系，

方法一：ABDE1.5m，

點B與點D關于對稱軸對稱，

AE21.63.2m；

方法二：根據題意知，拋物線的頂點C的坐標為1.6,2.5，

2

設拋物線的解析式為yax1.62.5，

2

將點B0,1.5代入得，01.6a2.51.5

25

解得a，

64

252

拋物線的解析式為yx1.62.5，

64

252

當y1.5時，x1.62.51.5，

64

解得x0（舍）或x3.2，

所以茶幾到燈柱的距離AE為3.2米，

故選：A.

7.答案：D

解析：阻力和阻力臂的函數關系式為k，

F1(N)L1(m)F1

L1

點(0.5,1200)在該函數圖象上，

k

1200，

0.5

解得k600，

阻力和阻力臂的函數關系式為600，

F1(N)L1(m)F1

L1

F1L1600，

F1L1F2L2600，

當時，，

F2150L24

小明想使動力不超過，則動力臂（單位：）需滿足，

F2150NL2mL24

故選：D.

8.答案：B

解析：設直線AB的解析式為ykxbk0，

5kb12

把A5,12，B3,4代入，得，

3kb4

k1

解得，

b7

直線AB的解析式為yx7；

由題意直線ymxn經過點1,0，

mn0；

由題意，可設線段AB上的整數點為t,t7，則tmnt7，

mn0，

t1mt7，

t76

m1，

t1t1

t為整數，m也是整數，

t11或t12或t13或t16，即t2或0或3或1或4或2或7或5，

5t3，

t2或0或3或1或2或5，

t2，m5；t0，m7；t3，m2；t1，m4；t2，m3；t5，

m2；

綜上所述，m的值為5或7或2或4或3或2.

故選：B.

9.答案：B

解析：觀察發現：

P10,1先向左平移1個單位，再向下平移1個單位得到P21,0；

P21,0先向右平移1個單位，再向下平移1個單位得到P30,1；

P30,1先向右平移2個單位，再向上平移2個單位得到P42,1；

P42,1先向左平移3個單位，再向上平移3個單位得到P51,4；

P51,4先向左平移5個單位，再向下平移5個單位得到P66,1；

P66,1先向右平移8個單位，再向下平移8個單位得到P72,9；

故選：B.

10.答案：D

解析：360020180米/分，

兩人同行過程中的速度為180米/分，故A選項不符合題意；

東東在爸爸返回5分鐘后返回即第20分鐘返回

m20515，

n180152700，故B選項不符合題意；

爸爸返回的速度2700(4515)90/分，故C選項不符合題意；

當運動18分鐘時，爸爸離家的距離270090(1815)2430米，東東離家的距離

180183240米，

運動18分鐘時兩人相距32402430810米；

返程過程中東東452025分鐘走了3600米，

東東返程速度360025144米/分，

運動31分鐘時東東離家的距離3600144(3120)2016米，爸爸離家的距離

270090(3115)1260米，

運動31分鐘兩人相距756米，故D選項符合題意；

故選D.

11.答案：A

解析：設直線AB與y軸的交點為E，直線BC與y軸的交點為F，

設直線AB的解析式為ykxb，

A1,4，B3,0，

kb4

，

3kb0

k2

解得，

b6

y2x6，

當x0時，y6，

直線AB與y軸的交點E的坐標為0,6

根據光的反射規律知：E和F關于x軸對稱，

F0,6，

設直線BC的解析式為ymxn，

n6

，

3mn0

m2

解得，

n6

y2x6，

故選：A.

12.答案：A

解析：由題意，設該二次函數的解析式為yax2bxa0，

∵OA12，拋物線最高點到x軸距離為4米，

122a12b=0

∴b2，

4

4a

1

a

9

解得，

4

b

3

14

∴該二次函數的解析式為yx2xx0，

93

∵OC18米，

14

∴當x18時，y1821812，

93

∴B18，12；

13

對于函數yx2x，

82

13

當y12時，12x2x，

82

解得，x6233或x6233（舍去），

∴乙起跳點與落地點的水平距離6233米，

∵186233122331441320，

∴甲起跳點與落地點的水平距離大于乙起跳點與落地點的水平距離.

故選：A.

25

13.答案：m

4

解析：由題意可得，橫、縱坐標相等的點在函數yx的圖象上，

∴二次函數與yx有兩個交點，即xx24xm有兩個不相等的根，

∴x25xm0，

2

∴b24ac541m254m0，

25

解得，m，

4

25

故答案為：m.

4

14.答案：324

解析：∵太簇律管的長度是八寸，

216

∴南呂律管的長度是：8（寸）.

33

16232

∴清姑洗律管的長度是：（寸）.

339

3264

∴姑洗律管的長度是：2（寸）.

99

設律管頻率為y，律管長為x，

∵律管頻率與律管長成反比關系，

k

∴可設yk0.

x

∵黃鐘律管頻率為256Hz，律管長為9寸，

∴k25682304.

2304

∴y.

x

64

當x時，y324.

9

故答案為：324.

15.答案：200；30或10

解析：（1）當a25時，另三邊總長40米，

1

設BCx，則ABDC20x，勞動教育基地的面積為y，

2

1

根據題意得：yx(20x)，

2

112

yx220xx20200(0x25)；

22

當x20時，y有最大值，y最大值200m2.

1

（2）當y最大值150m2時，即x220x150，

2

x240x3000，

解得：x130，x210，

xa，

a30或10.

故答案為：200；30或10.

16.答案：y3x1

解析：設每一個拼圖卡長度為mcm，重合部分長度為ncm，則

3m2n10m4

，解得，

8m7n25n1

若用x張這樣的拼圖卡按同樣的方式拼接，拼成的圖案總長為ycm，則y與x之間的函

數關系式為ymxnx14xx13x1，

故答案為：y3x1.

17.答案：2

解析：∵正方形ABCD，

∴△ABD是等腰直角三角形，

由題意知，當P運動到B時，PQ最長，PQBD，

由圖象可知，當x2時，PQ42，

∴AB4，

當x3.5時，PC823.51，

∵PQ∥BD，

∴△PCQ是等腰直角三角形，CQPC1，

由勾股定理得，PQCQ2PC22cm，

故答案為：2.

18.答案：（1）②③

（2）3或1

1

（3）n1

4

1

解析：（1）點2,到x軸的距離為2，大于1，

2

11

2,不是反比例函數y圖象的“1階方點”，

2x

1

點1,1和點1,1都在反比例函數y的圖象上，且到兩坐標軸的距離都為1，

x

1

1,1和1,1是反比例函數y圖象的“1階方點”，

x

故答案為：②③；

（2）如圖作正方形，四個頂點坐標分別為2,2，2,2，2,2，2,2，

當a0時，若y關于x的一次函數yax3a1圖象的“2階方點”有且只有一個，

則yax3a1過點2,2或2,2，

1

把2,2代入yax3a1得：22a3a1，解得：a（舍去）；

5

把2,2代入yax3a1得：22a3a1，解得：a3；

當a0時，若y關于x的一次函數yax3a1圖象的“2階方點”有且只有一個，

則yax3a1過點2,2或2,2，

把2,2代入yax3a1得：22a3a1，解得：a1；

3

把2,2代入yax3a1得：22a3a1，解得：a（舍去）；

5

綜上，a的值為3或1；

故答案為：3或1；

2

（3）二次函數yxn2n1的頂點坐標為n，2n1，

2

二次函數yxn2n1的頂點在直線y2x1上移動，

2

y關于x的二次函數yxn2n1圖象的“n階方點”一定存在，

2

二次函數yxn2n1的圖象與以頂點坐標為n,n，n,n，n,n，n,n的

正方形有交點，

2

如圖，當yxn2n1過點n,n時，

22

將n,n代入yxn2n1得：nnn2n1，

解得：n1，

2

當yxn2n1過點n,n時，

22

將n,n代入yxn2n1得：nnn2n1，

1

解得：n或n1（舍去），

4

2

由圖可知，若y關于x的二次函數yxn2n1圖象的“n階方點”一定存在，n的取值

1

范圍為：n1，

4

1

故答案為：n1.

4

19.答案：（1）見解析

（2）6.5

（3）乙；7.5

解析：（1）如圖所示，即為所求

（2）由函數圖象可知當浸泡時長為5h時，甲、乙兩類衣物中P的含量的差約為6.5mg/kg，

故答案為：6.5；

（3）由表格中的數據結合函數圖象可知，當浸泡時長不超過12h時，甲含P的最低量大于

20，乙的最低含量可以小于20，

經過浸泡處理后可能達到A級標準的衣物為乙，

觀察函數圖象可知，該類衣物達到A級標準至少需要浸泡7.5h，

故答案為：乙；7.5.

20.答案：（1）購進鮮果40千克，果脯60千克

（2）當該水果商店購進160千克大接杏鮮果時，才能使利潤w最大，最大利潤是560元.

解析：（1）設購進鮮果x千克，果脯y千克，

5x30y2000

xy100

x40

解得

y60

答：購進鮮果40千克，果脯60千克；

（2）設購進鮮果m千克，則購進果脯200m千克，

則w75m3630200m4m1200

200m0

由題意可得，

200m40

解得160m200，

4<0，

當m160時，w