1.2空間向量基本定理課后訓練鞏固提升A組1.已知a,b,c是不共面的三個向量,則能構成空間的一個基底的一組向量是()A.3a,ab,a+2b B.2b,b2a,b+2aC.a,2b,bc D.c,a+c,ac解析:對于A,由于3a=2(ab)+a+2b,故向量3a,ab,a+2b共面,不能作為基底,故A不符;同理可判斷B,D不符;對于C,因為不存在實數m,n,使得a=m·2b+n·(bc),所以三個向量不共面.故選C.答案:C2.已知平行六面體OABCO'A'B'C',OA=a,OC=c,OO'=b,D是四邊形OABC的對角線的交點,則(A.O'D=a+bB.O'D=b12C.O'D=1D.O'D=12解析:O'D=O'O+OD=OO'答案:D3.已知在正方體ABCDA'B'C'D'中,O1,O2,O3分別是AC,AB',AD'的中點,以{AO1,AO2,AO3}為基底,AC'=xAO1+yAO2+zAOA.x=y=z=1 B.x=y=z=1C.x=y=z=22 D.x=y=z=解析:AC'=AA'+AD+AB=12(AB+AD)答案:A4.已知正三棱柱ABCA1B1C1的各棱長都為2,E,F分別是AB,A1C1的中點,則EF的長是()A.2 B.3 C.5 D.7解析:∵EF=EA+AA1+A1F,且|EA|=|A1F|=1,|AA1∴EF2=|EF|2=(EA+AA1+A1F)2=|EA|2+|AA1|2+|A1F|因此|EF|=5,即EF的長為5.答案:C5.設{i,j,k}是空間的一個單位正交基底,a=3i+2jk,b=2i+4j+2k,則向量a與b的位置關系是.

解析:∵a·b=6i2+8j22k2=6+82=0.∴a⊥b.答案:a⊥b6.在正方體ABCDA1B1C1D1中,點E,F分別是底面A1C1和側面CD1的中心,若EF+λA1D=0(λ∈R),則λ=解析:如圖,連接A1D,A1C1,C1D,則E在A1C1上,F在C1D上,易知EF12A1D.所以EF=即EF-12所以λ=12答案:17.如圖,已知正三棱柱ABCA1B1C1的各條棱長度相等,M是側棱CC1的中點,則異面直線AB1和BM所成角的大小是.

解析:設棱長為2.∵AB1∴AB1·BM=(BB1-BA)·BC+∴AB1⊥BM,即AB答案:90°8.如圖,設四面體OABC的三條棱OA=a,OB=b,OC=c,G為△ABC的重心,以{a,b,c}為空間的一個基底表示向量BE,解:由G為△ABC的重心,易知E為AC的中點,所以BE=12(BA+BC)=12[(OA-OB)+(OC-OB)]=12[(ab)+OG=OB+BG=b+23BE=b+13(a+c2b9.如圖,在直三棱柱ABCA'B'C'中,AC=BC=AA',∠ACB=90°,D,E分別為AB,BB'的中點.(1)求證:CE⊥A'D;(2)求CE與AC'所成角的余弦值.答案：(1)證明:設CA=a,CB=b,CC'=c,則{a,b,c}構成空間的一個基底根據題意,|a|=|b|=|c|,且a·b=b·c=c·a=0.∵CE=b+12c,A'D=c+12∴CE·A'D=12c2+∴CE⊥A'D.∴(2)解:∵AC'=a+c,CE=b+12∴|AC'|=2|a|,|CE|=52|a又AC'·CE=(a+c)·b+12c=1∴cos<AC',CE故E與AC'所成角的余弦值為1010B組1.若a=e1+e2+e3,b=e1e2e3,c=e1+e2,d=e1+2e2+3e3({e1,e2,e3}為空間的一個基底),且d=xa+yb+zc,則x,y,z的值分別為()A.52,12,1 B.C.52,12,1 D.解析:d=xa+yb+zc=(x+y+z)e1+(xy+z)e2+(xy)e3.∵d=e1+2e2+3e3,∴x解得x=52,y=12,z=答案:A2.已知OABC是四面體,G1是△ABC的重心,G是OG1上的一點,且OG=3GG1,若OG=xOA+yOB+zOC,則(x,y,z)為()A.14,1C.13,1解析:如圖,由已知得OG=因為G1是△ABC的重心,所以OG所以OG=從而x=y=z=14答案:A3.在正方體ABCDA1B1C1D1中,E是上底面A1B1C1D1的中心,則直線AC1與CE的位置關系是()A.重合 B.垂直C.平行 D.無法確定解析:AC1=AC+AA1,CE=CC1+C1E=AA1-12AC.答案:B4.如圖,PA⊥平面ABCD,四邊形ABCD為正方形,且PA=AD,E,F分別是線段PA,CD的中點,則EF與BD所成角的余弦值為()A.26 B.C.36 D.解析:設正方形ABCD的邊長為1,則AP=AD=AB=1,設AB=a,AD=b,AP=c,則EF=EA+AD+DF=12c+b+1EF·BD=-12c+b+12a·(ba)=12c·b+12c·a+b2a|EF|=(-12c+b所以cos<EF,BD>=答案:C5.在空間四邊形ABCD中,AB=a2c,CD=5a5b+8c,對角線AC,BD的中點分別是E,F,則EF=.

解析:EF=12(ED+EB)=14(AD+CD)+14答案:3a52b+36.如圖,在正方體ABCDA1B1C1D1中,用AC,AB1,AD1解析:因為2AC1=2AA1+2AD+2AB=(AA1+AD)+(A所以AC1答案:127.如圖,在三棱柱ABCA1B1C1中,M,N分別是A1B,B1C1上的點,且BM=2A1M,C1N=2B1N.設AB=a,AC=b,AA1=(1)請用a,b,c表示向量MN;(2)若∠BAC=90°,∠BAA1=∠CAA1=60°,AB=AC=AA1=1,求MN的長.解:(1)MN=MA1+A1B1+B1N=13BA1+AB+(2)∵(a+b+c)2=a2+b2+c2+2a·b+2b·c+2a·c=1+1+1+0+2×1×1×12+2×1×1×12∴|a+b+c|=5.∴|MN|=13|a+b+c|=5即MN=538.如圖,正四面體VABC的高VD的中點為O,VC的中點為M.(1)求證:AO,BO,CO兩兩垂直;(2)求DM和AO所成角的大小.(1)證明:VD=13(a+b+c),AO=VO-VABO=VO-VB=16(a+c5b),因為AO·BO=136(b+c5a)·(a+c5b)=136(18a·b9|a|2)=136(18×1×1×所以AO⊥即AO⊥