兩條直線的位置關系一、選擇題(每小題5分，共30分)1．m＝－1是直線mx＋y－3＝0與直線2x＋m(m－1)y＋2＝0垂直的 ()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件解析：兩直線垂直的充要條件是2m＋m(m－1)＝0，解得m＝0或m＝－1，∴m＝－1僅是兩直線垂直的充分不必要條件．答案：A2．若直線l：y＝kx－eq\r(3)與直線2x＋3y－6＝0的交點位于第一象限，則直線l的傾斜角的取值范圍是 ()A．[eq\f(π,6)，eq\f(π,3)) B．(eq\f(π,6)，eq\f(π,2))C．(eq\f(π,3)，eq\f(π,2)) D．[eq\f(π,6)，eq\f(π,2)]解析：解法1：求出交點坐標，再由交點在第一象限求得傾斜角的范圍eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx－\r(3)，,2x＋3y－6＝0，))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(3(2＋\r(3)),2＋3k)，,y＝\f(6k－2\r(3),2＋3k)，))∵交點在第一象限，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x>0,y>0))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(3(2＋\r(3)),2＋3k)>0,\f(6k－2\r(3),2＋3k)>0))，∴k∈(eq\f(\r(3),3)，＋∞)．圖1∴傾斜角范圍為(eq\f(π,6)，eq\f(π,2))．解法2：如圖1所示，直線2x＋3y－6＝0過點A(3,0)，B(0,2)，直線l必過點C(0，－eq\r(3))，當直線過A點時，兩直線的交點在x軸，當直線l繞C點逆時針旋轉時，交點進入第一象限，從而得出結果．答案：B3．直線x－2y＋1＝0關于直線x＝1對稱的直線方程是 ()A．x＋2y－1＝0 B．2x＋y－1＝0C．2x＋y－3＝0 D．x＋2y－3＝0解析：在直線x－2y＋1＝0上任取兩點(1,1)，(0，eq\f(1,2))，這兩點關于直線x＝1的對稱點分別為(1,1)，(2，eq\f(1,2))，過這兩點的直線方程為y－1＝－eq\f(1,2)(x－1)，即x＋2y－3＝0.所以應選D.答案：D4．(2009·上海高考)已知直線l1：(k－3)x＋(4－k)y＋1＝0與l2：2(k－3)x－2y＋3＝0平行，則k的值是 ()A．1或3 B．1或5C．3或5 D．1或2解析：當k＝4時，直線l1的斜率不存在，直線l2的斜率為1，兩直線不平行；當k≠4時，兩直線平行的一個必要條件是eq\f(3－k,4－k)＝k－3，解得k＝3或k＝5，但必須同時滿足eq\f(1,k－4)≠eq\f(3,2)(截距不相等)才是充要條件，檢驗知k＝3、k＝5均滿足這個條件．故選C.答案：C5．光線入射在直線l1：2x－y－3＝0上，經過x軸反射到直線l2上，再經過y軸反射到直線l3上，則l3的直線方程為 ()A．x－2y＋3＝0 B．2x－y＋3＝0C．2x＋y－3＝0 D．2x－y＋6＝0解析：2x－y－3＝0與x軸交點為(eq\f(3,2)，0)所以2x－y－3＝0關于x軸的對稱直線為2x＋y－3＝0,2x＋y－3＝0關于y軸對稱的直線為2x－y＋3＝0，所以l3的方程為2x－y＋3＝0.選B.答案：B6．設兩條平行直線的方程分別為x＋y＋a＝0、x＋y＋b＝0，已知a、b是關于x的方程x2＋x＋c＝0的兩個實數根，且0≤c≤eq\f(1,8)，則這兩條直線之間的距離的最大值和最小值分別為 ()A.eq\f(1,2)，eq\f(\r(2),4) B.eq\r(2)，eq\f(\r(2),2)C.eq\r(2)，eq\f(1,2) D.eq\f(\r(2),2)，eq\f(1,2)解析：由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＝－1,ab＝c))，|a－b|＝eq\r((a＋b)2－4ab)＝eq\r(1－4c)，∵0≤c≤eq\f(1,8)，∴|a－b|∈[eq\f(\r(2),2)，1]，∴兩直線間的距離d＝eq\f(|a－b|,\r(2))∈[eq\f(1,2)，eq\f(\r(2),2)]，∴兩條直線之間的距離的最大值和最小值分別為eq\f(\r(2),2)，eq\f(1,2).答案：D二、填空題(每小題5分，共20分)7．與直線3x＋4y＋12＝0平行，且與坐標軸構成的三角形面積是24的直線l的方程是__________．解析：由題意可設直線l：3x＋4y＋c＝0，令x＝0，y＝－eq\f(c,4)，令y＝0，x＝－eq\f(c,3)，∴eq\f(1,2)·eq\f(|c|,4)·eq\f(|c|,3)＝24?c＝±24，∴直線l：3x＋4y±24＝0.答案：3x＋4y±24＝08．點P(4cosθ，3sinθ)到直線x＋y－6＝0的距離的最小值等于__________．解析：由點到直線的距離公式可得d＝eq\f(|4cosθ＋3sinθ－6|,\r(2))＝eq\f(|5sin(θ＋φ)－6|,\r(2))∵－5≤5sin(θ＋φ)≤5，∴－11≤5sin(θ＋φ)－6≤－1.∴dmin＝eq\f(\r(2),2).答案：eq\f(\r(2),2)9．直線l1：a1x＋b1y＋1＝0和直線l2：a2x＋b2y＋1＝0的交點為(2,3)，則過兩點Q1(a1，b1)，Q2(a2，b2)的直線方程為__________．解析：∵(2,3)為兩直線l1，l2的交點，∴2a1＋3b1＋1＝0,2a2＋3b2＋1＝0，由此可知，點Q1(a1，b1)，Q2(a2，b2)都在直線2x＋3y＋1＝0上，又∵l1與l2是兩條不同的直線，∴a1與a2，b1與b2不可能全相同，因此Q1，Q2為不同的兩點，∴過兩點Q1，Q2的直線方程為2x＋3y＋1＝0.答案：2x＋3y＋1＝010．(2009·全國卷Ⅰ)若直線m被兩平行線l1：x－y＋1＝0與l2：x－y＋3＝0所截得的線段的長為2eq\r(2)，則m的傾斜角可以是①15°②30°③45°④60°⑤75°其中正確答案的序號是________．(寫出所有正確答案的序號)圖2解析：兩平行線間的距離為d＝eq\f(|3－1|,\r(1＋1))＝eq\r(2)，如圖2所示，可知直線m與l1、l2的夾角為30°，l1、l2的傾斜角為45°，所以直線m的傾斜角等于30°＋45°＝75°或45°－30°＝15°.故填①⑤.答案：①⑤三、解答題(共50分)11．(15分)等腰Rt△ABC的斜邊AB所在的直線方程是3x－y＋2＝0，C(eq\f(14,5)，eq\f(2,5))，求直線AC和直線BC的方程和△ABC的面積．解：kAB＝3，設與直線AB夾角為45°的直線斜率為k，則eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(k－3,1＋3k)))＝tan45°＝1.∴k＝eq\f(1,2)或－2.∴直線AC、BC的方程為y－eq\f(2,5)＝eq\f(1,2)(x－eq\f(14,5))和y－eq\f(2,5)＝－2(x－eq\f(14,5))，即x－2y－2＝0和2x＋y－6＝0，又C到直線AB的距離d＝eq\r(10)，∴S△ABC＝eq\f(1,2)|AB|·d＝eq\f(1,2)×2eq\r(10)×eq\r(10)＝10.12．(15分)△ABC中，A(1,4)，∠ABC的平分線所在直線方程為x－2y＝0，∠ACB的平分線所在直線的方程為x＋y－1＝0(如圖3)，求BC邊所在直線的方程．圖3解：設A點關于直線x－2y＝0的對稱點為A1(x1，y1)，則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(y1－4,x1－1)＝－2,\f(x1＋1,2)－(y1＋4)＝0))，可解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＝\f(19,5),y1＝－\f(8,5)，))即A1(eq\f(19,5)，－eq\f(8,5))，設點A關于x＋y－1＝0的對稱點為A2(x2，y2)，則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(y2－4,x2－1)＝1，,(x2＋1)＋(y2＋4)－2＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＝－3,y2＝0)).即A2(－3,0)．則直線A1A2即直線BC的方程為y＝eq\f(0－(－\f(8,5)),－3－\f(19,5))[x－(－3)]即4x＋17y＋12＝0.13．(20分)兩條互相平行的直線分別過點A(6,2)和B(－3，－1)，并且各自繞著A、B旋轉，如果兩條平行直線間的距離為d，求：(1)d的變化范圍；(2)當d取最大值時，兩條直線的方程．解：(1)方法1：①當兩條直線的斜率不存在時，即兩直線分別為x＝6和x＝－3，則它們之間的距離為9.②當兩條直線的斜率存在時，設這兩條直線方程為l1：y－2＝k(x－6)，l2：y＋1＝k(x＋3)，即l1：kx－y－6k＋2＝0，l2：kx－y＋3k－1＝0.∴d＝eq\f(|3k－1＋6k－2|,\r(k2＋1))＝eq\f(3|3k－1|,\r(k2＋1))，即(81－d2)k2－54k＋9－d2＝0.∵k∈R，且d≠9，d>0，∴Δ＝542－4(81－d2)(9－d2)≥0，即0<d≤3eq\r(10)且d≠9.綜合①②可知，所求的d的變化范圍為(0,3eq\r(10)]．