2025高考數學考二輪專題過關檢測4立體幾何-專項訓練

一、選擇題:本題共8小題,每小題5分洪40分在每小題給出的四個選項中,

只有一項是符合題目要求的.

1.（2024?九省聯考）設a/是兩個平面，丸/是兩條直線，則下列命題為真命題的是（）

A.若aA-P.m//a,l//￡,貝!JmY.1

B.若mua,luB,m〃/,則a//P

C.若aC6=m,l//a,I//4則m//1

D.若/,貝!Ja-L^

2.已知六棱錐P-ABCDEF的底面是正六邊形,為，平面/5。,刃=2/民則異面直線CD與

四所成角的余弦值為（）

A匹B迪C”D迤

A5民5C，1010

3.在正方體ABCD-ATBICD中,G是線段BCi上一點，且46，囪。,則（）

A.BG=^BC]

B.5Ci=3GCi

C.BG=3GCi

D.G為線段BCi上任意一點

4.某保鮮封閉裝置由儲物區與充氮區（內層是儲物區用來放置新鮮易變質物品，充氮區是

儲物區外的全部空間用來向儲物區輸送氮氣從而實現保鮮功能）構成.如圖，該裝置外層

上部分是半徑為2的半球，下面大圓剛好與高度為3的圓錐的底面圓重合，內層是一個高

度為4的倒置小圓錐，小圓錐底面平行于外層圓錐的底面，且小圓錐頂點與外層圓錐頂點

重合，為了保存更多物品，充氮區的體積最小為（）

.c16n_28IT?4TC

AA4nB—C-D—

5.（2024?新高考〃,7）已知正三棱臺ABC-A.BxCx的體積為學閆8=6481=2,則與平面

/8C所成角的正切值為（）

1

A

2-

C.2D.3

6.已知球O與棱長為2的正方體力BCDd山CQ的各個面都相切,加為棱。。的中點,

則平面4WC截球。所得截面的面積為（）

A71

A,3B-T

4TT

C.7TD.y

7.如圖，已知四棱柱48CD431C1D1的體積為匕四邊形48al是平行四邊形，點E在平

面ACQAi內，且荏=:前+,宿，則三棱錐A-40c與三棱錐E-3CD的公共部分的體

44

積為（)

A-28B?五

C-28嗚

8.（2022?新高考/,8）已知正四棱錐的側棱長為/,其各頂點都在同一球面上.若該球的體積

為36兀,且3<38，則該正四棱錐體積的取值范圍是（）

小8百

B.至羽

c喘號］D.[18,27]

二、選擇題:本題共3小題,每小題6分，共18分在每小題給出的選項中，有多

項符合題目要求.全部選對的得6分,部分選對的得部分分，有選錯的得0分

9.（2022?新高考〃,11）如圖，四邊形ABCD為正方形，磯），平面ABCD,FB//

皮＞48=￡。=20,記三棱錐E-ACD^-ABC,E-ACF的體積分別為%,%,匕,則（）

A.%=2%B.%=2%

C.V3=VI+V2D.2V3=3VI

10.在意大利，有一座滿是“斗笠”的灰白小鎮阿爾貝羅貝洛，這些圓錐形屋頂的奇特小屋名

叫Trulli,于1996年被收入世界文化遺產名錄.現測量一個Trulli的屋頂，得到圓錐S。（其

中S為頂點。為底面圓心），母線SA的長為6m,C是母線SA上靠近點S的三等分點.從

點/到點C繞屋頂側面一周安裝燈光帶，燈光帶的最小長度為2gm.下面說法正確的

是（）

A.圓錐SO的側面積為12兀m2

B.過點S的平面截此圓錐所得截面面積最大值為18m2

C.圓錐SO的外接球的表面積為72兀m2

D.棱長為gm的正四面體在圓錐SO內可以任意轉動

11.（2023?新高考/,12）下列物體中,能被整體放入棱長為1（單位:m）的正方體容器（容器

壁厚度忽略不計）內的有（）

A.直徑為0.99m的球體

B.所有棱長均為1.4m的四面體

C.底面直徑為0.01m,高為1.8m的圓柱體

D.底面直徑為1.2m,高為0.01m的圓柱體

三、填空題:本題共3小題,每小題5分，共15分.

12.如圖，已知二面角A-EF-D的大小為45°，四邊形48EE與四邊形CDEb都是邊長為1

的正方形，則BQ兩點間的距離是.

AB

E

13.如圖，在棱長為4的正方體/3CD48C1O1中,〃是棱4”上的動點,N是棱3c的中

點.當平面DiMN與平面ABCD的夾角最小時,4/=.

14.在菱形ABCD中/3=2,/。48=60°,E為AB的中點，將A/OE沿DE翻折成A41DE；

當三棱錐A『DEC的體積最大時，三棱錐Ar-DEC的外接球的表面積為.

四、解答題:本題共5小題，共77分解答應寫出文字說明、證明過程或演算

步驟.

15.(13分)如圖，四邊形ABCD是正方形,口，平面ABCD,PA//EB,^.PA=AB=3.

(1)求證:CE〃平面PAD-,

⑵若BE三巴,求直線PD與平面PCE所成角的正弦值.

16.(15分)如圖，四棱錐尸-45CD的底面為矩形，尸。，底面/3C2M為3c的中點/3,

AM.

(1)求證:平面R1M_L平面PBD-

(2)若尸￡)=￡)C=1,求四棱錐P-ABCD的體積.

17.(15分)(2024?廣東佛山禪城高三調研)如圖，在直三棱柱形木料/BC-481G中。為上

底面ABC上一點.

(1)經過點D在上底面ABC上畫一條直線I與BiD垂直，應該如何畫線,請說明理由;

(2)若BC=BBi=lKB=2,/AiBiCi\,E為AiBi的中點，求點3到平面/CiE的距離.

18.（17分）如圖，在Rt△刃3中,且必="8=2,將△以3繞直角邊口旋轉引到

△PAC處，得到圓錐的一部分，點D是底面圓弧8c（不含端點）上的一個動點.

（1）是否存在點2使得若存在，求出NC4。的大小;若不存在,請說明理由.

（2）當四棱錐P-ABDC體積最大時,求平面PCD與平面PBD夾角的余弦值.

19.（17分）如圖①，在菱形48CD中,N/3C=120°,動點瓦月分別在邊上（不含端

點），且存在實數月使前=2而，沿EF將A4EF向上折起得到使得平面PE7U平面

如圖②所示.

C

B

圖②

⑴若BPUD,設三棱錐P-BCD和四棱錐P-BDEF的體積分別為由,%,求學；

v2

(2)當點E的位置變化時，二面角E-PF-B是否為定值?若是，求出該二面角的余弦值;若不

是,請說明理由.

專題過關檢測四立體幾何答案

一、選擇題:本題共8小題,每小題5分洪40分在每小題給出的四個選項中,

只有一項是符合題目要求的.

1.C解析對于A,%/可能平行、相交或異面，故A錯誤;對于B,a/可能相交或平行，故

B錯誤;對于D,a/可能相交或平行，故D錯誤;由線面平行性質得C正確，故選C.

2.C解析連接/凡3￡（圖略），設A8=l,貝I]R4=2HE=712+1<2X1義1Xcosl20°=

V3,P￡=V4T3=V7,BE=V3T1=2,PB=V4T1=VK易知CD//BE,^\^ZPBE是直線

CD與PB所成的角（或其補角）.又cos/E8E=井白=空，

NXZXVbJ.U

所以直線CD與PB所成角的余弦值為噂.故選C.

3.D解析如圖，：ND_L平面488/1,

.'.ADLAiB.

又犯L4iBdBQ4D=4

.：48_L平面/5i￡),

/.AxBLBxD.

同理BCiLBiD

又43nBei=8,

.:瓦0,平面AiBCi.

又4Gu平面43G,

.".AiGlBiD.

故G為線段3G上任意一點.故選D.

4.B解析由題意可知內層小圓錐底面半徑最大為^=8,所以充氮區的體積最小

為TX*x23+全x22x3-1x(b)2義4=等.故選B.

5.B解析（方法一）設棱臺的高為九三條側棱延長后相交于一點S正三角形/5C與正

三角形431cl的中心分別是點0,。1.連接/。,5。,易知點01在S。上.

由48=345,可知三棱錐S-AXB\CX的高為SQ=，，三棱錐S-ABC的高為5。=|瓦正三棱

臺ABC-AiBiG中,A48C和△43iG均為正三角形,/3=6H山i=2,得SA

ABc=9y/3,S^A1B1C1=V5,所以X|/z-|XV3X3=學解得仁殍,

由等邊三角形性質易知04=2遮,50=，=2囪,所以所求正切值為慧=1.故選8.

（方法二）設棱臺的高為〃，正三角形/3C與正三角形431cl的中心分別是點。,。1,連接

。。/QB。,作AXHLAO,H為垂足.

Si=—X22=V3,^T=—X62=9V3,K-（5±+S-v+JS^S^）h,^得，設4/與平面ABC

443V3

所成角為e,

473

貝!]tan0=^-=——-——=——^77^=1?故選B.

AH40出。12片學

6.A解析設球心。到截面的距離為d,截面圓的半徑為升，由K9-4CN=//-/OG得

^'S^ACM'd=^-S^Aoc-H為5AJCM=|X2V2xV3—V6,S^AOC=~X2-\/2X1=V2,^f以<7二手.又

法+-=1,所以廠=今所以平面/MC截球。所得截面的面積為故選A.

7.A解析先找兩三棱錐的公共部分，由荏=：而+|宿，知]（荏一?=久宿-

硝，故麗=3竭

在CC1上取點及使得CE=3EC1,連接DE,

AB

設DEHDiC=F^4CASD=G,<ftFG,

則三棱錐尸-CDG為三棱錐O1-4DC與三棱錐E-3C。的公共部分.

:ACEFSADIDF,；呼=嗎=之

'FCCE3'

.FC_3

，"1。-7，

.：點尸到平面N5CD的距離是點Di到平面N5CD的距離的

又=，A

S^CDG~4S<=BCD,

…113V

.?VF-CDG=~x-x-x=

347V——28.

8.C解析記正四棱錐高與側棱的夾角為仇高為九底面中心到底面各頂點的距離為m.

;正四棱錐外接球的體積為36兀,,：外接球的半徑7?=3.

又3W/W3B,?：cos晨;=：e停，亨］,?：/=6cos0加=/,sin6=6sin0cos仇

=

^tan0=6s］蜉s?=6cos2。,正四棱錐的底面積S底x2mx2m=2m?.

COS0

故該正四棱錐的體積K=|5底力三乂2加2%=144$11129cos%.

令X=cos2。.SCOS0^

?：sin29cos4夕=(1-cos20-cos4<9=(1-x)-x2^金.

令歹=(1-%)幺=-%312

4'3.

增;

3

32

y=-x+x單調遞減.于是當X=|時J取最大值，且Vmax=-(|)+

2_4

I一27

當x=｝時y=-G)3+G)2=W，

當話時產囹+倒喘

故當％三時J取最小值高

因而「的最大值Fmax=144><^=

%的最小值/in=144x二=

644

64'

二、選擇題:本題共3小題,每小題6分，共18分在每小題給出的選項中，有多

項符合題目要求.全部選對的得6分,部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.CD解析設AB=ED=2FB=2a,因為EDJL平面ABCD,FB〃ED,

則匕=|切除8=/2礙&)2=7,

妁=沔3以痂三吟(202=|/,連接BD交ZC于點連接EMFM,易得BD工AC.

又E￡)_L平面/8CD,/Cu平面ABCD,

則EDLAC.

又EDCBD=D￡D,BDu平面BDEF,^/C_L平面BDEF,

又BM=DM=^BD=V2a,HF作FGLDE于G,易得四邊形BDGF為矩形，則

FG=BD=2y/2a,EG=a,

則EM=J(2a)2+(V2tz)2=46a,FM^Ja2+(V2a)2=Wa,EF=Ja2+(2V2a)2=3a,

E1^+FM2=EF2,

則EMLFM^^EFM^M-FM^Y^AC=2y/2a,

則匕=唳-跖禎+匕-既〃=，。34石尸腸=2〃3,貝1」2匕=3%,匕=3匕,匕=片+%,故A,B錯誤;C,D正

確.故選CD.

10.AD解析如圖，設圓錐底面半徑為rm,將圓錐側面展開得到扇形4S4,在A/fC

中,45=6m,5C=2m4^=2713m,

36+4-521

貝I]cosZA'SC=-

2x6x22

所以N/SC=等所以2兀/=*x6=4兀/=2,所以圓錐的側面積為7ix2x6=12兀(n?),故A正確.

在△4SB中,COSNZS3=S.2+SM/B2=lsinZASB==竺&易知過點5的平面截此圓

2SA'SB9\1819

錐所得截面面積最大為Ms片26?sin//S8=96x6x竿=8VI(m2),故B錯誤.

設圓錐SO的外接球的半徑為Rm,則尺2=(50-&2+廣又SO^SA2_r2=V36^4=4V2>

以尺2=(4魚賦產+4,解得及=乎，所以圓錐SO的外接球的表面積為4近;年那),故C錯

42

誤.

設圓錐5。的內切球的半徑為/111,則一"=；,解得/=四,設棱長為百m的正四面體的

4V2-t3

外接球的半徑為nm,將該正四面體放在棱長為日m的正方體中,可知該正四面體的外

接球也是該正方體的外接球，易知。三37倒=雷，因為"7,所以棱長為遮m的

正四面體在圓錐S。內可以任意轉動，故D正確.故選AD

11.ABD解析對于A選項,正方體內切球直徑為1m.因為1>0.99,故A正確；

對于B選項，如圖(1),正方體內部最大的正四面體棱長為34=魚，魚>1.4,故B正確；

圖(2)

對于C選項，如圖(2),因為圓柱的底面直徑為0.01m(可忽略不計)，故可將高為1.8m的圓

柱看作長為1.8m的線段，而正方體的體對角線/G長為bm,且8<1.8,故C錯誤；

對于D選項，如圖(3)①，因為圓柱體的高為0.01m(可忽略不計)，可以將該圓柱體看作直

徑為1.2m的圓.設￡,￡G,H,/J為各棱的中點，六邊形斯為正六邊形，如圖⑶②淇

棱長為日m,其內切圓直徑的長等于的長,尸=30°，所以

FH他FG=WGH*M因為亨>1.2,故D正確.故選ABD.

圖⑶①

G

圖⑶②

三、填空題:本題共3小題,每小題5分洪15分.

12.73-V2解析rBD=BF+7E+^D,.".\BD\2=\BF\2+\FE\2+\ED\2+2BF-7E+2FE-

ED+2BF-ED.

由題意可知|而|=|而|=|而|=1，而?而=0,而?麗=0,前?前=lxlxcos135°=-y,

.,.而\=d3-a放B,D兩點間的距離是

13］解析如圖,建立空間直角坐標系，則N(2,4,0),DI(0,0,4),設M(4,0,a)(0〈aW4),

所以而=(-2,4,0,取=(2,4,-4).

設平面AMV的法向量為n=(x,y,z),

Jn-MW=0,即(-2x+4y-az=0,

ln-O=0,Hl2%+4y-4z=0,

解得

令z=8,則x=8-2%y=a+4,所以n=(8-2a,a+4,8)為平面DMW的一個法向量.

易知m=(0,0,l)為平面48CD的一個法向量.

設平面Di&W與平面ABCD的夾角為"貝I)cos0=粵=8=

陽網(8-2a)，(a+4)2+64

/2=，當。=”時,cos0取最大值，則9取最小值，所以A\M=4-^--

V5a2-24a+1445555

14.871解析如圖，由余弦定理，得。￡=，4。2+4E2.24D4ECOS600=V3,

2204￡2+02=402,℃2+2=°2,

CE=y/BE+BC-2BEBCcos(<180-60°)二夕,所以。。￡石即

AEIDE,DCIDE.

4

分別取CE,AiC的中點廠,此連接則F為RtADEC的外心，因為AOEC的面積為定值,

所以當平面平面DEC時，點4到平面DEC的距離最大，此時三棱錐4-DEC的

體積最大，又所以小￡，平面DEC.由F&［分別為C&4C的中點，得尸加〃4旦

所以9,平面DEC,易知M是三棱錐4-OEC的外接球的球心.因為

4c2=4E2+CE2=I+7=8,所以所求外接球的表面積5=4兀(")=8兀

四'解答題:本題共5小題，共77分解答應寫出文字說明'證明過程或演算

步驟.

15.(1)證明因為四邊形48co是正方形，

所以BC//AD.

又40u平面EID,3c0平面PAD,

所以8C〃平面PAD.

同理￡8〃平面PAD.

又所以平面E3C〃平面PAD.

又CEu平面EBC,所以CE〃平面PAD.

(2)解以/為原點40484尸所在直線分別為x軸、了軸、z軸，建立空間直角坐標系如

圖所示.

所以而=(3,0,-3),而=(3,3,-3),建=(0,3,-2).

設平面PCE的法向量為m=(x,y,z),

.(m'PC=3%+3y-3z=0,

則n《一

{mPE=3y-2z=0,

解得f-孑；

令z=3,則x=lj=2,所以m=(l,2,3)為平面PCE的一個法向量.

設直線尸。與平面尸C￡所成的角為6,

貝！］sin0=\cos<PD:—=—,

1J1\PD\\m\3V2XV/147'

所以直線尸。與平面尸CE所成角的正弦值為日.

16.(1)證明因為尸。，底面ABCD^AMu平面ABCD,

所以尸0_L4W.

又PB±AM,PBHPD=P,

所以平面PBD.

又4Wu平面PAM,

所以平面PAM±平面PBD.

(2)解由(1)可知/"X平面PAD,

所以

所以ADABSAABM.

設BM=x.^\4D=2x,由器=黑即彳=；，得2%2=1,解得x=^,

xiJD±.乙XN

所以AD=<2.

因為產。，底面/3CD,所以四棱錐尸-4SCD的體積為91*71乂1=冬

17.解(1)如圖，連接3。,在平面ABC上作l±BD,

因為4BC-48cl為直三棱柱，所以ABi，平面ABC.

因為/u平面48C,所以BB山.

因為ILBB心BD,BBCBD=B,BBi,BDu平面所以/_L平面BBXD.

因為SDu平面AB1。,所以ILBxD.

(2)因為N45G=；,所以兩兩互相垂直，以囪為坐標原點，分別以

B/i,51cl,315所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，則

2?(0,0,1)^4(2,0,1),￡(1,0,0),Ci(0,1,0),

則瓦?=(2,0,0),瓦?=(1,0,1),南=(/,1,0).

設平面AC\E的一個法向量為m=(x,j,z),

所以『?咬%+z=。，取X=1,則

(m'EC1=-x+y=0,

設點B到平面ACXE的距離為d,則1=寄=等,

因此點8到平面/GE的距離為竽.

18.解⑴當。為圓弧8C的中點，即NGW=g時,8CLPD

證明如下：：力為圓弧BC的中點,

.：NC4O=NA4。',即AD為NCAB的平分線.

"."AC=AB,.".AD為等腰三角形CAB的高線，即AD±BC.

："PALAB,PA±AC^BDAC=A^B^Cc^ABDC,

.：口1.平面ABDC,.'.PAYBC.

「B4n/D=4.：8C_L平面PAD,

.'.BCYPD.

⑵由⑴得R為四棱錐P-ABDC的高，

:￡4=4,.：當底面積SW10Moe取最大值時,四棱錐P-4BDC體積最大.

設NC/O=a,則ZSJr>=y-ct,aG(O,y),

S四邊形力即。=8404￡>+54刈。=3*2*2*51116X+-X2X2Xsin^-a^=2^sina+

sinW-a)]=2V^sin(a+￡).

：?e(0,y),?+=Gg,^),

?:當w時,sin(a+J=l,S四邊形4BDC取最大值2封

.:當四棱錐P-ABDC體積最大時,NCAD=NBAD=]

過點/在平面/ADC內作直線交圓弧8C于點E,

由題知3H尸兩兩垂直，