第二章一元二次函數(shù)、方程和不等式綜合能力測(cè)試

（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮

擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無(wú)效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

第一部分（選擇題共58分）

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目

要求的。

1.已知xeR,則“-lVx42”是“三心40”的（）

X+1

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【角至析】由J40=-l<xW2,

x+1

設(shè)集合A=k|-lWx<2},B={x\-1<x<2},則B為A的真子集.

X—2

所以“-1W兀42”是“工440”的必要不充分條件.

故選：B

2.若avb且必W。，則下列不等式中一定成立的是（）

11u

A.->-B.—>1C.a3<b3D.14VMi

aba

【答案】C

【解析】A：當(dāng)a<0<b時(shí)，-<0<y,故A錯(cuò)誤；

ab

h1b

B：當(dāng)。=—21=一1時(shí)，滿足av"-=t〉i不成立，故B錯(cuò)誤；

a2a

C：〃3_=(q_Z?)(q2+ab+Z?2)—_b)

因?yàn)椤?lt;力，所以a—bv。，得〃3一。3<。，即/〈尸，故c正確;

D：當(dāng)〃=—2/=—1時(shí)，滿足avb,同>同，時(shí)〈網(wǎng)不成立,故D錯(cuò)誤.

故選：c

3.由于豬肉的價(jià)格有升也有降，小張想到兩種買肉方案.第一種方案：每次買3斤豬肉；第二種方案：每

次買50元豬肉.下列說(shuō)法正確的是()

A.采用第一種方案劃算B.采用第二種方案劃算

C.兩種方案一樣D.采用哪種方案無(wú)法確定

【答案】B

【解析】不妨設(shè)兩次購(gòu)買豬肉的價(jià)格分別為。>0力>0,

1002ab

第二種方案，均價(jià)為50+50二1,

ab

其中蕓疝，當(dāng)且僅當(dāng)。=6時(shí)，等號(hào)成立，

~T~=,當(dāng)且僅當(dāng)。=人時(shí)，等號(hào)成立，

a+b2yjab

故生當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，

所以采用第二種方案劃算.

故選：B

4.若變量x,y滿足約束條件3?2x+yW9,6?x—y?9,貝ljz=%+2y的最小值為()

A.7B.6C.5D.4

【答案】B

【解析】設(shè)z=x+2y=機(jī)(2x+y)+幾(x-y),故2加+〃=1且m-n=2,

所以機(jī)=,故z=x+2y=(2x+y)-(%_y),

由于3V2x+yV9,6<x-y<9,所以3+(-9)W2x+y-(x-y)49+(-6),-6<x+2y<3,

故最小值為一6,止匕時(shí)尤=4,y=-5,

故選：B.

5.若不等式16&+8云+3>0對(duì)一切實(shí)數(shù)x都成立，則實(shí)數(shù)x的取值范圍為()

A.{k\0<k<3}B.體|。言太言3}

C.{k\0<k^3}D.{k\0<k<3}

【答案】D

【解析】當(dāng)人=0時(shí)，不等式為3>0對(duì)一切實(shí)數(shù)X都成立，符合題意,

當(dāng)發(fā)力0時(shí)，要使得不等式16h2+8h+3>0對(duì)一切實(shí)數(shù)彳都成立，

伏>0

則。c，解得0〈人<3,

[64左一4x162x3<0

綜上所述，％的取值范圍為卜10&%<3}.

故選：D.

6.不等式?一2)，-3)工0的解集為().

X+1

A.{小〈-1或2<x?3}B.{小<-1或2W3}

C.{小<-1或2<無(wú)<3}D.{x|-l<x<3|

【答案】B

【解析】由(A2)(X_3)3J。,

X+1

得2-2)"-3)?0或2-2)(>3)&0

x+1>0x+1<0

解得2WxW3或x<-l,

所以不等式°.一2)。-3)10的解集為何*<_1或2643}.

X+1

故選：B.

7.設(shè)max{〃，可表示。與力的最大值，若x,y都是正數(shù)，z=max|x+y,：+；，，貝”的最小值為()

A.2夜B.3C.8D.9

【答案】B

1414

【解析】由2=111”{犬+，一+一},得zNx+y,zN—+一,

xyxy

^>z2>(%+y)(-+-)=5+^+—>5+2U.-=9,當(dāng)且僅當(dāng)上=把，即y=2x=2時(shí)取等號(hào)，

xyxyxyxy

所以Z的最小值為3.

故選：B

8.存在三個(gè)實(shí)數(shù)4,出,生，使其分別滿足下述兩個(gè)等式:

(1)2a3=-2(2)%+%+/=。

其中M表示三個(gè)實(shí)數(shù)/出,％中的最小值，則()

A.M的最大值是-血B.M的最大值是-2

C.M的最小值是-0D.M的最小值是-2

【答案】B

【解析】由已知得，%中必有2個(gè)正數(shù)，1個(gè)負(fù)數(shù)，

設(shè)<0,4>0,%。,則〃=。3，

因?yàn)閝+2+4=0，所以一。3=4+2，

所以一4=(\+a2>2]a1a2

33

所以研生吟,由卬/3=-2得，^-<-2,即域V-8,

所以/W-2,

故選:B.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部

選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.若a>b>c>d,則下列不等式恒成立的是()

A.a-c>d—bB.a+ob+dC.ac>bdD.ad>be

【答案】AB

【解析】對(duì)于A,(a—c)—(d—b)=(a—c)+0—d),

Qa>b>c>d,:.a—c>0,b—d>0,

-gpa-c>b-d,A正確；

又寸于B,(a+c)—(b+d)=(a—Z?)+(c—d),

Qa>b>c>d,:.a—b>Q,c—d>0,

.,.(a+c)—(b+d)>0,BPa+c>b+d,B正確；

對(duì)于C,當(dāng)a=3,b=0,c=-2,d=-3時(shí)，ac=-6<0=bd,C錯(cuò)誤;

對(duì)于D,當(dāng)i=3,b=2,c=l,。=0時(shí)，ad=0<2=bcfD錯(cuò)誤.

故選：AB.

10.若正實(shí)數(shù)%〉滿足2x+y=l,則下列說(shuō)法正確的是()

114

A.孫有最大值為gB.-+一有最小值為6+4行

8尤y

C.41+;/有最小值為:D.x(y+l)有最大值為:

【答案】ABC

【解析】對(duì)于A：因?yàn)?x+y=G2"京7,則孫<"，當(dāng)且僅當(dāng)2元=丫，即x=：,y=；時(shí)取等號(hào)，故A正

確，

對(duì)于B,"立普+2+6工呼+6=6+4夜，當(dāng)且僅當(dāng)國(guó)=之即

xyxyyx\yxyx

x=《Ly=2-逝時(shí)取等號(hào)，故B正確，

對(duì)于C:因?yàn)?±24匕±￡,貝U4x2+y2z3，當(dāng)且僅當(dāng)2尤=了，即x=!，y=1時(shí)取等號(hào)，故C正

2V2242

確，

對(duì)于D：因?yàn)閤(y+l)=gx2x(y+l)wgx2"+；，+°=；

當(dāng)且僅當(dāng)2x=y+l,即x=；,>=。時(shí)取等號(hào)，這與蒼V均為正實(shí)數(shù)矛盾，故D錯(cuò)誤,

故選：ABC.

11.已知0,6,ceR,S.a2+b2+c2=3,以下說(shuō)法正確的是()

A.。，仇c中至少有一個(gè)不大于1B.ab+bc-\-ca<3

C.(ac+6c)max=2D.若a+6+c=0,則

【答案】ABD

【解析】對(duì)于A,若。，于c均大于1,那么片+/+C2>3,矛盾，

所以0,6,c中至少有一個(gè)不大于1,A正確.

g工Dz,cT+b2b2+c2c2+a2r

對(duì)于B,ab+bc+ca<---------1------------1----------=3,

222

當(dāng)且僅當(dāng)"a=6=c=l”時(shí)，等號(hào)成立,B正確.

對(duì)于C,

a2+b2+c2=(a2+g)?)+(62+-1c2)>2Ja?.；<?+2Jb。.gc1=0(ac+bc).

所以:ac+加4逑，當(dāng)且僅當(dāng)/==：c2=[,即a=>=走，|時(shí)，等號(hào)成立,C錯(cuò)誤.

22422

對(duì)于D,Tc?=(―6―a)?=Z>2+a2+lab<2.+a)

.-.c2<2(3-c2),.-.3c2<6

,BP-72<C<72JOC<72-D正確.

故選：ABD.

第二部分(非選擇題共92分)

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.已知不等式d+/?x+c<o的解集為{尤|-2<無(wú)<1},則力=,c=

【答案】1-2

【解析】依題意，不等式Y(jié)+foc+cvO的解集為口|-2<尤<1},

\—b=—2+1

所以。,解得b=l,C=-2.

c=-2xl

故答案為：1；—2

13.一元二次不等式2f+7尤+3>0的解集為.

【答案］-3或

【解析】由2尤？+7尤+3=（2x+l）（尤+3）=0得升=-3,%=-g，

所以2/+7x+3>0的解集為卜|x（一3或力-.

故答案為：］小〈-3或

14.若實(shí)數(shù)x，y滿足4/+y2+盯=1,則2尤+y的最大值為.

【答案】3叵/2屈

55

【解析1由4x2+丁?+孫=1可得4x2+y2+xy=1>4xy+xy=5xy,

可得盯wg；

所以（2萬(wàn)+才4|,解得一半42x+yW孚;

當(dāng)且僅當(dāng)y=2x,也即x=叵,y=巫時(shí)，上式右邊等號(hào)成立；

105

此時(shí)2x+y的最大值為2叵.

5

故答案為：巫.

5

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步聚。

15.(13分)

求解下列不等式：

(l)3x2+5%-2<0

(2)(5-x)(x+4)>18

【解析】(1)因?yàn)?/+5了一2<0,所以(3尤-1)。+2)<0,解得一2(尤<；；

(2)因?yàn)?5-尤)(x+4)N18,所以一尤2+尤+220,即/一A240,

此時(shí)有(x-2)(尤+1)40,解得一l<x<2.

16.(15分)

2022年新冠肺炎仍在世界好多國(guó)家肆虐，并且出現(xiàn)了傳染性更強(qiáng)的“德爾塔”變異毒株、“拉姆達(dá)”變異

毒株，盡管我國(guó)疫情得到了很好的遏制，但由于整個(gè)國(guó)際環(huán)境的影響，時(shí)而也會(huì)出現(xiàn)一些散發(fā)病例，故而

抗疫形勢(shì)依然嚴(yán)峻，日常防護(hù)依然不能有絲毫放松.在日常防護(hù)中，醫(yī)用防護(hù)用品必不可少，某公司一年

購(gòu)買某種醫(yī)用防護(hù)用品600噸，每次都購(gòu)買x噸，運(yùn)費(fèi)為6萬(wàn)元/次，一年的存儲(chǔ)費(fèi)用為4x萬(wàn)元.一年的總

費(fèi)用y(萬(wàn)元)包含運(yùn)費(fèi)與存儲(chǔ)費(fèi)用.

(1)要使總費(fèi)用不超過(guò)公司年預(yù)算260萬(wàn)元，求x的取值范圍.

(2)要使總費(fèi)用最小，求x的值.

【解析】(1)因?yàn)楣疽荒曩?gòu)買某種貨物600噸，每次購(gòu)買x噸，

所以購(gòu)買貨物的次數(shù)為眄，

X

,,600「.3600.,“八八

故y=----x6+4x=--------i-4x<260,x>0,

xx

化簡(jiǎn)得X2-65X+900<0,X>0,解得20WxW45,

所以x的取值范圍為{尤1204x445}.

(2)由(1)可知y=^^+4x,x>0,

X

因?yàn)?600+4x22」鱉-4x=240,當(dāng)且僅當(dāng)您=4.x即x=30時(shí)等號(hào)成立，

XX

所以當(dāng)％=30時(shí)，一年的總費(fèi)用最小,

故x的值為30.

17.(15分)

已知不等式-mx+2>0.

(1)當(dāng)XER時(shí)不等式恒成立，求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍；

(2)當(dāng)34%<5時(shí)不等式恒成立，求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

【解析】(1)①若機(jī)=0,則原不等式可化為2>0,顯然恒成立,

②若mw0,則不等式m父-mx+2N0恒成立，

m>0

等價(jià)于解得0<m<8,

A=m2-8m<0

綜上，實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是{川04加48}.

(2)①當(dāng)相=0時(shí)，則原不等式可化為2〉0,顯然恒成立，

②當(dāng)相>0時(shí)，函數(shù)y=g2一g+2的圖象開口向上，對(duì)稱軸為直線x=g,

若工￡[3,5]時(shí)不等式恒成立，

m>0

解得m>0,

9m-3m+2>0

③當(dāng)機(jī)<0時(shí)，函數(shù)y=g2-g+2的圖象開口向下，

若工￡[3,5]時(shí)不等式恒成立，

m<0

貝卜9m-3m+2>0,解得一--<m<0,

25m-5m+2>0

綜上，實(shí)數(shù)"?的取值范圍是{加|"亞-'}.

18.(17分)

根據(jù)要求完成下列問(wèn)題：

⑴若。>"0、c<d<0,|Z>l>|c|.

①求證：&+c>0；

一b+ca+d

②求證：-----<二小2；

(a-c)(b-a)

③在②中的不等式中，能否找到一個(gè)代數(shù)式，滿足戶/〈所求式<盧3?若能，請(qǐng)直接寫出該

(a-c)(b-a)

代數(shù)式；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.

（2）設(shè)x、yeR,求證：Ix+y1=1尤I+1yI成立的充要條件是封20.

【解析】（1）①且6>0、c<0,

b>-c,b+c>0-

（2）c<d<0,*,?-c>—d>0,

又。>6>0,/.a-c>b-d>0,

(a-c)2>(b-d)2>Q,

：.0<——

(a-c)2(b_d￥

■:a>b、d>c,

a+d>b+c,由(1)知Z?+c>0,

a+d>Z?+c>0,

b+ca+d

(a-c)2(b—d)2

11

③<a+d>/?+c>0,0<

(〃-c)2(b-d)1'

b+cb+ca+db+ca+da+d

---------7<---------7<---------7或-----7<--------7<---------r（只要寫出其中一個(gè)即可）;

(。一。)2(b-d)2(b—d)2(a-c)2(a-c)2(b-d)2

（2）①充分性：如果孫20,則有孫=。和孫>。兩種情況,

當(dāng)孫=0時(shí),當(dāng)尤=0時(shí)，則l%+yl=lyl、1X1+lyHyl,等式成立,

當(dāng)。=0時(shí),則|x+y|=N、W+N=W，等式成立,

當(dāng)孫=0時(shí)，等式成立，

當(dāng)初>0時(shí)，即尤>0、>>0或》<0、y<0,

當(dāng)x>0、y>。時(shí)，|尤+y|=x+y、|*|+|、|=尤+>，等式成立,

當(dāng)尤<0、）<0時(shí)，|x+y|=_;v_y、W+M=-x—y,等式成立,

,當(dāng)孫>0時(shí)，等式成立，

當(dāng)孫>0時(shí)，|x+y|=|x|+|y|成立，

②必要性：若|x+yl=|x|+3耳工、yeR,則|x+y/=(l尤1+1yl)。

即f+ZAy+Jnf+zW.H+y?,則|.|=孫，故孫20,

綜上所述，冷20