河北省滄州市運(yùn)東四校2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期4月期中考試數(shù)學(xué)試題姓名：__________班級(jí)：__________考號(hào)：__________題號(hào)一二三四總分評(píng)分一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．下列命題中正確的是（）A．零向量沒有方向B．共線向量一定是相等向量C．若向量a,b同向，且|D．單位向量的模都相等2．已知復(fù)數(shù)z滿足(3?4i)z=5，則z=（）A．45?35i B．353．下列說法中錯(cuò)誤的是（）A．棱臺(tái)的上、下底面是相似且對(duì)應(yīng)邊平行的多邊形B．用一個(gè)平行于圓錐底面的平面去截圓錐可得到圓臺(tái)C．直角三角形繞其任一邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體都是圓錐D．在圓柱的上、下底面的圓周上各取一點(diǎn)，則這兩點(diǎn)的連線不一定是圓柱的母線4．如果一條直線與兩個(gè)平行平面中的一個(gè)平行，那么這條直線與另一個(gè)平面的位置關(guān)系為（）A．平行 B．相交C．直線在平面內(nèi) D．平行或直線在平面內(nèi)5．如圖所示，在直角坐標(biāo)系中，已知A(1,0)，B(?1,2)，A．42 B．32 C．226．已知向量a=(?1,1),bA．(12,12) B．(7．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若(AB+12BCA．正三角形B．一個(gè)內(nèi)角余弦值為12C．底角余弦值為14D．底角正弦值為148．如圖，在△ABC中，AC=BC，D在邊AB上，∠ACB=3∠BCD，4AD=5DBA．?2425 B．?732 C．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．已知復(fù)數(shù)z=3?2A．z的虛部為2B．z是純虛數(shù)C．z的模是11D．z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限10．在邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別為BC，CD的中點(diǎn)，則（）A．AD?AB=2C．AF+AE=2(11．已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若b=9，a=2c，B=πA．△ABC的外接圓的面積為27πB．△ABC的周長(zhǎng)為9+9C．△ABC是直角三角形D．△ABC的內(nèi)切圓的半徑為(9?3三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．已知(2?i)x=4+yi，其中x，y是實(shí)數(shù)，則x+y=．13．如圖，用無人機(jī)測(cè)量一座小山的海拔與該山最高處的古塔AB的塔高，無人機(jī)的航線與塔AB在同一鉛直平面內(nèi)，無人機(jī)飛行的海拔高度為500m，在C處測(cè)得塔底A（即小山的最高處）的俯角為45°，塔頂B的俯角為30°，向山頂方向沿水平線CE飛行50m到達(dá)D處時(shí)，測(cè)得塔底A的俯角為75°，則該座小山的海拔為m；古塔AB的塔高為m．14．在△ABC中，已知向量AB與AC滿足(AB|AB|+AC四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．已知復(fù)數(shù)z=(2?i)m（1）當(dāng)m為何值時(shí)，z為純虛數(shù)?（2）當(dāng)m=2時(shí)，求z?z16．已知某幾何體的直觀圖如圖所示，其中底面為長(zhǎng)為4，寬為3的長(zhǎng)方形．（1）若該幾何體的高為2，求該幾何體的體積V；（2）若該幾何體的側(cè)棱長(zhǎng)均為41217．在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且asin（1）求角A；（2）若△ABC的面積為1，求a的最小值．18．如圖，在△ABC中，D，E是邊BC上的兩點(diǎn)，AD⊥BC，AE平分∠BAC，∠BAC=2π（1）若sin∠DAE=513（2）求證：sin∠AED=19．若A，B，C是平面內(nèi)不共線的三點(diǎn)，且同時(shí)滿足以下兩個(gè)條件：①|(zhì)AB|=|AC|；②存在異于點(diǎn)A的點(diǎn)G使得：AG與（1）求∠BAC；（2）若A(?1,0)，B(2,（3）記a，b，c中的最小值為min{a,b,c}，若|AB|=2

答案解析部分1．【答案】D【解析】【解答】解：A、零向量的方向是任意的，故A錯(cuò)誤；B、相等向量要求方向相同且模長(zhǎng)相等，共線向量不一定是相等向量，故B錯(cuò)誤；C、向量不可以比較大小，故C錯(cuò)誤；D、單位向量的模為1，故D正確.故答案為：D.【分析】根據(jù)零向量，單位向量，相等向量的定義判斷即可.2．【答案】D【解析】【解答】解：由(3?4i)z=5，可得z=5故答案為：D．【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算求解即可.3．【答案】C【解析】【解答】解：A、棱臺(tái)的上、下底面是相似且對(duì)應(yīng)邊平行，故A正確；

B、用一個(gè)平行于圓錐底面的平面去截圓錐可得到圓臺(tái)和圓錐，故B正確；

C、直角三角形繞其直角邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體是圓錐，而繞斜邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周

所形成的幾何體是同底的圓錐組合體，故C錯(cuò)誤；

D、在圓柱的上、下底面的圓周上各取一點(diǎn)，則這兩點(diǎn)的連線不一定是圓柱的母線，只有當(dāng)這兩點(diǎn)的

連線平行于軸時(shí)才是母線，故D正確.

故答案為：C.

【分析】根據(jù)棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征即可判斷A；根據(jù)圓錐的結(jié)構(gòu)特征即可判斷B；根據(jù)旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征即可判斷C；根據(jù)母線的定義即可判斷D.4．【答案】D【解析】【解答】由面面平行的定義可知，若一條直線在兩個(gè)平行平面中的一個(gè)平面內(nèi)，則這條直線與另一個(gè)平面無公共點(diǎn)，所以與另一個(gè)平面平行．由此可知，本題中這條直線可能在平面內(nèi)．否則此直線與另一個(gè)平面平行(因?yàn)槿粢粭l直線與兩個(gè)平行平面中的一個(gè)平面相交，則必然與另一個(gè)平面相交)，故答案為：D．【分析】由題意，結(jié)合直線與面之間的位置關(guān)系知當(dāng)一條直線與兩個(gè)平行平面中的一個(gè)平面平行，則這條直線與另一平面的位置關(guān)系便只能是平行或者這條直線在這個(gè)平面內(nèi)，即可得出答案。5．【答案】D【解析】【解答】解：由圖可知：四邊形ABCD是平行四邊形，AC=BC=2，BC//△ABC的直觀圖是△A因?yàn)锳'C'=AC=2，B故答案為：D.【分析】根據(jù)已知條件，作出△ABC的直觀圖，再計(jì)算面積即可.6．【答案】D【解析】【解答】解：由題意可知：a→·b→=1,a→=2，

所以b在a7．【答案】C【解析】【解答】解：因?yàn)?AB所以|AC|=|AB|，即b=c，

即b=2a，即b=c=2a，三角形不可能為等邊三角形和直角三角形，故AB錯(cuò)誤；所以該等腰三角形底角的余弦值為cosC=該等腰三角形底角正弦值為sinC=故答案為：C．【分析】根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算可得b=c，由正弦定理可得b=2a，在△ABC中，求出cosC8．【答案】B【解析】【解答】解：設(shè)∠BCD=α，則∠ACB=3∠BCD=3α，∠ACD=2α，在△ACD中，由正弦定理可得：ADsin在△BCD中，由正弦定理可得：BDsin又因?yàn)锳C=BC，∠ADC+∠BDC=π，所以CAsin所以ADsin2α=又因?yàn)?AD=5DB．所以AD所以cos∠ACD=故答案為：B．【分析】設(shè)∠BCD=α，在△ACD和△BCD中，分別利用正弦定理，結(jié)合AC=BC，∠ADC+∠BDC=π，得到ADsin2α=9．【答案】C,D【解析】【解答】解：A、復(fù)數(shù)z=3?2i，則復(fù)數(shù)z的虛部為B、因?yàn)閺?fù)數(shù)z=3?2C、|z|=3D、z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(3,故答案為：CD．【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的有關(guān)概念即可判斷AB；根據(jù)復(fù)數(shù)的模以及復(fù)數(shù)的的幾何意義即可判斷CD.10．【答案】A,B,D【解析】【解答】解：A、EF=EC+B、2ECC、AF+D、AF?故答案為：ABD.【分析】根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算以及向量數(shù)量積的運(yùn)算逐項(xiàng)分析判斷即可.11．【答案】A,B,C【解析】【解答】解：設(shè)△ABC的外接圓的半徑為R，在△ABC中，因?yàn)閎=9，B=π3，

由正弦定理可得bsinB=2R，即9sinπ3=2RB、由余弦定理b2=a2+c2?2accosB，得到81=4c2+C、因?yàn)閍=63，c=33，b=9，所以a2D、設(shè)內(nèi)切圓半徑為r，由12bc=12(故答案為：ABC.【分析】根據(jù)已知條件，利用正弦定理，求得外接圓半徑為R，求出外接圓的面積即可判斷A；根據(jù)條件利用余弦定理，可求得c=33，a=63，即可判斷BC；設(shè)內(nèi)切圓半徑為r，利用1212．【答案】0【解析】【解答】解：因?yàn)?2?i)x=2x?xi=4+yi，所以2x=4?x=y，解得x=2，y=?2，所以x+y=0故答案為：0.【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)相等的充要條件列式求解即可.13．【答案】475?253；【解析】【解答】解：在△ACD，CD=50,由正弦定理ACsin∠ADC又sin105°=sin75°=sin(所以AC=5012延長(zhǎng)AB交CE于H，如圖所示：

則AH=ACsin∠ACD=25因?yàn)闊o人機(jī)飛行的海拔高度為500m，所以該座小山的海拔為500?25(在△ABC中，∠ACB=45°?30°=15°,又sin∠ACB=sin(由正弦定理ABsin15°=故答案為：475?253；50【分析】在△ACD，根據(jù)已知條件，利用正弦定理得到AC=25(6+2)，延長(zhǎng)AB交CE于H14．【答案】π【解析】【解答】解：設(shè)角A的平分線交BC于D，因?yàn)锳B?AC=0，所以AB⊥AC設(shè)AB|AB|=AE，AC|AC|=AF，如圖所示：

則AE+AF=AG，因?yàn)閨因?yàn)?AB|AB|+綜上可知：△ABC為等腰直角三角形且∠CAB=π2，所以故答案為：π4【分析】依題意可得AB⊥AC，設(shè)角A的平分線交BC于D，即可得到AD⊥BC，從而得到△ABC為等腰直角三角形，即可得解.15．【答案】（1）解：復(fù)數(shù)z=(2?i)m2?(1+3i)m?3+i(m∈R)若z為純虛數(shù)，則2m2?m?3=0?m（2）解：當(dāng)m=2時(shí)，復(fù)數(shù)z=3?9i，則共軛復(fù)數(shù)為z=3+9i故z?z【解析】【分析】（1）化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)z，利用復(fù)數(shù)為純虛數(shù)列式求解即可；（2）將m=2代入求得復(fù)數(shù)z以及共軛復(fù)數(shù)，再利用復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算求解即可.16．【答案】（1）解：幾何體的體積V=1（2）解：正側(cè)面及相對(duì)側(cè)面底邊上的高h(yuǎn)1左、右側(cè)面的底邊上的高h(yuǎn)2故幾何體的側(cè)面面積S=2×(1【解析】【分析】（1）由題意，利用棱錐的體積公式求解即可；（2）先求出四棱錐正側(cè)面和相對(duì)側(cè)面底邊上的高，再分別求左右側(cè)面底邊上的高，最后利用面積公式求解即可.17．【答案】（1）解：由asin(π又A+B+C=π，所以sinAcosC=因?yàn)镃∈(0,π)，所以sinC≠0又A∈(0,π)，所以（2）解：因?yàn)椤鰽BC的面積S=12bc由勾股定理及基本不等式可得a2=b2+故a的最小值為2．【解析】【分析】（1）由題意，根據(jù)誘導(dǎo)公式和正弦定理邊化角可得sinAcosC=sinB（2）根據(jù)三角形面積公式，結(jié)合勾股定理、基本不等式求解即可.18．【答案】（1）解：因?yàn)锳E平分∠BAC，∠BAC=2π3，所以因?yàn)锳D⊥BC，sin∠DAE=所以cos∠DAE=在△ACE中，sin∠AEC=cos∠DAE=sinC=所以AEEC（2）證明：因?yàn)椤螧AC=2π3，由S△BAC=S△BAE+因?yàn)锳D⊥BC，12所以AD=3AB?AC2BC【解析】【分析】（1）由題意，根據(jù)同角三角函數(shù)基本關(guān)系求出cos∠DAE，再利用兩角和的正弦公式求出sin（2）根據(jù)三角形面積公式可得AE=AB?ACAB+AC、AD=319．【答案】（1）解：因?yàn)锳G與AB+AC同向，設(shè)則cos∠GAB=cos∠GAC=又∠GAB，∠GAC∈[0,π]．因?yàn)閨AB|=|AC由AG?AB|又∠GAB∈[0,π]，所以∠GAB=π（2）解：由（1）知|AB|=|AC|，因?yàn)锳(?1,0)，B(2,3)，C(x,y)(y>0)則(x+1)2+y2=12（3）解：設(shè)BC的中點(diǎn)為D，則AD=12(AB+AC)，又AG=所以∠